SINTONIA DE CONTROLADOR POR MODOS DESLIZANTES FUZZY VIA ENXAME DE PARTÍCULAS

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1 SINTONIA DE CONTROLADOR POR MODOS DESLIZANTES FUZZY VIA ENXAME DE PARTÍCULAS FERNANDO H. D. GUARACY*, CARLOS A. M. PINHEIRO* *Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologia da Informação Itajubá, Minas Gerais, Brasil. s: fernandoh@unifei.edu.br, pinheiro@unifei.edu.br Abstract This paper presents the application of the particle swarm optimization method to aid the choice of parameters (scale factors) of a rule based fuzzy sliding mode controller. The characteristic of the resulting control loop is specified by a single parameter that influences whether greater importance is attributed to the speed with which the system reaches sliding mode or to the elimination of oscillations in the control signal. Simulations of a balancing system for an inverted pendulum are presented to illustrate the application of the method. Keywords Sliding mode control, rule based controller, particle swarm optimization, computational intelligence Resumo Este artigo apresenta a aplicação do método de otimização por enxame de partículas para auxílio da escolha dos parâmetros (fatores de escala) de um controlador por modos deslizantes baseado em regras fuzzy. A característica da malha de controle é especificada por um único parâmetro que influencia se maior importância é atribuída à velocidade com que o sistema alcança o modo deslizante ou à eliminação de oscilações no sinal de controle. Simulações de um sistema de equilíbrio de um pêndulo invertido são apresentadas para ilustrar a aplicação do método. Palavras-chave Controle por modos deslizantes, controlador baseados em regras, otimização por enxame de partículas, inteligência computacional 1 Introdução A teoria de sistemas de controle de estrutura variável com modos deslizantes, ou controle por modos deslizantes (Sliding Mode Control SMC), constitui uma importante área da engenharia de controle. O principio de operação das técnicas de SMC é utilizar chaveamentos de ganhos nas leis de controle com o objetivo de modificar a dinâmica dos sistemas controlados de modo que os estados dos mesmos sejam levados e mantidos em uma superfície do espaço de estados especificada pelo projetista. Entre suas vantagens estão características de robustez a variações de parâmetros e perturbações externas, e a existência de vários modos de operação, tais como controle regulatório, rastreamento de trajetórias e observação de estados (Fossard e Floquet, 2002). Além disso, as técnicas podem ser aplicadas a diversos tipos de processos, tais como sistemas não lineares, de comportamento estocástico, com múltiplas entradas e saídas, entre outros (Hung et al., 1993). A principal desvantagem dos controladores por modos deslizantes está na ocorrência do fenômeno denominado chattering, que são oscilações de alta frequência na informação de comando do sistema de controle. Entre os efeitos indesejados causados por este fenômeno estão a deterioração do desempenho do controlador, o aumento de desgaste em partes mecânicas móveis e perdas por dissipação de calor em circuitos elétricos de potência (Utkin, 1993). Várias abordagens foram propostas visando à e- liminação do problema do chattering e a redução da complexidade no projeto de sistemas de controle por modos deslizantes. Entre elas, destacam-se aquelas que fazem uso de técnicas de inteligência computacional, tais como lógica fuzzy, redes neurais artificiais e computação evolutiva (Yu e Kaynak, 2009). Nesse trabalho estuda-se um controlador fuzzy desenvolvido a partir de princípios da teoria de sistemas de controle por modos deslizantes. Esse controlador pode ser aplicado em sistemas não lineares mesmo quando um modelo acurado do processo não é conhecido, resultando em respostas nas quais o efeito do chattering é atenuado. Para um desempenho satisfatório, entretanto, os parâmetros do controlador devem ser escolhidos adequadamente. Essa escolha depende das características do processo controlado, da velocidade de resposta especificada para a malha de controle, do erro em regime permanente desejado para o sistema, entre outros, e usualmente é realizada por tentativa e erro. Nesse contexto, esse trabalho propõe a aplicação do método de otimização por enxame de partículas (Particle Swarm Optimization PSO) para realizar a sintonia do controlador por modos deslizantes fuzzy de maneira automática. A Seção 2 apresenta alguns conceitos sobre controle por modos deslizantes e a estrutura do controlador baseado em regras em questão. A Seção 3 apresenta o método de otimização por enxame de partículas e a Seção 4 mostra a metodologia utilizada para a obtenção dos parâmetros do controlador. A Seção 5 apresenta a aplicação do método em um sistema de equilíbrio de um pêndulo invertido. A Seção 6 apresenta as conclusões e considerações finais do trabalho. 2294

2 2 Controlador por Modos Deslizantes Baseado em Regras O principio básico de operação das técnicas convencionais de SMC é utilizar chaveamentos nas leis de controle de modo que os estados do sistema controlado sejam levados e mantidos em uma superfície do espaço de estados especificada pelo projetista. Para um sistema representado pela equação (1), onde dim-x = n e dim-u = m, é necessário definir m funções de chaveamento, representadas na forma do vetor (2), que determinam a dinâmica do sistema. =,+, (1) = (2) A lei de controle descontínua (3) é projetada de modo que qualquer estado x fora da superfície de chaveamento σ(x) = 0 seja levado a essa superfície em tempo finito. Uma vez sob a superfície especificada, é dito que o sistema se encontra em modo deslizante.,=, >0 =, <0 (3) Considerando que o comportamento resultante do sistema seja descrito por (4), a trajetória resultante do chaveamento entre as estruturas L + (x,u) e L - (x,u) pode ser visualizada na Figura 1. O modo deslizante em aplicações práticas ocorre em uma trajetória confinada a uma vizinhança próxima à linha de chaveamento em contraste com a trajetória ideal que ocorre exatamente sobre a linha de chaveamento, onde considera-se uma frequência de chaveamento infinita. Essa diferença em relação ao comportamento ideal deve-se a imperfeições nos mecanismos de chaveamento, tais como atrasos, zonas mortas e histerese, ou devido a pequenas constantes de tempo dos atuadores ou sensores que não são considerados na modelagem do processo controlado e dão origem ao fenômeno chattering. =, >0,, <0. Figura 1. Trajetórias do sistema sobre a superfície σ(x) = 0. (4) A lei de controle deve garantir a estabilidade do sistema e o alcance do estado referente à superfície de chaveamento desejada. Escolhendo a função (5) como candidata a função de Lyapunov, a condição quando σ 0 é dada por (6), que também pode ser escrita como (7) (Hung et al., 1993).,= 1 2 (5),<0 (6) <0 =1,, (7) A dinâmica do sistema em modo deslizante pode ser determinada pelo método do controle equivalente (8), no qual a inversa da matriz, deve existir. A expressão (8) substituída em (1) descreve a dinâmica do sistema em modo deslizante. =,, (8) As funções de chaveamento usualmente são escolhidas como combinações lineares das variáveis de estado, como indicado na equação (9), na qual os coeficientes c ik (i = 1,...,m e k = 1,..., n) são parâmetros constantes. = (9) A Tabela 1 ilustra a estrutura de regras referente a um controlador fuzzy projetado de acordo com a técnica de modo deslizante para sistemas de ordem arbitrária com entrada e saída escalares (Hwang e Lin, 1992). O sistema é definido de modo a garantir que a inequação (7) seja satisfeita, garantindo o alcance ao modo deslizante e reduzindo a ocorrência de chattering devido à substituição de um sinal chaveado, como definido em (3), por um sinal de controle com transições suaves conforme o mapeamento realizado pelas regras fuzzy. As entradas do sistema de controle são e e a saída é a variação da informação de controle u que é adicionada ao valor atual de comando do sistema, ou seja, u(k) = u(k-1) + u(k). Os conjuntos fuzzy foram definidos em cinco grupos: PG Positivo Grande, PP Positivo Pequeno, ZE Zero, NP Negativo Pequeno, NG Negativo Grande. A Figura 2 ilustra as funções associadas. Os universos de discurso estão normalizados em [-1,1]. Os fatores de escala utilizados na normalização das variáveis de entrada e saída constituem os parâmetros de sintonia do controlador por modos deslizantes fuzzy. Tabela 1. Regras do controlador fuzzy. u NG NP ZE PP PG PG ZE PP PG PG PG PP NP ZE PP PG PG ZE NG NP ZE PP PG NP NG NG NP ZE PP NG NG NG NG NP ZE 2295

3 Os valores iniciais de p i e v i são escolhidos aleatoriamente. O algoritmo é executado até que um critério de parada (por exemplo, um determinado número de iterações ou um valor especificado para a função objetivo) seja satisfeito. 4 Metodologia Figura 2. Conjuntos fuzzy associados. 3 Otimização por Enxame de Partículas O método de otimização por enxame de partículas foi originalmente desenvolvido a partir do estudo do comportamento social de espécies animais (Kennedy e Eberhart, 1995). Nesse método, entidades simples denominadas partículas são inseridas no espaço de busca de um determinado problema. Cada uma dessas partículas avalia a função objetivo em sua posição atual e se movimenta pelo espaço de busca com base em informações próprias e informações de outros indivíduos de sua vizinhança. Cada partícula armazena a informação de três vetores n-dimensionais, sendo n a dimensão do espaço de busca: sua posição atual p i, sua melhor posição até o momento g i e sua velocidade atual v i. Em cada iteração do algoritmo, a posição atual é avaliada como uma solução do problema. Se essa posição é melhor do que qualquer uma encontrada até o momento pela partícula, suas coordenadas são armazenadas no vetor g i. O algoritmo opera ajustando v i e novas posições são escolhidas adicionando v i às coordenadas de p i. O enxame é organizado de acordo com uma estrutura ou topologia de comunicação constituída de vértices bidirecionais que conectam pares de partículas. Exemplos de topologias usualmente utilizadas são a global (a vizinhança corresponde a todo o enxame) e em anel. Cada partícula é influenciada pelo melhor ponto encontrado por qualquer membro de sua vizinhança, denotado por g g (Poli et al., 2007). O ajuste da velocidade de uma partícula é realizado pela equação (10), na qual r 1 e r 2 são números aleatórios de uma distribuição uniforme no intervalo [0; 1], c 0 é o fator de inércia, c 1 o fator cognitivo e c 2 o fator social. A atualização da posição de cada partícula é realizada de acordo com a equação (11). As velocidades assumidas pela partícula usualmente são limitadas em um intervalo [-v max, v max ]. + + (10) + (11) O método de otimização por enxame de partículas será utilizado para a obtenção dos fatores de escala utilizados na normalização das variáveis do controlador por modos deslizantes fuzzy apresentado na Seção 2. Os fatores de escala de, e u serão indicados por k 1, k 2 e k 3, respectivamente. As soluções do problema de otimização são indicadas por p* = [k 1 k 2 k 3 ]. O algoritmo de otimização utiliza o resultado de simulações computacionais da malha de controle para determinar os parâmetros do controlador. Em trabalhos anteriores, a informação do erro da malha de controle e da sua variação (Li et al., 1996), assim como do valor da função de chaveamento (Chen e Chang, 1998) e da informação de controle (Lin e Chen, 1997) foram utilizados como parâmetros da função objetivo no projeto de controladores por modos deslizantes em que foram usados algoritmos de computação evolucionária (como algoritmos genéticos) para este propósito. Nesse trabalho, a função objetivo é escolhida visando à redução da distância do sistema à superfície de chaveamento especificada pelo projetista (ou seja, a redução do tempo em que o sistema leva para entrar em modo deslizante) e a não ocorrência de oscilações da informação de controle (fenômeno chattering). Para isso, são definidas as funções (12) e (13), nas quais T indica o instante final da computação do algoritmo. = = Δ (12) (13) As funções f 1 e f 2 definem um problema de otimização multiobjetivo. Para a combinação dessas funções em uma única função objetivo, faz-se a normalização de f 1 e f 2. Para isso, definem-se as transformações F i (i = 1,2) representadas por (14). = (14) Os valores de (i=1,2) são encontrados a partir da solução p i * do problema de otimização com a função objetivo dada por f i (p), ou seja = f i (p i *). O valor de é dado por = f 1 (p 2 *) e o valor de é dado por = f 2 (p 1 *) (Marler e Arora, 2296

4 2004). A função objetivo utilizada no método é então obtida a partir da soma ponderada de F 1 (p) e F 2 (p), ficando definida por (15) para 0 < w < 1. O valor de w determina a característica da resposta do controlador. Quanto maior o valor de w, maior será à velocidade com que o sistema alcança o modo deslizante, podendo influenciar também o efeito do chattering. = +1 (15) 5 Resultados Para testar a metodologia proposta será considerado o problema de estabilização de um pêndulo invertido, ilustrado na Figura 3. O sistema é modelado simplificadamente (não foi levada em consideração a posição do carro) pelas equações (16), em que θ 1 é a posição angular do pêndulo em relação ao eixo vertical, g é a constante de aceleração da gravidade, m é a massa do pêndulo, M é a massa do carro, 2L é o comprimento da haste e a = 1/(M + m) (Hwang e Lin, 1992). Figura 4. Informações da saída e sinal de comando do sistema sem fatores de escalas adequados. A Figura 5 mostra a função de chaveamento e o plano de fase resultante. Verifica-se que o sistema não tem o comportamento de modo deslizante desejado. Assim, para obter-se um bom desempenho da malha de controle, os fatores de escala devem ser escolhidos adequadamente. Figura 3. Pêndulo invertido. = = cos (16) 4 3 Os parâmetros utilizados são g = 9,8 [m/s²], m = 0,05 [kg], M = 0,5 [kg] e L =0,3 [m]. A função de chaveamento escolhida é dada por (17). =2 + (17) A Figura 4 ilustra a resposta da malha de controle com fatores de escala unitários, a partir da qual verifica-se que o sistema apresenta um grande erro em regime permanente e muita oscilação na informação de comando. Figura 5. Função de chaveamento e plano de fase do sistema sem fatores de escalas adequados. O algoritmo de otimização por enxame de partículas foi executado com os parâmetros c 0 = 1, c 1 = 2 e c 2 = 2. A velocidade máxima das partículas foi limitada em [-10, 10] e as posições e velocidades iniciais foram escolhidas aleatoriamente no intervalo [0; 1]. Foi utilizada uma população de 40 partículas conectadas por uma topologia global e o algoritmo foi executado por 100 iterações. Primeiramente, o valor de w na função de custo (15) foi escolhido como w = 0,5. A solução encontrada corresponde aos fatores de escala p* = [0,2 0,1 0,063]. A Figura 6 ilustra a resposta do ângulo θ 1 obtida na simulação. A Figura 7 ilustra o valor da função de chaveamento e a Figura 8 ilustra o plano de fase do sistema. Por fim, a Figura 9 ilustra a informação do sinal de controle obtido na simulação do sistema. 2297

5 Para verificar o efeito da variação de w na resposta da malha de controle, seu valor foi modificado para w = 0,7. A solução encontrada pelo método é dada por p* = [5,5 0,1 0,035]. A Figura 10 ilustra a saída da malha de controle resultante. Figura 6. Resposta de θ 1(t) para w = 0,5. Figura 10. Resposta de θ 1(t) para w = 0,7. Figura 7. Valores da função de chaveamento para w = 0,5. A Figura 11 ilustra o valor da função de chaveamento e a Figura 12 ilustra o plano de fase do sistema. Nota-se que, conforme o esperado, o sistema alcança a superfície de chaveamento de maneira mais rápida do que quando comparado ao caso anterior (w = 0,5). Figura 11. Valores da função de chaveamento para w = 0,7. Figura 8. Plano de fase do sistema para w = 0,5. Figura 12. Plano de fase do sistema para w = 0,7. Figura 9. Informação de controle para w = 0,5. A Figura 13 ilustra a informação de controle obtida na simulação. O fenômeno do chattering conti- 2298

6 nua sendo atenuado adequadamente, mas nota-se que a intensidade da informação de comando é maior quando comparado ao caso anterior. Figura 13. Informação de controle para w = 0,7. 6 Conclusão Esse artigo apresentou a aplicação do método de otimização por enxame de partículas na sintonia de um controlador por modos deslizantes baseado em regras fuzzy. A sintonia corresponde ao ajuste dos fatores de escala das variáveis de entrada e de saída das regras associadas. A característica da resposta da malha de controle resultante pode ser modificada pelo ajuste de um único parâmetro que determina se maior importância é atribuída à velocidade com que o sistema alcança o modo deslizante ou à eliminação de oscilações no sinal de controle. A eficácia do método foi verificada a partir de simulações em um sistema de pêndulo invertido. Em trabalhos futuros espera-se utilizar o método de otimização por enxame de partículas para auxiliar outras etapas do projeto do controlador por modos deslizantes, como na determinação de suas funções de chaveamento. Espera-se também desenvolver um procedimento para sintonia online do controlador por modos deslizantes fuzzy. Perruquetti, W., Barbot, J. P. (eds) Sliding Mode Control in Engineering. New York: Marcel Dekker. Hung, J.Y., Gao, W. and Hung, J.C. (1993). Variable structure control: a survey. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 40(1), pp Hwang, G.C. and Lin, S.C. (1992). A stability approach to fuzzy control design for nonlinear systems. Fuzzy Sets and Systems, 48(3), pp Kennedy, J. and Eberhart, R. (1995). Particle swarm optimization. In: IEEE International Conference on Neural Networks, vol. 4, pp Li, Y., Ng, K.C., Murray-Smith, D.J., Gray, G.J. and Sharman, K.C. (1996). Genetic Algorithm Automated Approach to Design of Sliding Mode Control Systems. International Journal of Control, 63, pp Lin, S.C. and Chen, Y.Y. (1997). Design of selflearning fuzzy sliding mode controllers based on genetic algorithms. Fuzzy Sets and Systems, 2(1), pp Marler, R.T. and Arora, J.S. (2004). Survey of multiobjective optimization methods for engineering. Structural and Multidisciplinary Optimization, 26(6), pp Poli, R., Kennedy, J. and Blackwell, T. (2007). Particle swarm optimization: an overview. Swarm Intelligence Journal, 1(1), pp Utkin, V.I. (1993). Sliding mode control design principles and applications to electric drives. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 40(1), pp Yu, X., and Kaynak, O. (2009). Sliding-Mode Control With Soft Computing: A Survey. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 56(9), pp Agradecimentos Os autores gostariam de agradecer à FAPEMIG pelo suporte financeiro. Referências Chen, C.L. and Chang, M.H. (1998). Optimal design of fuzzy sliding-mode control: A comparative study. Fuzzy Sets and Systems, 1(1), pp DeCarlo, R.A., Zak, S.H. and Matthews, G.P. (1988). Variable structure control of nonlinear multivariable systems: a tutorial. Proceedings of the IEEE, 76(3), pp Fossard, A.J. and Floquet, T. (2002). An Overview of Classical Sliding Mode Control. In: 2299