RELAXAÇÕES LMIS PARA REALIMENTAÇÃO DE SAÍDA H DE SISTEMAS NEBULOSOS TAKAGI-SUGENO CONTÍNUOS NO TEMPO

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1 RELAXAÇÕES LMIS PARA REALIMENTAÇÃO DE SAÍDA H DE SISTEMAS NEBULOSOS TAKAGI-SUGENO CONTÍNUOS NO TEMPO Eduardo S. Tognetti Ricardo C. L. F. Oliveira Pedro L. D. Peres Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, Universidade Estadual de Campinas UNICAMP, , Campinas, SP, Brasil. {edutog,ricfow,peres}@dt.fee.unicamp.br Resumo O projeto de controladores de realimentação de saída com critério H para sistemas nebulosos contínuos Takagi-Sugeno (T S) é investigado neste trabalho. As funções de pertinência são modeladas em um espaço definido como o produto cartesiano de simplexos, chamado multi-simplex, e podem variar de maneira arbitrária (ou seja, não são assumidos limitantes para as derivadas temporais das funções de pertinência). O controlador nebuloso estático de realimentação de saída é obtido por meio de um procedimento de duas etapas: primeiramente, um ganho nebuloso estabilizante de realimentação de estados é determinado como solução de um problema de otimização descrito por desigualdades matriciais lineares (em inglês, Linear Matrix Inequalities LMIs). A seguir, as matrizes dos ganhos de realimentação de estados são usadas em condições LMIs que, se satisfeitas, fornecem o controlador H nebuloso estático de realimentação de saída. Um função de Lyapunov do tipo integral de linha com dependência polinomial arbitrária nas variáveis premissas é utilizada para assegurar a estabilidade do sistema em malha fechada. O principal apelo da abordagem proposta é que os ganhos de realimentação de saída podem ter estruturas polinomiais de graus arbitrários independentes em apenas algumas das variáveis premissas, escolhidas pelo projetista, com vantagens significativas em aplicações práticas. Um exemplo numérico ilustra os resultados, mostrando que a abordagem proposta pode prover resultados menos conservadores para controle H por realimentação de saída de sistemas nebulosos T S contínuos no tempo. Palavras-chave Sistemas nebulosos Takagi-Sugeno, Controle H, Realimentação de saída, Desigualdades matriciais lineares. Abstract The problem of static output feedback H control design for continuous-time Takagi-Sugeno (T S) fuzzy systems is addressed in this paper. The membership functions are modeled in a space defined by the Cartesian product of simplexes, called multi-simplex, and are allowed to vary arbitrarily (i.e. no bounds on the time-derivative of the membership functions are assumed). The static output feedback fuzzy controller is obtained through a two-steps procedure: first, a stabilizing fuzzy state feedback control gain is determined by means of linear matrix inequalities (LMIs). Then, the state feedback gain matrices are used in LMI conditions that, if satisfied, provide the fuzzy static output feedback control law. A fuzzy line integral Lyapunov function with arbitrary polynomial dependence on the premise variables is used to assess closed-loop stability. The main appeal of the approach is that the output feedback gains can have independent and arbitrary polynomial dependence on some specific premise variables, selected by the designer, with great advantages for practical applications. A numerical example illustrates that the proposed strategy can provide less conservative results for output feedback stabilization of continuous-time T S fuzzy systems. Keywords Takagi-Sugeno fuzzy systems, H control, Output feedback, Linear matrix inequalities. 1 Introdução O problema de controle de sistemas dinâmicos descritos por modelos nebulosos do tipo Takagi- Sugeno (T S) tem sido investigado com bastante intensidade nos últimos trinta anos (Takagi e Sugeno, 1985). A teoria de Lyapunov, combinada com o uso de desigualdades matriciais lineares(em inglês, Linear Matrix Inequalities LMIs), vem sendo bastante empregada para a determinação de condições de análise de estabilidade e de projeto de controladores para sistemas nebulosos T S. Os métodos baseados em uma mesma função de Lyapunov, quadrática nos estados, podem ser apontados como os precursores nessa área. É um fato conhecido, entretanto, que métodos de análise e de síntese de controladores baseados em uma função constante de Lyapunov podem ser conservadores. Assim, funções nebulosas de Lyapunov surgiram como uma alternativa mais abrangente para tratar o problema(tanaka et al., 2003). Por outro lado, a utilização de funções nebulosas de Lyapunov em geral implica na presença explícita das derivadas temporais das funções de pertinência nas condições de estabilidade, o que requer um tratamento especial. Uma estratégia utilizada é baseada em limitantes das taxas de variação das funções de pertinência, que são agregados às condições LMIs (Tanaka et al., 2001), mas pode ser bastante difícil obter esses limitantes em problemas de síntese de controladores para modelos T S. Um outro método, baseado em uma função de Lyapunov do tipo integral de linha (Rhee e Won, 2006), evita a necessidade da avaliação das derivadas temporais, permitindo variações arbitrariamente rápidas das funções de pertinência. Condições LMIs suficientes para análise de estabilidade, menos conservadoras do que as condições baseadas na estabilidade quadrática, foram obtidas pela simples imposição de uma estrutura particular à matriz de Lyapunov. Extensões para tratar o problema de controle também aparecem em (Rhee e Won, 2006), na forma de desigualdades matriciais bilineares. Em (Mozelli et al., 2009), LMIs foram propostas para o projeto de controladores baseado nesse tipo de função de Lyapunov, ISSN: Vol. X 903

2 porém, assim como em (Rhee e Won, 2006), as variáveis premissas têm obrigatoriamente que ser os estados, e todos os estados devem estar disponíveis em tempo real para a implementação da lei de controle de realimentação de estados. Poucos resultados podem ser encontrados na literatura de sistemas nebulosos T S tratando do problema de realimentação estática de saída. Comparada com realimentação por controladores dinâmicos e controle baseado em observadores (Guerra et al., 2006; Mansouri et al., 2009; Nguang e Shi, 2006; Guelton et al., 2009), a realimentação estática de saída é mais simples de ser implementada, pois não requer que equações diferenciais sejam resolvidas em tempo real, sendo de grande interesse para aplicações práticas (Syrmos et al., 1997). Por outro lado, o projeto de controladores por realimentação de saída é um dos problemas mais desafiadores em teoria de controle. Apenas condições suficientes existem pois, para obterem-se condições de realimentação de saída que sejam tratáveis numericamente, algum conservadorismo é forçosamente introduzido (Huang e Nguang, 2007; Lee e Kim, 2009; Bouarar et al., 2009). A principal contribuição deste artigo é propor um procedimento em dois passos baseados em LMIs para estabilização por realimentação estática de saída com critério H para sistemas nebulosos T S contínuos no tempo. As funções de pertinência do sistema T S são representadas pelo produto cartesiano de simplexos, em um espaço chamado multi-simplex (Baranyi, 2004; Tognetti et al., 2010a; Tognetti et al., 2010b). Nenhuma informação sobre as derivadas temporais das funções de pertinência é considerada. A estratégia em duas etapas segue as linhas gerais desenvolvidas em (Peaucelle e Arzelier, 2001; Arzelier et al., 2003; Mehdi et al., 2004; Arzelier et al., 2010). Primeiramente, um ganho estabilizante de realimentação de estados com dependência polinomial arbitrária nas variáveis premissas é projetado por meio de condições LMIs. No segundo passo, as matrizes que constituem esse ganho servem como parâmetros de entrada para um conjunto de LMIs que, se verificadas, provêm a lei de controle estabilizante por realimentação estática de saída que assegura um certo desempenho em termos de norma H do sistema em malha fechada. A estabilidade e o limitante H são assegurados por uma função de Lyapunov nebulosa generalizada do tipo integral de linha. Os graus da função polinomial de Lyapunov e das matrizes que compõem a lei de controle por realimentação de saída são completamente independentes, podendo ser escolhidos livremente para cada variável premissa. Essa flexibilidade representa uma grande vantagem para o projeto de controladores H de realimentação de saída para sistemas nebulosos T S. Como subproduto, os ganhos de realimentação de estados obtidos no primeiro estágio do procedimento são mais gerais que os obtidos por resultados da literatura baseados em funções de Lyapunov do tipo integral de linha com dependência afim (Rhee e Won, 2006; Mozelli et al., 2009). Um exemplo numérico ilustra a flexibilidade e a eficiência da abordagem proposta. 2 Preliminares Considere a l-ésima regra do modelo nebuloso do tipo Takagi-Sugeno(T S)(Tanaka e Wang, 2001), dado por R l : Se x 1 (t) é M α l1 1 e... e x n (t) é M α ln n ẋ(t) = A αl1 α ln x(t)+b αl1 α ln u(t) +E αl1 α ln w(t) Então z(t) = C zαl1 α ln x(t)+d αl1 α ln u(t) +F αl1 α ln w(t) y(t) = C αl1 α ln x(t) (1) para l = 1,...,N, sendo que x(t) R n é o estado, z(t) R q é a saída controlada, y(t) R p é a saída medida, w(t) R o é o ruído de entrada, u(t) R m é a entrada de controle, e as matrizes dos subsistemas lineares são A αl1 α ln R n n, B αl1 α ln R n m, E αl1 α ln R n o, C zαl1 α ln R q n, D αl1 α ln R q m, F αl1 α ln R q o e C αl1 α ln R p n. As variáveis premissas são os estados e M α lj j denota um conjunto nebuloso definido em termos de x j usado na l-ésima regra nebulosa, sendo que α lj especifica qual conjunto nebuloso definido em termos de x j é usado na l-ésima regra nebulosa. A variável N representa o número total de regras nebulosas. Por exemplo, se α 11 = α 21 = k então tem-se que nas regras 1 e 2 a variável premissa x 1 (t) pertence ao mesmo conjunto nebuloso, M1. k Denotando por r j o número de conjuntos definidos em termos de x j, tem-se N = n j=1 r j. Se ϑ α lj j (x j (t)) é a função de pertinência de M α lj j, o vetor de funções de pertinência normalizado para cada α lj = 1,...,r j = i, é µ ji (x j (t)) = 0 µ ji (x j (t)) 1, ϑ i j (x j(t)) rj i=1 ϑi j (x j(t)), j = 1,...,n, i = 1,...,r j, r j i=1 µ ji (x j (t)) = 1. Por simplicidade, a dependência de µ(x(t)) em x(t) será omitida. Na modelagem utilizada para o sistema nebuloso T S, a função de pertinência de cada regra é decomposta para cada variável premissa. Assim, o conjunto no qual todas as funções de pertinência estão definidas, chamado multi-simplex, é introduzido. Definição 1 (Multi-simplex) Um multi-simplex U é o produto cartesiano U r1 U r2 U rn de um número finito de simplexos U r1,...,u rn. A dimensão de U é definida pelo índice r = (r 1,...,r n ). Para facilitar a notação, R r denota o espaço R r1+ +rn. ISSN: Vol. X 904

3 Um dado elemento µ de U é decomposto como (µ 1,µ 2,...,µ n ) de acordo com a estrutura de U e, subsequentemente, cada µ j, j = 1,...,n (estando em U rj ), é decomposto na forma (µ j1,µ j2,...,µ jrj ). Consequentemente, o sistema nebuloso T S pode ser reescrito como ẋ(t) = A(µ)x(t) + B(µ)u(t) + E(µ)w(t), z(t) = C z (µ)x(t)+d(µ)u(t)+f(µ)w(t) y(t) = C(µ)x(t) (2) sendo que (A,B,E,C z,d,f,c)(µ) = r 1 i 1=1 r n i n=1 µ 1i1 (x 1 (t)) µ nin (x n (t))(a i1 i n,b i1 i n, E i1 i n,c,d ) zi1 in i 1 i n,f i1 i n,c i1 i n, (3) com cada µ j = µ j1 µ jrj, j = 1,...,n, pertencendo ao simplex unitário U rj = { λ 1 λ rj R rj : r j i=1 } λ i = 1, λ i 0. De acordo com a Definição 1, combinações polinomiais de grau arbitrário das funções de pertinência também podem ser modeladas pela estrutura multi-simplex, com grandes vantagens no trato do problema de realimentação de saída. A regra nebulosa de controle para a síntese de realimentação de saída é dada por u(t) = L(µ)y(t), µ U (4) resultando no sistema nebuloso T S em malha fechada ẋ(t) = (A(µ)+B(µ)L(µ)C(µ))x(t), µ U. A estrutura da lei de realimentação de saída, na qual L(µ) pode assumir graus independentes em cada simplex, será apresentada posteriormente. Um aspecto importante do controle por realimentação de saída de sistemas nebulosos T S é a não disponibilidade de todas as variáveis premissas em tempo real para a implementação da lei de controle. De fato, a lei de controle nesse caso depende da saída y(t) do sistema e também de algumas das variáveis premissas (ou seja, das variáveis premissas associadas aos estados disponíveis para leitura). Se nenhuma informação das variáveis premissas estiver disponível, um ganho constante de realimentação estática de saída pode ser uma alternativa, e essa estratégia também pode ser tratada pelo método proposto. Como em (Rhee e Won, 2006; Mozelli et al., 2009), uma função de Lyapunov do tipo integral de linha é usada, ou seja, V(x) = 2 f(ψ) dψ. (5) ρ(0,x) sendo que ρ(0,x) é um caminho da origem ao estado atual, ( ) representa o produto interno de vetores, ψ é um vetor para a integral e dψ é um deslocamento infinitesimal. O vetor nebuloso f (x(t)) é parametrizado como f(x) = P g (µ)x, (6) d 11g1 (µ 1 ) d 12 d 1n d 12 d 22g2 (µ 2 ) d 2n P g (µ) = d 1n d 2n d nngn (µ n ) (7) Osubíndiceg = (g 1,g 2,,g n )identificaosgraus das funções de pertinência µ 1, µ 2,..., µ n da matriz P g (µ). Note que os elementos fora da diagonal são constantes, e que a estrutura acima generaliza a utilizada em (Rhee e Won, 2006; Mozelli et al., 2009), que apenas considerava dependências afins, permitindo que polinômios de graus arbitrários g i sejam utilizados em cada elemento d iigi (µ i ). A estrutura de P g (µ) dada em (7) satisfaz a condição que assegura com que V(x) seja uma função independente de caminho, necessária nesse caso. Para detalhes, veja(rhee e Won, 2006, Teorema 1). 3 Contribuição Principal O próximo teorema provê condições menos conservadoras para a síntese de ganhos de realimentação de estados para sistemas nebulosos T S contínuos no tempo (2) com estabilidade em malha fechada assegurada pela função de Lyapunov do tipo integral de linha dada em (5), com dependência polinomial de grau arbitrário. As demais variáveis do problema que dependem de µ também são tratadas como matrizes polinomiais homogêneas de graus arbitrários no multi-simplex, denotadas como L v (µ) (grau v), Z s (µ) (grau s), etc. Teorema 1 Seja β > 0 um escalar dado. Se existir uma matriz simétrica definida positiva W g (µ) R n n como em (7), uma matriz G R n n de estrutura apropriada e uma matriz Z s (µ) R m n, tais que as seguintes LMIs dependentes de parâmetros sejam verificadas para todo µ U 1 Λ(µ)+Λ(µ) Γ(µ) W g (µ) G +βλ(µ) β(g+g < 0, ) (8) na qual então Λ(µ) = A(µ)G+B(µ)Z s (µ) (9) K s (µ) = Z s (µ)g 1 (10) é um ganho estabilizante de realimentação de estados com dependência polinomial homogênea de grau s para o sistema nebuloso T S dado em (2). 1 O símbolo representa blocos simétricos. ISSN: Vol. X 905

4 Prova: Pré e pós-multiplicando Γ(µ) por T e T, respectivamente, com T = diag((g ) 1,(G ) 1 ), tem-se M Y(µ) Ā(µ)+Ā(µ) M P g (µ) M +βmā(µ) β(m +M ) (11) com M (G ) 1, Z s (µ) K s (µ)g e Ā(µ) A(µ)+B(µ)K s (µ), (12) P g (µ) (G ) 1 W g (µ)g 1 (13) Pré-multiplicando Y(µ) por I Ā(µ) e pós multiplicando pela transposta produz Ā(µ) P g (µ) + P g (µ)ā(µ) < 0 e, como P g(µ) tem a estrutura dada em (7), tem-se V(x) < 0. Para que a estrutura de P g (µ) como em (7) seja imposta, e como há a transformação de variáveis dada por (13), é preciso que a mesma estrutura seja exigida para W g (µ) e, além disso, G também tem que apresentar uma estrutura particular. Se n = 2, por exemplo, e P g (µ) tem seus elementos como em (7), então G precisa ser uma matrizdiagonal. AmatrizP g (µ)podetambémter algum termo constante na diagonal e, nesse caso, a matriz G precisa ser triangular. O ganho estabilizante de realimentação de estados obtido com o Teorema 1 pode não ser fisicamente implementável, se apenas a saída y(t) estiver disponível. Apesar disso, o ganho pode ser usado como dado de entrada nas condições do próximo teorema que, se satisfeitas, provêm uma lei de controle estabilizante por realimentação de saída para o sistema nebulosos T S contínuo no tempo, com custo garantido H dado por γ. Teorema 2 Seja K s (µ) R m n, um dado ganho estabilizante de realimentação de estados. Se existir uma matriz simétrica definida positiva P g (µ), com estrutura dada por (7), matrizes de dimensão apropriadas S q (µ), G q (µ), Q q (µ), H v (µ) e J v (µ), e um escalar γ > 0 tais que a condição (14) seja satisfeita para todo µ U, com Ā(µ) dado por (12), então L v (µ) = H v (µ) 1 J v (µ) (15) é um ganho estabilizante de realimentação de saída para o sistema nebuloso T S (2) com custo garantido H dado por γ. Prova: Multiplicando (14) à esquerda por T 2 e à direita por T 2, com e Y(µ) dado por I Y(µ) T 2 = 0 I I I 0 Y(µ) = H v (µ) 1 J v (µ)c(µ) K s (µ), e,ainda,considerando(i Q q (µ)) (I Q q (µ)) 0, que implica Q q (µ) Q q (µ) I Q q (µ) Q q (µ), tem-se S q (µ)ã(µ)+ã(µ) S q (µ) P g (µ) S q (µ)+ã(µ) G q (µ) G q (µ) G q (µ) S q (µ)e(µ) C(µ) Q q (µ) G q (µ)e(µ) 0 γ 2 I F(µ) Q q (µ) Q q (µ) Q q (µ) < 0, (16) com L v (µ) dado por (15), Ã(µ) A(µ) + B(µ)L v (µ)c(µ) e C(µ) = Cz (µ) + D(µ)L v (µ)c(µ). A multiplicação de (16) à direita por T 3 e à esquerda por T 3, com I 0 0 T 3 = Ã(µ) E(µ) 0 0 I 0, 0 0 Q q (µ) 1 produz o bounded real lemma (Boyd et al., 1994) com P g (µ) como em (6), implicando que V(x) + y y γ 2 w w < 0. Como consequência, o ganho de realimentação estática de saída L v (µ) estabiliza o sistema nebuloso T S (2) com custo garantido H dado por γ. Os teoremas 1 e 2 fornecem um procedimento em duas etapas para o projeto de controladores H por realimentação de saída para sistemas nebulosos T S. As condições apresentam as matrizes utilizadas para a síntese do ganho da lei de controle totalmente dissociadas da matriz de Lyapunov que assegura a estabilidade e o índice de desempenho do sistema em malha fechada. Assim, restrições estruturais podem ser impostas de maneira independente para o ganho e para a matriz de Lyapunov. Além disso, qualquer ganho estabilizante de realimentação de estados poderia ser usadocomodadodeentradaparaoteorema2(segunda etapa), mesmo com estruturas mais complexas do que em (10). Na primeira etapa das condições aparece um escalar β, que pode ser usado em uma heurística para gerar custos garantidos H menores, por exemplo, por meio de algum procedimento de busca linear, ou então buscando-se os valores de β em algum conjunto pré-definido. As condições apresentadas são LMIs dependentes de parâmetros no simplex. Para buscar uma solução, procedimentos de relaxação podem ser utilizados, como por exemplo as técnicas apresentadas em (Oliveira et al., 2008). Soluções melhores (menos conservadoras) podem ser obtidas ao custo de maior complexidade computacional. Veja por exemplo (Tuan et al., 2001; Liu ISSN: Vol. X 906

5 Ā(µ) S q(µ) + S q(µ)ā(µ) P g(µ) S q(µ) + G q(µ)ā(µ) Gq(µ) Gq(µ) E(µ) S q(µ) E(µ) G q(µ) γ 2 I Q q(µ) (C z(µ) + D(µ)K s(µ)) 0 Q q(µ) F(µ) I Q q(µ) Q q(µ) < 0 B(µ) S q(µ) + J v(µ)c(µ) H v(µ)k s(µ) B(µ) G q(µ) 0 D(µ) Q q(µ) H v(µ) H v(µ) (14) e Zhang, 2003; Sala e Ariño, 2007; Montagner et al., 2009) para procedimentos de relaxação no contexto de sistemas nebulosos T S. 4 Exemplos numéricos É claro que, para diminuir o conservadorismo das soluções, o grau g associado à função de Lyapunov utilizada, o grau q das variáveis de folga e o grau s do controlador do primeiro estágio devem ser aumentados, exigindo-se maior esforço computacional. Por outro lado, os graus associados à lei de realimentação de saída, dados por v, dependem dos propósitos do projeto em questão. Apesar da estrutura da matriz de Lyapunov (7) assumir que todas as variáveis de estado são variáveis premissas (como estabelecido pela regra nebulosa (1)), alguns estados podem ser descartados impondose que os elementos nas respectivas posições na diagonal de (7) sejam constantes (ou seja, grau g i = 0), como em (Mozelli et al., 2009, Exemplo4), (RheeeWon,2006, Exemplo2). Umganho de realimentação constante (que não depende das variáveis premissas) pode ser obtido selecionandose v = (0,...,0). Uma lei de controle que depende apenas de alguma variável premissa específica pode ser construída escolhendo-se um grau v i correspondente diferente de zero. No exemplo, o escalar β do Teorema 1 foi escolhido no conjunto {1,0.1,0.01,0.001,10 6 }. Exemplo 1: Considere o sistema nebuloso T S dado por (2) com A 1 =, A = B 1 =, B 3 2 =, E 3 1 =, E 2 =, C z1 =, C z2 = ,D 1 = , D 2 = F 1 = 0 0.1, F 2 = C 1 = 7 2, C 2 = 5 4, , sendo que x 1 (t) é a variável premissa. A Tabela 1 mostra os custos H obtidos com os Teoremas 1 e 2 para vários valores dos graus da função de Lyapunov (g), variáveis de folga (q), controlador de realimentação de estado (s) e controlador de realimentação de saída (v). Observe que os valores da norma diminuem à medida que os graus (g,q,s,v) aumentam e que o caso g = 0 corresponde à estabilidade quadrática. Tabela 1: Custos garantidos H obtidos com os Teoremas 1 e 2 (T1 T2) para diferentes graus (g,q,s,v). V é o número de variáveis escalares e L é o número de linhas de LMIs. Método γ L V Tempo (s) T1 T2 (0,1,1,1) T1 T2 (1,1,1,1) T1 T2 (4,4,4,4) Conclusões Foram propostas condições na forma de LMIs dependentes de parâmetros para a síntese de controladores por realimentação estática de saída com critério H para sistemas nebulosos T S contínuos no tempo. O método combina função de Lyapunov polinomial de grau arbitrário, do tipo integral de linha, com um procedimento em dois passos baseados em LMIs para a síntese do ganho de realimentação. Graças à representação multisimplex adotada, graus distintos para a função de Lyapunov e para a lei de controle podem ser usados. Além disso, a lei de controle estabilizante que garante um desempenho H pode depender somente de algumas das variáveis premissas, escolhidas pelo projetista. Agradecimentos Às agências FAPESP, CAPES e CNPq. Referências Arzelier, D., Gryazina, E. N., Peaucelle, D. e Polyak, B. T. (2010). Mixed LMI/Randomized methods for static output feedback control design, Proc Amer. Control Conf., Baltimore, MD, USA, pp Arzelier, D., Peaucelle, D. e Salhi, S. (2003). Robust static output feedback stabilization for polytopic uncertain systems: improving the guaranteed performance bound, Proc. 4th IFAC Symp. Robust Control Design, Milan, Italy. Baranyi, P. (2004). TP model transformation as a way to LMI-based controller design, IEEE Trans. Ind. Electron. 51(2): Bouarar, T., Guelton, K. e Manamanni, N.(2009). Static output feedback controller design for Takagi Sugeno systems A fuzzy Lyapunov ISSN: Vol. X 907

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