PROJETO DE CONTROLADORES FUZZY USANDO FUNÇÕES DE LYAPUNOV FUZZY

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1 PROJETO DE CONTROLADORES FUZZY USANDO FUNÇÕES DE LYAPUNOV FUZZY Flávio A. Faria, Geraldo N. Silva, Vilma A. Oliveira, Rodrigo Cardim, Emerson R. P. da Silva Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, UNESP - Univ Estadual Paulista, Campus de São José do Rio Preto, Depto de Ciências de Computação e Estatística, Rua Cristóvão Colombo, 2265, , São José do Rio Preto, SP. Escola de Engenharia de São Carlos, USP - Universidade de São Paulo, Campus de São Carlos, Depto de Engenharia Elétrica, Avenida Trabalhador Sancarlense, 400, , São Carlos, SP. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, UNESP - Univ Estadual Paulista, Campus de Ilha Solteira, Depto de Engenharia Elétrica, Avenida José Carlos Rossi, 370, , Ilha Solteira, SP. s: flaviof5@yahoo.com.br, gsilva@ibilce.unesp.br, vilma@sc.usp.br, rcardim@aluno.feis.unesp.br, e.ravazzi@bol.com.br Abstract New relaxed conditions to desing of fuzzy controllers using Parallel Distributed Compensation (PDC are proposed. The method considers the addition of slack matrix variables to decouple the Lyapunov matrices from the system matrices, providing new degrees of freedom to the controller design. Exploring properties of membership functions, new conditions for the stabilization of systems TS fuzzy are obtained. The proposed method represents an extension of results presented in Mozelli, Palhares and Avellar (2009. A numerical example illustrates its efficiency. Keywords Fuzzy PDC controllers, Fuzzy Lyapunov functions; Linear matrix inequalities (LMIs. Resumo Neste trabalho condições relaxadas para o projeto de controladores fuzzy usando a Compensação Distribuída Paralela (PDC são propostas. O método considera a adição de variáveis de folga para evitar o produto das matrizes da função de Lyapunov com as matrizes do sistema dinâmico, providenciando novos graus de liberdade para o projeto do controlador. Explorando propriedades de funções de pertinência são obtidas novas condições para a estabilização de sistemas fuzzy TS. O método proposto representa uma extensão dos resultados apresentados em Mozelli, Palhares and Avellar (2009. Um exemplo numérico ilustra a sua eficiência. Controladores fuzzy tipo PDC, Funções de Lyapunov fuzzy, Desigualdades matriciais line- Palavras-chave ares (LMIs. Introdução Controladores fuzzy do tipo PDC (Tanaka and Sugeno, 992 representam uma ferramenta simples e eficiente para a abordagem de projetos de controle em sistemas fuzzy Takagi Sugeno (TS (Takagi and Sugeno, 985. O PDC consiste em projetar um controlador constante para cada modelo local do sistema fuzzy TS e então obter o controlador global a partir de uma combinação linear dos controladores locais com as funções de pertinência do sistema fuzzy. Em geral, usa-se o critério de estabilidade de Lyapunov para garantir as condições de existência dos ganhos estabilizantes, isso permite que o projeto do controlador seja realizado com Desigualdades Matriciais Lineares (do inglês, Linear matrix inequalities (LMIs. O controlador PDC apresentado em Tanaka and Sugeno (992 usava uma função quadrática de Lyapunov (do inglês, Common Quadratic Lyapunov Function (CQLF para garantir as condições de existência dos ganhos locais. Posteriormente, em Tanaka et al. (998 foi verificado que estes resultados eram conservadores, e então, condições mais relaxadas para o projeto do controlador foram apresentadas. Essa peculiaridade abriu uma nova área de pesquisa e a partir daí surgiram inúmeros resultados na literatura visando condições mais relaxadas para o projeto de controladores. As técnicas mais comuns relaxam as condições do projeto do controlador adicionando variáveis de folga nas LMIs (Kim and Lee, 2000; Teixeira et al., 2003; Fang et al., 2006; Assunção et al., Uma outra estratégia que também é muito usada são as relaxações polinomiais baseadas no Teorema de Pólya (Montagner et al., 2007; Sala and Ariño, Independente da técnica, todos os resultados mencionados até aqui usam uma CQLF para garantir a existência dos controladores locais. No entanto, existem sistemas fuzzy que não são quadraticamente estabilizáveis (Tanaka et al., Para solucionar essa dificuldade muitos autores têm usado funções de Lyapunov alternativas no projeto do controlador. Dentre as várias funções existentes podemos citar: as funções de Lyapunov por partes (Feng, 2003; Arrifano et al., 2006; Bernal et al., 2009, as funções de Lyapunov fuzzy (FLFs com dependência linear nas funções de pertinência (Tanaka et al., 2003; Mozelli, Palhares and Avellar, 2009; Mozelli, Palhares, Souza and Mendes, 2009; Mozelli et al., 200; Faria, Silva, Oliveira and Valentino, 200; Faria, Silva and Oliveira, 200; Faria ISSN: Vol. X 89

2 et al., 20a, FLFs com dependência polinomial nas funções de pertinência (Montagner et al., 2009 e FLFs com dependência linear nas funções de pertinência e nas suas derivadas (Mozelli and Palhares, 200. Neste trabalho é proposto um método baseado em FLFs com dependência linear nas funções de pertinência. Primeiramente é proposto um esquema de relaxação combinando os resultados apresentados em Tanaka et al. (2003 e Mozelli, Palhares, Souza and Mendes (2009. E então, usando o método de desacoplamento apresentado em Mozelli, Palhares and Avellar (2009, são obtidas condições relaxadas para o projeto de um controlador PDC. A eficiência do método é ilustrada na solução de um exemplo numérico. 2 Formulação do Problema Ao longo do texto a notação M 0 (M 0 é usada para representar matrizes definidas (semi-definidas positivas. De modo equivalente a notação M 0 (M 0 representa matrizes definidas (semi-definidas negativas. O símbolo ( é usado para substituir termos transpostos em uma matriz simétrica. Este trabalho propõe condições menos conservadoras para o projeto de controladores fuzzy do tipo PDC (Tanaka and Sugeno, 992. O procedimento consiste em projetar controladores constantes para cada um dos modelos locais e então gerar o controlador global a partir da combinação fuzzy dos controladores locais. Desta forma, um modelo fuzzy TS realimentado pode ser representado por: ( ẋ(t = h k h l Ak B k L l x(t, ( sendo z(t IR p um sinal disponível denominado vetor premissa, x(t IR n o vetor de estados, A i IR n n e B i IR n m representam as matrizes dos modelos locais, L l IR m n são os ganhos locais da realimentação de estados e h i (z(t são as funções de pertinência de cada um dos modelos locais. As funções de pertinência satisfazem as seguintes propriedades: k Z, h k (z(t 0, e h k (z(t =, (2 sendo Z o conjunto de números inteiros dados por {, 2,..., r}. O objetivo deste trabalho é encontrar condições suficientes para a existência de ganhos L l, l Z, que garantam a estabilidade global assintótica do sistema (. Para facilitar a notação, de agora em diante vamos denotar h i (z(t por h i. Durante o projeto do controlador usa-se o conceito de termo nulo (do inglês null term para inserir variáveis de folga nas LMIs (Mozelli, Palhares and Avellar, As novas variáveis evitam o produto das matrizes de Lyapunov com as matrizes do sistema fuzzy. A idéia básica do processo consiste em avaliar a estabilidade do sistema (, a partir da seguinte igualdade: ẋ(t ( h k h l Ak B k L l x(t = 0, x(t. (3 A partir do termo nulo (3 segue que ] 2 [x(t (Z + µẋ(t (Z [ ẋ(t ( ] h k h l Ak B k L l x(t = 0, x(t, (4 sendo Z IR n n uma matriz não-singular e µ > 0 um escalar conhecido. 3 Funções de Lyapunov Fuzzy Neste trabalho são empregadas FLFs com dependência linear nas funções de pertinência: V (x(t = h k (z(tx(t P k x(t, (5 sendo P k, matrizes simétricas. Desta forma, a estabilidade do sistema ( pode ser realizada verificando a existência de funções quadráticas para cada um dos modelos locais e, caso elas existam, a função global de Lyapunov é gerada a partir da combinação fuzzy das funções quadráticas Ȧ derivada temporal de (5 é dada por: V (x(t = x(t ( ḣ k P k x(t + 2x(t ( h k P k ẋ(t. (6 Logo, as condições de estabilidade obtidas com (5 e (6 dependem explicitamente das derivadas temporais das funções de pertinência (2, e para convertê-las em LMI é necessário impor limites nos seus valores. Esta característica afeta diretamente a eficácia do método e representa o ponto chave deste trabalho. Em geral, os resultados existentes na literatura exploram propriedades de funções de pertinência para obter as condições de estabilidade do sistema fuzzy. Por exemplo, usando a propriedade h k = r ḣ k = 0 ḣr = ḣ k, (7 foi provado em Tanaka et al. (2003 que r ( ḣ k P k = ḣ k Pk P r. (8 E, a partir disso, foram apresentadas condições suficientes para a estabilização de sistemas fuzzy. Os resultados apresentados são menos conservadores do que os obtidos com uma CQLF, o que incentiva mais estudos sobre este tema. Observe que na propriedade (7 é considerado apenas o isolamento do último termo da soma (ḣr. Durante nossos estudos foi verificado que isso representa uma fonte de conservadorismo e que a escolha do índice do termo a ser isolado pode gerar resultados menos conservadores. Desta forma, foi proposta uma extensão das propriedades (7 e (8, dada por: ḣ i = ḣ k ḣ k P k = ( Pk P i, (9 ISSN: Vol. X 892

3 para um dado índice i Z. Considerando (9, em Faria, Silva and Oliveira (200 foram apresentadas condições que podem ser menos conservadoras do que as existentes em Tanaka et al. (2003. A propriedade (7 foi usada recentemente em Mozelli, Palhares, Souza and Mendes (2009 sob outra perspectiva. Ao invés da isolarem um termo na soma, de maneira similar à (8 ou (9, os autores usaram (7 para incluir uma variável de folga na equação. No trabalho foi provado que: ḣ k P k = ( ḣ k Pk + M, (0 sendo M uma matriz simétrica de dimensões compatíveis. E então, a partir de (0 foram obtidas condições de estabilidade que são menos conservadoras do que as apresentadas em Tanaka et al. (2003 e Faria, Silva and Oliveira (200. Como a inclusão de uma variável de folga no termo (0 é capaz de melhorar as condições de estabilidade, então em Faria et al. (20b foi proposto um método que combina as propriedades (9 e (0 para gerar condições menos conservadoras do que as existentes em Mozelli, Palhares, Souza and Mendes (2009. A propriedade (9 considera o isolamento de apenas um termo no somatório e existem poucos resultados na literatura explorando este fato. Em Faria, Silva, Oliveira and Valentino (200 e Faria et al. (20a, nós começamos a estudar o impacto do isolamento de dois índices distintos i e j no somatório (7. Os resultados encontrados são menos conservadores do que os apresentados em Mozelli, Palhares and Avellar (2009. No entanto, a busca de uma solução com esses métodos está relacionada com o teste dos índices e, no pior caso, podem ser necessários r (r testes, o que dificulta a sua aplicação em sistemas fuzzy complexos (que possuem muitos modelos locais. Tendo em vista essa dificuldade e ressaltando que Faria et al. (20b aborda apenas a análise de estabilidade de sistemas fuzzy. O objetivo deste trabalho é estender os resultados propostos em Faria et al. (20b para o projeto de controladores fuzzy do tipo PDC. Os resultados consideram o isolamento de apenas um índice, o que implica que, no pior, são necessários apenas r testes. 4 Projeto de controladores Fuzzy Durante o projeto do controlador são usadas algumas propriedades de funções de pertinência. Um resultado importante é descrito a seguir. Proposição Dado um índice i Z. Para quaisquer matrizes X IR n n e P k IR n n, k Z, a seguinte igualdade é verificada: ḣ k P k = ḣix + ḣ k (P k P i + X. ( Prova: A demonstração da Proposição, exibida a seguir, foi extraída do trabalho (Faria et al., 20b que ainda não está disponível para consulta. De (7, (9 e (0, segue que ḣ k P k = ḣ k (P k + X (2 = ḣix + ḣip i + = ḣix = ḣix + ḣ k (P k + X (3 ḣ k P i + ḣ k (P k + X (4 ḣ k (P k P i + X. (5 Concluindo a demonstração. A Proposição é o ponto chave deste trabalho, pois é através dela que obtemos as novas condições para o projeto do controlador. Teorema Sejam φ k, k Z, números reais positivos conhecidos. Dado um escalar µ > 0, um índice i Z e assumindo que ḣk φ k, k Z. O sistema fuzzy TS ( é estabilizável, com ganhos locais L l = Y l Z, se existir matrizes simétricas S e Q k IR n n, k Z, e matrizes Z IR n n e Y l IR m n, l Z, satisfazendo as LMIs: Q k 0, (6 Q ρ Q i + S 0, ρ Z {i}, (7 [ ] Q φ A k Z ( Z A k + B ky k + Y k B k ( Q k µ A k Z B k Y k + Z µ Z + Z 0, (8 [ ] Q φ A k Z ( Z A k + B ky l + Y l B k ( Q k µ A k Z B k Y l + Z µ Z + Z [ ] Q φ A l Z Z A + ( l + B ly k + Y k B l ( Q l µ A l Z B l Y k + Z µ Z + Z 0, sendo k, l Z e Q φ = ±φ i S + φ k (Q k Q i + S. k < l, (9 o símbolo ± indica que os parâmetros +φ i e φ i precisam ser testados. Prova: A prova deste teorema segue de forma similar à prova do Teorema 6 de Mozelli, Palhares and Avellar (2009 e é exibida aqui apenas para facilitar a leitura do trabalho. Considerando o termo nulo (4, (6 pode ser reescrito como ( ( V (x(t = x(t ḣ k P k x(t + 2x(t h k P k ẋ(t ] + 2 [x(t (Z + ẋ(t µ(z = [ ẋ(t [ h k h l ( ] h k h l Ak B k L l x(t x(t ( + x(t (Z ẋ(t x(t (Z A k x(t ( ḣ k P k x(t + 2 x(t P k ẋ(t + x(t (Z B k L l x(t + ẋ(t µ(z ẋ(t ] ẋ(t µ(z A k x(t + ẋ(t µ(z B k L l x(t ISSN: Vol. X 893

4 Aplicando a Proposição na expressão acima e considerando as hipótese ḣk φ k, k Z, tem-se que V (x(t < [ x(t ẋ(t ] ( h k h l [ P φ (Z A k A k Z + (Z B k L l + L l B k Z P k µ(z ( A k B k L l + Z P k µ ( A k B k L l Z + (Z µ [ (Z + Z ] ] [ x(t ẋ(t ]. (20 [ Agora, multiplicando ] (8 [ e (9 ] à esquerda por (Z 0, à direita por Z 0 e considerando 0 (Z 0 Z as seguintes substituições P k = (Z Q k Z, X = (Z SZ, P φ = (Z Q φ Z e L l = Y l Z, obtém-se matrizes equivalentes à (20. Então, usando a propriedade para elementos limitados apresentada em Montagner and Peres (2003 conclui-se que, quando as LMIs (6-(9 são factíveis, a função escalar (20 é negativa para todo x(t 0, e pelo método direto de Lyapunov, o sistema ( é globalmente assintoticamente estável. A eficiência do Teorema é ilustrada na solução de um exemplo numérico. 5 Exemplo Considere um sistema fuzzy TS ( com os seguintes modelos locais: [ ] [ ] 3 2 A = 8 9, B =, [ ] [ ] 2 3 A 2 = 8 9, B 2 = [ ] [ ] A 3 = 8 0, B 3 =, [ ] [ ] 2 + a 3 b A 4 = 7 + b 9 + a, B 4 =. O Teorema é usado para garantir a estabilização deste sistema considerando vários valores de a e b, tais que, a [.5 3] e b [.8]. A solução numérica das LMIs foi realizada com os pacotes YALMIP toolbox (Löfberg, 2004 e SeDuMi (Sturm, 999 do MATLAB. Durante a solução foi assumido que φ k =, k Z e µ = 0.. As Figuras e 2 exibem os pontos da região de análise onde foi possível encontrar um ganho estabilizante para o sistema (. Os pontos marcados com ( representam a região de factibilidade do Teorema 6 de Mozelli, Palhares and Avellar (2009 enquanto os pontos ( representam a região de factibilidade do Teorema com i = 3 e i = 4, respectivamente. Observe pelas Figuras e 2 que a escolha do índice i Z tem influência na região de factibilidade das LMIs do Teorema. A Figura exibe a pior região de factibilidade encontrada pelo Teorema (i = 3 e a Figura 2 exibe a melhor região de factibilidade (i = 4. Um fato interessante é que no pior caso a região de factibilidade do Teorema é pelo menos igual a região do Teorema 6 de Mozelli, Palhares and Avellar (2009. De fato isso pode ser facilmente verificado. Em Mozelli, Palhares and Avellar b a Figura : Região de factibilidade do Teorema 6 ( e do Teorema com i = 3 (. b a Figura 2: Região de factibilidade do Teorema 6 ( e do Teorema com i = 4 (. (2009 os autores consideram uma matriz Q φ dada por: Q φ = φ k (Q k + U. (2 Essa matriz é obtida a partir da propriedade (0. Agora, observe que (2 é igual a matriz Q φ do Teorema para o caso particular S = Q i + U. Logo, toda solução do Teorema 6 de Mozelli, Palhares and Avellar (2009 também é solução do Teorema. Para encontrar a melhor região de factibilidade do Teorema é necessário testar todos os índices possíveis do conjunto Z, ou seja, são necessários r testes. 6 Conclusões Usando funções de Lyapunov fuzzy linearmente dependentes nas funções de pertinência, condições menos conservadoras para o projeto de controladores fuzzy do tipo PDC foram propostas. Os resultados usam o conceito de termos nulos para adicionar varáveis de folga nas LMIs. Explorando propriedades de funções de pertinência foi possível obter uma estratégia simples para a escolha de índices pertencentes a um conjunto de números inteiros Z. Durante a solução de um exemplo foi verificado que essa estratégia pode aumentar a relaxação nas LMIs (ver Figuras e 2. Além disso, o resultado proposto neste trabalho representa uma extensão dos resultados apresentados em Mozelli, Palhares and Avellar (2009. ISSN: Vol. X 894

5 Agradecimentos Os autores agradecem à FAPESP e ao CNPq 2 pelo apoio financeiro. Referḙncias Arrifano, N. S. D., Oliveira, V. A. and Cossi, L. V. (2006. Synthesis of an LMI-based fuzzy control system with guaranteed cost performance: a piecewise lyapunov approach, Controle & Automação 7(2: Assunção, E., Faria, F. A., Teixeira, M. C. M. and Cardim, R. (2009. Projeto de controladores fuzzy usando realimentação da derivada dos estados, IX Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, Brasília - DF. 6p. Bernal, M., Guerra, T. M. and Kruszewskic, A. (2009. A membership-function-dependent approach for stability analysis and controller synthesis of Takagi-Sugeno models, Fuzzy Sets and Systems 60(9: Fang, C. H., Liu, Y. S., Kau, S. W., Hong, L. and Lee, C. H. (2006. A new LMI-based approach to relaxed quadratic stabilization of T-S fuzzy control systems, IEEE Transactions on Fuzzy Systems 4(3: Faria, F. A., Silva, G. N. and Oliveira, V. A. (200. Análise de estabilidade de sistemas fuzzy usando funções de Lyapunov fuzzy, IX Brazilian Conference on Dynamics, Control and Their Applications, Serra Negra - SP, pp Faria, F. A., Silva, G. N. and Oliveira, V. A. (20a. Improving the stability conditions of TS fuzzy systems with fuzzy Lyapunov functions, 8th IFAC World Congress. Aceito! Faria, F. A., Silva, G. N. and Oliveira, V. A. (20b. Relaxing recent LMI-based stability conditions with fuzzy Lyapunov functions, Fuzzy Sets and Systems. submetido. Faria, F. A., Silva, G. N., Oliveira, V. A. and Valentino, M. C. (200. Melhorando as condições de estabilidade de sistemas fuzzy TS usando funções de Lyapunov fuzzy, XXXIII Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional, Vol. 3, Águas de Lindóia - SP, pp Feng, G. (2003. Controller synthesis of fuzzy dynamic systems based on piecewise Lyapunov functions, IEEE Transactions on Fuzzy Systems (2: Kim, E. and Lee, H. (2000. New approaches to relaxed quadratic stability condition of fuzzy control systems, IEEE Transactions on Fuzzy Systems 8(5: Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo 2 Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico Löfberg, J. (2004. Yalmip : A toolbox for modeling and optimization in matlab, Proceedings of the CACSD Conference, Taipei, Taiwan, pp joloef/yalmip.php. Montagner, V. F., Oliveira, R. C. L. F. and Peres, P. L. D. (2007. Necessary and sufficient LMI conditions to compute quadratically stabilizing state feedback controllers for Takagi-Sugeno systems, Proceedings of the 2007 American Control Conference, New York, pp. 3. Montagner, V. F., Oliveira, R. C. L. F. and Peres, P. L. D. (2009. Convergent LMI relaxations for quadratic stabilizability and H control of Takagi-Sugeno fuzzy systems, IEEE Transactions on Fuzzy Systems 7(4: Montagner, V. F. and Peres, P. L. D. (2003. A new LMI condition for the robust stability of linear time-varying systems, Proceedings of the 42nd IEEE Conf. Decision and Control, Vol. 6, Maui, Hawaii, pp Mozelli, L. A. and Palhares, R. M. (200. Análise de estabilidade de sistemas fuzzy TS via LMI: Contribuição da derivada temporal da pertinência, XVIII Congresso Brasileiro de Automática - CBA 200, Bonito - MS, pp Mozelli, L. A., Palhares, R. M. and Avellar, G. S. C. (2009. A systematic approach to improve multiple lyapunov function stability and stabilization conditions for fuzzy systems, Information Sciences 79(8: Mozelli, L. A., Palhares, R. M., Souza, F. O. and Mendes, E. M. A. M. (2009. Reducing conservativeness in recent stability conditions of TS fuzzy systems, Automatica 45(6: Mozelli, L. A., Santos, R. F., Palhares, R. M. and Mendes, E. M. A. M. (200. Controle fuzzy baseado em LMIs: Investigação de uma nova metodologia baseada na função de Lyapunov fuzzy, XVIII Congresso Brasileiro de Automática - CBA 200, Bonito - MS, pp Sala, A. and Ariño, C. (2007. Asymptotically necessary and sufficient conditions for stability and performance in fuzzy control: Applications of Polya s theorem, Fuzzy Sets and Systems 58(24: Sturm, J. F. (999. Using SeDuMi.02, a matlab toolbox for optimization over symmetric cones, Optimization Methods and Software 2: Takagi, T. and Sugeno, M. (985. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics 5(: Tanaka, K., Hori, T. and Wang, H. O. (2003. A multiple lyapunov function approach to stabilization of fuzzy control systems, IEEE Transactions on Fuzzy Systems (4: ISSN: Vol. X 895

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