ESTABILIDADE ROBUSTA DE SISTEMAS LINEARES USANDO REALIMENTAÇÃO DERIVATIVA: UM MÉTODO BASEADO NO LEMA DA PROJEÇÃO RECÍPROCA

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1 18 a 21 de setembro de 211 ESTABILIDADE ROBUSTA DE SISTEMAS LINEARES USANDO REALIMENTAÇÃO DERIVATIVA: UM MÉTODO BASEADO NO LEMA DA PROJEÇÃO RECÍPROCA Emerson R. P. da Silva, Edvaldo Assunção, Marcelo C. M. Teixeira, Flávio A. Faria, Luiz Francisco S. Buzachero Faculdade de Engenharia UNESP - Univ Estadual Paulista, Campus de Ilha Solteira Departamento de Engenharia Elétrica, Laboratório de Pesquisa em Controle (LPC) Avenida José Carlos Rossi, n o 137, Ilha Solteira, SP, Brasil s: e.ravazzi@bol.com.br, edvaldo@dee.feis.unesp.br, marcelo@dee.feis.unesp.br, flaviof15@yahoo.com.br, luiz.buzachero@yahoo.com.br Abstract In some practical problems, for instance, in the suppression of vibration in mechanical systems, the state-derivative signals are easier to obtain than the state signals. Less conservative Linear Matrix Inequalities (LMIs) conditions for the design of state-derivative feedback for uncertain linear systems are proposed in this work. The control design aimed at systetabilization with bounds on decay rate. The efficiency of design procedure is illustrated through numerical examples. Keywords (LMIs). State-Derivative Feedback, Linear Systems, Polytopic Uncertainties, Linear Matrix Inequalities Resumo Em alguns problemas práticos, por exemplo, no controle de vibrações de sistemas mecânicos, é mais fácil obter o sinal da derivada dos estados que o sinal dos estados. Utilizando Desigualdades Matriciais Lineares (em inglês, Linear Matrix Inequalities (LMIs)), neste trabalho é proposto um método menos conservador para o projeto da realimentação derivativa aplicada à sistemas lineares incertos. O projeto de controle visa a estabilização do sistema com restrições na taxa de decaimento. A eficiência do método proposto é ilustrada através de exemplos numéricos. Palavras-chave Realimentação Derivativa, Sistemas Lineares, Incertezas Politópicas, Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs). 1 Introdução O projeto de controladores e a análise de estabilidade eistemas lineares é uma área de pesquisa amplamente explorada. Algumas metodologias usam uma função quadrática de Lyapunov (do inglês,common Quadratic Lyapunov Function (CQLF)) para garantir a estabilidade do sistema e o projeto é realizado utilizando Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs) (Boyd et al., 1994). A estabilidade quadrática já se mostrou muito eficiente, tendo solucionado muitos problemas através de otimização convexa. No entanto, resultados recentes da literatura provaram que CQLFs conduzem a resultados conservadores no contexto de sistemas lineares incertos, ou seja, alguns problemas podem não ter solução com CQLFs (Oliveira and Peres, 26). Desta forma, têurgido na literatura vários trabalhos usando outros tipos de funções de Lyapunov visando condições de estabilidade menos conservadoras. Dentre os resultados existentes destacam-se: as funções de Lyapunov por partes (Arrifano et al., 26), as funções de Lyapunov fuzzy (Mozelli et al., 21), as funções de Lyapunov polinomiais (Oliveira and Peres, 26; Montagner et al., 21) e as funções de Lyapunov linearmente paramétricas (de Oliveira and Skelton, 21; de Oliveira and Skelton, 22; Kau et al., 25; de Oliveira and Geromel, 25; Geromel and Korogui, 26; Pipeleers et al., 29). Enquanto a maioria dos trabalhos encontrados na literatura usam a realimentação de estados para o projeto de controle, neste trabalho considera-se a realimentação da derivada dos estados (realimentação derivativa). O interesse para o estudo da realimentação derivativa vem do fato que eistemas que usam acelerômetros, é mais fácil obter os sinais da derivada dos estados do que os sinais dos estados. A partir da aceleração, é possível obter a velocidade com boa precisão, porém, é mais difícil obter o deslocamento (Abdelaziz and Valášek, 24). Logo, os sinais usados na realimentação são: a aceleração e a velocidade. Estes são as derivadas da velocidade e da posição que podem representar os estados do sistema. Devido a sua estrutura simples e ao baixo custo operacional, acelerômetros têido usados nas indústrias para a solução de vários tipos de problemas de engenharia (Abdelaziz and Valášek, 24; Abdelaziz and Valášek, 25; Reithmeier and Leitmann, 23; Duan et al., 25; Kwak et al., 22). Na literatura especializada é possível encontrar trabalhos que relatam o uso da realimentação derivativa eistemas não-lineares (Assunção et al., 27a), sistemas nãolineares incertos (da Silva et al., 29) e sistemas lineares, com ou sem incertezas politópicas, (Faria et al., 29a; Assunção et al., 27b; Faria et al., 29b). No entanto, estes resultados são conservadores, visto que utilizam CQLFs para o projeto do controlador. Usando funções de Lyapunov linearmente paramétricas, em da Silva et al. (21) são apresentadas condições baseadas em LMIs para o projeto da realimentação derivativa. Os resultados podeer aplicados eistemas lineares incertos, com ou sem falhas estruturais, e garantem que o sistema em malha fechada seja estabilizável. No entanto, os resultados são muito limitados para a inclusão de restrições de desempenho e durante a simulação de exemplos numéricos foi verificado que a factibilidade das LMIs ocorre apenas para taxas de decaimento com magnitude menor que um ( γ < 1). Com o intuito de melhorar o desempenho do sistema, neste trabalho é proposto um método menos conservador para o projeto da realimentação derivativa. Aplicando o Lema da Projeção Recíproca (Apkarian et al., 21) em ISSN: Vol. X 695

2 18 a 21 de setembro de 211 uma função de Lyapunov paramétrica, são obtidas condições baseadas em LMIs para o projeto de controladores robustos. O resultado proposto suporta taxas de decaimento maiores do que o método apresentado em da Silva et al. (21), e pode ser aplicado eistemas lineares com incertezas politópicas, ou sujeitos a falhas estruturais. Uma possível extensão direta desta proposta é a aplicação eistemas de controle fuzzy T-S, por exemplo, podemos utilizar a técnica proposta em da Silva et al. (29) e empregar a metodologia aqui apresentada eistemas não-lineares incertos sujeitos ou não a falhas estruturais. A eficiência do método proposto é ilustrada através de dois exemplos numéricos. Durante o texto usa-se as seguintes notações: ( T ) indica transposição de um vetor ou matriz, ( ) indica termos transpostos em uma matriz simétrica. 2 Realimentação Derivativa em Sistemas Lineares Incertos Considere uistema linear com incertezas invariantes no tempo, descrito na forma de variáveis de estado: ẋ (t) = A(α)x (t) + B(α)u (t), (1) sendo A(α) R n n, B(α) R n m, matrizes que representam a dinâmica do sistema incerto, x (t) R n é o vetor de estados e u (t) R m é o vetor de entrada de controle. As matrizes (A, B)(α), são representadas pela combinação convexa de vértices, descrita abaixo (Boyd et al., 1994): (A, B) (α) = α i (A, B) i, (2) i=1 i=1 em que r é dado pela relação r = 2 φ, sendo φ o número de componentes incertos das matrizes (A, B)(α) e (A, B) i representam os vértices do politopo. Os parâmetros α i são constantes reais desconhecidas pertencentes a uimplex A, ou seja, satisfazem a relação: α i, i = 1, 2,..., r, A = T α i = 1, α = α 1 α 2... α r.. (3) Supondo que o sistema (1) não possua autovalores nulos (det (A(α)) ) (Abdelaziz and Valášek, 24). O objetivo é encontrar uma matriz constante K R m n, tal que, ao realimentar o sistema (1) com a entrada de controle u (t) = Kẋ (t), (4) o sistema em malha fechada dado por (1) e (4), seja assintoticamente estável e a matriz (I + B(α)K) seja invertível (det (I + B(α)K) ). Logo, o sistema em malha fechada pode ser representado da seguinte forma: ẋ (t) = A(α)x (t) B(α)Kẋ (t) ẋ (t) = (I + B(α)K) 1 A(α)x (t). (5) O projeto do controlador é realizado usando o conceito de estabilidade assintótica através da análise de existência de uma função paramétrica de Lyapunov (de Oliveira and Skelton, 21). Para o projeto, é utilizada uma candidata a função de Lyapunov do tipo V (x(t)) = x(t) T P(β)x(t) >, P(β) = P(β) T R n n, com V (x(t)) < para todo x(t). Dada uma constante γ, γ >, pode-se impor uma restrição na taxa de decaimento de uistema com as seguintes desigualdades (Boyd et al., 1994): V (x(t)) 2γV (x(t)), (6) ẋ(t) T P (β)x (t) + x(t) T P (β)ẋ (t) 2γx(t) T P (β)x(t). Usando propriedades de formas quadráticas e considerando (5) conclui-se que (6) é equivalente a solução das seguintes LMIs: A(α) T ( I + B (α) K) T 1 P (β) + P ( 1A (β) I + B (α) K) (α) < 2γ P (β), (7) P (β) >. Durante a modelagem do problema usa-se o Lema da Projeção Recíproca. Lema 2.1 (Lema da Projeção Recíproca) Dada uma matriz Y = Y T >, as seguintes desigualdades são equivalentes: 1. Ψ + S + S T <, 2. A LMI abaixo é factível em relação a W ( ) Ψ + Y W + W T <. S + W Y Prova: Veja (Apkarian et al., 21). O Lema 2.1 pode ser usado para estudar as desigualdades (7), sem que haja uma multiplicação explícita entre as matrizes do sistema (5) com as matrizes P(β) da função de Lyapunov. Esta propriedade permite o uso de funções paramétricas de Lyapunov no projeto de controladores (Apkarian et al., 21). Para a demonstração do resultado principal, são consideradas matrizes Q(β) linearmente paramétricas Q (β)= β k Q k, β k A. (8) ISSN: Vol. X 696 k=1 A seguinte propriedade também é usada. Propriedade 2.1 Para toda matriz M não simétrica ( M M T ), se M + M T <, então M é invertível (Boyd et al., 1994). Considerando o Lema 2.1, no próximo teorema são propostas condições suficientes para que o sistema (5) seja estabilizável com restrições na taxa de decaimento. Teorema 2.1 Dada uma constante real γ > e considerando Âi = A 1 i. Se existirem matrizes simétricas P k R n n, matrizes Z R m n e V R n n satisfazendo a LMI: ( V T + V )  i V + ÂiB j Z + P k P k  i V + ÂiB j Z n P k <, (9) 2γ V n n P k sendo, i, j, k = 1, 2,..., r. Então, o ganho K = ZV 1, (1) garante a estabilização do sistema (5), com taxa de decaimento menor que γ.

3 18 a 21 de setembro de 211 Prova: Suponha que (9) é factível. Substituindo Z = KV em (9) e utilizando a forma dual (Âi + ÂiB j K) ) T (Âi + ÂiB j K, segue que ( V T + V ) (Âi + ÂiBjK)T V + P k P k (Âi + ÂiBjK)T V n P k <. (11) 2γ V n n P k Então, aplicando o complemento de Schur (Boyd et al., 1994) no elemento 4 4 da LMI (11), obtém-se V T Q k V ( V T + V ) (Âi + ÂiBjK)T V + P k P k (Âi + ÂiBjK)T V n P k 2γ <, (12) sendo Q k = P k 1. Novamente, aplicando o complemento de Schur no elemento 3 3, chega-se em V T  i (I + B j K) 2γQ k (I + Bj K) T  T i V + V T Q k V ( V T + V ) (Âi + ÂiB j K) T V + P k P k <. (13) Multiplicando (13) à esquerda por W T I e à direita por W I, sendo W = V 1, obtém-se Âi (I + B j K) 2γQ k (I + Bj K) T  T i + Q k ( W + W ) T (Âi + ÂiB <. (14) j K) T + P k W P k Agora, multiplicando (14) à esquerda e à direita por I Q k, tem-se que Âi (I + B j K) 2γQ k (I + Bj K) T  T i + Q k ( W + W T ) Q k (Âi + ÂiB j K) T + W Q k <. (15) Assumindo que, Ψ = Âi (I + B j K) 2γQ k (I + Bj K) T  T i e S = Q k (Âi + ÂiB j K) T, pelo item 2 do Lema 2.1 a desigualdade (15) é equivalente à  i (I + B jk) 2γQ k (I + BjK) T + Q k (I + B jk) T  T i + Âi (I + BjK) Q k <. (16) Multiplicando a desigualdade acima à esquerda por A i e à direita por A T i chega-se em (I + B jk) 2γQ k (I + BjK) T + A iq k (I + B jk) T + (I + B jk) Q k A T i <. (17) Agora, multiplicando (17) por α i α j β k, i, j, k = 1, 2,..., r e somando todos os termos, de (3) e (8) segue que  T i (I + B (α) K) 2γQ(β) (I + B (α) K) T + A (α) Q(β) (I + B (α) K) T + (I + B (α) K) Q(β)A (α) T <. (18) Aplicando a Propriedade 2.1 em (18) conclui-se que as matrizes (I + B (α) K) e Q(β) são invertíveis (condições necessárias para a solução do problema). Então, multiplicando (18) à esquerda por Q (β) 1 (I + B (α) K) 1 e à direita por (I+B(α)K) T 1 Q(β) 1 obtém-se ( ) T 1 A(α) T I + B (α) K Q (β) 1 + Q (β) 1 ( I + B (α) K) 1A (α) < 2γQ (β) 1, (19) que é equivalente à condição (7), considerando P (β) = Q (β) 1. Daí segue que, se a LMI (9) é factível, então existe uma matriz paramétrica P(β) = P(β) T >, satisfazendo as condições de Lyapunov (6) para o sistema (5). Logo o sistema (5), considerando o ganho (1), é assintoticamente estável com taxa de decaimento menor que γ. Observação 2.1 Como a matriz paramétrica P (β) não é usada nas LMIs, então a sua estrutura tem pouca influência no projeto do controlador. Assim, em nenhum momento do texto foi suposto que a matriz paramétrica de Lyapunov P (β) é linear nos parâmetros β. A estrutura linear foi usada apenas na matriz Q (β) que é obtida através da factibilidade da LMI (9) do Teorema 2.1. Apesar disso, podemos supor, sem perda de generalidade, que se a LMI (9) é factível, então existem matrizes P k e parâmetros µ k, k = 1, 2,..., r, tais que: Q (β) 1 = µ k Pk, µ k A. ISSN: Vol. X 697 k=1 A eficiência da metodologia proposta é ilustrada na solução de dois exemplos numéricos. 3 Exemplo 1 - Sistema de Suspensão Ativa de um Veículo Considere o sistema de suspensão ativa dado na Figura 1 (Reithmeier and Leitmann, 23). O modelo dinâmico pode ser representado pelo sistema incerto (1), considerando: 1 1 A B (α)= k 1 k 2 k 2 b 1 b 2 b 2 M c M c M c 1 M c M c M c 1 k 2 k 2 b 2 b 2 1 (2) O vetor de estados é definido por x(t) = x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) x 4 (t) T, sendo que x 3 (t) = ẋ 1 (t) e x 4 (t) = ẋ 2 (t).

4 x 2 (t) x 1 (t) X SBAI Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente 18 a 21 de setembro de 211 Acelerômetro ( ẍ 2 (t)) assento+motorista u 2(t) k 2 b 2 Suspensão ativa do assento M c Acelerômetro ( ẍ 1 (t)) u 1(t) k 1 b 1 Suspensão ativa do veículo pneu Veículo Figura 1: Sistema de suspensão ativa de um veículo. com =12kg (b 1 = em A 3 e b 1 =2 1 3 Ns/m em A 4 ), B1 B 2 =1 2, 667, 667, 667, 667 1, 4286, 8333 com =7kg em B 1 e =12kg em B 2. Para o projeto do controlador, foi utilizado o software MATLAB R e o solver LMILAB (Gahinet et al., 1995). Utilizando a LMI (9) do Teorema 2.1, os seguintes controladores (1) foram obtidos: Com γ = (praticamente sem ação de γ), K 1 =1 4 7, 8331, 2 3, 8736, 96. (21), 9416, 9411, 529, 4935 O sistema consiste em um veículo de massa M c, um assento e uma pessoa, cuja massa total é. As vibrações causadas por irregularidades na estrada podeer atenuadas pelo sistema de suspensão do veículo (mola k 1 e amortecedor b 1 ). Mesmo assim, o motorista ainda pode sentir um pouco de vibrações. Uma maneira de melhorar o conforto do motorista é instalar uistema de suspensão ativa no seu assento (mola k 2 e amortecedor b 2 ). Desta forma, pode-se diminuir as vibrações entre o motorista ( ) e o chassi do veículo (M c ), modificando as entradas de controle u 1 (t) e u 2 (t). Considere M c = 15kg, b 2 = 5Ns/m, k 1 = N/m e k 2 = N/m. Considere que o peso do motorista possa assumir valores entre 5kg e 1kg. Logo, a massa é incerta e pertence ao intervalo 7 12(kg) (motorista + assento (2kg)). Suponha também que o amortecedor do veículo esteja sujeito a uma falha estrutural, de tal forma que b 1 = Ns/m enquanto o amortecedor está funcionando normalmente e b 1 = após uma eventual quebra do amortecedor. Ou seja, o parâmetro b 1 é incerto e pertence ao intervalo b (Ns/m). A partir dessas informações, são obtidos os seguintes vértices do politopo: A 1 = A 2 = , 3333, 3333, , , , , , , 6667, , , , , 1429 com =7kg (b 1 = em A 1 e b 1 =2 1 3 Ns/m em A 2 ), A 3 = A 4 = , 3333, 3333, , , , , , , 6667, , , , , 1667 Com γ = 6, 52 (máximo obtido para o exemplo), K 2 =1 3 1, 9477, 367 1, 4933, 887, 234, 2459, 4, 671 ISSN: Vol. X 698. (22) Para a condição inicial de simulação x() =, 1, 3 T com = 9kg (motorista (7kg) + assento (2kg)), o comportamento dinâmico do sistema mecânico (2), sem ação de controle (u(t) = ), pode ser visto na Figura 2. Pela figura, o sistema é naturalmente estável enquanto o amortecedor do veículo funciona normalmente (b 1 = Ns/m). Contudo, após uma eventual falha no amortecedor o sistema passa a apresentar oscilações pouco amortecidas, gerando desconforto ao motorista e também risco de acidente. Deslocamento m Deslocamento m Tempo s.3 x 2(t) sem falhas.2 x 2(t) com falhas.1.1 x 1(t) sem falhas x 1(t) com falhas Tempo s Figura 2: Simulação do sistema (2) com u(t) =. No entanto, ao considerarmos o ganho (21) na entrada de controle (4), o automóvel passa a ficar estável mesmo após a ocorrência de uma falha (Figuras 3 e 4). Além disso, comparando as figuras, nota-se que o comportamento do sistema controlado praticamente não muda, mesmo após a quebra do amortecedor b 1. Em ambos os casos, o sistema possui um tempo de duração do transitório em torno de 6s para a suspensão do veículo e para a suspensão do assento. Embora o ganho (21) seja capaz de garantir a estabilidade do sistema, com ou sem falhas estruturais, o tempo de duração do transitório está elevado ainda, gerando assim, desconforto ao motorista. Com o intuito de diminuir o tempo de duração do transitório, o ganho (22) foi considerado na entrada de controle (4). Note nas Figuras 3 e 4 que, nos dois casos o sistema controlado possui tempo de período transitório abaixo de

5 18 a 21 de setembro de 211,5s. Logo, o ganho (22) foi capaz de melhorar o desempenho do sistema em relação à resposta do ganho (21). A resposta com K 2 é doze vezes mais rápida que a resposta com K 1. Deslocamento m Deslocamento m Tempo s.3 x 2(t) com γ = (K 1).2 x 2(t) com γ = 6, 52 (K 2).1 x 1(t) com γ = (K 1) x 1(t) com γ = 6, 52 (K 2) Tempo s Figura 3: Resposta transitória com b 1 = Ns/m. λ λ 1 Figura 5: Área factível do método proposto em Assunção et al. (27b) indicada por ( ) e área factível do método proposto neste trabalho, Teorema 2.1, indicada por ( ). 4 Conclusões Deslocamento m Deslocamento m Tempo s.3 x 2(t) com γ = (K 1).2 x 2(t) com γ = 6, 52 (K 2).1 x 1(t) com γ = (K 1) x 1(t) com γ = 6, 52 (K 2) Tempo s Figura 4: Resposta transitória com b 1 =. O próximo exemplo ilustra uma comparação entre o critério de estabilidade proposto no Teorema 2.1 deste trabalho com o proposto no Teorema 4 em Assunção et al. (27b). O objetivo é ilustrar que as condições de estabilidade deste trabalho são menos conservadoras. 3.1 Exemplo 2 - Sistema Linear Incerto Em Assunção et al. (27b) é utilizada uma CQLF para garantir a estabilidade do sistema com taxa de decaimento γ >. As LMIs são as seguintes: QA T i + A iq + B jy A T i + A iy T Bj T Q + B jy Q + Y T Bj T <, i, j, Q/ (2γ) Q >. com K = Y Q 1. Considere uistema linear incerto com os seguintes vértices do politopo, A1 A 2 = λ , B1 B 2 = 11 λ2 O objetivo é verificar os pontos de factibilidade das LMIs considerando 2 λ 1 4 e 3 λ A região de factibilidade com γ =2, pode ser vista na Figura 5. Pela Figura 5, nota-se que a condição apresentada pelo Teorema 2.1 deste trabalho leva a resultados menos conservadores, pois sua área factível é maior.. Condições suficientes baseadas em LMIs para a estabilização de sistemas lineares incertos usando realimentação derivativa foram propostas. Os resultados são particularmente interessantes para a aplicação eistemas mecânicos que utilizam acelerômetros como sensores. Projetos de controle baseados em LMIs têm a vantagem de permitir a inclusão de incertezas politópicas e índices de desempenho, tais como taxa de decaimento, na abordagem do problema. Além disso, LMIs podeer resolvidas facilmente em microcomputadores, usando por exemplo, o software MATLAB R. Embora não existam provas teóricas, testes exaustivos em exemplos numéricos sugerem que o método proposto neste trabalho conduz a resultados menos conservadores que os apresentados em Assunção et al. (27b). Citamos aqui os resultados obtidos na solução do Exemplo 2 (veja Figura 5). Trabalhos futuros envolvem o projeto de controladores para sistemas fuzzy T-S incertos. Por exemplo, estender os resultados apresentados aqui utilizando o método apresentado em da Silva et al. (29). Agradecimentos Agradecemos ao CNPq 1 e a FAPESP 2 pelo apoio financeiro a este trabalho. Referḙncias Abdelaziz, T. H. S. and Valášek, M. (24). Pole placement for SISO linear systems by state-derivative feedback, IEE Proceedings-Control Theory Applications 151(4): Abdelaziz, T. H. S. and Valášek, M. (25). State derivative feedback by LQR for linear time-invariant systems, 16th IFAC World Congress, Czech Republic. Apkarian, P., Tuan, H. D. and Bernussou, J. (21). Continuous-time analysis, eigenstructure assignment, and H 2 synthesis with enhanced linear matrix inequalities LMI characterizations, Automatic Control, IEEE Transactions on 46(12): Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. 2 Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo. ISSN: Vol. X 699

6 18 a 21 de setembro de 211 Arrifano, N. S. D., Oliveira, V. A. and Cossi, L. V. (26). Synthesis of an lmi-based fuzzy control system with guaranteed cost performance: A piecewise lyapunov approach, Sba: Controle & Automação 17(2): Assunção, E., Faria, F. A., Teixeira, M. C. M. and Cardim, R. (27a). Realimentação da derivada dos estados eistemas fuzzy Takagi Sugeno, Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, Vol. 1, s.n., Florianópolis. 6p. (Artigo 29542). Assunção, E., Teixeira, M. C. M., Faria, F. A., da Silva, N. A. P. and Cardim, R. (27b). Robust statederivative feedback LMI-based designs for multivariable linear systems, International Journal of Control 8(8): Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, E. and Balakrishnan, V. (1994). Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, Studies in Applied Mathematics, 15, 2 edn, SIAM Studies in Applied Mathematics. da Silva, E. R. P., Assunção, E., Teixeira, M. C. M. and Faria, F. A. (21). Condições relaxadas para o projeto de controladores de sistemas lineares incertos usando a realimentação da derivada dos estados, CBA 21, Bonito-MS, pp da Silva, E. R. P., Teixeira, M. C. M., Assunção, E. and Faria, F. A. (29). Controle robusto de sistemas não-lineares sujeitos a falhas estruturais usando realimentação da derivada dos estados, Anais do 9 o Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, Brasília. de Oliveira, M. C. and Geromel, J. C. (25). A class of robust stability conditions where linear parameter dependence of the Lyapunov function is a necessary condition for arbitrary parameter dependence, System & Control Letters 54(11): de Oliveira, M. C. and Skelton, R. E. (21). Perspectives in Robust Control, Lecture Notes in Control and Information Sciences, Springer-Verlag, Berlin, Germany, chapter Stability tests for constrained linear systems, pp Gahinet, P., Nemirovski, A., Laub, A. J. and Chilali, M. (1995). LMI control toolbox - For use with MATLAB, The Math Works Inc. Geromel, J. and Korogui, R. (26). Analysis and synthesis of robust control systems using linear parameter dependent Lyapunov functions, IEEE Transactions on Automatic Control 51(12): Kau, S. W., Liu, Y. S., Hong, L., Lee, C. H., Fang, C. H. and Lee, L. (25). A new LMI condition for robust stability of discrete-time uncertain systems, System & Control Letters 54(12): Kwak, S. K., Washington, G. and Yedavalli, R. K. (22). Acceleration feedback-based active and passive vibration control of landing gear components, Journal of Aerospace Engineering 15(1): 1 9. Montagner, V. F., Oliveira, R. C. L. F. and Peres, P. L. D. (21). Relaxações convexas de convergência garantida para o projeto de controladores para sistemas nebulosos de Takagi-Sugeno, Sba: Controle & Automação 21: Mozelli, L. A., Avellar, G. S. C., Palhares, R. M. and Santos, R. F. (21). Alternative LMI conditions for Takagi-Sugeno systems via Fuzzy Lyapunov function, Sba: Controle & Automação 21: Oliveira, R. C. L. F. and Peres, P. L. D. (26). LMI conditions for robust stability analysis based on polynomially parameter-dependent Lyapunov functions, System & Control Letters 55(1): Pipeleers, G., Demeulenaere, B., Swevers, J. and Vandenberghe, L. (29). Extended LMI characterizations for stability and performance of linear systems, Systems & Control Letters 58(7): Reithmeier, E. and Leitmann, G. (23). Robust vibration control of dynamical systems based on the derivative of the state, Archive of Applied Mechanics 72(11 12): de Oliveira, M. C. and Skelton, R. E. (22). On stability tests for linear systems, Proceedings IFAC 15 th Triennial World Congress, Barcelona, Spain, pp Duan, Y. F., Ni, Y. Q. and Ko, J. M. (25). State-Derivative feedback control of cable vibration using semiactive magnetorheological dampers, Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering 2(6): Faria, F. A., Assunção, E. and Teixeira, M. C. M. (29a). Realimentação da derivada dos estados eistemas multivariáveis lineares usando LMIs, Controle & Automação 2(1): Faria, F. A., Assunção, E., Teixeira, M. C. M., Cardim, R. and da Silva, N. A. P. (29b). Robust state-derivative pole placement LMI-based designs for linear systems, International Journal of Control 82(1): ISSN: Vol. X 7