Busca Guiada por Agrupamentos aplicada à Alocação de Berços em Portos com Restrições de Navegabilidade

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1 Busca Guiada por Agrupamentos aplicada à Alocação de Berços em Portos com Restrições de Navegabilidade Moisés R. dos Santos 1, Marcelo B. do Nascimento 2, Alexandre C. M. de Oliveira 3 1 Curso de Ciência e Tecnologia Universidade Federal do Maranhão (UFMA) São Luís - Brasil 2 Doutorado em Ciência da Computação Universidade Federal de São Paulo (UNIFESP) São José dos Campos, SP Brasil 3 Departamento de Informática Universidade Federal do Maranhão (UFMA) São Luís - Brasil {moises0rocha@gmail.com,marcelognesp@gmail.com,acmo@deinf.ufma.br } Abstract. Evolutionary Clustering Search (ECS) has been used satisfactorily applied to pattern sequencing problem, for which the objective function considers the overall effect on the cost associated with the order in which the patterns are presented. In this work, the berth allocation problem is approached as a pattern sequencing problem, in which different allocations of ships to berths are represented as permutations. Computational experiments point to ECS s ability to find quality solutions for representative instances of operational scenarios of São Luís ports. The results are comparable to those found in the literature. In addition, new results were produced for the same instances, but with objective function evaluation considering new metrics such as demurrage and makespan. Resumo. O Evolutionary Clustering Search (ECS) tem sido utilizado satisfatoriamente para solução de problemas de sequenciamento de padrões, para os quais a função objetivo considera o efeito global no custo associado à ordem em que os padrões são apresentados. Neste trabalho, o problema de alocação de berços é abordado como um sequenciamento de padrões, no qual diferentes alocações de navios a berços são representadas como permutações. Experimentos computacionais apontam para capacidade do ECS encontrar soluções de qualidade para instâncias representativas de cenários operacionais de portos de São Luís. Os resultados obtidos são comparáveis aos encontrados na literatura. Além desses, resultados inéditos foram produzidos para as mesmas instâncias, mas com avaliação de função objetivo considerando novas métricas como demurrage e makespan. 1. Introdução O Problema de Alocação de Berços (Berth Allocation Problem BAP) ocorre em muitos cenários operacionais de terminais marítimos no Brasil e no mundo, consistindo em atribuir os navios que chegam a um porto para as posições de atracação disponíveis ao longo de um cais (berços) de forma a otimizar alguma métrica de desempenho [Barros 2010]. As principais decisões a serem tomadas neste processo são relacionadas à atracação do navio, segundo. A minimização de custos referentes ao porto e ao navio é geralmente relacionada ao tempo para atendimento de navios dentro do horizonte de planejamento que

2 corresponde ao tempo de espera acrescido pelo tempo de serviço[cordeau et al. 2005], [Mauri 2008] e [Barros 2010]. Algoritmos de Otimização podem ser Exatos ou Heurísticos. Os Algoritmos de Otimização Exatos para [Stefanello 2011] são aqueles que garantem a obtenção da solução ótima do problema porém costumam ser eficientes apenas para instâncias de pequeno e médio portes, devido ao tempo para obtenção de soluções de qualidade. Como alternativa, considerando instâncias de grande porte, existem os Algoritmos de Otimização Heurísticos. Segundo [Oliveira 2004], heurísticas são procedimentos aproximativos, i.e., algoritmos de busca capazes de encontrar soluções aproximadas (sub-ótimas) de boa qualidade em tempo computacional razoável. Algoritmos de Otimização Híbridos podem combinar métodos heurísticos e exatos, para ganho de eficiência. Um metaheurística híbrida, por exemplo, utiliza-se de busca local, geralmente derivada de métodos exatos, para intensificar a busca em regiões promissoras do espaço de busca. Segundo [Oliveira 2004], os principais critérios para aplicação de busca local são o elitista e o probabilístico. No elitismo, aplica-se a busca local em uma parte da população, ou seja, nas melhores soluções encontradas a cada iteração. Um problema deste critério é que as soluções muito boas podem estar mal distribuídas no espaço de busca. O critério probabilístico consiste em selecionar indivíduos ao acaso para aplicar a busca local, o que diversifica, mas desconsidera alguns indivíduos realmente promissores fora da região selecionada. A Busca Guiada por Agrupamentos (do inglês, Evolutionary Clustering Search ECS) tem sido aplicada para solução de problemas de sequenciamento de padrões, tais como o Problema de Leiaute de Matriz-Porta GMLP e o Problema de Minimização de Pilhas Abertas MOSP [Oliveira 2004]. Pode-se também utilizar o ECS para resolver o Problema de Alocação de Berços BAP [Barros 2010], desde que esse seja tratado como um problema de sequenciamento de padrões. O objetivo deste artigo é propor a representação do BAP como um PSP e aplicar o ECS para a solução deste, considerando 3 diferentes tipos de função objetivo, correspondentes a 3 versões diferentes de métricas de desempenho aplicáveis a terminais portuários. Este artigo está dividido em seções. A Seção 2 apresenta o problema em questão, incluindo sua modelagem matemática. Na Seção 3, a metaheurística híbrida Evolutionary Clustering Search é descrita em detalhes. A Seção 4 detalha a modelagem do problema, bem como as funções objetivos implementadas. Na Seção 5, são apresentados e comparados os resultados obtidos por esta abordagem. A Seção 6 sintetiza os principais achados e as conclusões do trabalho. 2. Problema de Alocação de Berços - BAP A modelagem do BAP neste artigo leva em consideração os fatores obtidos por instâncias de cenários reais como: quantidade de navios N, quantidade de berços L, e quantidade de marés M, usada aqui como uma abstração de janelas de tempo chamadas de Tidal Time Windows (TTW). Entende-se por demurrage, um tributo pago referente aos dias que um navio passa, na fila ou em processamento, além do período estabelecido em contrato. Se os valores de demurrage forem altos a ponto de serem significativos economicamente, significa que o

3 problema de minimização deste precisa ser considerado. Assim, o escalonamento dos navios aos berços pode levar levar em conta a redução do demurrage. O Makespan é outra métrica que pode ser considerada no planejamento de um porto. Makespan é um conceito da Pesquisa Operacional associado à diferença entre os tempos de início e fim de uma sequência de tarefas. Para o BAP, segundo o exemplo exposto, consiste em atender todos os navios na menor janela de tempo possível. 3. Evolutionary Clustering Search ECS A metaheurística híbrida ECS, segundo [Oliveira et al. 2013], emprega uma estratégia de agrupamentos para detectar regiões promissoras de busca geradas por um algoritmo evolutivo. Uma região pode ser vista como um subespaço de busca definida por uma relação de vizinhança no espaço de codificação da metaheurística. O ECS tenta localizar regiões promissoras enquadrando-os por clusters (agrupamentos), definidos por um centro e um raio. O centro é iniciado aleatoriamente e, posteriormente, tende a deslizar progressivamente ao longo dos pontos realmente promissores no espaço de busca. O raio corresponde a uma métrica de distância, definida a priori, que permite medir a similaridade entre soluções [Oliveira et al. 2013]. O funcionamento do ECS pode ser dividido em quatro partes [Oliveira et al. 2013]: Metaheurística de Busca (SM), Agrupador Iterativo (IC), Módulo Analisador (AM), Busca Local (LS). Na Figura 1, tem-se o fluxograma da relação entre os componentes do CS, cujos conceitos serão explicados posteriormente. Figura 1. Fluxograma da relação entre os componentes do ECS, Adaptado de [Oliveira and Lorena 2007] O componente SM pode ser implementado por qualquer metaheurística[oliveira et al. 2013]. Neste trabalho, trata-se de um Algoritmo Genético não geracional, usando operadores genéticos típicos: seleção por roleta, cruzamento baseado em bloco e mutação 2-troca [Oliveira and Lorena 2007]. O componente IC realiza o agrupamento participativo de soluções geradas pelo SM, mantendo um centro representativo para cada grupo [Oliveira 2004]. O componente AM examina cada cluster, em intervalos regulares, indicando um provável cluster promissor. A densidade do cluster, também chamada de volume, δ j, é uma medida que indica o nível de atividade dentro do cluster j. Para simplificar, δ j

4 pode contar o número de soluções geradas por SM e agrupados em c j. Sempre que δ j atinge um determinado limiar λ, significa que alguns padrões de informação tornam-se predominantemente gerados por SM, tal cluster deve ser melhor investigado para acelerar o processo de convergência nele. O componente LS é uma busca local que tenta melhorar solução representada pelo centro de cluster. 4. O BAP como um Problema de Sequenciamento de Padrões Neste trabalho, o BAP é abordado como um problema de sequenciamento de padrões (PSP), no qual diferentes alocações de navios a berços são representadas como permutações de símbolos identificadores de navios N e berços L. Assim, a solução candidata é representada por uma permutação de tamanho π BAP = N+L 1. Por exemplo, sendo o número de navios igual à 10 e o número de berços 3, então o tamanho do vetor de permutação é dado por 12, ou seja: onde Os índices 2, 7 e 10 atracam no berço 1 Os índices 1, 3, 4, e 8 atracam no berço 2 Os índices 5, 6 e 9 atracam no berço 3 Os índices 11 e 12, nesse caso, servem apenas para saber onde começa cada fila de cada berço. Esta codificação é necessária pois o algoritmo ECS tem como requisito uma sequencia de números inteiros não repetidos Função Fitness A função fitness é a parte o algoritmo responsável por avaliar e determinar o quão boa é cada solução candidata. A função objetivo de minimização do tempo de atendimento é baseada no trabalho de [Barros 2010] e contabiliza os tempos de atendimento de cada navio. A Equação 1 descreve a abordagem matemática da função objetivo do BAP [Barros 2010]. [ ] N M L j ai + 1 min y ijl (1) i=1 j=a i l=1 h ij onde N é o número de navios, M é o número de TTW, L é o conjunto de posições de atracação, e a i é a TTW de chegada do navio i. A variável de decisão assume os seguintes valores: y ijl = 1, se o navio i estiver alocado na TTW j e atracado no berço l; y ijl = 0, caso contrário. Os efeitos esperados do processo de minimização da função objetivo proposta pode ser entendido pela Figura 2. A tonalidade da cor magenta representa o tempo de atendimento dos navios, calculados pelo operador proposto na Equação 1. Quanto mais escura a tonalidade, maior o tempo de serviço. Como pode-se perceber, os navios com o maior tempo de serviço tendem a ser alocados no berço mais rápido. A função fitness para o problema de minimização de demurrage pode ser descrita conforme a Equação 2, onde d i é proporcional à multa por atraso na operação do navio i e, nesta modelagem, corresponde à prioridade de cada navio.

5 Figura 2. Interpretação da função de minimização do Tempo de Serviço [ ] N M L di min j y ijl (2) i=1 j=1 l=1 h ij Para o cálculo da função fitness para o problema de minimização do makespan foi realizado o seguinte procedimento, no qual T T W fim e T T W ini correspondem aos tempos de atracação do último e primeiro navios atracados, ambos calculados com base na matriz y: 5. Resultados min T T W fim T T W ini + 1 (3) O mesmo framework que tem sido aplicado a problemas de sequenciamento de padrões[oliveira and Lorena 2007] está sendo usado neste trabalho para solucionar instâncias do BAP, com o objetivo de minimizar os tempos de serviço total, o demurrage total e o makespan, sendo que, para os dois últimos, ainda não são conhecidas as soluções ótimas. Para comparação com a minimização do tempo de atendimento do ECS, são utilizados os resultados obtidos por uma metaheurística baseada em GRASP [Lima et al. 2014]. O nome das instâncias serve também para indicar algumas informações relevantes ao entendimento do processo de otimização. Por exemplo a instância instancia.demur a define um horizonte de planejamento contendo 10 navios, que podem ser atendidos em até 15 TTW s (marés) em um terminal portuário equipado com 3 berços. Tabela 1. Resultados Computacionais obtidos para as diferentes abordagens do BAP Atendimento Makespan Demurrage ECS GRASP ECS ECS Instância Ótimo Média ± DP Best (%) Média ± DP Best (%) Média ± DP Best Média ± DP Best instancia.demur a ± 0 31 (100) 31 ± 0 31 (100) 15 ± ± instancia.demur a ± 0 44 (100) 44 ± 0 44 (100) 17 ± ± instancia.demur a ,05 ± 0, (0) 110,46 ± 0, (0) 27,7 ± 0, ,1 ± 2, instancia.demur a ,6 ± 0, (75) 108,26 ± 0, (73) 25,35 ± 0, ,9 ± 4, instancia.demur a - 199,6 ± 2, (-) 208,86 ± 1, (-) 36,7 ± 1, ,25 ± 64, instancia.demur a ,8 ± 1, (20) 216,76 ± 1, (0) 40,25 ± 0, ,25 ± 68, Para o BAP/Tempo de Atendimento, as melhores soluções conhecidas de cada instância, foram encontradas, todavia com uma maior taxa de acerto por parte da abordagem ECS, considerando 30 tentativas de até 10 5 chamadas à função objetivo (critério de parada similar a abordagem GRASP[Lima et al. 2014]). No caso de instancia.demur a, com valor ótimo ainda desconhecido, o melhor valor do ECS foi melhor que o GRASP também. Para as instâncias em que o valor ótimo não foi alcançado por ambas as metaheurísticas, ambos os resultados foram bem próximos.

6 É possível avaliar os resultados do BAP-Makespan como satisfatórios, pois para instancia demur a conseguiu-se atender todos os 30 navios em apenas 40 TTW s, o que é bem menos que as 75 TTW s como horizonte de planejamento. Para a abordagem BAP/Demurrage, cujas instâncias incluem informação sobre eventuais multas caso haja sobrestadia do navio, os melhores valores da abordagem ECS ficam como referência para futuros trabalhos para efeito de comparação. 6. Conclusão O Evolutionary Clustering Search (ECS) tem sido utilizado satisfatoriamente para solução de problemas de sequenciamento de padrões (PSP). Em problemas de sequenciamento de padrões, a função objetivo é calculada considerando o efeito global no custo associado à ordem em que os padrões são apresentados. Neste trabalho, o problema de alocação de berços (BAP) é abordado como um PSP, no qual diferentes alocações de navios a berços são representadas como permutações. Os experimentos consistiram de 30 execuções sobre instâncias representativas de cenários operacionais de portos de São Luís. Os resultados obtidos foram analisados e comparados com outros encontrados na literatura. Alguns resultados inéditos foram produzidos para as mesmas instâncias, mas com avaliação de função objetivo considerando métricas como demurrage e makespan. Como trabalhos futuros pretende-se continuar investigando a modelagem de problemas de otimização como PSP, uma vez que o ECS tem notório desempenho nesta classe de problemas. Referências Barros, V. H. (2010). Problema de alocação de berços em portos graneleiros com restrições de estoque e condições favoráveis de maré. Master s thesis, Universidade Federal do Maranhão, São Luís. Cordeau, J. F., Laporte, G., Legato, P., and Moccia, L. (2005). Models and tabu search heuristics for the berth allocation problem. Transportation Science, 39(4): Lima, I. L. C., do Nascimento, D. N. C. R., do Nascimento, M. B., and Oliveira, A. C. M. (2014). Grasp aplicado ao problema de alocação de berços em terminais portuários graneleiros. In Anais da JIM, São Luís. Mauri, G. R. (2008). Novas Abordagens para Representação e Obtenção de Limitantes e Soluções para alguns Problemas de Otimização Combinatória. PhD thesis, Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, São José dos Campos. Oliveira, A. C. A. M., Chaves, A. A., and Lorena, L. A. N. (2013). Clustering search. Pesquisa Operacional, 33: Oliveira, A. C. M. (2004). Algoritmos Evolutivos Híbridos com Detecção de Regiões Promissoras em Espaços de Busca Contínuos e Discretos. PhD thesis, Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, São José dos Campos. Oliveira, A. C. M. and Lorena, L. A. N. (2007). Hybrid evolutionary algorithms and clustering search. Studies in Computational Intelligence. Stefanello, F. (2011). Hibridização de métodos exatos e heurísticos para resolução de problemas de otimização combinatória. Master s thesis, Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria.