Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

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1 RELAXAÇÕES LMIS COM ESCALARES PARA REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS ROBUSTA DE SISTEMAS POLITÓPICOS Henrique S. Vieira, Ricardo C. L. F. Oliveira, Pedro L. D. Peres Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, Universidade Estadual de Campinas UNICAMP, , Campinas, SP, Brasil s: {hsvieira, ricfow, peres}@dt.fee.unicamp.br Abstract This paper proposes a new synthesis condition for the design of a robust (parameter-independent) stabilizing state feedback gain for continuous and discrete-time polytopic linear systems. Using the Projection lemma and slack variables, matrix inequalities with scalar parameters are proposed for the design of a robust stabilizing gain. For fixed values of the scalar parameters, LMIs relaxations are obtained, allowing the use of homogeneous polynomial Lyapunov matrices to certificate the closed-loop stability. It is also demonstrated that the proposed relaxations contain the most efficient conditions available in the literature (continuous and discrete-time cases) for particular choices of the scalars. The efficiency of the proposed conditions is evaluated through numerical comparisons with other conditions, using a database of systems available in the literature with polytopic systems that are guaranteed to be stabilizable through a robust state feedback gain. Keywords Uncertain linear systems, Polytopic uncertainty, State Feedback, Linear Matrix Inequalities, Projection Lemma Resumo Neste trabalho é proposta uma nova condição de síntese para o projeto de um ganho robusto (independente de parâmetros) estabilizante por realimentação de estados para sistemas lineares politópicos contínuos e discretos no tempo. Utilizando o Lema da Projeção e variáveis de folga, desigualdades matriciais com parâmetros escalares são propostas para o projeto do ganho robusto. Para valores fixos dos parâmetros escalares, relaxações LMIs são obtidas, permitindo o uso de matrizes de Lyapunov polinomiais homogêneas para certificar a estabilidade em malha fechada. Também é demonstrado que as relaxações propostas contêm as condições mais eficientes atualmente disponíveis na literatura (casos contínuo e discreto no tempo) para escolhas particulares dos escalares. A eficiência das condições propostas é avaliada por meio de comparações numéricas com outras condições, utilizando uma base de dados disponível na literatura com sistemas politópicos garantidamente estabilizáveis por meio de um ganho robusto de realimentação de estados. Palavras-chave Sistemas lineares incertos, Incerteza politópica, Realimentação de Estados, Desigualdades matriciais Lineares, Lema da Projeção. 1 Introdução O projeto de controladores robustos para sistemas lineares incertos invariantes no tempo é um problema de destaque para esta classe de sistemas (Boyd et al., 1994). Se por um lado a análise de estabilidade robusta pode ser completamente caracterizada por procedimentos convexos de otimização baseados em relaxações LMIs (do inglês, Linear Matrix Inequalities LMIs) (Boyd et al., 1994) (Oliveira e Peres, 2007; Oliveira et al., 2008; Chesi et al., 2005; Gonçalves et al., 2006), o problema de síntese (estabilização robusta) apresenta um cenário bem mais desafiador. Um passo importante para a solução deste problema foi a estabilização quadrática (Geromel et al., 1991), que consiste em parametrizar o ganhodecontrolepormeiodeumamatrizdelyapunov fixa (independente de parâmetros). A técnica torna o problema convexo, isto é, resulta em um problema de factibilidade escrito em termos de um conjunto de LMIs definidas nos chamados vértices do sistema incerto (Boyd et al., 1994). Contudo, a técnica utilizada para tornar o problema convexo introduz conservadorismo nas condições LMIs no caso de sistemas incertos. Nos últimos vinte anos muitos esforços de pesquisa foram empregados para obter condições de síntese robusta cada vez mais relaxadas, isto é, menos conservadoras do que as baseadas na estabilização quadrática. Um ponto de destaque nesta pequena história foram as funções de Lyapunov dependentes de parâmetros na forma afim (Feron et al., 1996), empregadas de modo conjunto com as chamadas variáveis de folga (Geromel et al., 1998; de Oliveira, Geromel e Hsu, 1999). Diferentemente da estabilização quadrática, essa abordagem desacopla a matriz dinâmica do sistema da matriz de Lypaunov, permitindo que o ganho robusto seja sintetizado a partir da variável de folga (de Oliveira, Bernussou e Geromel, 1999). Diferentes técnicas foram exploradas neste contexto, como por exemplo, o Lema da Projeção (Apkarian et al., 2001; Pipeleers et al., 2009; Morais et al., 2012) e o Lema de Finsler (Trofino e de Souza, 2001; Ebihara e Hagiwara, 2004). Uma outra técnica muito utilizada foi a introdução da busca de um parâmetro escalar que, se fixo, ainda resulta em condições LMIs (Shaked, 2001; Geromel e Korogui, 2006; Garcia e Salhi, 2008; Oliveira et al., 2011). Comparações numéricas estatísticas das principais técnicas existentes podem ser encontradas em Oliveira et al. (2011) para sistemas contínuos e em Morais et al. (2012) para sistemas discretos. Uma característica comum da maioria das 1112

2 condições disponíveis na literatura(casos contínuo e discreto) é a dependência paramétrica da matriz de Lyapunov ser restrita ao caso afim (polinomial de grau um). As exceções a essa regra são as condições publicadas em (Geromel e Korogui, 2006) e em (Oliveira et al., 2011, Lemma 9), que podem ser estendidas para tratar funções de Lyapunov polinomiais, potencialmente reduzindo o conservadorismo das relaxações. Seguindo uma abordagem similar, este artigo propõe novas condições LMIs com busca em parâmetros escalares para a síntese robusta por realimentação de estados. Utilizando o Lema da Projeção e variáveis de folga advindas do Lema de Finsler, as condições propostas admitem funções de Lyapunov polinomiais e tratam os casos contínuo e discreto. Também é demonstrado que as relaxações propostas contêm as condições mais eficientes atualmente disponíveis na literatura (casos contínuo e discreto) para escolhas particulares dos escalares. Buscas nos parâmetros escalares permitem reduzir o conservadorismo das condições ao preço do aumento do esforço computacional. Exemplos numéricos e comparações estatísticas utilizando bases de dados disponíveis na literatura ilustram as vantagens da técnica proposta. Notação: Matrizes são grafadas em letras maiúsculas, e vetores e escalares em letras minúsculas; X > 0 (X < 0) indica que a matriz X é definida positiva (negativa); X denota a transposta da matriz X; I (0) denota a matriz identidade (nula) de dimensão apropriada; ( ) denota blocos simétricos em matrizes; diag(x, Y) denota uma matriz formada por blocos diagonais dados pelas matrizes X e Y. O problema a ser investigado é o projeto de um ganho robusto K R m n (independente de parâmetros) tal que a lei de controle por realimentação de estados u(t) = Kx(t) (4) estabilize robustamente o sistema (1). Isto é, que torne a matriz dinâmica em malha fechada (A(α)+B(α)K) Hurwitz estável(autovalores com parte real negativa) para sistemas contínuos, ou Schur estável (autovalores com módulo menor do que um) para sistemas discretos no tempo. A seguir é apresentado o Lema da Projeção (Pipeleers et al., 2009; Iwasaki e Skelton, 1994; Skelton et al., 1998), que será utilizado na demonstração das condições propostas. Lema 1 (Lema da Projeção) Dada uma matriz simétrica Q R m m e duas matrizes B e C com m colunas, existe uma matriz não estruturada X que satisfaz Q+C XB+B X C < 0 (5) se e somente se as desigualdades de projeção em relação a X são satisfeitas B QB < 0, (6) 2 Preliminares Considere o sistema linear δx(t) = A(α)x(t) + B(α)u(t) (1) no qual o símbolo δ representa o operador derivativo(ẋ(t)) para sistemas contínuos no tempo e o operador avanço unitário (x(t + 1)) para sistemas discretos no tempo. As matrizes A(α) R n n e B(α) R n m são incertas e pertencem a um domínio politópico dado pela combinação convexa de N vértices conhecidos (A i,b i ),i = 1,...N, isto é (A,B)(α) = α i (A i,b i ), α Λ (2) e α é vetor de parâmetros invariantes no tempo pertencentes ao simplex unitário Λ {ξ R N : ξ i = 1, ξ 0,i = 0,...,N} (3) C QC < 0, (7) sendo que B e C são matrizes arbitrárias cujas colunas formam uma base para o espaço nulo de B e C, respectivamente. 3 Resultados Como principal contribuição deste trabalho, uma nova condição LMI dependente de parâmetros com busca em parâmetros escalares e baseada no Lema da Projeção (Pipeleers et al., 2009) foi elaborada. Teorema 2 (LP-γ) Existe um ganho K tal que (A(α)+B(α)K) é robustamente estável em (1) se existirem uma matriz simétrica definida positiva P(α) R n n, matrizes F(α), G(α) R n n, L R m n, e S R n n, e escalares γ 1,γ 2,, ǫ, ξ e ρ 1113

3 tais que A(α)F(α) +ξb(α)l +F (α)a (α)+ξl B (α) +γ 1 (ξs ρf(α))+γ 1 (ξs ρf(α)) G (α)a (α)+ǫl B (α) F(α) +γ 1 (ǫs ρg(α)) +γ 2 (ξs ρf(α)) L B (α)+γ 1 S + (ξs ρf(α)) G(α) G (α) +γ 2 (ǫs ρg(α))+γ 2 (ǫs ρg(α)) para todo α Λ, com γ 2 S + (ǫs ρg(α)) +Ψ < 0 (8) (S +S ) Ψ = Ψ c = diag ( ) 0 P(α),0 P(α) 0 para sistemas contínuos no tempo, e Ψ = Ψ d = diag( P(α),P(α),0) para sistemas discretos no tempo. No caso afirmativo, o ganho estabilizante é dado por K = ρls 1. Prova: A desigualdade (8) pode ser reescrita como Q + C XB + B X C < 0, por meio das seguintes escolhas ( ) A(α)F(α)+ξB(α)L Q = +F(α) A(α) +ξl B(α) F(α)+G(α) A(α) +ǫl B(α) L B(α) G(α) G(α) +Ψ, 0 0 B = ξi ρs 1 F(α) ǫi ρs 1 G(α) I, C = γ 1 I γ 2 I I, X = S. Adotando I 0 B = 0 I, (ρs 1 F(α) ξi) (ρs 1 G(α) ǫi) tem-se pelo Lema da Projeção que (8) implica em B QB < 0, isto é Amf (α)f(α)+f(α) A mf (α) F(α)+G (α)a mf (α) G(α) G(α) +B ΨB < 0 (9) com A mf (α) = A(α) + B(α)K e K = ρls 1. Multiplicando (9) à esquerda por T = I Amf (α) e à direita por T, e considerando Ψ = Ψ c, tem-se A mf (α)p(α)+p(α)a mf (α) < 0, que garante a estabilidade Hurwtiz do sistema em malha fechada para sistemas contínuos no tempo. Por outro lado, realizando a mesma transformação de congruência, mas tomando Ψ = Ψ d, tem-se A mf (α)p(α)a mf (α) P(α) < 0, que garante a estabilidade Schur do sistema em malha fechada para sistemas discretos, concluindo a prova. Para valores fixos de γ i, i = 1,...,3, ǫ, ξ e ρ, as condições do Teorema 2 tornam-se LMIs dependentes de parâmetros (robustas) pertencentes ao simplex unitário e podem ser resolvidas utilizando relaxações LMIs por meio da escolha de soluções polinomiais homogêneas para as variáveis dependentes de parâmetros do problema (matriz de Lyapunov e variáveis de folga). Assim comoem(geromelekorogui,2006)eem(oliveira et al., 2011, Lemma 9), as LMIs robustas propostas também preservam o produto entre as variáveis dependentes de parâmetros do problema e as matrizes do sistema, viabilizando o uso de polinômios homogêneos de grau maior do que um. Note que também pelo Lema da Projeção, a desigualdade (8) implica em C QC < 0. Neste caso, adotando tem-se C = I 0 0 I γ1 I γ2 I ( A(α)F(α)+F(α) (α) +ξb(α)l(i γ1 I)+ξL B(α) (I γ1 I) ) F(α)+G (α)a(α) +ǫl B(α) (I γ2 I) G(α) G(α) +C ΨC < 0 Observe que os termos relacionados ao controle B(α)L e L B(α) podem ser anulados caso γ 1 e γ 2 se aproximem de, restringindo as soluções do teorema proposto apenas para sistemas estáveis em malha aberta. Essa informação deve ser utilizada para melhorar a eficiência nas buscas de γ i. 4 Experimentos Numéricos 4.1 Programação Computacional As desigualdades (tornam-se LMIs para valores fixos dos escalares) dependentes de parâmetros do Teorema 2 apresentam no máximo produtos entre 1114

4 duas matrizes dependentes de parâmetros. Considerando estruturas afins para P(α), F(α) e G(α), conjuntos de LMIs finitas (computacionalmente implementáveis) podem ser obtidos aplicando-se, por exemplo, a técnica proposta em (Ramos e Peres, 2002). Esse será o caso em todos os testes numéricos realizados para essa estrutura em particular. Para estruturas polinomiais de grau maior do que um será utilizada a técnica de parametrização de polinômios homogêneos proposta em (Oliveira e Peres, 2007) (por simplicidade, todas as matrizes serão consideradas de mesmo grau). Uma alternativa rápida de implementação para o leitor interessado em programar as condições é a utilização de um parser que trata diretamente as LMIs dependentes de parâmetros, como por exemplo, o Robust LMI Parser (ROLMIP) (Agulhari et al., 2012). O objetivo dos experimentos é comparar o desempenho da condição proposta neste artigo com as condições disponíveis na literatura que são consideradas o estado da arte atual para a estabilização robusta de sistemas politópicos. Para sistemas contínuos no tempo, as comparações são feitas com a condição obtida a partir do Lema de Finsler (Ebihara e Hagiwara, 2004) (FINS), reproduzida na sequência por conveniência. Lema 3 (FINS) Se existirem uma matriz simétrica definida positiva X(α) R n n, matrizes G R n n,y R m n e um escalar ǫ > 0 tais que ( A(α)G+G A(α) ) +B(α)Y +Y B(α) ( ) X(α) G +ǫ(g A(α) +Y B(α) ) < 0, ǫ(g+g ) α Λ então K = YG 1 assegura a estabilidade robusta em malha fechada do sistema (1) no caso contínuo. Como mostrado em (Oliveira et al., 2011), essa estratégia, baseada em LMIs com busca de um parâmetro escalar (ǫ), é a que mostrou, de longe, o melhor desempenho nas comparações realizadas, para o caso contínuo. O próximo lema mostra que as condições do Teorema 2 reproduzem as condições do Lema 3 por meio de escolhas particulares dos escalares. Lema 4 Se o Lema 3 tem solução, então o Teorema 2 também terá por meio das seguintes escolhas γ 1 = γ 2 = 0, ρ = ξ = 1 e. Prova: Adotando as escolhas propostas em (8), tem-se ( ) A(α)F(α) +B(α)L ( +F(α) A(α) +L B(α) ) P(α) F(α)+G(α) A(α) +ǫl B(α) L B(α) + (S F(α)) G(α) G (α) (ǫs G(α)) (S +S ) < 0 (10) Fixando G(α) = ǫg, F(α) = G e S = G, e aplicando o complemento de Schur tem-se A < B 1 G+G 1 B (11) com ( ) A(α)G+B(α)L A = +G ( A(α) +L B(α) ) P(α)+ǫG A(α) G+ǫL B(α) B = B(α)L 0, ǫg ǫg, Com tendendo a menos infinito, tem-se que Aé definidanegativa. NotequeA < 0éequivalenteàs desigualdadesdo Lema 3 fazendo L = Y e P(α) = X(α). No caso de sistemas discretos, a condição proposta será comparada com o método apresentado em (Morais et al., 2012, Lema 5) (LA ξ), que também é baseado em LMIs com busca de um escalar. Lema 5 (LA-ξ) Se existirem uma matriz simétrica definida positiva W(α) R n n, matrizes G R n n,z R m n e um escalar ξ ( 1,1) tais que ξa(α)g+ξg A(α) +ξb(α)z +ξz B(α) ( W(α) ) ( ) G A(α) W(α) +Z B(α) ξg G G < 0, α Λ (12) então K = ZG 1 assegura a estabilidade robusta em malha fechada do sistema (1) no caso discreto. O próximo lema mostra que as condições do Teorema 2 também reproduzem as condições do Lema 5 para escolhas particulares dos escalares. Lema 6 Se o Lema 5 tem solução, então o Teorema 2 também terá por meio das seguintes escolhas γ 1 = γ 2 = 0, ρ = ǫ = 1 e. 1115

5 Prova: Adotando as escolhas propostas e aplicando o mesmo procedimento de prova utilizado no Lema 4, tem-se que A < 0, sendo A equivalente à desigualdade do Lema 5 fixando L = Z e P(α) = W(α). Nesse ponto é importante enfatizar que as condições propostas sempre são capazes de reproduzir as melhores condições de estabilização robusta da literatura. Os escalares ǫ e ξ foram introduzidos com esse propósito. Os outros escalares foram introduzidos de modo a explorar outras regiões, não atingíveis pelas condições FINS e LA ξ. Também é importante notar que a condição proposta possui vários parâmetros escalares que devem ser buscados, e para realizar uma comparação justa (esforço computacional equiparável), o número total de buscas realizadas em γ i, i = 1,...,3, ǫ, ξ e ρ será limitado a valores iguais ou próximos ao número de buscas realizadas nas condições FINS e LA ξ. As rotinas foram implementadas em MatLab, versão (R2012b) usando o pacote LMI Control Toolbox (Gahinet et al., 1995). O computador utilizado foi um AMD Phenom II X3 (2.60GHz), 3 GB RAM, Microsoft Windows XP. A implementação das condições FINS e LA ξ em termos de condições finitas (programáveis) foi realizada considerando dependência afim nos parâmetros incertos para as matrizes de Lyapunov P(α) e W(α), isto é P(α) = α i P i, W(α) = α i W i, 4.2 Simulações Exaustivas α Λ A primeira avaliação da eficiência da condição proposta será feita por meio da estabilização de sistemas politópicos contínuos garantidamente estabilizáveis, mas que certamente não admitem um ganho quadraticamente estabilizante. Os sistemas fazem parte da base de dados apresentadaem (Oliveira et al., 2011) (disponível para download 1 ) e serão testados pela condição proposta e pela condição FINS. A base consiste em 100 sistemas para cada combinação das dimensões n = 2,...,5 e N = 2,...,5 e m = 1 (sistemas de uma entrada de controle apenas). A Tabela 1 foi obtida utilizando os seguintes parâmetros (escala logarítmica sugerida em (Oliveira et al., 2011)) ε {10 7,10 6,10 5,10 4,10 3,10 2,10 1, 1,10,10 1,10 2,10 3,10 4,10 5,10 6,10 7 } (13) para o caso de FINS, e a seguinte combinação de parâmetros (usando apenas os valores presentes 1 Base de dados disponível em unicamp.br/~ricfow/programs/ssf_database.zip. em (14)) γ 1 {0,1,10 2 } γ 2 {0,1} {1,10 1,10 2 } ǫ = ξ = 1 ρ = 10 5 (14) para o Teorema 2(total de 18 combinações), considerando variáveis com dependência afim nos parâmetros (LP γ g=1 ) e dependência quadrática nos parâmetros incertos (LP γ g=2 ). Note que essas escolhas não garantem que o Teorema 2 contenha a condição FINS. O objetivo nesta seção é explorar outras regiões de busca, em que o Teorema 2 pode ganhar ou perder de FINS. Tabela 1: Número de sistemas(dentre 100) estabilizados pormeio de um ganhode realimentaçãode estados robusto não quadrático utilizando o método de FINS e LP γ considerando dependência afim (g = 1) e quadrática (g = 2) nos parâmetros incertos para as variáveis do problema. n N FINS LP γ g=1 LP γ g= sucesso 53.7% 54.5% 54.6% Como pode ser observado, a condição proposta consegue estabilizar mais sistemas do que FINS, com um número de buscas levemente maior (18 contra 15 de FINS). É importante notar que essa base de sistemas foi criada de modo a não admitir soluções por meio da estabilização quadrática, contendo sistemas difíceis de serem estabilizados. Os resultados também mostram que variáveis polinomiais de grau maior do que um podem ser necessárias em algumas situações. Os resultados da condição proposta podem ser melhorados ao preço de um número maior de buscas (maior esforço computacional), mesmo utilizando apenas um conjunto finito de parâmetros espaçados em escala logarítmica. Uma simulação similar à realizada para sistemas contínuos também foi feita para sistemas discretos, usando a base de dados de sistemas 1116

6 não quadraticamente estabilizáveis proposta em (Morais et al., 2012). Como sugerido em (Morais et al., 2012), a condição LA ξ foi programada com 39 valores igualmente espaçados no intervalo e a condição proposta neste artigo utiliza a seguinte combinação de parâmetros γ 1 {0.9,1} γ 2 {10 3,1} {0.4,1,2,10} ǫ = ξ = 1 ρ = 10 5 (15) totalizando 16 combinações. Os resultados mostram que a condição proposta foi capaz de estabilizar exatamente o mesmo número de sistemas que a condição LA ξ, contudo, usando um número menor de buscas. Note que os valores dos parâmetros propostos em (15) não seguem a escala logarítmica do caso contínuo, pois os testes mostraram que, pelo menos para γ i, i = 1,...,3, valores com magnitude maior do que 10 não fornecem bons resultados. 4.3 Exemplo Considere um sistema politópico a tempo contínuo com as seguintes matrizes vértices A 1 A 2 A 3 = B 1 B 2 B 3 = As condições FINS e LP γ com dependência afim nas variáveis não encontram solução com as buscas indicadas em (13) e (14). Contudo, a condição LP γ com dependência quadrática nas variáveis encontra uma solução, fornecendo o seguinte ganho robusto (truncado com 4 casas decimais) K = (16) Para ilustrar ainda mais a importância do uso de variáveis com dependência polinomial de grau maior do que um, os seguintes experimentos foram realizados: (i)- as variáveis soluções de LP γ que produziram o ganho dado em (16) foram utilizadas para inicializar algumas variáveis de FINS da seguinte maneira Y = ρl G = S Desse modo, a condição FINS torna-se uma LMI nas variáveisp i, i = 1,...,N e ǫ. Testando acondição com a inicialização proposta, não foi possível encontrar uma solução factível. A primeira conclusão é que a condição FINS não poderia encontrar o ganho K dado em (16) mesmo considerando ǫ uma variável livre. (ii)- Para verificar se outros ganhos estabilizantes poderiam ser encontradospelacondiçãofins, abuscapeloparâmetroǫ foi realizadanuma grade muito fina (cem mil pontos) entre os extremos do conjunto dado em (13), tanto para a escalar linear (comando linspace do Matlab) quanto para a escalar logarítmica (comando logspace do Matlab). Nenhuma solução factível foi encontrada, indicando que a condição FINS não pode estabilizar o sistema em estudo. Como ilustração, os autovalores do sistema em malha fechada utilizando o ganho estabilizante (16) são mostrados na Figura 1 (calculados por meio de uma grade exaustiva no espaço dos parâmetros incertos). Imag(s) Re(s) Figura 1: Autovalores do sistema em malha fechada para o projeto realizado no Exemplo considerado. 5 Conclusões Foram propostas relaxações LMIs com busca em parâmetros escalares para a estabilização robusta por realimentação de estados de sistemas lineares politópicos. A técnica trata de maneira unificada sistemas contínuos e discretos no tempo, e permite o uso de matrizes de Lyapunov e variáveis de folga polinomiais homogêneas de grau arbitrário. Exemplos numéricos mostraram o potencial da técnica, que inclusive reproduz as condições mais eficientes disponíveis na literatura por meio de escolhas particulares dos escalares. Os autores acreditam que a técnica é bastante promissora para o projeto de ganhos robustos utilizando as normas H 2 e H como critérios de desempenho. Procedimentos de buscas mais eficientes para os parâmetros escalares também encontram-se sob investigação. Agradecimentos Às agências FAPEAM (proc. 1271/2012, dec. 044/2013), CAPES e CNPq. 1117

7 Referências Agulhari, C. M., Oliveira, R. C. L. F. e Peres, P. L. D. (2012). Robust LMI parser: A computational package to construct LMI conditions for uncertain systems, XIX CBA, Campina Grande, PB, Brasil, pp Apkarian, P., Tuan, H. D. e Bernussou, J. (2001). Continuous-time analysis, eigenstructure assignment, and H 2 synthesis with enhanced linear matrix inequalities (LMI) characterizations, IEEE Trans. Autom. Control 46(12): Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, E. e Balakrishnan, V. (1994). Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM Studies in Applied Mathematics, Philadelphia, PA. Chesi, G., Garulli, A., Tesi, A. e Vicino, A. (2005). Polynomially parameter-dependent Lyapunov functions for robust stability of polytopic systems: An LMI approach, IEEE Trans. Autom. Control 50(3): de Oliveira, M. C., Bernussou, J. e Geromel, J. C. (1999). A new discrete-time robust stability condition, Syst. Control Letts. 37(4): de Oliveira, M. C., Geromel, J. C. e Hsu, L. (1999). LMI characterization of structural and robust stability: the discrete-time case, Lin. Alg. Appl. 296(1 3): Ebihara, Y. e Hagiwara, T. (2004). New dilated LMI characterizations for continuoustime multiobjective controller synthesis, Automatica 40(11): Feron, E., Apkarian, P. e Gahinet, P. (1996). Analysis and synthesis of robust control systems via parameter-dependent Lyapunov functions, IEEE Trans. Autom. Control 41(7): Gahinet, P., Nemirovskii, A., Laub, A. J. e Chilali, M. (1995). LMI Control Toolbox User s Guide, The Math Works, Natick, MA. Garcia, G. e Salhi, S. (2008). H 2 and H robust control for continuous-time linear systems, Technical Report 08146, LAAS-CNRS. Geromel, J. C., de Oliveira, M. C. e Hsu, L. (1998). LMI characterization of structural and robust stability, Lin. Alg. Appl. 285(1 3): Geromel, J. C. e Korogui, R. H. (2006). Analysis and synthesis of robust control systems using linear parameter dependent Lyapunov functions, IEEE Trans. Autom. Control 51(12): Geromel, J. C., Peres, P. L. D. e Bernussou, J. (1991). On a convex parameter space method for linear control design of uncertain systems, SIAM J. Control Optim. 29(2): Gonçalves, E. N., Palhares, R. M., Takahashi, R. H. C. e Mesquita, R. C. (2006). New approach to robust D-stability analysis of linear time-invariant systems with polytopebounded uncertainty, IEEE Trans. Autom. Control 51(10): Iwasaki, T. e Skelton, R. E. (1994). All controllersforthegeneralh controlproblem: LMI existence conditions and state-space formulas, Automatica 30(8): Morais, C. F., Braga, M. F., Linguanotto, A. S., Oliveira, R. C. L. F. e Peres, P. L. D. (2012). Controle robusto por realimentação de estados para sistemas lineares discretos no tempo por meio de LMIs com parâmetros escalares, XIX CBA, Campina Grande, PB, Brasil, pp Oliveira, R. C. L. F., de Oliveira, M. C. e Peres, P. L. D. (2008). Convergent LMI relaxations for robust analysis of uncertain linear systems using lifted polynomial parameterdependent Lyapunov functions, Syst. Control Letts. 57(8): Oliveira, R. C. L. F., de Oliveira, M. C. e Peres, P. L. D. (2011). Robust state feedback LMI methods for continuous-time linear systems: Discussions, extensions and numerical comparisons, Proc IEEE Int. Symp. on Comput. Aided Control Syst. Des., Denver, CO, USA, pp Oliveira, R. C. L. F. e Peres, P. L. D. (2007). Parameter-dependent LMIs in robust analysis: Characterization of homogeneous polynomially parameter-dependent solutions via LMI relaxations, IEEE Trans. Autom. Control 52(7): Pipeleers, G., Demeulenaere, B., Swevers, J. e Vandenberghe, L. (2009). Extended LMI characterizations for stability and performance of linear systems, Syst. Control Letts. 58(7): Ramos, D. C. W. e Peres,P. L. D. (2002). An LMI condition for the robust stability of uncertain continuous-time linear systems, IEEE Trans. Autom. Control 47(4): Shaked, U. (2001). Improved LMI representations for the analysis and the design of continuous-time systems with polytopic type uncertainty, IEEE Trans. Autom. Control 46(4): Skelton, R. E., Iwasaki, T. e Grigoriadis, K. (1998). A Unified Algebraic Approach to Linear Control Design, Taylor & Francis, Bristol, PA. Trofino, A. e de Souza, C. E. (2001). Biquadratic stability of uncertain linear systems, IEEE Trans. Autom. Control 46(8):