Abordagem Q r para Estabilidade Regional de Sistemas Chaveados

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1 TEMA Tend Mat Apl Comput, 4, No 2 (23), c Uma Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional Abordagem Q r para Estabilidade Regional de Sistemas Chaveados SP BEAN 1, Departamento de Matemática, Universidade Federal de Santa Catarina, Campus Universitário, Trindade, Florianópolis, SC, Brasil Resumo Neste trabalho se estuda a análise de estabilidade Q r e se calcula o domínio de atração de uma classe particular de sistemas híbridos conhecida como sistemas chaveados No conceito de estabilidade Q r, usa-se uma função de Lyapunov dependente dos estados de tipo polinomial e diferente da quadrática convencional O problema a resolver é apresentado como um problema de otimização convexa em termos de inequações matriciais lineares (LMIs) Resultados numéricos são apresentados exibindo uma abordagem menos conservadora que a quadrática convencional e a abordagem biquadrática (5), no cálculo das respectivas regiões de estabilidade para um dado exemplo 1 Introdução Sistemas com chaveamentos são exemplos de sistemas híbridos do mundo real onde se misturam decisões lógicas e leis de controle contínuo Exemplos de sistemas híbridos aparecem nos sistemas com relés, chaveamentos, motores de passo e outros controladores de movimento, nos sistemas de controladores com estrutura variável, nos veículos inteligentes, nos sistemas de controle de auto-estrada, nos sistemas de manufatura moderna flexível e nos sistemas de controle de vôos Este trabalho trata de uma classe particular de sistemas híbridos, os sistemas chaveados Neste sentido, outros autores como Johansson 2 e Pettersson 7, trabalhando com sistemas lineares por partes, tratam da análise de estabilidade propondo a procura de uma função de Lyapunov não convencional, fazendo que essa função seja quadrática por partes (abordagem Pwq) e aplicando a metodologia para análise de sistemas chaveados Em trabalhos anteriormente apresentados, 5, 4, se fez uso da extensão do conceito de estabilidade biquadrática (9) para sistemas chaveados obtendo resultados menos conservadores quando comparados com outras metodologias Na abordagem proposta neste trabalho, usa-se o conceito de estabilidade Q r 8, nesse conceito os chaveamentos também dependem da dinâmica da variável de estado contínua e procura-se uma função de Lyapunov de caráter polinomial 2 e comum ao sistema 3 1 palomino@mtmufscbr 2 O grau do polinômio é maior quanto maior é o valor de r = 2d para d 1 3 Na abordagen biquadrática a estrutura da função de Lyapunov é similar a abordagem Q 2

2 168 Bean O objetivo deste trabalho é o tratamento da análise de estabilidade e o cálculo do domínio de atração dessa classe de sistemas, resolvendo-o como um problema de otimização convexa em termos de Inequações Matriciais Lineares (LMIs), 1 Exemplos numéricos ilustram a vantagem da metodologia apresentada, fornecendo regiões de estabilidade maiores que as obtidas em 5 Algunas notações são necessárias O conjunto dos inteiros positivos J n = {1,, n}, o conjunto das n-uplas inteiras não negativas J n, o espaço vetorial R n, o espaço das matrizes R n m S é a matriz transposta da matriz real S e S > (S ) indica uma matriz definida positiva (semidefinida positiva) A notação B = B 1 B 2 é o meta-politopo determinado pelo produto cartesiano dos politopos B 1 e B 2 Por último, dado um conjunto finito de vetores V, Co{V } denota o fecho convexo dos elementos de V Como trabalha-se com sistemas autônomos, a variável t será omitida toda vez que necessário 2 O Problema Dado o sistema chaveado afim da forma: ẋ(t) = A i x(t) + b i, x X i, i J n, t, (21) onde x(t) R nx denota a componente contínua do estado assumindo valores no conjunto X i R nx e i J n denota a variável discreta, assume-se que A i R nx nx são matrizes constantes, e b i R nx são vetores constantes Com a finalidade de evitar comportamentos indesejáveis nos sistemas abordados, assumem-se as seguintes hipóteses: A 1 A origem, x =, é um ponto de equilíbrio do sistema (21) 4 e considerase B x um politopo em uma vizinhança da origem no qual a estabilidade local será estudada A 2 X = X 1 X n R nx Cada conjunto X i possui interior não vazio e não há superposição entre as regiões do modelo, ou seja, os interiores desses conjuntos são disjuntos dois a dois A 3 O lado direito de (21) é uma função limitada para cada i J n A 4 Num intervalo finito de tempo há um número finito de chaveamentos A 5 Nas l k fronteiras das regiões adjacentes a X k, não há modos deslizantes, isto é, se x(t ) X i X j, então x(t) X i X j, onde x(t ) denota a posição da trajetória imediatamente antes do tempo t Para apresentação da metodologia, os conjuntos X i são denotados na forma seguinte: X i = { x : ψ ik (x), k = 1,, m i }, i J n, (22) 4 Isto é, existe uma região X i onde b i =

3 Estabilidade Regional de Sistemas Chaveados 169 onde ψ ik (x) R são funções afins em x, e m i é o número de funções ψ que descreve X i Por conveniência, é associada a cada variável discreta i a função lógica δ i (x) = δ i, i J n com δ i {, 1} Define-se, então, a função vetorial lógica δ : R n J n : δ(x) δ 1 δ n = c i se x(t ) e x(t) pertencem a X i, (23) onde c i a i-ésima coluna da matriz identidade I n Assim sendo, se o estado discreto assume um dado valor i J n, quando x X i, a i-ésima componente da função vetorial lógica δ assume o valor unitário e todos os valores restantes são iguais a zero A imagem da função vetorial lógica está definida pelo conjunto 5 { c 1,, c n } J n (24) Observa-se que os elementos δ i de δ satisfazem n i=1 δ i = 1 Sem perda de generalidade, neste trabalho, escolhe-se δ n como referência e, assim, δ n = 1 n 1 i=1 δ i Com essa escolha, o sistema (21) pode ser expresso como um sistema associado Isto será visto nas próximas seções 3 Definições e conceitos Nesta seção, faz-se extensão para sistemas chaveados, do conceito de estabilidade Q r dada em Trofino 8 Para apresentação dessa abordagem, serão necessárias algumas definições e conceitos expostos a seguir A função de Lyapunov Dadas as matrizes constantes U i, T ij R ni+1 ni para i =,, (d 1), define-se Θ i como sendo matrizes da mesma ordem 6 que T ij para cada i, como se segue: Θ i (x) = n x j=1 T ij x j + U i R ni+1 ni i =,, (d 1), n = n x, (31) onde x j é a j-ésima componente do vetor x Θ i (x) R ni+1 ni é uma matriz afim para cada i =,, d 1, onde d é um inteiro positivo Definem-se as matrizes Θ(x) e P(x) da forma seguinte: Θ Θ 1Θ Θ(x) = Θ d 1 Θ d 2 Θ, (32) 5 Por simplicidade de notação, será considerado apenas δ toda vez que δ(x) = c i 6 Para cada valor d > 1, n i e n i+1 são inteiros positivos que definem, respectivamente, o número de colunas e linhas da matriz Θ i

4 17 Bean P(x) = Inx Θ(x) P Inx Θ(x), (33) A função de Lyapunov candidata, v(x), será considerada da seguinte forma v(x) = x P(x)x, (34) onde a matriz P de P(x) é de dimensão conveniente 7 Também a matriz dada, Θ(x), é uma matriz afim em x que define a estrutura da função de Lyapunov Definição 31 (Estabilidade Q r ) Considerando r = 2d e dado um politopo B, diz-se que a origem do sistema (21) é localmente Q r estável se existir uma função v(x) = x P(x)x com P(x) da forma (33) e funções 8 α 1, α 2, α 3 de classe K tais que sejam satisfeitas as seguintes condições para todo x B: α 1 ( x ) v(x) α 2 ( x ); v(x) = x Ṗ(x)x + x A(x) P(x)x + x P(x)A(x)x α 3 ( x ) Essa definição estende, para o caso de sistemas chaveados, a noção de estabilidade Q r apresentada em Trofino 8 no contexto de sistemas não lineares incertos e implica em estabilidade assintótica da origem do sistema chaveado Quando são satisfeitas as condições da Definição 31, a função v(x) = x P(x)x é dita ser uma função de Lyapunov para o sistema chaveado e é comum a todas as regiões X i Com isso, garante-se a estabilidade Q r da origem do sistema (21) Pode-se, então, obter uma estimativa da região de atração para a origem desse sistema Domínio de Atração Se um sistema e localmente estável, o domínio de atração do sistema é uma região invariante do espaço de estados, tal que toda trajetória que se inicia em algum ponto dessa região converge assintoticamente para a origem do sistema Mais detalhes podem ser encontrados em Khalil 3 A estimativa do domínio de atração é feita calculando-se a maior superfície de nível da função de Lyapunov dentro do politopo B x Com essa finalidade, define-se o seguinte conjunto como estimativa dessa região: O politopo B x pode ser descrito por B x = Υ = { x : v(x) = x P(x)x 1} (35) { } x : a l x 1, l = 1,, n e, onde a l R nx são vetores dados associados às faces 9 do politopo Também, B x pode ser representado de forma equivalente pelos seus vértices A estimativa Υ deve estar incluída em B x, então usando os fundamentos teóricos em Trofino 8 e Boyd et al 1, a condição para determinar Υ B x pode ser colocada 7 P será determinada resolvendo o problema de otimização dado pelo teorema na seção 4 8 Veja definição das funções α i em 3 9 n e é o número de faces do politopo

5 Estabilidade Regional de Sistemas Chaveados 171 em termos de LMIs como se segue: 1 a l al (P + LC + C L, l = 1,, n e, ) Cx com C = e L é uma matriz livre a ser determinada A matriz C Θ(x) I x n1 é obtida fazendo uso da sua forma geral 1 : z 2 z 1 z 3 z 2 C z = Rnz 1 nz com z R nz (36) z nz z nz 1 Como feito em Trofino 8, a região de atração estimada Υ será otimizada pela minimização do traço da matriz P + LC + C L (tr(p + LC + C L )) 4 Análise de Estabilidade Nesta seção serão descritas condições suficientes que conduzirão à proposta do Teorema de estabilidade Fazendo uso da função δ e do conjunto definidos em (23) e (24), respectivamente, e considerando o n-ésimo termo de δ como variável de referência, ou seja, δ n = 1 n 1 i=1 δ i, reescreve-se (21) na forma associada dada por: ẋ = A n x + n 1 i=1 (A i A n )δ i x + b n + n 1 i=1 (b i b n )δ i, x B x, δ, (41) onde B x R nx é um politopo convexo, vizinhança da origem, que representa os valores de interesse da variável de estado x(t) para fins de análise de estabilidade do sistema (41) Considera-se também o politopo, determinado a partir de, B δ = Co( ), cujos vértices são os elementos de Introduz-se o seguinte vetor auxiliar π R nπ, onde n π = (n 1)n x + n + 1 π = π 1 π n π 2n com π i = δ i x, i J n 1 π n = 1 (42) π n+i = δ i, i J n As relações π n = 1 e π n+i = δ i são alternativamente representadas 11 por π n x x = e π n+i δ i π n =, respectivamente Por simplicidade de notação, as relações entre x e o vetor auxiliar π, dados acima, são representadas numa forma mais compacta pela notação (x, π) D com 1 Detalhes a respeito dessa matriz se encontram no Lema 21 em Trofino 8 11 Observe que, π i R nx, i J n 1 e π n, π n+i R, i J n 1

6 172 Bean D definido por D = { (x, π) : Ω 1 Ω 2 x π } = (43) Assim, o sistema (41) pode ser expresso como se segue: ẋ = A n x + Aπ, x B x, (x, π) D, (44) com A = (A 1 A n ) (A n 1 A n ) b n (b 1 b n ) (b n 1 b n ) nx 1 Nesse caso, as matrizes Ω 1 R nω nx e Ω 2 R nω nπ, que definem o conjunto D, também são funções afins de (x, δ 1,, δ n ) representadas pelas relações dadas em (42) Nota-se que δ definida em (23) satisfaz δδ = diag(δ i ), ou, de maneira equivalente: δ i δ j =, δ i (δ i 1) =, i j J n (45) De (42), (45) e expressando a variável de referência, δ n, em termos de x e das componentes de π, surgem outro conjunto de identidades (veja na referência 5) que podem ser incorporadas como novas linhas das matrizes Ω 1 e Ω 2 dadas em (43) Notações auxiliares A partir das funções ψ ik dadas em (22) que definem as regras de chaveamento, constroem-se as matrizes φ i, Φ: Φ = 2n i=1 E iφ ie i com φ i = m i k=1 R ikψ ik, R ik R nx nx, i = 1,, n φ i = m i k=1 R ikψ (i n)k, R ik R, i = n + 1,, 2n, (46) onde E i são matrizes constantes, R ik > são variáveis de escalonamento a serem determinadas, que surgem após a aplicação do S-procedure (11) Para x R nx, consideram-se as matrizes Θ i (x) da seguinte forma Θ i (x) = n x j=1 T ij w i r j R ni+1 nx i =,, d 1, (47) com cada w i dada por w = x, w 1 = Θ x, w 2 = Θ 1 Θ x,, w d = Θ d 1 Θ 1 Θ x Sejam n π, n Ω e m a = d i= n i, e as matrizes D R ma ma, F R ma (ma+nπ), C R (ma nx) ma, Ψ R (ma 1) ma, Ω R (3ma nx+nω+nπ 1) (2ma+nπ), N R (ma) (ma+nπ) dadas, respectivamente, por

7 Estabilidade Regional de Sistemas Chaveados 173 D = F = I nx ( Θ (x) + Θ (x)) I n1 Θ 1(x) Θ 1(x) I n2 Θ d 1 (x) Θ d 1 (x) I nd A n nx n1 nx n2 nx nd A n1 n x n1 n π n2 n x n2 n π nd n x nd n π Θ (x) I n1 D F Θ 1 I n2 C =, Ω = C Θ d 1 I nd Ψ = C C x, N = I ma,,, C πθ Ω1 Ω 2 sendo π Θ = x Θ(x) x π e as matrizes Cx e C πθ dadas em (36) Dadas as notações auxiliares, apresenta-se o resultado principal desta seção, (48) Teorema 41 (Estabilidade regional Q r do Sistema Chaveado Afim) Considere o sistema (21) com as hipóteses A1-A5 e seu respectivo sistema associado (41) Seja Θ(x), definida em (32), uma dada função matricial em x Consideremse as notações auxiliares (46) e (48) Se P, L, M, R ik para i = 1,, 2n, k = 1,, m i resolvem o seguinte problema de otimização, onde as LMIs são construídas em todos os vértices do meta-politopo B = B x B δ B w : min tr (P + LΨ + Ψ L ) sujeito a: 1 a P = P l, al (P + LΨ + Ψ L ) P N N P, l = 1,, n e, + MΩ + Ω M + Φ <, então, o sistema (21) é assintoticamente localmente estável e v(x) = x P(x)x, com P(x) como em (33), é uma função de Lyapunov para esse sistema Também, a região Υ definida por (35) é positivamente invariante, e, para qualquer x() Υ, a trajetória x(t) Υ t e se aproxima da origem quando t A primeira LMI do teorema, está associada a condição ɛ 1 x x v(x) ɛ 3 (1 + ɛ 4 )x x dada na Definição 31, além de estimar o domínio de atração Já a se-

8 174 Bean gunda LMI está associada à v(x) = ɛ 3 x x(a segunda condição na definição) Pela limitação do espaço, a prova do teorema assim como outros detalhes podem ser lidos em 6 5 Resultados Numéricos O exemplo seguinte, encontrado em Ponce et al 1, ilustra o potencial dessa metodologia Nele, apresentam-se os domínios de atração do sistema quando usados os conceitos de estabilidade Q r, para r = 2 e r = 4 Exemplo 51 (Domínio de Atração do Pêndulo Invertido) Considere-se o problema do pêndulo rotatório invertido dado pelo sistema com saturação ẋ = Ax + bsat(k x) (51) Nesse caso, x1 1 2 n x = 2, x =, A =, b =, K = e sat(u) é a função x u < 1 de saturação normalizada dada por sat(u) = u se u 1, u = K x R 1 u > 1 O sistema (51) é reescrito como um sistema afim chaveado (n = 3 e J 3 = {1, 2, 3}): Ax b x X 1 = {x : K x < 1} ẋ = (A + bk )x x X 2 = {x : K x 1} Ax + b x X 3 = {x : K x > 1} Assim, o sistema associado é dado por: ẋ = A 3x + 2 i=1 (Ai A3)δix + b3 + 2 i=1 (bi b3)δi, x Bx, δ, com A 1 = A 3 = A, A 2 = A + bk 1, b 1 = b 3 = b, b 2 =, =, 1, Para, β = 1, o politopo B x dado pelos vértices { 2β 15β 12β 12β B δ = Co( ) Com isso, o politopo B x B δ possui 12 vértices, β, } β β 1, o politopo Na abordagem Q r, a matriz Θ(x) é obtida usando (32) nos casos r = 2 e r = 4, isto é, d = 1 e d = 2, respectivamente Foram consideradas as matrizes afins Θ = x 1 I 2 x 2 I 2 e Θ 1 = x 1I 2 x 2I 2 Satisfeitas as condições do Teorema 41, a Figura 1 ilustra o domínio de atração desse sistema No lado esquerdo, as regiões Υ Q2 e Υ biq mostram a semelhança dos resultados da abordagem Q 2 e biquadrática, respectivamente A figura no lado direito ilustra que a região Υ Q4 (obtida na abordagem Q 4 ) é maior que aquela obtida em Υ Q2 Figura 1: Estabilidade Q 2 e Q 4 para o pêndulo invertido Dado o politopo B x definido pelo seus vértices (com β > ) e usando a ferramenta LMI do software SCILAB, o domínio de atração (Γ B x ) é obtido resolvendo o problema de otimização convexa seguindo as condições do Teorema 41 para cada

9 Estabilidade Regional de Sistemas Chaveados 175 valor de β fornecido A região Γ é otimizada quando o valor de β seja o máximo possível, realizando assim um processo iterativo Essa região será maior quanto maior for o número de vértices do politopo, entretanto haverá um maior esforço computacional no processamento dos programas Outros exemplos de sistemas com saturação foram testados mostrando resultados menos conservadores na abordagem Q r Se r = 2 os resultados são comparáveis a abordagem biquadrática Já se r > 2, as regiões são maiores em muitos dos casos estudados 6 Conclusões Neste trabalho é apresentado o conceito de estabilidade Q r para análise de sistemas chaveados Para fazer a análise regional e estimar o domínio de atração desses sistemas, é usada uma função de Lyapunov de tipo polinomial, v(x) = x P(x)x, comum a todos os subsistemas do sistema chaveado e independente das regiões do estado, onde a matriz P(x) é obtida resolvendo um problema de otimização usando LMIs O fato de se trabalhar com uma função de Lyapunov comum e polinomial diferencia a metodologia aqui apresentada de outras metodologias (2, 7) que são convenientes para a análise global desses sistemas e utilizam funções de Lyapunov quadráticas diferentes para cada subsistema, porém muito restritivas para a determinação de domínios de atração A eficácia do conceito de estabilidade Q r é mostrada nos gráficos do exemplo trabalhado, mostrando ser uma abordagem promissora que fornece resultados menos conservadores Quanto maior é a ordem da função de Lyapunov, maior será a região de estabilidade obtida Quando r = 2 a estrutura da função de Lyapunov é similar que na abordagem biquadrática, porém, a matriz P obtida nas condições do Teorema 41 será diferente e com isto se obterá uma região de estabilidade diferente ( e com áreas similares) A metodologia apresentada é muito apropriada para obter estimativas de regiões de atração limitadas Estudos posteriores abordarão o problema de estimar domínios de atração ilimitados de sistemas chaveados com esse enfoque Agradecimentos A autora agradece aos referees anônimos por suas valiosas observações e sugestões Abstract This works studies the Q r stability analysis and calculates the attraction domain of a class of hybrid systems known as switched systems This concept uses a polynomial Lyapunov function that is dependent of the state and different from the conventional quadratic one The problem to be solve is represented as a convex optimization problem in terms of linear matrix inequalities (LMIs) Numerical results are given to illustrate a less conservative than the bi-quadratic approach when the stability regions are calculated for a given example

10 176 Bean Referências 1 S Boyd, L Ghaoui, E Feron e V Balakrishnan, Linear matrix inequalities in systems and control theory, SIAM, Philadelphia, M Johansson, Piecewise Linear Control Systems, PhD thesis, Lund Institute of Technology, Lund, Sweden, HK Khalil, Nonlinear systems, Prentice-Hall, New Jersey, S Palomino, D Coutinho, A Trofino e JER Cury, Computation of Stability regions using LMIs for Dynamical systems with Saturation, em IX International Symposium on Dynamics Problems on Mechanics - IX DINAME, Florianópolis, 21 5 S Palomino Bean, D Coutinho, A Trofino e JER Cury, Stability Analysis and Guaranteed Domain of Attraction for a class of Hybrid Systems: an LMI Approach, Int Journal of Nonlinear Control, 13, No 5 (23), S Palomino Bean, Relatório Técnico, Depto de Matemática, CFM, UFSC, Florianópolis, 22 (disponível em wwwmtmufscbr/ palomino) 7 S Pettersson e B Lennartson, Exponential Estability of hybrid systems using piecewise quadratic Lyapunov functions resulting in an LMI problem, em Proc of the 14th IFAC, Beijing, China, A Trofino, Robust Stability and domain of attraction of uncertain Nonlinear Systems, em Proc of the American Control Conference, Chicago, 2 9 A Trofino e CE de Souza, Biquadratic Stability of uncertain linear systems, IEEE Transactions on Automatic Control, 46, No 8 (21), E Ponce, D Pagano e J Aracil, Bifurcaciones en un Péndulo Invertido Controlado por Realimentación de Estados, em Proc of the XIII Automation Brazilian Congress, Florianópolis, 2 11 VA Yakubobich, S-procedure in Nonlinear control theory, Vestnik Leninggradskogo Universiteta, Ser Matematika, (1971), 62-77