PSO Particle Swarm Optimization ou Otimização por enxame de partículas Introdução Inspiração Funcionamento Parametrização
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- Vitorino Caiado
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1 Manoela Kohler
2 PSO Particle Swarm Optimization ou Otimização por enxame de partículas Introdução Inspiração Funcionamento Parametrização Variantes de PSO Aplicações PSO+: algoritmo baseado em enxame de partículas para problemas com restrições lineares e não lineares aplicado à otimização de malhas de drenagem Lista de exercícios em Matlab 2
3 1995 James Kennedy Psicólogo social Russell Eberhart Engenheiro Elétrico 3
4 4
5 Inteligência de enxame É a inteligência artificial baseada no comportamento coletivo de sistemas descentralizados e auto organizáveis. Algoritmo evolucionário com base na simulação de modelos sociais: Bando de pássaros em revoada; Cardume de peixes; PSO => partículas => enxame: convivência e colaboração; Fator social; Fator cognitivo. 5
6 PSO é uma técnica de otimização estocástica robusta baseada no movimento e inteligência de enxames. PSO aplica o conceito de interação social para solução de problemas. O algoritmo utiliza agentes (partículas) que constituem um enxame movendo-se em um espaço de busca procurando por uma solução ótima. Cada partícula é tratada como um ponto em um espaço n-dimensional que ajusta seu voô de acordo com sua própria experiência assim como com a experiência das outras partículas do enxame. 6
7 Cada partícula que representa uma potencial solução para um problema é mantida no enxame. Em termos simples, as partículas voam por um espaço de busca multidimensional onde a posição de cada partícula é ajustada de acordo com a experiência da mesma. x i t + 1 = x i t + v i (t + 1) x i t + 1 : posição da partícula no passo t+1 x i t : posição da partícula i no espaço de busca no passo t. v i (t + 1): vetor velocidade 7
8 O processo de otimização é movido pelo vetor velocidade, que reflete o conhecimento da partícula em relação aos fatores cognitivo e social. v i = w v i + c 1 rand 1 pbest i x ij + c 2 rand 2 (gbest j x ij ) v i : velocidade da partícula; w: inércia; c 1 e c 2 : constantes de aceleração positivos usados para dimensionar as contribuições dos fatores cognitivo e social da partícula; rand 1 e rand 2 : valores aleatórios (distribuição uniforme) no intervalo [0,1]; pbest i : melhor posição atingida pela partícula i; gbest j : melhor posição já atingida pela vizinhança. 8
9 9
10 geográfica social 10
11 Vizinhos da partícula Círculo virtual
12 Global 12
13 Melhor posição da partícula Posição atual da partícula x p i p g Velocidade da partícula v Nova posição da partícula 13
14 Número de partículas (tamanho do enxame); Fator cognitivo: tendência da partícula se movimentar a partir do aprendizado passado; em direção à melhor posição já atingida por ela; Fator social: tendência da partícula se movimentar a partir do aprendizado obtido com as partículas vizinhas; em direção à melhor posição já atingida pela vizinhança; Inércia: tendência da partícula continuar na mesma direção do passo anterior; oferece equilíbrio entre exploração e aproveitamento das características do PSO; Vmax: Velocidade máxima que uma partícula pode atingir. 14
15 15
16 Número de partículas: normalmente entre 10 e 50; Fator cognitivo e fator social: em geral valores que somam 4; Inércia: quanto maior, maior a habilidade de busca pela ótimo global, valores menores facilitam a busca local. O ideal é utilizar a inércia adaptativa: começando com um valor alto e diminuir esse valor aos poucos ao longo da otimização; Vmax: deve ser escolhida com critério, dependendo do problema a ser resolvido. Valores muito altos podem fazer com que as partículas passem direto pela solução ótima, tornando o algoritmo instável, e valores muito pequenos podem fazer com que o algoritmo fique preso em um mínimo local. 16
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25 PSO discreto: pode lidar com variáveis discretas; PSO misto: pode lidar com variáveis discretas e contínuas conjuntamente; PSO híbrido: utiliza mecanismos básicos de seleção natural utilizados em computação evolucionária, como GA; PSO com restrições: propõe modificações no algoritmo para que seja possível lidar com problema de otimização que envolvam restrições. 26
26 Optimization of hydrocarbon field development planning Applications of PSO in project scheduling
27 Secrest B. R., Traveling Salesman Problem for Surveillance Mission using Particle Swarm Optimization, AFIT/GCE/ENG/01M-03, Air Force Institute of Technology, Yoshida H., Kawata K., Fukuyama Y., "A Particle Swarm Optimization for Reactive Power and Voltage Control considering Voltage Security Assessment", IEEE Trans. on Power Systems, vol. 15, 2001, p Cockshott A. R., Hartman B. E., "Improving the fermentation medium for Echinocandin B production. Part II: Particle swarm optimization", Process biochemistry, vol. 36, 2001, p
28 Global Optimization Toolbox Open Source: Contribuições do File Exchange:
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30 Manoela Kohler
31 Otimização com restrições: Importância em aplicações de engenharia, matemática, economia, entre outras; Restrições podem representar limites físicos de sistemas ou intervalos desejáveis de operação. Encontrar x para minimizar ou maximizar f(x) Sujeito a g i x 0, i = 1, 2,, n, h j x = 0, j = 1, 2,, p 32
32 A função de penalização tem sido o método de controle restrição mais popular: Simplicidade Facilidade de implementação; As violações das restrições das soluções são incorporadas na função objetivo: Penalidade constante: F p = F + C i δ i ; Penalidade adaptativa e dinâmica; Penalidade que garanta que soluções inválidas terão avaliação sempre menor que soluções válidas. 33
33 A abordagem de operador de validade define métodos a serem aplicados no caso de a partícula voar para fora dos limites das restrições: Muitos métodos têm boa performance com restrições de domínio (ou fronteira) quando as restrições são impostas a cada variável individualmente, mas eles não podem lidar com problemas de otimização com restrições lineares e não lineares. 34
34 Absorbing Walls Reflecting Walls Invisible Walls Eberhart Bi-objetivo 35
35 Restrições Fluxo PSO+ Inicialização da população Crossover aritmético Pontos de apoio 36
36 f x 1, x 2,, x n = b f x 1, x 2,, x n b ε ε =
37 Restrições Fluxo PSO+ Inicialização da população Crossover aritmético Pontos de apoio 38
38 Heurística de inicialização: A primeira partícula válida é inicializada aleatoriamente; Outras partículas são geradas aleatoriamente e validadas: Se válidas, salva a partícula; Caso contrário, uma partícula válida é escolhida aleatoriamente para tornar a partícula inválida em uma partícula válida. 39
39 Metropolis-Hastings: Método de cadeia de Markov Monte Carlo; Sequência de amostras aleatórias de uma distribuição de probabilidade cuja amostragem direta é difícil; Geralmente usado para a amostragem de distribuições multidimensionais. 40
40 Restrições Fluxo PSO+ Inicialização da população Crossover aritmético Pontos de apoio 41
41 Pseudocódigo do Funcionamento dos Pontos de Apoio 1: ProbabilidadeRedirecionamento = 0,2 2: Se válida (P) //partícula P 3: 4: Se rand() <= ProbabilidadeRedirecionamento 5: 6: De (t = 0 até 10) 7: 8: vmax = P F //F (foothold) = ponto de apoio 9: v(t+1) = rand() * (x F x(t)) 10: x(t+1) = x(t) + v(t+1) 11: Se válida (P em x(t+1)) 12: 13: Atualiza posição de P 14: 15: Caso contrário 16: 17: Sai do Loop 18: 19: 20: 21: 42
42 Restrições Fluxo PSO+ Inicialização da população Crossover aritmético Pontos de apoio 43
43 Inspirada no algoritmo GenocopIII; Método para manipular restrições lineares e não lineares; Incorpora dois enxames separados: Enxame de fronteira: satisfaz pelo menos as restrições de domínio; Enxame de referência: satisfaz todas as restrições; Sempre retorna soluções válidas. 44
44 Ps=F 1, F 2, F 3, F 4, F 5 satisfaz restrições de domínio Pr=R 1, R 2, R 3, R 4 satisfaz qualquer restrição F 1 R 1 F 2 F 5 R 2 F 4 R 4 R 3 F 3 região viável região não viável ProbabilidadeSubstituicao = rand([0,1]) //rand() [0,1] Se inválida (F) Z = a*f + (1 - a)*r //a [0,1] Enquanto inválida (Z) Z = a*z + (1 - a)*r //a [0,1] Se avaliação (Z) > avaliação (R) R = Z Se rand() < ProbabilidadeSubstituicao F = Z 45 45
45 Ps=F 1, F 2, F 3, F 4, F 5 satisfaz restrições de domínio Pr=R 1, R 2, R 3, R 4 satisfaz qualquer restrição Z R 1 F 2 R 2 R 3 F 3 região viável região não viável F 1 F 5 F 4 R 4 ProbabilidadeSubstituicao = rand([0,1]) //rand() [0,1] Se inválida (F) Z = a*f + (1 - a)*r //a [0,1] Enquanto inválida (Z) Z = a*z + (1 - a)*r //a [0,1] Se avaliação (Z) > avaliação (R) R = Z Se rand() < ProbabilidadeSubstituicao F = Z 46
46 Ps=F 1, F 2, F 3, F 4, F 5 satisfaz restrições de domínio Pr=R 1, R 2, R 3, R 4 satisfaz qualquer restrição Z R 1 F 2 R 2 R 3 F 3 região viável região não viável F 1 F 5 F 4 R 4 ProbabilidadeSubstituicao = rand([0,1]) //rand() [0,1] Se inválida (F) Z = a*f + (1 - a)*r //a [0,1] Enquanto inválida (Z) Z = a*z + (1 - a)*r //a [0,1] Se avaliação (Z) > avaliação (R) R = Z Se rand() < ProbabilidadeSubstituicao F = Z 47 47
47 Ps=F 1, F 2, F 3, F 4, F 5 satisfaz restrições de domínio Pr=R 1, R 2, R 3, R 4 satisfaz qualquer restrição R 1 Z F 2 R 2 R 3 F 3 região viável região não viável F 1 F 5 F 4 R 4 ProbabilidadeSubstituicao = rand([0,1]) //rand() [0,1] Se inválida (F) Z = a*f + (1 - a)*r //a [0,1] Enquanto inválida (Z) Z = a*z + (1 - a)*r //a [0,1] Se avaliação (Z) > avaliação (R) R = Z Se rand() < ProbabilidadeSubstituicao F = Z 48
48 Ps=F 1, F 2, F 3, F 4, F 5 satisfaz restrições de domínio Pr=R 1, R 2, R 3, R 4 satisfaz qualquer restrição R 1 Z F 2 R 2 R 3 F 3 região viável região não viável F 1 F 5 F 4 R 4 ProbabilidadeSubstituicao = rand([0,1]) //rand() [0,1] Se inválida (F) Z = a*f + (1 - a)*r //a [0,1] Enquanto inválida (Z) Z = a*z + (1 - a)*r //a [0,1] Se avaliação (Z) > avaliação (R) R = Z Se rand() < ProbabilidadeSubstituicao F = Z 49
49 Ps=F 1, F 2, F 3, F 4, F 5 satisfaz restrições de domínio Pr=R 1, R 2, R 3, R 4 satisfaz qualquer restrição R 1 Z F 2 R 2 R 3 F 3 região viável região não viável F 1 F 5 F 4 R 4 ProbabilidadeSubstituicao = rand([0,1]) //rand() [0,1] Se inválida (F) Z = a*f + (1 - a)*r //a [0,1] Enquanto inválida (Z) Z = a*z + (1 - a)*r //a [0,1] Se avaliação (Z) > avaliação (R) R = Z Se rand() < ProbabilidadeSubstituicao F = Z 50 50
50 Ps=F 1, F 2, F 3, F 4, F 5 satisfaz restrições de domínio Pr=R 1, R 2, R 3, R 4 satisfaz qualquer restrição R 1 Z F 2 R 2 R 3 F 3 região viável região não viável F 1 F 5 F 4 R 4 ProbabilidadeSubstituicao = rand([0,1]) //rand() [0,1] Se inválida (F) Z = a*f + (1 - a)*r //a [0,1] Enquanto inválida (Z) Z = a*z + (1 - a)*r //a [0,1] Se avaliação (Z) > avaliação (R) R = Z Se rand() < ProbabilidadeSubstituicao F = Z 51
51 Ps=F 1, F 2, F 3, F 4, F 5 satisfaz restrições de domínio Pr=R 1, R 2, R 3, R 4 satisfaz qualquer restrição R 1 Z F 2 R 2 R 3 F 3 região viável região não viável F 1 F 5 F 4 R 4 ProbabilidadeSubstituicao = rand([0,1]) //rand() [0,1] Se inválida (F) Z = a*f + (1 - a)*r //a [0,1] Enquanto inválida (Z) Z = a*z + (1 - a)*r //a [0,1] Se avaliação (Z) > avaliação (R) R = Z Se rand() < ProbabilidadeSubstituicao F = Z 52
52 Ps=F 1, F 2, F 3, F 4, F 5 satisfaz restrições de domínio Pr=R 1, R 2, R 3, R 4 satisfaz qualquer restrição R 1 F 1 F 2 F 5 R 2 F 4 R 4 R 3 F 3 região viável região não viável ProbabilidadeSubstituicao = rand([0,1]) //rand() [0,1] Se inválida (F) Z = a*f + (1 - a)*r //a [0,1] Enquanto inválida (Z) Z = a*z + (1 - a)*r //a [0,1] Se avaliação (Z) > avaliação (R) R = Z Se rand() < ProbabilidadeSubstituicao F = Z 53
53 Ps=F 1, F 2, F 3, F 4, F 5 satisfaz restrições de domínio Pr=R 1, R 2, R 3, R 4 satisfaz qualquer restrição R 1 F 1 F 2 F 5 R 2 F 4 R 4 R 3 F 3 região viável região não viável ProbabilidadeSubstituicao = rand([0,1]) //rand() [0,1] Se inválida (F) Z = a*f + (1 - a)*r //a [0,1] Enquanto inválida (Z) Z = a*z + (1 - a)*r //a [0,1] Se avaliação (Z) > avaliação (R) R = Z Se rand() < ProbabilidadeSubstituicao F = Z 54
54 Restrições Fluxo PSO+ Inicialização da população Crossover aritmético Pontos de apoio 55
55 Início Inicializa Pontos de Apoio Atualiza posição das partículas Inicializa pontos de apoio Inicializa partículas de Fronteira Sim Para cada partícula: é válida? Kmedoids Metropolis-Hastings Inicializa partículas de referência Heurística de inicialização Não Aplica crossover aritmético p 1 pbest = avaliação Calcula avaliação de cada partícula válida Avaliação > pbest? Mantém pbest Gerador aleatório >=0.2 Calcula avaliação de cada partícula <0.2 Enquanto válida: redireciona partícula para ponto de apoio p 2 p n... gbest = melhor avaliação entre as apartículas Não Número máximo de iterações atingido? Calcula a velocidade para cada partícula Sim FIM 56
56 Início Inicializa Pontos de Apoio Atualiza posição das partículas Inicializa partículas de Fronteira Sim Para cada partícula: é válida? Inicializa o enxame inicial de partículas de fronteira Kmedoids Metropolis-Hastings Inicializa partículas de referência Heurística de inicialização Não Aplica crossover aritmético p 1 Calcula avaliação de cada partícula válida Avaliação > pbest? Gerador aleatório >=0.2 <0.2 Enquanto válida: redireciona partícula para ponto de apoio p 2... pbest = avaliação Mantém pbest Calcula avaliação de cada partícula p n gbest = melhor avaliação entre as apartículas Não Número máximo de iterações atingido? Calcula a velocidade para cada partícula Sim FIM 57
57 Início Inicializa Pontos de Apoio Atualiza posição das partículas Inicializa partículas de Fronteira Sim Para cada partícula: é válida? Kmedoids Metropolis-Hastings Inicializa partículas de referência Heurística de inicialização Não Aplica crossover aritmético Inicializa o enxame inicial de partículas de referência Calcula avaliação de cada partícula válida Avaliação > pbest? Gerador aleatório >=0.2 <0.2 Enquanto válida: redireciona partícula para ponto de apoio p 1 pbest = avaliação Mantém pbest Calcula avaliação de cada partícula p 2... gbest = melhor avaliação entre as apartículas Não Número máximo de iterações atingido? p n Calcula a velocidade para cada partícula Sim FIM 58
58 Início Kmedoids Metropolis-Hastings Inicializa Pontos de Apoio Inicializa partículas de Fronteira Inicializa partículas de referência Heurística de inicialização Sim Atualiza posição das partículas Para cada partícula: é válida? Não Aplica crossover aritmético f(c 3 ) f(c 4 ) f(c 2 ) f(c 1 ) Calcula avaliação de cada partícula válida Gerador aleatório <0.2 pbest = avaliação Avaliação > pbest? Mantém pbest >=0.2 Calcula avaliação de cada partícula Enquanto válida: redireciona partícula para ponto de apoio f(c 5 ) f(c 6 ) f(c n ) gbest = melhor avaliação entre as apartículas Não Número máximo de iterações atingido? Calcula a velocidade para cada partícula Sim FIM 59
59 Início Inicializa Pontos de Apoio Atualiza posição das partículas Inicializa partículas de Fronteira Sim Para cada partícula: é válida? Kmedoids Metropolis-Hastings Inicializa partículas de referência Heurística de inicialização Não Aplica crossover aritmético Calcula avaliação de cada partícula válida Avaliação > pbest? Gerador aleatório >=0.2 <0.2 Enquanto válida: redireciona partícula para ponto de apoio pbest = avaliação Mantém pbest Calcula avaliação de cada partícula gbest = melhor avaliação entre as apartículas Não Número máximo de iterações atingido? Calcula a velocidade para cada partícula Sim FIM 60
60 Início Inicializa Pontos de Apoio Atualiza posição das partículas v i t + 1 = w t v i t + c 1 t rand 1 pbest i t x i (t) Inicializa partículas de Fronteira Sim Para cada partícula: é válida? Kmedoids Metropolis-Hastings Inicializa partículas de referência Heurística de inicialização Não Aplica crossover aritmético Calcula avaliação de cada partícula válida Gerador aleatório <0.2 w t = w i (w i w f ) t N Avaliação > pbest? >=0.2 Enquanto válida: redireciona partícula para ponto de apoio c 1 t = c 1i (c 1i c 1f ) t N pbest = avaliação Mantém pbest Calcula avaliação de cada partícula gbest = melhor avaliação entre as apartículas Não Número máximo de iterações atingido? c 2 t = c 2i (c 2i c 2f ) t N Calcula a velocidade para cada partícula Sim FIM 61
61 Início Inicializa Pontos de Apoio Atualiza posição das partículas x i t + 1 = x i t + v i (t + 1) Inicializa partículas de Fronteira Sim Para cada partícula: é válida? Kmedoids Metropolis-Hastings Inicializa partículas de referência Heurística de inicialização Não Aplica crossover aritmético Calcula avaliação de cada partícula válida Avaliação > pbest? Gerador aleatório >=0.2 <0.2 Enquanto válida: redireciona partícula para ponto de apoio pbest = avaliação Mantém pbest Calcula avaliação de cada partícula gbest = melhor avaliação entre as apartículas Não Número máximo de iterações atingido? Calcula a velocidade para cada partícula Sim FIM 62
62 Início Inicializa Pontos de Apoio Atualiza posição das partículas Inicializa partículas de Fronteira Sim Para cada partícula: é válida? Kmedoids Metropolis-Hastings Inicializa partículas de referência Heurística de inicialização Não Aplica crossover aritmético Calcula avaliação de cada partícula válida Avaliação > pbest? Gerador aleatório >=0.2 <0.2 Enquanto válida: redireciona partícula para ponto de apoio pbest = avaliação Mantém pbest Calcula avaliação de cada partícula gbest = melhor avaliação entre as apartículas Não Número máximo de iterações atingido? Calcula a velocidade para cada partícula Sim FIM 63
63 Início Inicializa Pontos de Apoio Atualiza posição das partículas ciclos de evolução Inicializa partículas de Fronteira Sim Para cada partícula: é válida? Kmedoids Metropolis-Hastings Inicializa partículas de referência Heurística de inicialização Não Aplica crossover aritmético Calcula avaliação de cada partícula válida Avaliação > pbest? Gerador aleatório >=0.2 <0.2 Enquanto válida: redireciona partícula para ponto de apoio pbest = avaliação Mantém pbest Calcula avaliação de cada partícula gbest = melhor avaliação entre as apartículas Não Número máximo de iterações atingido? Calcula a velocidade para cada partícula Sim FIM 64
64 Início Inicializa Pontos de Apoio Atualiza posição das partículas ciclos de evolução Inicializa partículas de Fronteira Sim Para cada partícula: é válida? Kmedoids Metropolis-Hastings Inicializa partículas de referência Heurística de inicialização Não Aplica crossover aritmético Calcula avaliação de cada partícula válida Avaliação > pbest? Gerador aleatório >=0.2 <0.2 Enquanto válida: redireciona partícula para ponto de apoio pbest = avaliação Mantém pbest Calcula avaliação de cada partícula gbest = melhor avaliação entre as apartículas Não Número máximo de iterações atingido? Calcula a velocidade para cada partícula Sim FIM 65
65 Início Inicializa Pontos de Apoio Atualiza posição das partículas ciclos de evolução Inicializa partículas de Fronteira Sim Para cada partícula: é válida? Kmedoids Metropolis-Hastings Inicializa partículas de referência Heurística de inicialização Não Aplica crossover aritmético Calcula avaliação de cada partícula válida Avaliação > pbest? Gerador aleatório >=0.2 <0.2 Enquanto válida: redireciona partícula para ponto de apoio pbest = avaliação Mantém pbest Calcula avaliação de cada partícula gbest = melhor avaliação entre as apartículas Não Número máximo de iterações atingido? Calcula a velocidade para cada partícula Sim FIM 66
66 Início Inicializa Pontos de Apoio Atualiza posição das partículas retorna a melhor solução encontrada ao final do processo evolutivo Inicializa partículas de Fronteira Sim Para cada partícula: é válida? Kmedoids Metropolis-Hastings Inicializa partículas de referência Heurística de inicialização Não Aplica crossover aritmético Calcula avaliação de cada partícula válida Avaliação > pbest? Gerador aleatório >=0.2 <0.2 Enquanto válida: redireciona partícula para ponto de apoio pbest = avaliação Mantém pbest Calcula avaliação de cada partícula gbest = melhor avaliação entre as apartículas Calcula a velocidade para cada partícula Não Número máximo de iterações atingido? Sim FIM melhor solução 67
67 Exercícios em sala Lista de exercícios para casa: Vale nota; Será enviado por ; Data de entrega será informada no . 68
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