CONTROLE CHAVEADO DE SISTEMAS POLITÓPICOS: RELAXAÇÕES LMIS USANDO MATRIZES POLINOMIAIS HOMOGÊNEAS

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1 CONTROLE CHAVEADO DE SISTEMAS POLITÓPICOS: RELAXAÇÕES LMIS USANDO MATRIZES POLINOMIAIS HOMOGÊNEAS MARCIANO P. SALBEGO, RICARDO C. L. F. OLIVEIRA, PEDRO L. D. PERES Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, Universidade Estadual de Campinas UNICAMP, , Campinas, SP, Brasil. s: {salbego, ricfow, peres}@dt.fee.unicamp.br Abstract The problem of robust stabilization of time-invariant continuous-time polytopic systems by means of a robust (parameter-independent) switching control law is investigated in this paper. The proposed conditions are provided in terms of LMI relaxations, extending some results from the literature based on quadratic stability. From the theoretical point of view, it is demonstrated that a state-feedback switching control law is general enough to stabilize a time-invariant polytopic system. From the practical point of view, some relaxations are proposed in order to provide a switching control law feasible to be implemented in practice. Numerical experiments show the potential of the technique when compared to other switching control methods available in the literature. Keywords Uncertain systems, Switching control, State-feedback, LMIs, Homogeneous polynomial matrices Resumo O problema de estabilização robusta de sistemas politópicos invariantes no tempo por meio de uma lei de controle chaveada robusta (independente de parâmetros) é investigado neste trabalho. As condições propostas são fornecidas em termos de relaxações LMIs e estendem alguns resultados da literatura baseados na estabilidade quadrática. Do ponto de vista teórico, é mostrado que uma lei de controle chaveada por realimentação de estados é geral o suficiente para estabilizar um sistema politópico invariante no tempo. Do ponto de vista prático, são fornecidas relaxações que fornecem uma lei de controle chaveada viável de ser implementada na prática. Experimentos numéricos mostram o potencial da técnica proposta quando comparada com outros métodos de controle chaveado disponíveis na literatura. Palavras-chave Sistemas incertos, Controle chaveado, Realimentação de estados, LMIs, Matrizes polinomiais homogêneas 1 Introdução Controlar sistemas dinâmicos afetados por incertezas é um grande desafio presente na teoria de controle, mesmo para o caso de sistemas lineares (Bhattacharyya et al., 1995; Zhou e Doyle, 1998). Garantias de robustez, que num sentido amplo significa certificar a estabilidade e o desempenho, em geral produzem desafios teóricos e computacionais (Zhou et al., 1996; Dullerud e Paganini, 2000). No contexto particular de sistemas lineares em que as matrizes associadas ao modelo em espaço de estados são afetadas por incertezas, a teoria de Lyapunov é a que mais viabilizou o desenvolvimento de condições de análise e controle, em geral formuladas em termos de procedimentos convexos de otimização baseados em desigualdades matriciais lineares (em inglês, Linear Matrix Inequalities LMIs) (Boyd et al., 1994). Embora menos desafiador do que o problema de realimentação de saída, a realimentação de estados para sistemas lineares com matrizes incertas é um problema de difícil solução (El Ghaoui e Niculescu, 2000; Blondel e Tsitsiklis, 2000). Considerando o projeto de um ganho robusto estabilizante, no sentido de não depender da incerteza que afeta as matrizes do sistema, muitas soluções foram publicadas na literatura, a começar com a chamada estabilização quadrática (Bernussou et al., 1989). Passados mais de vinte anos e, embora as matrizes de Lyapunov paramétricas tenham fornecido importantes avanços nesse intervalo de tempo (Feron et al., 1996; de Oliveira et al., 1999; Apkarian et al., 2001; Shaked, 2001; Ebihara e Hagiwara, 2004; Trofino e de Souza, 2001; Vieira et al., 2014), nenhuma solução fechada foi publicada. Uma outra abordagem promissora para a realimentação de estados robusta que apareceu na literatura é a baseada em leis de controle chaveadas (Savkin et al., 1999; Ishii e Francis, 2001; Zhai, 2001; Liberzon, 2003; Geromel e Deaecto, 2009; Trofino et al., 2009; Deaecto et al., 2011; Silva et al., 2012). Embora a implementação do sinal de controle demande um maior esforço computacional e as condições de projeto sejam expressas, em geral, em termos de procedimentos de otimização não convexos (Hassibi et al., 1999), os trabalhos publicados na literatura mostram que resultados menos conservadores podem ser obtidos. É no contexto de leis de controle chaveadas que o presente trabalho pretende oferecer contribuições. Considerando sistemas lineares politópicos invariantes no tempo e o problema de realimentação de estados robusta, são apresentadas extensões e generalizações das condições publicadas em (Silva et al., 2012; de Souza et al., 2013; de Souza, 2013). Do ponto de vista teórico, é mostrado que uma lei de controle chaveada por realimentação de estados é sempre possível de ser determinada a partir de um ganho polinomial homogêneo de qualquer grau. Usando os resultados publicados em (Bliman et al., 2006), é possível estabelecer que as leis de controle chaveadas são gerais o suficiente para a estabilização dessa classe de sistemas. Do ponto de vista prático são propostas relaxações que fornecem uma lei de controle chaveada viável de ser implementada em uma planta real. Experimentos numéricos mostram o potencial da técnica proposta quando comparada com outros métodos de controle chaveado disponíveis na literatura.

2 2 Preliminares Considere o sistema linear incerto contínuo no tempo ẋ(t) = A(α)x(t) + B(α)u(t) (1) sendo x(t) R n e u(t) R m o vetor de estados e o vetor de entradas do sistema, respectivamente. As matrizes dinâmicas A(α) e B(α) são incertas e caracterizam um domínio politópico definido como a combinação convexa de N vértices conhecidos(a i,b i ),,...,N (A,B)(α)= N α i (A i,b i ), α Λ com α sendo um vetor de parâmetros pertencente ao simplex unitário definido por { Λ ξ R N : N } ξ i = 1,ξ i 0,,...,N O projeto de uma lei de controle u(t) robustamente estabilizante, isto é, que é independente dos parâmetros incertos, é um dos problemas clássicos da literatura de controle robusto. Uma das abordagens mais investigadas é a realimentação de estados, que é baseada na lei de controle u(t) = Kx(t) em que K é um ganho robusto a ser determinado. Nesse contexto, destacam-se as técnicas baseadas em LMIs, principalmente para sistemas de pequena e média dimensões. Contudo, todas as condições de projeto disponíveis na literatura atualmente são conservadoras, isto é, mesmo existindo um ganho robusto K estabilizante, as condições não são capazes de encontrá-lo. Outra abordagem possível para a estabilização robusta de (1) é a utilização de leis de controle chaveadas. Nesse contexto destacam-se os trabalhos recentes (de Souza et al., 2013; Silva et al., 2012), que fornecem uma interessante lei de chaveamento. Antes de oferecer mais detalhes sobre essa abordagem, considere a seguinte relaxação LMI que fornece um ganho estabilizante K(α) com dependência afim nos parâmetros para o caso particular em que B(α)=B. Lema 1 Se existir uma matriz W = W e matrizes Z i,,...,n tais que então o ganho A i W +WA i + BZ i+ Z i B < 0, W > 0 K(α)= N α i K i, K i = Z i W 1 (2) associado a lei de controle u(t) = K(α)x(t) estabiliza robustamente o sistema (1). Esse tipo de lei de controle, que depende dos parâmetros, é muito comum no contexto de sistemas variantes no tempo, com interessantes aplicações em sistemas não lineares modelados pela representação de Takagi-Sugeno (Tanaka e Wang, 2001). Note que nesse caso os parâmetros α i precisam ser lidos em tempo real para viabilizar a implementação da lei de controle. Ou seja, essa lei tem pouca utilidade quando os parâmetros α são incertos e invariantes no tempo. O resultado a seguir mostra que o ganho dado em (2) contém toda a informação necessária para estabilizar robustamente o sistema (1) sem a necessidade de leitura dos parametros α i em tempo real. Lema 2 (de Souza et al., 2013) Sejam K i,,...,n os ganhos soluções do Lema 1. Então a lei de controle chaveada u(t)=u σ (t)=k σ x(t) sendo σ(t) : Ê + {1,2,...,N} a regra de chaveamento, que comuta entre os ganhos K i, definida da seguinte forma ( σ(t)=arg min x(t) WBK i x(t) ) i {1,...,N} estabiliza robustamente o sistema (1). A ideia central do Lema 2 consiste em observar que a derivada da matriz de Lyapunov v(x) = x(t) Px(t) fornece ( N v(x)=x(t) α i Q i )x(t)<0, Q i = A i W +WA i + BK ip+ PK i B e que a mesma permanece negativa se fizermos a seguinte substituição relacionada aos termos que envolvem K i min i {1,...,N} x(t) ( BK i P+ PK ib ) x(t) x(t) ( N α i (BK i P+ PK ib ) ) x(t) Em outras palavras, os ganhos K i são chaveados de modo que v(x) sempre permaneça negativa, determinando para isso o ganho associado à incerteza de pior caso para cada x(t) dado. Considerando a estrutura do problema de minimização envolvendo K i, observase que a sua resolução consiste da minimização sucessiva de N formas quadráticas que, devido à característica convexa do problema, sempre fornecerá uma solução α do tipo α i = 1, α j = 0, i j. Sem sombra de dúvidas, essa estratégia de controle é muito atraente, pois não necessita que os valores de α sejam lidos em tempo real, o que encareceria os custos do projeto. O preço a ser pago é um maior esforço computacional na implementação da lei de controle, pois a cada x(t) lido, é necessário determinar o menor valor associado a N formas quadráticas. Contudo, esse esforço parece razoável para as plataformas digitais disponíveis atualmente. Em (de Souza et al., 2013), os autores apresentam uma solução para tratar o caso em que a matriz de entrada também é afetada por incertezas. No entanto, a grande fonte de conservadorismo do método está associada à matriz

3 de Lyapunov, que é independente de parâmetros. Se por um lado essa característica permite o tratamento de parâmetros arbitrariamente variantes no tempo, os resultados podem ser bastante conservadores no caso em que os parâmetros são invariantes no tempo. O seguinte resultado, apresentado em (Bliman et al., 2006), motiva o uso de matrizes de Lyapunov e ganhos estabilizantes polinomiais de grau genérico. Teorema 3 (Bliman et al., 2006) O sistema (1) é estabilizável por realimentação estática de estados α Λ se e somente se existir um ganho polinomial homogêneo K(α) R p n a ser determinado, de forma que A(α) + B(α)K(α) é estável α Λ. O resultado do Teorema 3 garante que sempre que o sistema (1) é estabilizável por realimentação de estados, então existe um ganho polinomial homogêneo de grau suficientemente grande. Ou seja, essa classe de ganhos é genérica o suficiente para tratar o problema de estabilização. Além disso, esse ganho sempre pode ser encontrado por meio de condições LMIs dependentes de parâmetros usando uma matriz de Lyapunov polinomial homogênea (ver (Bliman et al., 2006) para mais detalhes). O presente trabalho generaliza a regra de chaveamento proposta em (de Souza et al., 2013), mostrando que é possível construir uma regra chaveada geral o suficiente para estabilizar o sistema (1) robustamente. A seguir, questões computacionais são discutidas e uma alternativa com viabilidade de implementação prática também é apresentada. 3 Resultados Nesta seção é apresentada a generalização da lei de controle chaveada proposta por (de Souza et al., 2013) para tratar ganhos estabilizantes com dependência polinomial de grau arbitrário nos parâmetros incertos. Inicialmente é apresentado um resultado que estabelece uma importante contribuição teórica para a estabilização robusta de sistemas politópicos. A notação X g (α) indica uma matriz polinomial homogênea de grau g em α. Para mais detalhes sobre representação e manipulação de matrizes polinomiais homogêneas com parâmetros no simplex, ver (Oliveira e Peres, 2007). Teorema 4 Seja Kĝ(α) um ganho polinomial homogêneo de grau ĝ tal que A cl (α)=a(α)+b(α)kĝ(α) é Hurwtiz α Λ N e v(x)=x(t) P g (α)x(t)>0 a função de Lyapunov polinomial homogênea de grau g que certifica a estabilidade robusta de A cl (α). Então, a lei de chaveamento ˆσ(t)=Ê + α expressa na forma ˆσ(t)=arg min α Λ N ( x(t) ( Mĝ+ g+1 (α)) ) x(t) Mĝ+ g+1 (α)=p g (α)b(α)kĝ(α)+kĝ(α) B(α) P g (α) garante que a lei de controle u(t)=k ˆσ (α)x(t)=kĝ(α )x(t) estabiliza robustamente o sistema (1). ) Prova: A derivada da matriz de Lyapunov fornece v(x)=x(t) (A(α) P g +P g A(α)+P g (α)b(α)kĝ(α) ) + Kĝ(α) B(α) P g (α) x(t)<0 Notando que ( min x(t) ( Mĝ+ g+1 (α)) ) ) x(t) α Λ N ) x(t) (P g (α)b(α)kĝ(α)+kĝ(α) B(α) P g (α) x(t) tem-se que a lei de chaveamento sempre garante que v(x) permanece negativa. O Teorema 4 apresenta uma lei de controle chaveada que garante a estabilização robusta do sistema (1). No entanto, a complexidade computacional requerida pela implementação da função ˆσ torna seu uso proibitivo do ponto de vista prático. Inicialmente, deve-se observar que o problema de otimização que fornece ˆσ consiste da minimização de um polinômio de grau ĝ+ g+1 com variáveis no simplex unitário. Como mostrado em (de Klerk, 2008), a minimização de polinômios com variáveis no simplex unitário é um problema computacional NP-completo para polinômios com grau g 2. Além da impossibilidade de solução em tempo polinomial, deve-se atentar ao fato de que a solução ótima para a problema de otimização pode assumir qualquer valor α Λ N. Desta forma, para cada avaliação da função ˆσ(t), faz-se necessário o cômputo do ganho K g (α ) a ser aplicado na planta. Diante deste cenário desafiador do ponto de vista computacional, propõe-se neste trabalho uma lei de controle chaveada relaxada, que embora seja mais conservadora do que a apresentada no Teorema 4, possui a mesma complexidade computacional que a lei chaveada dada em (de Souza et al., 2013). Além disso, em função do emprego de matrizes polinomiais de grau genérico, os resultados são menos conservadores do que o procedimento estabelecido por (de Souza et al., 2013). O resultado principal deste trabalho é apresentado a seguir. Teorema 5 Se existirem matrizes polinomiais homogêneas 0< W g (α) = W g (α) Ê n n, Zĝ(α) Ê m n e Q 1 (α) Ê n n tais que as desigualdades A(α)W g (α)+w g (α)a(α) + Q 1 (α)<0 (3) Q 1 (α) B(α)Zĝ(α)+Zĝ(α) B(α) (4) sejam verificadas α Λ N, então K r (α) = Zĝ(α)W g (α) 1 é um ganho racional estabilizante para o sistema (1) em malha fechada. Além disso, a regra de chaveamento dada por σ(t)=arg min i {1,...,N} x(t) Q 1i x(t)

4 garante que a lei de controle robusta u(t)=k σ x(t)=k r (ᾱ)x(t) estabiliza robustamente o sistema (1), com ᾱ =(0,..., }{{} 1,...,0) i ésimo sendo o valor ótimo para o problema de minimização de σ(t). Prova: Considerando que Zĝ(α)=K r (α)w g (α) e notando a majoração que Q 1 (α) realiza em (4), tem-se que a seguinte desigualdade é válida Ψ(α) A(α)W g (α)+w g (α)a(α) + B(α)K r W g (α)+w g (α)k r B(α) < 0, que pode ser reescrita como A cl (α)w g (α)+w g A cl (α) < 0 com A cl (α) = A(α)+B(α)K r (α), garantido que a função de Lyapunov v(x) = x(t) W g (α)x(t) certifica a estabilidade robusta do sistema em malha fechada, isto é, que o ganho K r (α) é estabilizante. Finalmente, notando que min i {1,...,N} x(t) Q 1i x(t) x(t) ( N ) α i Q 1i x(t) tem-se que a regra de chaveamento σ(t) garante que a derivada da função de Lyapunov, isto é, v(x) = x(t) Ψ(α)x(t), é negativa para todo α Λ N. Para finalizar, note que o mínimo de uma forma quadrática associada a uma matriz com dependência afim em α sempre ocorre em um dos vértices (Boyd et al., 1994). A novidade do Teorema 5 em relação ao resultado mais geral proposto pelo Teorema 4 é a introdução da matriz Q 1 (α), que majora os termos associados ao ganho de controle presentes na derivada da matriz de Lyapunov. Apesar dessa imposição restringir o espaço de soluções, qualquer solução encontrada viabiliza a implementação prática da lei de chaveamento, pois como no caso de (de Souza et al., 2013), o esforço computacional necessário para computar o ganho de controle K r (ᾱ) é aceitável. Uma característica importante da estrutura de ᾱ é que para quaisquer graus g e ĝ associados ao ganho K r (α)=zĝ(α)w g (α) 1, a estrutura particular de ᾱ garante que apenas um monômio tanto de Zĝ(α) quanto de W g (α) 1 será diferente de zero. Por exemplo, seja N = 2 e K r (α)= ( α 2 1 Z 20 + α 1 α 2 Z 11 + α 2 2 Z 02 )( α 3 1 W 30 + α 2 1α 2 W 21 + α 1 α 2 2W 12 + α 3 2 W 03 ) 1 Caso ᾱ = (1,0), tem-se K r (ᾱ) = Z 20 W30 1. Se ᾱ = (0,1), tem-se K r (ᾱ) = Z 02 W03 1. Ou seja, o número de ganhos K r (ᾱ) a serem armazenados na plataforma digital é igual a N, que é o mesmo custo de armazenamento de (de Souza et al., 2013). Em resumo, a lei de controle proposta pelo Teorema 5 requer exatamente o mesmo custo de implementação (armazenamento e processamento) de (de Souza et al., 2013). Contudo, como os experimentos numéricos apresentados na próxima seção mostram, os resultados do Teorema 5 podem ser menos conservadores. Outro aspecto a enfatizar é que, diferentemente do Teorema 4, o Teorema 5 foi expresso de modo a fornecer as condições de síntese do ganho estabilizante, bastando programar as desigualdades (3) e (4) em termos de LMIs. Isso pode ser feito, por exemplo, por meio do pacote ROLMIP (Agulhari et al., 2012), que produz um conjunto finito de LMIs a partir de LMIs robustas. Além disso, o ganho robusto sintetizado é racional. Apesar de um ganho polinomial sempre poder ser obtido a partir de um ganho racional (ver a prova de (Bliman et al., 2006, Teorema 5) para mais detalhes), isso não é necessário, pois, dada a estrutura particular de ᾱ, todas as matrizes W g (ᾱ) necessárias para o cômputo de K r (ᾱ) podem ser calculadas e invertidas off-line. 4 Experimentos numéricos Para avaliar o desempenho da condição de projeto proposta no Teorema 5, foram realizados testes numéricos exaustivos de estabilização robusta utilizando a base de sistemas politópicos proposta em (Oliveira et al., 2011). A base considerada consiste de sistemas garantidamente estabilizáveis mas que não são quadraticamente estabilizáveis por um ganho robusto (ver (Oliveira et al., 2011) para maiores detalhes). Além disso, a condição proposta é comparada com os métodos de controle chaveado propostos em (de Souza et al., 2013) e (Deaecto et al., 2011, Teorema 2) (DGD11) (adaptado para tratar apenas estabilização). As condições foram programadas utilizando o software Matlab, os parsers Yalmip (Löfberg, 2004) e ROLMIP (Agulhari et al., 2012) e o resolvedor SeDuMi (Sturm, 1999). Os testes são realizados para sistemas com dimensão n {2,...,5}, N {2,...,5} e m = 1. A condição de projeto de (Deaecto et al., 2011) considera a busca em um parâmetro escalar γ e, assim como proposto em (Oliveira et al., 2011), a busca foi restrita ao conjunto γ {10 6,10 5,...,10 0,10 1, } (total de 13 testes). A Figura 1 apresenta os resultados da aplicação das condições consideradas em termos do percentual de sistemas estabilizados para cada dimensão n = 2,...,5 (somando-se os resultados para N = 2,...,5). A condição do Teorema 5 está identificada por T5(g,ĝ), sendo que g refere-se ao grau da variável W g (α) e ĝ refere-se ao grau de Zĝ(α). A análise dos resultados é feita diante de dois cenários importantes: g=0 e g>0.

5 4.1 Matriz de Lyapunov polinomial (g > 0) A condição proposta pelo Teorema 5 (considerando g=ĝ) conseguiu estabilizar mais de 90% dos sistemas para g = 4. Desta forma, fica evidente que a generalização da técnica de (de Souza et al., 2013) fornece uma condição mais relaxada e, por consequência, melhores resultados na busca de um ganho estabilizante para sistemas invariantes no tempo. 4.2 Matriz de Lyapunov fixa (g=0) Além de garantir a estabilização robusta do sistema α Λ, essa escolha assegura a estabilização na situação em que os parâmetros incertos também são arbitrariamente variantes no tempo ( α(t) desconhecido). Nesse caso, é importante mencionar que a condição de (de Souza et al., 2013) não estabilizou nenhum sistema da base. Embora o número de sistemas estabilizados pelo Teorema 5 considerando g=0 e ĝ=1,...,4, tenha diminuído, os resultados ficaram bem próximos da condição de (Deaecto et al., 2011) (para a busca em γ considerada). Note que a condição proposta é baseada em uma única função de Lyapunov quadrática, enquanto que (Deaecto et al., 2011) considera uma família de funções de Lyapunov quadráticas, sendo especialmente desenvolvida para o caso variante no tempo. 5 Conclusão Foi mostrado no presente trabalho que leis de controle chaveadas associadas a ganhos estabilizantes polinomiais homogêneos são gerais o suficiente para estabilizar sistemas politópicos contínuos invariantes no tempo. Do ponto de vista de implementação prática foram fornecidas condições de síntese de ganhos de realimentação chaveados que são menos conservadoras. Finalmente, foi mostrado que no caso de parâmetros arbitrariamente variantes no tempo, a condição proposta também pode fornecer bons resultados quando comparada a métodos baseados em funções de Lyapunov mais complexas. Agradecimentos As agências FAPESP (Proc. 2014/ ) e CNPq. Referências Agulhari, C. M., Oliveira, R. C. L. F. e Peres, P. L. D. (2012). Robust LMI parser: A computational package to construct LMI conditions for uncertain systems, XIX CBA, Campina Grande, PB, Brasil, pp Apkarian, P., Tuan, H. D. e Bernussou, J. (2001). Continuous-time analysis, eigenstructure assignment, and H 2 synthesis with enhanced linear matrix inequalities (LMI) characterizations, IEEE Trans. Autom. Control 46(12): Bernussou, J., Peres, P. L. D. e Geromel, J. C. (1989). A linear programming oriented procedure for quadratic stabilization of uncertain systems, Syst. Control Lett. 13(1): Bhattacharyya, S. P., Chapellat, H. e Keel, L. H. (1995). Robust Control: The Parametric Approach, Prentice-Hall Publishing Co., Upper Saddle River, NJ, USA. Bliman, P.-A., Oliveira, R. C. L. F., Montagner, V. F. e Peres, P. L. D. (2006). Existence of homogeneous polynomial solutions for parameterdependent linear matrix inequalities with parameters in the simplex, Proc. 45th IEEE Conf. Decision Control, San Diego, CA, USA, pp Blondel, V. D. e Tsitsiklis, J. N. (2000). A survey of computational complexity results in systems and control, Automatica 36(9): Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, E. e Balakrishnan, V. (1994). Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM Studies in Applied Mathematics, Philadelphia, PA. de Klerk, E. (2008). The complexity of optimizing over a simplex, hypercube or sphere: A short survey, Cent. Eur. J. Oper. Res. 16(2): de Oliveira, M. C., Bernussou, J. e Geromel, J. C. (1999). A new discrete-time robust stability condition, Syst. Control Lett. 37(4): de Souza, W. A. (2013). Projeto de Controladores Robustos Chaveados para Sistemas Não- Lineares Descritos por Modelos Fuzzy Takagi- Sugeno, PhD thesis, UNESP Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, SP. de Souza, W. A., Teixeira, M. C. M., Santim, M. P. A., Cardim, R. e ao, E. A. (2013). On switched control design of linear time-invariant systems with polytopic uncertainties, Math. Probl. Eng. 2013: Deaecto, G. S., Geromel, J. C. e Daafouz, J. (2011). Switched state-feedback control for continuous time-varying polytopic systems, Int. J. Control 84(9): Dullerud, G. e Paganini, F. (2000). A Course in Robust Control Theory, Springer-Verlag, New York, NY. Ebihara, Y. e Hagiwara, T. (2004). New dilated LMI characterizations for continuous-time multiobjective controller synthesis, Automatica 40(11): El Ghaoui, L. e Niculescu, S. I. (eds) (2000). Advances in Linear Matrix Inequality Methods in Control, Advances in Design and Control, SIAM, Philadelphia, PA. Feron, E., Apkarian, P. e Gahinet, P. (1996). Analysis and synthesis of robust control systems via parameter-dependent Lyapunov functions, IEEE Trans. Autom. Control 41(7):

6 Percentual 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% T 5(1, 1) T 5(2, 2) T 5(3, 3) T 5(3, 4) T 5(0, 1) T 5(0, 2) T 5(0, 3) T 5(0, 4) DGD11 30% 20% 10% 2 3 n 4 5 Figura 1: Percentual de sistemas estabilizados por leis de controle chaveadas usando a condição de (Deaecto et al., 2011) (DGD11) e o Teorema 5 com diversos valores de g e ĝ. Geromel, J. C. e Deaecto, G. S. (2009). Switched state feedback control for continuous-time uncertain systems, Automatica 45(2): Hassibi, A., How, J. e Boyd, S. (1999). A pathfollowing method for solving BMI problems in control, Proc Amer. Control Conf., San Diego, CA, USA, pp Ishii, H. e Francis, B. A. (2001). Stabilizing a linear system by switching control with dwell time, Proc Amer. Control Conf., Vol. 3, Arlington, VA, USA, pp Liberzon, D. (2003). Switching in Systems and Control, Systems and Control: Foundations and Applications, Birkhäuser, Boston, MA. Löfberg, J. (2004). YALMIP: A toolbox for modeling and optimization in MATLAB, Proc IEEE Int. Symp. on Comput. Aided Control Syst. Des., Taipei, Taiwan, pp Oliveira, R. C. L. F., de Oliveira, M. C. e Peres, P. L. D. (2011). Robust state feedback LMI methods for continuous-time linear systems: Discussions, extensions and numerical comparisons, Proc IEEE Int. Symp. on Comput. Aided Control Syst. Des., Denver, CO, USA, pp Oliveira, R. C. L. F. e Peres, P. L. D. (2007). Parameter-dependent LMIs in robust analysis: Characterization of homogeneous polynomially parameter-dependent solutions via LMI relaxations, IEEE Trans. Autom. Control 52(7): Savkin, A. V., Skafidas, E. e Evans, R. J. (1999). Robust output feedback stabilizability via controller switching, Automatica 35(1): Shaked, U. (2001). Improved LMI representations for the analysis and the design of continuous-time systems with polytopic type uncertainty, IEEE Trans. Autom. Control 46(4): Silva, J. H. P., Junior, E. I. M., Teixeira, M. C. M., ao, E. A., Cardim, R. e Moreira, M. R. (2012). Controle H com chaveamento do ganho da realimentação do vetor de estado para sistemas lineares incertos, XIX CBA, Campina Grande, PB, pp Sturm, J. F. (1999). Using SeDuMi 1.02, a MATLAB toolbox for optimization over symmetric cones, Optim. Method Softw. 11(1 4): http: //sedumi.ie.lehigh.edu/. Tanaka, K. e Wang, H. (2001). Fuzzy Control Systems Design and Analysis: A Linear Matrix Inequality Approach, John Wiley & Sons, New York, NY. Trofino, A., Assmann, D., Scharlau, C. C. e Coutinho, D. F. (2009). Switching rule design for switched dynamic systems with affine vector fields, IEEE Trans. Autom. Control 54(9): Trofino, A. e de Souza, C. E. (2001). Biquadratic stability of uncertain linear systems, IEEE Trans. Autom. Control 46(8): Vieira, H. S., Oliveira, R. C. L. F. e Peres, P. L. D. (2014). Relaxações LMIs com escalares para realimentação de estados robusta de sistemas politópicos, XX CBA, Belo Horizonte, MG, Brasil, pp Zhai, G. (2001). Quadratic stabilizability of discretetime switched systems via state and output feedback, Proc. 40th IEEE Conf. Decision Control, Vol. 3, Orlando, FL, USA, pp Zhou, K. e Doyle, J. C. (1998). Essentials of Robust Control, Prentice Hall, New York. Zhou, K., Doyle, J. C. e Glover, K. (1996). Robust and Optimal Control, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, USA.