Guilherme C. Santos, Grace S. Deaecto DMC / Faculdade de Engenharia Mecânica, Unicamp Rua Mendeleyev, 200, , Campinas, SP, Brasil

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1 CONTROLE H DE SISTEMAS AFINS COM COMUTAÇÃO A TEMPO CONTÍNUO Guilherme C. Santos, Grace S. Deaecto DMC / Faculdade de Engenharia Mecânica, Unicamp Rua Mendeleyev, 2, , Campinas, SP, Brasil s: cavalari@fem.unicamp.br, grace@fem.unicamp.br Abstract This paper deals with state feedback H control design of continuous-time switched affine systems. The main purpose is to determine a set of attainable equilibrium points and a switching function assuring global asymptotical stability and imposing a pre-specified upper bound to the L 2 gain from the external input to the controlled output. Two different switching functions are proposed and discussed. The first one depends only on the state and the other depends on the state and on the external input. The conditions are less conservative than the techniques available in the literature to date, as for instance, those based on a max-type Lyapunov function. A numerical example illustrates the theoretical results and is used for comparisons. Keywords Switched affine systems, state-feedback control, H control Resumo Este trabalho trata do projeto de controle H via realimentação de estado de sistemas afins com comutação a tempo contínuo. O objetivo principal é determinar um conjunto de pontos de equilíbrio atingíveis e uma função de comutação que garanta estabilidade assintótica global e imponha um limitante superior adequado para o ganho L 2 da entrada externa para a saída controlada. Duas funções de comutação diferentes são propostas e discutidas. A primeira depende somente do estado, e a segunda depende do estado e da entrada externa. As condições obtidas são menos conservadoras do que as técnicas disponíveis na literatura, como por exemplo aquelas baseadas na função de Lyapunov do tipo máximo. Um exemplo acadêmico ilustra os resultados teóricos obtidos e é usado para comparações. Palavras-chave Sistemas afins com comutação, controle via realimentação de estado, controle H 1 Introdução O estudo de sistemas afins com comutação vem atraindo a atenção da comunidade científica nas últimas décadas devido ao seu alto potencial para aplicações práticas, como em eletrônica de potência. As referências (Cardim et al., 29), (Corona et al., 27), (Deaecto et al., 21) e (Garcia et al., 29) são alguns exemplos. Esses sistemas compõem uma subclasse de sistemas híbridos caracterizada por apresentar uma regra de comutação que seleciona a cada instante de tempo um dos subsistemas disponíveis. Essa regra pode atuar como um sinal de controle e, desta forma, deve ser projetada para assegurar estabilidade e bom desempenho do sistema global. Para sistemas lineares com comutação, a literatura apresenta diversos resultados importantes relacionados ao projeto de controle via realimentação de estado, (Geromel and Colaneri, 26), (Zhai, 212) e via realimentação de saída (Deaecto et al., 211), (Geromel et al., 28). Uma característica interessante é que a função de comutação pode assegurar estabilidade assintótica global mesmo que todos os subsistemas sejam instáveis. Além disso, como mostra a referência (Geromel et al., 213), o projeto de uma regra de comutação é importante mesmo que todos os subsistemas sejam estáveis, pois ela pode melhorar o desempenho global quando comparado ao desempenho de cada subsistema isolado. Os artigos (DeCarlo et al., 2), (Lin and Antsaklis, 29), (Shorten et al., 27) e os livros (Liberzon, 23) e (Sun and Ge, 2) são referências básicas sobre este tema. Comparado aos sistemas lineares, os sistemas afins com comutação são mais complicados pois apresentam vários pontos de equilíbrio compondo uma região no espaço de estado. Assim, os objetivos de controle consistem em determinar um conjunto de pontos de equilíbrio atingíveis e uma regra de comutação capaz de conduzir qualquer trajetória do sistema ao ponto de equilíbrio desejado, o qual geralmente não é compartilhado por nenhum dos subsistemas. A literatura apresenta alguns resultados sobre estabilização baseados em técnicas de controle ótimo (Corona et al., 27), (Hauroigne et al., 211) e na adoção de uma função de Lyapunov (Bolzern and Spinelli, 24), (Cardim et al., 29), (Deaecto et al., 21), (Hetel and Fridman, 213), (Trofino et al., 29), (Trofino, Scharlau, Dezuo and de Oliveira, 212) e (Xu et al., 28), sendo que as referências (Hetel and Fridman, 213) e (Xu et al., 28) tratam de sistemas amostrados. A maioria deles, por exemplo (Bolzern and Spinelli, 24) e (Deaecto et al., 21), baseia-se na adoção de uma função de Lyapunov quadrática e mostra que uma condição suficiente para estabilidade assintótica global é a existência de uma combinação convexa estável das matrizes dos subsistemas. Outra técnica recente é baseada na função de Lyapunov do tipo máximo, as referências (Trofino et al., 29), (Trofino, Assmann, Scharlau and Coutinho, 212), (Trofino et al., 211) e (Trofino, Scharlau, Dezuo and de Oliveira, 212) são alguns exemplos. Infelizmente, usando esta técnica, a condição suficiente mencionada torna-se somente necessária. 227

2 Quanto ao desempenho H, de acordo com o conhecimento dos autores, a literatura apresenta poucos resultados, veja (Trofino, Scharlau, Dezuo and de Oliveira, 212) que se baseia em uma função de Lyapunov do tipo máximo e (Yang et al., 213) que exige que os subsistemas sejam quadraticamente estáveis, ou seja, todas as matrizes dos subsistemas devem ser Hurwitz e admitir uma função de Lyapunov em comum como condição necessária para a factibilidade. Como ficará claro em seguida, a proposta deste artigo é generalizar os resultados de (Deaecto et al., 21) assegurando estabilidade assintótica global e um custo garantido H mesmo que todos os subsistemas sejam instáveis. Mais especificamente, duas regras de comutação diferentes são propostas com o objetivo de assegurar um custo H adequado. A primeira regra depende somente do estado e generaliza os resultados de (Deaecto et al., 21) e (Zhai, 212) para tratar do controle H. A outra, mais geral, pode ser caracterizada como uma nova regra de comutação dependente de ambos, do estado e da entrada externa. Como ficará claro ao longo do artigo, para ambas as regras de comutação é possível encontrar uma função de transferência que representa uma certa subclasse de sistemas afins com comutação. Os resultados teóricos são comparados com a técnica baseada em uma função de Lyapunov do tipo máximo e ilustrados com um exemplo acadêmico. A notação é padrão. Para matrizes reais e vetores, ( ) indica transposto. Para matrizes simétricas, o símbolo ( ) denota cada bloco simétrico. A combinação convexa de matrizes com a mesma dimensão {J 1,, J N } é denotada por J λ = N j=1 λ jj j sendo que λ pertence ao simplex unitário Λ composto por todos vetores não negativos λ R N norma ao quadrado de uma trajetória ξ(t) definida para todo t, denotada por ξ 2 2, é igual tal que N j=1 λ j = 1. A a ξ 2 2 = ξ(t) ξ(t)dt. O conjunto de todas as trajetórias com norma finita, tal que ξ 2 2 <, é denotado por L 2. Finalmente, o conjunto composto pelos primeiros N positivos inteiros, isto é, {1,, N}, é denotado por K. 2 Formulação do Problema Considere um sistema afim com comutação a tempo contínuo com a seguinte realização ẋ(t) = A σ x(t) + H σ w(t) + b σ, x() = x e (1) z(t) = E σ x(t) + G σ w(t) (2) sendo que x(t) R nx é o estado, w(t) R nw é a entrada externa pertencente ao conjunto L 2 e z(t) R nz é a saída controlada. A função de comutação σ(t) : t K seleciona a cada instante de tempo t um dos N subsistemas afins disponíveis. Devido ao termo afim b i para pelo menos um i K, o sistema (1)-(2) possui diversos pontos de equilíbrio que definem uma região do espaço de estado. Como mostrado em (Deaecto et al., 21), qualquer ponto dentro desta região pode ser atingível por uma estratégia de comutação adequada. Claramente, quando b i = i K o sistema (1)-(2) se torna linear e o único ponto de equilíbrio é a origem. Nesse trabalho, nosso objetivo principal é determinar um conjunto de pontos de equilíbrio atingíveis X e R nx e determinar uma regra de comutação em malha fechada σ(x) : R nx K a fim de guiar qualquer trajetória do sistema partindo de uma condição inicial x R nx para o ponto de equilíbrio desejado x e X e R nx. Ademais, o projeto de controle deve levar em conta um custo H de desempenho a ser definido em seguida. Em linhas gerais, nossa proposta é primeiramente generalizar os resultados de (Deaecto et al., 21) propondo uma regra de comutação dependente do estado que assegure um índice de desempenho H e, posteriormente, propor uma função de comutação mais geral σ(x, w) : R nx R nw K que depende também da entrada externa do sistema. Definindo o vetor ξ(t) = x(t) x e, o sistema a ser tratado torna-se ξ(t) = A σ ξ(t) + H σ w(t) + l σ, ξ() = (3) z e (t) = E σ ξ(t) + G σ w(t) (4) sendo que l σ = A σ x e + b σ é o termo afim e z e (t) = z(t) E σ x e é a saída controlada deslocada para o ponto de equilíbrio x e. Os objetivos de controle são alcançados sempre que a função de comutação σ(ξ(t)) guiar a trajetória ξ(t) para a origem assegurando o seguinte índice de desempenho H J (σ) = z e 2 2 sup w L 2 w 2 < ρ () 2 para algum ρ > dado. A razão por trás da definição do índice J (σ) é que para uma função de comutação fixa σ(t) = i, t, sempre que A i é Hurwitz, o índice se iguala ao quadrado da norma H da função de transferência do i-ésimo subsistema. De fato, nota-se que para uma regra de comutação fixa σ(t) = i, t, o único ponto de equilíbrio é x e = A 1 i b i e o sistema torna-se linear, ou seja ξ(t) = A i ξ(t) + H i w(t), ξ() = (6) z e (t) = E i ξ(t) + G i w(t) (7) cuja norma H ao quadrado é bem definida, sendo exatamente aquela fornecida pelo lado esquerdo da equação (). No entanto, percebe-se que o sistema (3)-(4) depende não-linearmente de σ( ) e, assim, o índice H definido em () tornase praticamente impossível de calcular. Desta maneira, a ideia é projetar uma função de comutação de modo que o limitante superior ρ > em () seja minimizado. 228

3 3 Projeto da função de comutação Nesta seção são apresentadas duas funções de comutação diferentes para o projeto de controle H do sistema afim (1)-(2). Ambas são baseadas na função de Lyapunov quadrática v(ξ) = ξ P ξ com P >. Antes de começar, definimos as seguintes funções matriciais ] A L i (ρ, P ) = i P + P A i E +[ i E i H i P ρi G i G (8) i N i (ρ, P ) = A i P + P A i + E i E i + (H i P + + G i E i) (ρi G i G i) 1 (H i P + G i E i) (9) para todo i K, que serão amplamente utilizadas nos resultados que apresentaremos em seguida. 3.1 Função de comutação dependente do estado O lema seguinte é importante para a obtenção da função de comutação dependente do estado. Lema 1 Considere L i (ρ, P ) e N i (ρ, P ) dadas em (8) e (9), respectivamente. A seguinte identidade [ ξ ξ sup L w L 2 w σ (ρ, P ) = ξ N σ (ρ, P )ξ (1) com (ρi G σ G σ) > é verificada e w = (ρi G σg σ ) 1 (H σp + G σe σ )ξ (11) é a solução ótima do lado esquerdo de (1). Prova: De fato, definindo a função f(w, ξ) = [ξ w ]L σ (ρ, P )[ξ w ], sua derivada parcial em relação a w, fornece f(w, ξ) w =2(H σ P+G σ E σ)ξ 2(ρI G σ G σ)w (12) o que indica que (11) é ponto crítico de f(w, ξ). Ademais, verificando que 2 f(w, ξ)/ 2 w = 2(ρI G σ G σ) < concluímos que f(w, ξ) é ponto de máximo. Substituindo, w em f(w, ξ) obtemos o lado direito de (1), o que prova o lema proposto. Utilizando este lema o próximo teorema fornece as condições que asseguram que a desigualdade () é satisfeita para ρ > dado. Teorema 1 Considere o sistema (1)-(2) com x e R nx dado. Se existirem λ Λ, uma matriz positiva definida P R nx nx, matrizes simétricas Q i e um escalar ρ > satisfazendo as condições A i P + P A i Q i H i P ρi <, i K (13) E i G i I A λ x e + b λ =, (14) Q λ < (1) então a estratégia de comutação dependente do estado σ(x)=arg min i K (x x e) (Q i (x x e ) + 2P l i ) (16) torna o ponto de equilíbrio x e R nx globalmente assintoticamente estável e garante que a desigualdade () seja satisfeita. Prova: Considere que as condições (13), (14) e (1) são satisfeitas e adote a função de comutação (16). A derivada no tempo de v(x) = x P x ao longo de uma trajetória de (3)-(4) fornece v(ξ) = ( ξ P ξ + ξ P ξ+z e z e ρw w ) z e z e+ρw w [ ξ ξ = L w σ (ρ, P ) +2ξ P l σ z ez e +ρw w ξ N σ (ρ, P )ξ + 2ξ P l σ z e z e + ρw w < min i K ξ (Q i ξ + 2P l i ) z ez e + ρw w < min λ Λ ξ (Q λ ξ + 2P l λ ) z e z e + ρw w < z ez e + ρw w (17) sendo que a primeira desigualdade vem do Lema 1. Além disso, aplicando sucessivamente o complemento de Schur em (13) em relação à terceira e segunda linhas e colunas, obtemos N i (ρ, P ) < Q i, i K. Consequentemente, a segunda e terceira desigualdades de (17) vêm da escolha da regra de comutação (16). Finalmente, a quarta desigualdade segue diretamente de (14), lembrando que l λ = A λ x e + b λ = e (1) é verificada. Fixando w = para todo t, temos v(ξ) < e, portanto, o ponto de equilíbrio x e é assintoticamente estável. Assim, para w L 2, integrando (17) de ambos os lados de t = a t, como v(ξ()) = e v(ξ( )) =, temos J (σ) < ρ e a prova está concluída. Uma forma possivelmente mais simples de resolver as condições do Teorema 1 é determinar primeiramente o conjunto de pontos de equilíbrio atingíveis satisfazendo (14) para todo λ Λ. De fato, percebe-se que o primeiro bloco diagonal da desigualdade (13) juntamente com (1) garante que A λ é Hurwitz. Definimos o conjunto de todas as matrizes Hurwitz A λ, λ Λ como sendo H. Isso implica que todos os pontos de equilíbrio satisfazendo (14) pertencem ao conjunto X e := { A 1 λ b λ : A λ H, λ Λ} (18) que pode ser numericamente determinado. Somente pontos de equilíbrio pertencentes a X e R nx podem ser alcançados pela função de comutação (16). Assim, para cada x e X e existe um vetor associado λ(x e ) Λ que é usado em (13) para obter P, importante para implementar a função de comutação (16). Na verdade, a matriz P > é dependente de lambda P (λ), já que precisa ser recalculada a cada escolha diferente de x e X e. Um ponto interessante 229

4 do Teorema 1 é que a parte afim l i, i K e a parte linear (A i, H i, E i, G i ), i K do sistema (3)-(4) são tratadas separadamente. A parte afim é usada em (14) para calcular λ(x e ) Λ correspondente ao ponto de equilíbrio x e X e de interesse. Posteriormente, a parte linear representada pelas LMIs (13) junto com (1) são equivalentes a i K λ in i (ρ, P ) <. Essa desigualdade é a combinação convexa de N funções matriciais quadradas para o qual N λ (ρ, P ) i K λ in i (ρ, P ) <, λ Λ e, consequentemente, uma condição menos conservadora seria N λ (ρ, P ) <. Em outras palavras, gostaríamos de obter as condições de projeto H baseadas na combinação convexa das matrizes em espaço de estado dos subsistemas. Note que para a subclasse de sistemas afins com comutação com (H i, E i, G i ) = (H, E, G), i K esse objetivo é cumprido já que N λ (ρ, P ) = i K λ in i (ρ, P ) para todo λ Λ, veja (Zhai, 212). Neste caso, as condições (13) junto com (1) são lineares em relação a λ Λ e equivalentes a N λ (ρ, P ) = A λ P + P A λ + E E + (H P + + G E) (ρi G G) 1 (H P + G E) < (19) que é verificado para P > se e somente se F(s) 2 < ρ (2) sendo F(s) = E(sI A λ ) 1 H + G a função de transferência que representa (3)-(4) para λ = λ(x e ) Λ. Além disso, a função de comutação associada é σ(x) = arg min i K (x x e) P (A i x + b i ) (21) Como conclusão, adotando uma função de comutação dependente somente do estado, se a matriz de entrada H σ e/ou de saída (E σ, G σ ) dependerem de σ, não é possível obter condições H baseadas em uma combinação convexa das matrizes de espaço de estado dos subsistemas. Com o intuito de considerar uma subclasse de sistemas afins com comutação mais abrangente com essa propriedade, precisamos projetar uma função de comutação mais geral que depende também da entrada externa w L Função de comutação dependente do estado e da entrada externa O próximo teorema apresenta condições para o projeto H de uma função de comutação dependente do estado e da entrada externa. Teorema 2 Considere o sistema (1)-(2) com x e R nx dado. Se existirem λ Λ, uma matriz positiva definida P R nx nx e um escalar ρ > satisfazendo (14) e a condição λ i L i (ρ, P ) < (22) i K então, a função de comutação dependente do estado e da entrada externa [ ξ ξ σ(x, w)=arg min L i K w i (ρ, P ) + 2ξ P l i (23) faz o ponto de equilíbrio x e R nx globalmente assintoticamente estável e assegura (). Prova: Considere que as condições (14) e (22) são satisfeitas e adote a função de comutação (21). A derivada no tempo de v(x) = x P x ao longo de uma trajetória arbitrária de (3)-(4) fornece ] [ ξ v(ξ) = L σ (ρ, P ) +2ξ P l σ z e z e+ρw w [ ξ w ] [ ξ ξ = min L i K[ w i (ρ,p ) +2ξ P l i z e z e+ρw w ] = min λ Λ [ ξ w i K [ ξ λ i L i (ρ, P ) + +2ξ P l λ z ez e +ρw w < z e z e + ρw w (24) sendo que a segunda e terceira igualdades vêm da escolha da função de comutação (23) e a desigualdade vem de (14) e (22). Finalmente, procedendo como no Teorema 1, a desigualdade J (σ) < ρ é verificada concluindo assim a prova. O modo de resolver as condições do Teorema 2 é o mesmo adotado no Teorema 1. Perceba que a desigualdade L λ (ρ, P ) i K λ il i (ρ, P ) < coloca em evidência que uma condição menos conservadora é aquela baseada na combinação convexa das matrizes de espaço de estado dos subsistemas. Esta condição pode ser obtida assumindo que (E i, G i ) = (E, G), i K, uma vez que neste caso L λ (ρ, P ) = i K λ il i (ρ, P ). Além disso, para essa subclasse de sistemas com comutação, a factibilidade de L λ (ρ, P ) < é equivalente a (2) com F(s) = E(sI A λ ) 1 H λ + G. Nesse caso, a função de comutação é linear em relação ao par (A i, H i ) ξ A σ(x, w)=arg min i P +P A i ξ i K w H i P ρi + w +2ξ P l i (2) Em ambos os teoremas, sempre que x e X e é escolhido, o vetor λ(x e ) Λ é fixado e as condições são expressas em termos de LMIs, sendo resolvidas sem dificuldade por qualquer software disponível na literatura, veja (Boyd et al., 1994). 3.3 Comparação com a abordagem usando função de Lyapunov do tipo máximo A literatura atual apresenta trabalhos recentes que propõem condições de estabilidade para sistemas afins com comutação baseadas na função de Lyapunov do tipo máximo, como por exemplo, 221

5 (Trofino et al., 29), (Trofino, Assmann, Scharlau and Coutinho, 212), (Trofino et al., 211) e (Trofino, Scharlau, Dezuo and de Oliveira, 212), sendo que a última referência também trata do projeto de controle H. Em (Trofino, Scharlau, Dezuo and de Oliveira, 212), uma condição necessária para o projeto está apresentada a seguir (veja a desigualdade (42) de (Trofino, Scharlau, Dezuo and de Oliveira, 212) para θ = θ) A λ P λ + P λ A λ E H λ P + λ E λ λ ρi G λ G < (26) λ para um λ(x e ) Λ particular satisfazendo (14). A desigualdade (26) foi expressa usando a notação definida nesse artigo. Perceba que para (E i, G i ) = (E, G), i K, a condição (26) é equivalente à (22), e,portanto, segundo o Teorema 2, é suficiente para assegurar um custo garantido H. Na verdade, as condições propostas em (Trofino, Scharlau, Dezuo and de Oliveira, 212) (veja a desigualdade (42) de (Trofino, Scharlau, Dezuo and de Oliveira, 212)) devem ser impostas para todo λ Λ. Em outras palavras, a desigualdade (26) expressa somente uma das restrições para um caso particular λ(x e ) Λ. Desta forma, considerando as matrizes de saída independentes de σ, as condições do Teorema 2 são menos conservadoras do que as propostas em (Trofino, Scharlau, Dezuo and de Oliveira, 212). A mesma conclusão pode ser obtida para (H i, E i, G i ) = (H, E, G), i K adotando o Teorema 1. Além disso, como será ilustrado no exemplo, mesmo para matrizes H σ dependentes de σ, a regra de comutação mais simples, proposta no Teorema 1 dependente somente do estado, fornece um custo muito menor do que o proposto em (Trofino, Scharlau, Dezuo and de Oliveira, 212). Isso indica que o conjunto de restrições impostas aqui são menos exigentes do que aquelas derivadas de uma função de Lyapunov do tipo máximo. 4 Exemplo ilustrativo Este exemplo foi retirado de (Trofino, Scharlau, Dezuo and de Oliveira, 212) e consiste de um conversor CC buck-boost descrito pelas equações em espaço de estado (1)-(2) com matrizes A 1 = 1, A 2 = RC H 1 = b 1 = [ 1 L ], H 2 = 1 L 1 C 1 RC [ ], [ Ein ] [ L, b 2 =, ] matrizes de saída E 1 = E 2 = [ 1] e G 1 = G 2 =, sendo E in = 1 [volts], R = 3 [ohm], L = 1 3 [henry] e C = 1 6 [farad]. A fim x e custo H TSD Teo. 1 Teo. 2 ρ [.48 9] J σx J σx,w ρ [ ] J σx J σx,w Tabela 1: Comparação de desempenho de tornar o problema mais ameno para fins numéricos, as matrizes {A i, H i, b i } foram alteradas para {1 3 A i, 1 3 H i, 1 3 b i } a fim de considerar a base de tempo em [ms] ao invés de [s]. Como veremos em seguida, selecionamos os mesmos pontos de equilíbrio adotados em (Trofino, Scharlau, Dezuo and de Oliveira, 212) para os conversores operando como buck e como boost e, em ambos os casos, aplicamos a entrada de perturbação w(t) = sin(2π.12t), 8.3 t < 33.3 e w(t) = para os demais instantes. Modo de operação: Buck Consideramos o ponto de equilíbrio x e = [.48 9] X e associado a λ(x e ) = [.37.62] Λ e resolvemos as condições dos Teoremas 1 e 2. Para as condições do Teorema 1, obtivemos as seguintes soluções Q 1 = Q 2 = associadas a ρ =.96. Resolvendo as condições do Teorema 2 obtivemos associada à ρ =.36. Utilizando estas matrizes, implementamos as estratégias de comutação correspondentes e obtivemos as trajetórias de estado presentes na Figura 1, sendo que as trajetórias em vermelho correspondem ao Teorema 1 e as trajetórias em azul ao Teorema 2. Em ambos os casos, as trajetórias são quase coincidentes e rapidamente evoluem para um modo deslizante estável. Modo de operação: Boost Para considerar o caso em que o conversor opera como boost, escolhemos o ponto de equilíbrio x e = [ ] X e associado a λ(x e ) = [ ] Λ proposto em (Trofino, 2211

6 x1 (t) x1 (t) x2 (t) x2 (t) Figura 1: Trajetórias do estado, xe=[.48 9]. Figura 2: Trajetórias do estado, xe=[ ]. Scharlau, Dezuo and de Oliveira, 212). Resolvendo as condições do Teorema 1, obtivemos par (Ei, Gi ) = (E, G), i K é independente de comutação, o custo garantido H fornecido pelo Teorema 2 é igual a ke(si Aλ ) 1 Hλ + Gk2, como esperado Q1 = Q2 = Conclusão Esse artigo propôs duas estratégias de comutação diferentes para o projeto de controle H de sistemas afins com comutação a tempo contínuo. A primeira é dependente do estado e a segunda é mais geral e depende também de uma entrada externa. Uma comparação teórica mostrou que ambas as regras são baseadas em condições menos conservadoras que as apresentadas na literatura, em particular, aquela obtida com o uso de uma função de Lyapunov do tipo máximo. Um exemplo ilustrativo mostrou a eficiência e validade da teoria proposta associadas à ρ = Por outro lado, o Teorema 2 fornece associada à ρ = A Figura 2 apresenta as trajetórias do sistema obtidas utilizando as estratégias de comutação correspondentes às soluções apresentadas. Como anteriormente, as trajetórias em vermelho referem-se ao Teorema 1 e as trajetórias em azul ao Teorema 2. A Tabela 1 apresenta o custo garantido H ρ para os dois pontos de equilíbrio, considerando as condições do Teorema 1, Teorema 2, e a condição TSD de (Trofino, Scharlau, Dezuo and de Oliσ σx veira, 212), bem como os custos reais J e J x,w obtidos por simulação para a entrada de perturbação w(t) já definida. Note que os custos obtidos pelas estratégias propostas nesse artigo são muito menores do que aqueles baseados na função de Lyapunov do tipo máximo. Ademais, como o 6 Agradecimentos Este trabalho contou com o apoio financeiro da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo - FAPESP e da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior CAPES. Referências Bolzern, P. and Spinelli, W. (24). Quadratic stabilization of a switched affine sys- 2212

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