Colônia Evolucionária de Formigas: Uma Proposta Inicial Aplicada ao Problema do Caixeiro Viajante

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1 Colônia Evolucionária de Formigas: Uma Proposta Inicial Aplicada ao Problema do Caixeiro Viajante Fábio dos Santos Ferreira 2,3, Glauber Duarte Monteiro 2,3, Otávio Noura Teixeira 1,2,3 1 Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica (PPGEE), Departamento de Engenharia Elétrica e Computação (DEEC), Universidade Federal do Pará (UFPA) Caixa Postal Belém, PA, Brasil 2 Área de Ciências Exatas e Tecnologia (ACET), Centro Universitário do Pará (CESUPA) Av. Gov. José Malcher, Belém, PA, Brasil 3 Movimento Evolucionário e Cooperativo para a Construção do Artificial MEC 2 A Av. 16 de Novembro, Belém, PA, Brasil {ferreira06, glauberbcc, onoura}@gmail.com Abstract. A procedure for optimization based in Ant Colony is a metaheuristic based on a population of agents (ants) which maes use of mechanisms of adjustment, cooperation and parallelism aimed at obtaining a procedure for solving problems of optimization. This article is a modify in Ant Colony Optimization by introducing the concept of evolution. This clearly presented issues related to the themes of theoretical, the proposal of the algorithm itself, and finally, proposals for simulation for validation. Resumo. Um procedimento de otimização baseado em Colônia de Formigas (ACO) é uma meta-heurística baseada em uma população de agentes (formigas) que faz uso de mecanismos de adaptação, cooperação e paralelismo visando à obtenção de um procedimento para resolução de problemas de otimização. Este artigo faz uma modificação no Algoritmo de Otimização por Colônia de Formigas introduzindo o conceito de Evolução. Para isso, são apresentados aspectos relativos aos temas de fundamentação teórica, a proposta do algoritmo em si e, finalmente, propostas de simulação para validação. 1. Introdução Diversas classes de aplicação exigem poder computacional, tornando uma demanda constante à necessidade de redução do tempo de processamento. Buscar soluções para proporcionar maior desempenho e ampliar o conjunto de aplicações que podem ser resolvidas de maneira eficiente, está entre as atividades dos projetistas de soluções de otimização (Rego, Ferreira, Monteiro e Teixeira, 2006). Os algoritmos de otimização pertencem a um conjunto de métodos utilizados em busca de um possível melhor desempenho exigido constantemente. Os métodos de otimização, construídos a partir de modelos matemáticos, procuram obter a solução ótima para um determinado problema. Os problemas solucionados pelos algoritmos de otimização por colônia de formigas são diversos, tais como problemas encontrados em aplicações reais como, por

2 exemplo, roteamento de redes, de veículos, distribuição de linhas telefônicas entre outros. Solucionar o problema do TSP Traveling Salesman Problem (Problema do Caixeiro Viajante) é um modo de teste para busca de uma solução para os problemas citados acima (Rego, Ferreira, Monteiro e Teixeira, 2006). O artigo apresenta um estudo para o problema do caixeiro viajante a partir do Algoritmo de Otimização Baseado em Colônia de Formigas (ACO) com introdução do conceito de Evolução. 2. ACO Ant Colony Optmization (Otimização por Colônia de Formigas) As formigas são insetos sociais que possuem um complexo sistema de organização e divisão de tarefas, tendo como função principal a garantia da sobrevivência do formigueiro. A meta-heurística da colônia de formigas foi inspirada na observação das colônias de formigas reais, particularmente no modo como elas encontram o menor caminho entre a fonte de alimentos e o formigueiro (Silva, 2003). A colônia de formigas resolve um interessante problema de otimização quando da obtenção de alimentos (Silva, 2003). Inicialmente um número de formigas percorre aleatoriamente as proximidades do formigueiro em busca do alimento. Cada formiga, ao percorrer o seu caminho, deposita uma substância chamada feromônio, formando um caminho ou rastro de feromônio. Posteriormente as formigas subseqüentes seguem o caminho com maior concentração de feromônio, ou seja, onde há a maior passagem de formigas. A experiência realizada com formigas reais por Goss, Aron, Deneubourg e Pasteels, Goss et. al. (1989), serviu de inspiração à criação do método de otimização de colônia de formigas. Esta experiência consistia na submissão de uma colônia de formigas Iridomyrmex humilis a uma fonte de alimento através de dois caminhos distintos (Figura 1). Figura 1. Esquema das Experiências adaptado de Goss (1989). O experimento foi planejado de maneira que as formigas, quando percorrerem ambas as direções (da colônia à fonte de alimento e vice-versa), optam sempre por um ou outro caminho (Figura 1.a). Após uma fase de transição, a maioria das formigas acaba escolhendo o mesmo caminho. A probabilidade de selecionar o caminho de menor distância aumenta à medida que a diferença de tamanho entre os caminhos torna-

3 se maior (Rego, Ferreira, Monteiro e Teixeira, 2006). Inicialmente, a probabilidade de escolha é a mesma para ambos, pois não existe feromônio no caminho. Caminhos com distâncias diferentes possuem a taxa de chegada de formigas na fonte de alimentos, vindas pelo menor caminho, maior que a taxa de chegada de formigas vindas pelo maior caminho. Sendo assim, no retorno ao ninho, estas formigas encontrarão maior concentração de feromônio no menor caminho. Estimulando mais formigas a segui-lo, e assim cada vez mais, até que a grande maioria das formigas acabe escolhendo o mesmo. Este processo ocorre da mesma maneira no sentido inverso (Silva, 2003) Heurística Ant System (AS) A heurística Ant System (AS) foi aplicada pela primeira vez sobre o Problema do Caixeiro Viajante que se caracteriza no algoritmo a seguir (Dorigo, 1992). Algoritmo Ant System: 1. para t indo de 1 até um número máximo de iterações faça 2. para indo de 1 até m faça 3. repita até a formiga encontrar um caminho completo 4. selecione a próxima cidade a ser visitada segundo a regra de p t ; 5. decisão probabilística ( ) 6. fim-do-repita 7. calcule a distância L (t) do caminho descoberto pela formiga ; 8. se L (t) < L * então S* S (t); 9. fim-do-para t +1 i, j E, segundo processo de depósito 10. atualize τ ( ), ( ) 11. e evaporação de feromônio específico; 12. fim-do-para 13. retornar S*; Inicialmente, m formigas são distribuídas pelas cidades segundo algum critério pré-estabelecido, e todos os caminhos (i,j) E são inicializados com a mesma quantidade τ (1)> 0 de feromônio. Em seguida, cada formiga (=1,...,m) seleciona as próximas cidades a serem visitadas (linha 5), através da seguinte regra de decisão probabilística: onde: p = l α [ τ ] η α τ η N i β [ ] β [ ] [ ( )] t, se j ; senão, = 0 N i p. (1), ( ) t p : probabilidade da cidade j ser escolhida pela formiga, atualmente situada na cidade i, durante a t-ésima iteração da heurística AS;

4 τ : intensidade do feromônio presente no caminho (i,j) E na t-ésima iteração de AS; α : parâmetro que regula a influência de τ (t); η = 1/d : visibilidade da cidade j com relação a cidade i; d : distância entre a cidade i e j; β: parâmetro que regula a influência de η ; N i : conjunto de cidades ainda não visitadas pela formiga situada na cidade i durante a t-ésima iteração de AS; Este processo de seleção da próxima cidade a ser visitada é repetido até que todas as formigas tenham completado um caminho interligando todas as cidades uma única vez (linha 5). Depois, o processo de depósito e evaporação de feromônio (linha 10) ocorre da seguinte maneira: τ ( t + ) = ( 1 p) τ + τ m 1 (2) sendo τ = τ (2.1) com = 1 Q L τ = (2.2), se a formiga percorreu o caminho ( i, j) E ; caso contrário, τ = 0 t: iteração atual da heurística AS; ρ [ 0,1] : parâmetro que regula a redução de τ E iteração; m: número de formigas; τ : ganho de feromônio no caminho ( i j) E na t-ésima iteração de AS;, onde:, ocorrido na t-ésima,, causado pela formiga, Q : quantidade de feromônio excretado por uma formiga a cada iteração; S (t): caminho completo que interliga todas as cidades uma única vez, descoberto pela formiga na t-ésima iteração de AS; S*: menor caminho completo que interliga todas as cidades uma única vez, descoberta pela heurística; L (t): distância associada ao caminho completo S (t) descoberto pela formiga na t-ésima iteração de AS. L*: distância associado ao menor caminho completo S* descoberto pela heurística; Todos os procedimentos acima citados são repetidos a cada iteração da heurística. Porém, quando o número máximo de iterações previamente estabelecido é

5 alcançado (linha 2), a heurística retorna a melhor solução até então encontrada (linha 13). A melhor solução encontrada é conhecida como ótimo global, sendo esta a solução ótima local de uma determinada formiga até t-ésima iteração da heurística. A determinação do número necessário de iterações para a heurística encontrar um ótimo global capaz segue uma relação, baseada em testes, entre ótimo global e tempo de processamento para ter como resultado um ótimo global estabelecido como média (Almirón, 2000). 3. Colônia Evolucionária de Formigas O algoritmo de colônia de formigas (ACO) é um algoritmo de otimização que leva em consideração a qualidade das escolhas realizadas pelas formigas do ambiente por uma ou outra rota que leva à fonte de recursos (cidade fim para o TSP). Essa decisão se baseia na quantidade de feromônio depositada no ambiente e no quão distante é esta rota candidata. A relevância destas propriedades do algoritmo na decisão da formiga permanece imutável durante toda a execução deste algoritmo caracterizando assim uma natureza genotípica destes parâmetros. Então com isso são realizados os seguintes questionamentos: Seria possível modificar a natureza destes parâmetros de genotípica para a natureza fenotípica? Seria possível com isso aumentar as capacidades das formigas em tempo de execução, ficando assim a cargo do sistema a escolha do melhor conjunto de parâmetros para o determinado problema? Este questionamento serve como base para a esta proposta que pretende responder estas questões Proposta de Algoritmo de Colônia Evolucionária de Formigas A melhor maneira de encontrar a melhor solução para um problema de otimização é abrangendo todo o seu espaço de busca. A maneira realizada pelo algoritmo ACO é através da escolha probabilística das cidades, indicando que a cidade que obtiver maior probabilidade será escolhida pela formiga. Esta técnica garante que o espaço de busca permaneça amplo, mas não é possível afirmar que as cidades que possuam as maiores probabilidade são as melhores escolhas, pois os fatores de influência alfa e beta podem favorecer algum atributo, feromônio ou visibilidade, na escolha da cidade, segundo a equação (1). A probabilidade de uma cidade ser escolhida depende dos parâmetros que regulam a influência do feromônio e visibilidade das cidades, respectivamente, α e β segundo regra de decisão probabilística. Observando o algoritmo ACO é visto que as formigas permanecem com suas características estáticas durante toda a execução da heurística, fazendo com que as formigas sejam iguais em toda a colônia e permaneçam assim até o termino da execução. Caso esses parâmetros fossem modificáveis durante essa execução então seria possível verificar os melhores parâmetros para solucionar o problema.

6 O algoritmo se baseia na idéia de que as formigas do sistema poderão evoluir para uma nova estrutura, assim sua colônia poderá melhorar suprindo melhor as necessidades de seus habitantes. A evolução mencionada aqui será a Auto-Evolução, onde um indivíduo de acordo com o que ocorre no seu ambiente é obrigado a aumentar as suas habilidades para se adaptar melhor ao sistema em que vive. Considerando as características evolutivas baseadas na natureza, esta mudança é de ordem fenotípica, pois as mudanças não ocorrem em seus genes, mas sim no fenótipo, sendo assim essas modificações não são passadas para as próximas gerações. Considerando que no algoritmo ACO não ocorre cruzamento então isto não é preocupante Algoritmo A Auto-Evolução das formigas se daria pela mudança dos valores nos parâmetros α que regula a influência de feromônio e β que regula a influência de visibilidade. Estes parâmetros seriam agora individuais ao invés do sistema (colônia), conforme Dorigo (1992). Os valores iniciais são definidos aleatoriamente. A mudança no algoritmo Ant System (Seção 2.1.) está após a linha 8 (oito). Como segue no algoritmo abaixo: Algoritmo: onde: 8. se L (t) < L * então S* S (t); 9. senão percentual= (L (t) - L * )x100/ L * ; 10. op [ 0,2] 11. se op=0 então calculabeta(); 12. senão se op=1 então calculaalfa(); 13. senão se op=2 então calculabeta(); calculaalfa(); calculabeta: 1. percentual aumentabeta = β ; β = β + aumentabeta; calculaalfa: 1. percentual aumentaalfa = α ; α = α + aumentaalfa; Na linha 9, caso a distância da solução, que a formiga encontrou, não seja menor que a solução atual para o sistema, é calculado o percentual que corresponde ao que foi ultrapassado da solução do sistema. Este percentual serve de base para calcularmos os aumentos em α e β. No passo seguinte, linha 10, é gerado um número aleatório entre 0 e 2 que corresponde: 0 alterar apenas β; 1 alterar apenas α; 2 alterar α e β. A escolha

7 aleatória em alterar apenas uns dos valores ou os dois torna o sistema mais heterogêneo aumentando a relevância do feromônio ou da visibilidade proporcional ao percentual encontrado, possibilitando que menores valores de feromônio e visibilidade sejam considerados, ou seja, o balanceamento entre α β e α β possam influenciar no sistema. O aumento de α ou β são calculados com base no percentual sobre seus valores atuais (calculabeta e calculaalfa no Algoritmo). 4. Considerações Finais Com base na literatura utilizada e testes decorridos sobre o ACO é possível avaliar com base nos algoritmos que o algoritmo de Colônia Evolucionária de Formigas possui meios de aumentar sua performance, já que prevê a melhoria dos parâmetros que influenciam nas decisões probabilísticas das quais o sistema se baseia. O ACO é por definição um sistema imutável onde os parâmetros iniciais permanecem os mesmos. Seguindo os conceitos de evolução, é possível considerar uma variabilidade populacional na colônia de formigas, onde indivíduos se adaptam para solucionar problemas. A simulação sobre os algoritmos ACO e Colônia Evolucionária de Formigas está sendo implementada para prova da proposta deste trabalho. Como proposta futura pretende-se implementar hibridações com outras formas ou algoritmos que possibilitem melhora na performance de otimização por colônia de formigas. 5. Bibliografia Almirón, M. (2000) Ant System. Disertación de Máster en Ingeniería de Sistemas, Universidad Nacional de Asunción, Asunción, Paraguai. Dorigo, M. (1992) Optimization, Learning and Natural Algorithms, Ph.D. Thesis, Politecnico di Milano, Itália. Goss, S., Aron, S., Deneubourg, J. L. and Pasteels, J.M. (1989) Self-organized shortcuts in the Argentine ant. Naturwissenschaften, Vol. 76 Pag Rego, A., Ferreira, F., Monteiro, G. e Teixeira, O. (2006) ACO-GT: Algoritmo de Otimização baseado em Colônia de Formigas e Teoria dos Jogos. Trabalho apresentado na disciplina Projeto Integrado III do Curso de Bacharelado em Ciência da Computação, Centro Universitário do Estado do Pará - CESUPA, Belém, Brasil. Silva, R. M. de A. S. (2003) Otimização Baseada em Colônia de Formigas Aplicada ao Problema de Cobertura de Conjuntos. Capítulo 3 - Otimização Baseada em Colônia de Formigas, Tese de Doutorado em Ciência da Computação, Centro Federal de Informática, Universidade Federal de Pernambuco - UFPB, Recife, Brasil. Teixeira, O. (2005) Proposta de um novo Algoritmo Genético baseado na Teoria dos Jogos. Dissertação de Mestrado em Engenharia Elétrica, Universidade Federal do Pará - UFPA, Belém, Brasil.