ARTIFICIAL FISH SWARM ALGORITHM APPLIED TO THE TRAVELING SALEMAN PROBLEM

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1 ARTIFICIAL FISH SWARM ALGORITHM APPLIED TO THE TRAVELING SALEMAN PROBLEM Allan Kardec Lopes (Instituto Federal Goiano Campus Urutaí GO Brasil) Gina M. B. de Oliveira (Universidade Federal de Uberlândia MG Brasil) Lais C. R. da Silva Lopes (Instituto Federal Goiano Campus Urutaí GO Brasil) Paulo H. G. Mansur (Instituto Federal Goiano Campus Urutaí GO Brasil) This article describes the adjustments made in the Artificial Fish Swarm Algorithm (AFSA) to find solutions to the traveling salesman problem. The changes are necessary because the AFSA was initially designed for continuous domain problems and the traveling salesman problem is a problem of discrete domain. The performance of AFSA was compared with two other algorithms collective intelligence, Ant System (AS) and the Discrete Particle Swarm Optmization (DPSO), the results demonstrate that AFSA was superior to DPSO and inferior to the AS. Keywords: artificial fish swarm algorithm, traveling salesman problem, ant system, discrete particle swarm optimization Este artigo descreve as adaptações realizadas no Artificial Fish Swarm Algorithm (AFSA) para encontrar soluções para o problema do caixeiro viajante. As modificações são necessárias por que o AFSA foi projetado inicialmente para problemas de domínio contínuo e o problema do caixeiro viajante é um problema de domínio discreto. O desempenho do AFSA foi comparado com dois outros algoritmos de inteligência coletiva, o Ant System (AS) e o Discrete Particle Swarm Optmization (DPSO), os resultados demonstram que o AFSA foi superior ao DPSO e ligeiramente inferior ao AS. Palavras-chave: artificial fish swarm algorithm, problema do caixeiro viajante, ant system, discrete particle swarm optimization 1194

2 1. Introdução Algoritmos bioinspirados baseados em populações e metaheurísticas tem sido amplamente utilizados em problemas de busca e otimização, cuja resolução por meio de métodos matemáticos tradicionais tem se mostrado computacionalmente inviável. Os algoritmos pesquisados neste trabalho fazem parte de um ramo da Computação Evolutiva conhecido por Inteligência Coletiva (IC). A inspiração para os métodos de IC procedem do comportamento social inteligente demonstrado por alguns seres vivos em atividades específicas na natureza, como por exemplo, a busca de formigas ou de peixes por alimentos, a revoada de um bando de pássaros, entre outros. Esse comportamento social inteligente emerge a partir de interações locais entre os indivíduos da população. Alguns métodos, como por exemplo, Particle Swarm Optimization (PSO) (Kennedy & Eberhart, 1995) são propostos para problemas cujo domínio das variáveis é contínuo, sendo necessário realizar modificações para serem aplicados a problemas de otimização combinatória onde o domínio das variáveis é discreto. Nesse sentido, Maurice Clerc propôs em 2004 uma versão do PSO para problemas de domínio discreto, ilustrando com o Problema do Caixiero Viajante (PCV), essa versão ficou conhecida como Discrete Particle Swarm Optimization (Clerc, 2004). O objetivo desta pesquisa é aplicar o Artificial Fish Swarm Algorithm (AFSA) (Li, Shao & Quian, 2003), originalmente proposto para problemas contínuos, ao PCV, um popular problema de otimização combinatória pertencente à classe de problemas conhecidos como NP-completo. Dado um mapa composto por um conjunto de cidades interligadas e as respectivas distâncias entre elas, o PCV consiste em encontrar a menor rota que iniciando de uma cidade, passa uma única vez por todas as cidades do mapa e retorne para a cidade inicial. Uma instância do problema com n cidades tem o seu espaço de busca definido pela permutação S = (n - 1)!/2, onde S é o número de soluções possíveis para a instância. O PCV foi escolhido por ser de fácil entendimento, computacionalmente difícil e possuir várias aplicações práticas em logística, roteamento de veículos, roteamento de pacotes em redes de computadores, entre outras. 2. Artificial fish swarm algorithm O AFSA foi originalmente proposto por Li et al.(2003). A inspiração para este algoritmo procede da observação do comportamento social inteligente presente em cardumes de peixes na busca por alimentos. Em um cardume de peixes artificiais cada peixe pode simular um dos 4 comportamentos definidos: o comportamento de perseguição de presas (Prey), o comportamento coletivo de seguir o bando (Swarm), o comportamento de seguir o melhor peixe da vizinhança (Follow) e o comportamento de se mover em direção a novas fontes de alimento (Move). O AFSA é conhecido por fazer surgir o ótimo global a partir da busca local individual dos peixes e por possuir certa habilidade adaptativa para pesquisar o espaço de soluções (Chen, Wang, Li & Li, 2007). A habilidade adaptativa do AFSA esta na capacidade do algoritmo de permitir que os peixes selecionem e executem o movimento que for mais vantajoso em um dado instante, como pode ser visto no pseudocódigo do algoritmo na subseção

3 Para entender o modelo de peixe artificial proposto em (Li et al., 2003), é necessário algumas definições: X i é a posição do peixe i e representa uma solução do problema; y = f(x) é a função objetivo da posição X e representa a qualidade (fitness) da posição; d ij = X i - X j representa a distância entre o peixe i e j; Visual é um parâmetro que define quando um peixe está no campo de visão de outro, ou seja, é a distância visual entre eles; δ representa o volume máximo de peixes em uma determinada área; nf é quantidade de peixes dentro do raio de visão de um determinado peixe, ou seja, dentro da sua vizinhança; Mstep é o tamanho máximo do passo que um peixe pode dar ao se mover; step é um número aleatório positivo entre 1 e Mstep e S = {X j X i - X j < Visual} é a vizinhança do peixe i. Os movimentos que um peixe artificial pode executar serão detalhados a seguir. 2.1 Prey O peixe move-se na direção de posições aleatórias, dentro da sua vizinhança S, na busca por posições com maior concentração de comida, ou seja, posições com um melhor valor de fitness. Relacionado ao prey, é definido o parâmetro trynumber que deve especificar quantas vezes o peixe irá tentar executar este movimento consecutivamente na tentativa de melhorar sua posição, caso isso não seja possível, o indivíduo move-se aleatoriamente, podendo inclusive ir para fora do seu campo visual, estas ações podem ser expressas de acordo com a equação Swarm A ideia deste movimento é fazer com que o peixe siga em direção ao centro da sua vizinhança obedecendo a seguinte condição: o fitness da posição central divido pela quantidade de vizinhos, nf, tem que ser maior do que o volume máximo de peixes da vizinhança multiplicado pelo fitness da posição atual, caso contrário, o peixe executa o movimento prey, conforme equação

4 Onde X c é a posição central e é obtida através da soma de todas as posições que fazem parte da vizinhança de X i dividida pela quantidade de peixes desta vizinhança. 2.3 Follow Este comportamento expressa a atitude do peixe em seguir o melhor peixe da sua vizinhança, ou seja, aquele cuja posição tem um melhor fitness (y max ). Porém, é necessário que isso seja mais vantajoso que a sua posição atual e também respeite o volume máximo de peixes por área. A equação 3 expressa este comportamento. 2.4 Pseudocódigo A figura 1 ilustra o pseudocódigo do algoritmo. Note que o peixe executa o movimento que for mais vantajoso em cada iteração. Figura 1. Pseudocódigo do AFSA 1197

5 3. Metodologia Nesta seção serão descritas as alterações propostas no AFSA original, descrito na seção 2, para que possa ser aplicado ao PCV e a condução dos experimentos realizados. 3.1 Representações das posições no espaço de busca Como explicado anteriormente, na seção 2, X i é a posição do peixe i e representa uma possível solução do problema. Para o PCV X i é um vetor de permutação de inteiros, onde cada posição deste vetor representa uma cidade visitada. Por exemplo, para uma instância com 5 cidades uma possível solução seria X i = [1, 2, 4, 5, 3]. 3.2 Diferença entre posições (X i - X j ) A diferença entre duas posições X i - X j passa a ser uma lista de transposições necessárias para que uma posição X i se torne igual a X j. Essa estratégia foi aplicada com sucesso em (Clerc, 2004) e (Aloise, Oliveira & Silva, 2006). Por exemplo, considere as seguintes posições X i = [1, 5, 4, 3, 2] e X j = [1, 2, 3, 4, 5] a diferença resultante entre X i e X j seria L = {{2,5},{3,4}}, que representa as trocas de posições que devem acontecer entre os elementos de X i para que ela se aproxime ou se torne igual a X j. 3.3 Tamanho máximo do passo de um peixe (Mstep) A variável Mstep passa a ser o tamanho total de uma lista de transposições L, que resulta do cálculo da diferença entre duas posições, para o exemplo na subseção 3.2 o tamanho de L é Mstep = Definição do passo de um peixe (Step * (X i - X j )) A variável step é um número aleatório entre 1 e Mstep e diz quanto da lista de transposições L deve ser aplicado à posição X i para que ela se aproxime de X j. Para o caso step < Mstep, então step * L significa que L deve ser truncado de acordo com o valor de step. 3.5 Executando o movimento (X i + L) Quando se calcula a diferença entre duas posições, como mostrado na subseção 3.2, o resultado é L. A operação de adição entre uma posição e uma lista de transposições significa que as transposições em L devem ser efetivamente aplicadas ao peixe em questão para que ele se aproxime de outro peixe. 1198

6 3.6 Definição do centro de uma vizinhança A posição central X c de uma vizinhança foi calculada definindo-se para cada célula de X c a cidade que mais aparece nas células de mesmo índice em todas as posições da vizinhança (Wang & Hu, 2009). Por exemplo, se as posições dos peixes vizinhos são [4, 1, 5, 3, 2], [3, 4, 5, 1, 2], [4, 3, 2, 5, 1] e [5, 3, 4, 1, 2], então X c = [4, 3, 5, 1, 2]. 3.7 Reescrevendo as equações Reescrevendo as equações 1, 2 e 3 que expressam respectivamente os movimentos de prey, swarm e follow, obtêm-se as equações 4, 5 e Condução do experimento Foram escolhidas 10 instâncias do PCV na TSPLIB (Reinelt, 2012) e para cada instância foram realizadas 100 execuções do AFSA. Para efeitos de comparação, foram realizadas 100 execuções dos métodos Ant System (AS) (Dorigo, Maniezzo & Corloni, 1991) e do Discrete Particle Swarm Optimization (DPSO) (Clerc, 2004) para as mesmas 10 instâncias. Na tabela 1 estão os valores dos parâmetros usados para cada método. A fim de verificar a influência do parâmetro δ no desempenho do AFSA, adotou-se a estratégia de fazê-lo decrescer vinte por cento do seu valor toda vez que o melhor fitness, já encontrado pelo cardume, não progrida por mais de 25 iterações seguidas. Caso o δ fique abaixo de 0.2, ele recebe um incremento de vinte por cento do seu valor. Para isso, duas versões do AFSA foram implementadas, uma que utiliza um valor de δ estático (AFSA1) e outra em que δ pode sofrer modificações (AFSA2). Em ambos as versões do método os valores iniciais dos parâmetros trynumber, visual e δ são os mesmos. O número máximo de iterações (300) foi adotado como critério de parada nos três métodos. O número de indivíduos em cada método varia de acordo com o número de cidades da instância do PCV. Por exemplo, se uma determinada 1199

7 instância possui 30 cidades, a quantidade de formigas no AS foi 30, no DPSO o número de partículas foi 30 e no AFSA o número de peixes também foi 30. Tabela 1. Valores atribuídos aos parâmetros de cada algoritmo 4. Resultados A figura 2 mostra os gráficos de convergência do AFSA1, com valor fixo de δ, e do AFSA2, com δ adaptativo, para a instância do PCV conhecida como bayg29. Figura 2. Convergência das duas versões do AFSA, à esquerda com o δ adaptativo e à direta com δ fixo em 0.8. Tabela 2. O melhor e o pior resultado de cada método após 100 execuções para cada instância 1200

8 Figura 3. Comparação entre o ótimo obtido por cada método e o ótimo conhecido de cada instância A tabela 2 mostra o melhor e o pior resultado encontrado, em 100 execuções dos métodos, para cada uma das 10 instâncias trabalhadas do PCV. O gráfico da figura 3 é um recorte da tabela 2 onde é possível comparar o ótimo conhecido das instâncias, fornecido em (Reinelt, 2012), com o melhor ótimo encontrado pelos métodos após as 100 execuções. 5. Conclusão Ao final das 100 execuções, as duas versões do algoritmo AFSA foram superiores ao DPSO em todas as instâncias do PCV. Em compensação, em relação ao AS, os resultados praticamente se igualaram, sendo o desempenho global do AFSA ligeiramente inferior ao do AS. Uma das características do AS é que os indivíduos levam em consideração a experiência de todos os indivíduos da colônia, depois de um certo tempo, para tomarem suas decisões, enquanto isso, os indivíduos do AFSA se movimentam baseados apenas nos indivíduos que pertencem ao seus respectivos campos visuais em cada iteração. Incluir a capacidade de levar em consideração a experiência do grupo como um todo no AFSA, como por exemplo, a melhor posição encontrada pelo cardume talvez possa incrementar o seu desempenho. O desempenho do AFSA1 e AFSA2 é muito parecido, revelando que o valor atribuído ao parâmetro δ não influência muito o desempenho do AFSA. Referências Aloise, D. J., de Oliveira, M. C. S., & Silva, T. L. (2006). Otimização Discreta por nuvem de partículas aplicada ao problema do caixeiro viajante. GEPROS 2, Chen, H., Wang, S., Li, J., & Li, Y. (2007). A hybrid of artificial fish swarm algorithm and particle swarm optimization for feedward neural network training. IEEE Advanced Inteligence System research. 1201

9 Clerc, M. (2004). Discrete Particle Swarm Optimization: Illustrated by the Traveling Salesman Problem. In Springer, New Optimization Techniques in Engineering, Dorigo, M., Maniezzo, V., & Corloni, A. (1991). Positive feedback as a search strategy. Technical Report (TR ), Dipartimento di Elettronica, Politecnico de Milano, Italy. Kennedy, J., & Eberhart, R. C. (1995). Particle Swarm optimization. In Proceedings of IEEE International Conference on Neural Networks, Piscataway, NJ, USA, p.: Li, X., L., Shao, J., & Qian, J. X. (2003). An optimizing method based on autonomous animats: Fish-swarm algorithm. System Engineering Theory and Practice 22, Reinelt, G. (2012). TSPLIB. Wang, J. P., & Hu, M. J. (2009). A solution for tsp based on artificial fish algorithm. International Conference on Computational Intelligence and Natural Computing,