ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE SISTEMAS FUZZY TS VIA LMI: METODOLOGIA BASEADA EM UMA NOVA FUNÇÃO DE LYAPUNOV FUZZY

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1 ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE SISTEMAS FUZZY TS VIA LMI: METODOLOGIA BASEADA EM UMA NOVA FUNÇÃO DE LYAPUNOV FUZZY Leonardo Amaral Mozelli Reinaldo Martinez Palhares Universidade Federal de São João del-rei Campus Alto Paraopeba Rod. MG 443, Km Ouro Branco MG Brasil Universidade Federal de Minas Gerais Departamento de Engenharia Eletrônica Av. Antônio Carlos, 667, Pampulha Belo Horizonte MG Brasil Autor para contato. mozelli@ufsj.edu.br, palhares@cpdee.ufmg.br Abstract In this paper a new Lyapunov function for stability analysis of Takagi-Sugeno (TS) fuzzy systems via Linear Matrix Inequalities (LMIs) is proposed. This new function takes into account information regarding the time derivative of the membership functions. This may reduce conservatism and provides a better characterization of the time-varying structure of the TS systems. Furthermore, some recent strategies are used to insert this new information into the LMI framework in a nonconservative manner. Keywords Takagi-Sugeno fuzzy systems, Linear Matrix Inequalities, Stability analysis Resumo Uma nova função de Lyapunov é proposta, neste trabalho, para analisar estabilidade de sistemas fuzzy Takagi-Sugeno (TS) por meio de desigualdades matriciais lineares (LMIs). Essa nova função considera informações relativas a derivada temporal das funções de pertinência. Isso pode reduzir o conservadorismo e proporciona uma melhor caracterização da estrutura variante no tempo dos sistemas TS. Além disso, estratégias recentes são adotadas para incluir essa informação adicional no formato de LMIs de uma maneira não conservadora. Palavras-chave Sistemas fuzzy Takagi-Sugeno, Desigualdades Matriciais Lineares, Análise de Estabilidade 1 Introdução A análise de estabilidade e projeto de controladores para sistemas fuzzy Takagi-Sugeno (TS) (Takagi e Sugeno, 1985) têm sido rotineiramente descritos como problemas de otimização por meio de desigualdades matriciais lineares (LMIs, acrônimo inglês para linear matrix inequalities) (Tanaka e Wang, 1). Recentemente, surgiram formulações SOS (acrônimo inglês para sumof-squares) (Tanaka et al., 9). Em ambos os casos, um fator determinante no conservadorismo das condições é a escolha da função de Lyapunov candidata usada para garantir estabilidade global, tanto em malha-aberta quanto em malha-fechada. Durante as últimas duas décadas houve um predomínio maciço da chamada estabilidade quadrática, na qual se emprega uma função de Lyapunov quadrática nos estados (x Px) com uma única matriz P, resultando em condições suficientes para estabilidade (Tanaka e Wang, 1; Teixeira et al., ; Mozelli et al., 7). Contudo, (Sala e Ariño, 7) e (Montagner et al., 9) apresentaram condições suficientes e necessárias que demarcaram a limitação do desempenho da estabilidade quadrática. Numericamente, as condições propostas em (Montagner et al., 9) se traduzem como sequencias convergentes de LMIs, cujo conservadorismo diminui a medida que certo parâmetro cresce, tendendo para necessidade. Recentemente, (Tanaka et al., 9) propôs o uso de funções com dependência polinomial nos estados. A desvantagem de uma única função para todo o domínio é preterir a característica variante no tempo de sistemas TS, levando em consideração apenas sua característica politópica. Essa estratégia é muito conservadora, pois existem sistemas TS estáveis sem que haja uma função de Lyapunov única capaz de certificá-la (Jadbabaie, 1999; Johansson et al., 1999; Tanaka et al., 3). 1.1 Funções de Lyapunov Fuzzy Como alternativas, destacam-se as chamadas funções de Lyapunov por partes (Johansson et al., 1999) e as funções de Lyapunov fuzzy (FLF) (Jadbabaie, 1999; Rhee e Won, 6). A FLF é caracterizada pela combinação fuzzy de um conjunto de funções quadráticas por meio do mesmo conjunto de regras fuzzy usadas na modelagem do sistema. A FLF de Jadbabaie (1999) e de Tanaka et al. (3) se assemelha bastante com as funções dependentes de parâmetros usadas para sistemas lineares variantes no tempo (LPV) (Montagner e Peres, 3; Geromel e Colaneri, 6). A diferença é que o parâmetro variante em sistemas LPV é desconhecido, enquanto para sistemas TS são as funções de pertinência, permitindo a obtenção de limitantes para suas taxas de variação, como pode ser visto em (Tanaka et al., 3; Tanaka et al., 7). O projeto de controlador baseado na FLF de Tanaka et al. (3) via LMIs é discu- 46

2 tido em (Mozelli, Palhares e de Avellar, 9) e (Tanaka et al., 7). Já a FLF proposta por Rhee e Won (6) tem formato de integral e por isso sua derivada temporal não tem dependência com a taxa de variação das funções de pertinência. O preço pago é a necessidade de uma estrutura especial para as matrizes da FLF, veja em (Rhee e Won, 6; Mozelli et al., 1). Existe também a imposição de que somente os estados podem ser variáveis premissas, impedindo sua aplicação a sistemas TS quaisquer. Funções de Lyapunov no formato de integral são utilizadas no contexto geral de sistemas não-lineares, sendo obtidas através do método do gradiente variável (Haddad e Chellaboina, 8). Para síntese de controlador via LMI usando essa FLF veja (Mozelli et al., 1). Em (Mozelli, Palhares, Souza e Mendes, 9) é proposta uma generalização dos resultados de (Tanaka et al., 3) para análise de estabilidade, baseada em propriedades da derivada temporal das funções de pertinência. Resultados menos conservadores que aqueles vistos em (Rhee e Won, 6) são obtidos e a formulação de (Tanaka et al., 3) pode ser vista como um caso particular. Dessa forma, nota-se que o uso de informações adicionais relativas à característica variante no tempo dos sistemas TS, quando disponíveis, podem contribuir na redução de conservadorismo. Neste trabalho, é proposta uma função de Lyapunov fuzzy alternativa que considera a informação da derivada primeira das funções de pertinência em sua construção. Por consequência, a informação da derivada segunda também é incorporada nas condições de estabilidade. Portanto, busca-se uma melhor caracterização da propriedade variante no tempo de sistemas TS visando a redução de conservadorismo. Contribuindo nesse sentido, a estratégia apresentada em (Mozelli, Palhares, Souza e Mendes, 9) também pode ser aplicada de forma abrangente, junto aos termos que advém da nova função. Finalmente, a estratégia de Geromel e Colaneri (6) também é bastante apropriada nesse contexto, pois permite explicitar a dependência que as derivadas das funções de pertinência possuem entre si. O trabalho tem a seguinte sequência: no capítulo é feita uma breve revisão de sistemas TS; no capítulo 3 a nova função de Lyapunov fuzzy é apresentada; no capítulo 4 são propostas novas condições LMI menos conservadoras; no capítulo 5 testes numéricos ilustram a redução no conservadorismo; finalmente o capítulo 6 traz conclusões. dica que M é definida positiva (semidefinida positiva); M (i,j) indica o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna na matrix M; por simplicidade, na demonstração do teorema, h i (z(t)) e x(t) são substituídos, respectivamente por h i e x; os subconjuntos {1,,..., r} N, {1,,..., p} N e {1,,..., m} N são indicados por R, P e M respectivamente. Fundamentos de Modelos TS Sistemas dinâmicos na forma Takagi-Sugeno (TS) são descritos por meio de um conjunto de regras fuzzy (Tanscheit et al., 7; Teixeira e Assunção, 7) R i : Se z 1 (t) é M i 1 e e z p (t) é M i p Então ẋ(t) = A i x(t) (1) sendo o vetor de estados x(t) R n ; o número de modelos locais e regras R i é dado por r; A i são matrizes reais de dimensão apropriada; para esse modelo, o vetor das variáveis premissas é z(t) = [z 1 (t) z p (t)] e os conjuntos fuzzy de entrada são indicados por M i j, i R, j P. O modelo obtido usando fuzzificação singleton e defuzzificacão pela média ponderada é indicado de forma compacta por: sendo ẋ(t) = A(t)x(t), () A(t) h i (z(t))a i, tal que h i (z(t)) é a função de pertinência normalizada: ω i (z(t)) h i (z(t)) r ω i(z(t)), sendo que ω i (z(t)) é obtido pela inferência do tipo produto ω i (z(t)) p µ i j (z j(t)). j=1 Os valores µ i j (z j(t)) indicam o grau de pertinência das variáveis premissas nos respectivos conjuntos fuzzy M i j. As funções de pertinência normalizadas satisfazem as propriedades 1. Notação A notação usada nesse trabalho é padrão: letras maiúsculas indicam matrizes e minúsculas vetores; o sobre-escrito ( ) indica transposição de matrizes e vetores; para matrizes M > ( ) in- h i (z(t)) [, 1], ḣ i (z(t)) =, h i (z(t)) = 1, ḧ i (z(t)) =. (3) 463

3 3 Nova Função de Lyapunov Fuzzy Devido a constatação de que informações sobre a característica variante no tempo de um sistema TS contribuem na redução de conservadorismo (Jadbabaie, 1999; Tanaka et al., 3), uma nova função de Lyapunov fuzzy é proposta, levando-se em consideração a taxa de variação das funções de pertinência: definindo-se P(t) Veja que V (x) = x (t)p(t)x(t), (4) { } h i (z(t))pi 1 + ḣi(z(t))pi. (5) V (x) C 1, caso h i (z(t)) C V () = x(t) V (x). Resta garantir V (x) >, x(t). Caso P 1 i + ḣ k Pk >, i R (6) garante-se que a nova função candidata é uma função de Lyapunov. Para avaliar a restrição (6) de forma não conservadora note que, devido às propriedades em (3), as derivadas das funções de pertinência encontram-se no politopo definido por Ω co{v 1, v,...,v m } = {v j R r φ 1 i vj k φ1 i, c v j = } (7) sendo c = [1, 1,...,1] R r, k é k-ésima coordenada de v j k e ḣi(z(t)) φ 1 i. É possível avaliar a restrição (6) usando um conjunto finito de vetores v 1, v,..., v m que satisfaz (7), como feito em (Geromel e Colaneri, 6). O número mínimo de vetores é maior do que r, porém ainda é menor do que se observa, por exemplo, em (Jadbabaie, 1999; Montagner e Peres, 3), nos quais são consideradas todas as possíveis combinações ±ḣi(z(t)) para avaliar restrições análogas a (6), resultando em r testes. Além disso, essa metodologia é bem menos restritiva do que se observa por exemplo em (Tanaka et al., 3), onde assume-se um único limitante superior. 4 Novas Condições LMI Com base na nova função de Lyapunov fuzzy em (4) novas condições suficientes para verificar a estabilidade de sistemas TS autônomos () podem ser obtidas na forma de LMIs. O teorema seguinte enuncia esse resultado Teorema 1 Seja h i (z(t)) C, ḣi(z(t)) φ 1 i e ḧi(z(t)) φ i, i R. O sistema fuzzy TS () é assintoticamente estável caso as LMIs a seguir forem satisfeitas P 1 i + ( V (k,l) P k + X ) >, i R, l M (8) P i + X >, i R, (9) 1 ( ) H(i,j) + J (i,l) + J (j,l) +L <, i j, i,j R, l M (1) sendo H (i,j) A j P 1 i + P 1 i A j + A i P 1 j + P 1 j A i (11) J (i,l) V (k,l) (Pk 1 + X 1 + A ipk + PkA j ) (1) L φ ( k P k + X ) (13) Cada coluna da matriz V é formada por um dos m vetores que satisfazem (7): V v1, v,, v j 1 v j.,, vm. Prova: Primeiramente, demonstra-se que V (x) >. Como observado em (Mozelli, Palhares, Souza e Mendes, 9), com base nas propriedades das funções de pertinência (3) segue que v j r ḣ k X = X ḣ k = X () =, (14) sendo X qualquer matriz simétrica. Aplicando-se essa propriedade na FLF tem-se que V (x) = x { h i Pi 1 ( + ḣi P i + X )} x. (15) Para atender a restrição (6) de forma nãoconservadora é suficiente satisfazer a LMI (8). Resta mostrar que V (x) < ao longo das trajetórias descritas por (). A derivada temporal de (4) é dada por: V (x) = ẋ P(t)x + x P(t)x. (16) Usando novamente a propriedade em (14) a derivada pode ser reescrita como 464

4 V (x) = x (A (t)p(t) + P(t)A(t)) x +x { ḣ k P 1 k + X 1} x +x { ḧ k P k + X } x Caso (9) seja satisfeita segue que V (x) x À (t)p(t) + P(t)A(t) x + x 1 ḣ k P k + X 1 + φ k P! k + X x =x j=1 +x h ih j A j Pi 1 + Pi 1 A j x j=1 ḣ k h j A j Pk + PkA j + Pk 1 + X 1 x +x φ k P k + X x =x 1 j=1 h ih j À j P 1 i + P 1 i A j + A ip 1 j + P 1 j A i x +x 1 j=1 ḣ k h ih j À j P k + P k A j + A ip k + P ka i + P 1 k + X 1 x +x φ k P k + X x (17) Para garantir que (17) < é suficiente satisfazer (1), concluindo a demonstração. 5 Experimentos Numéricos Nesta seção alguns experimentos numéricos são apresentados para ilustrar o comportamento da FLF proposta, bem como a redução no conservadorismo obtida na comparação com outros métodos da literatura. 5.1 Exemplo 1 Considere o seguinte sistema não-linear (Tanaka et al., 3; Tanaka et al., 9) ( 7 ẋ 1 (t) = + 3 ) sin(x 1(t)) x 1 (t) 4x (t) ( 19 ẋ (t) = 1 ) sin(x 1(t)) x 1 (t) x (t) É possível obter um modelo TS, por meio do método da não-linearidade setorial (Tanaka e Wang, 1), que representa exatamente essa dinâmica : R 1 : Se x 1 (t) é M 1 1 Então ẋ(t) = A 1x(t) R : Se x 1 (t) é M 1 Então ẋ(t) = A x(t) sendo que A 1 = [ ] 5 4, A 1 = [ ] 4. h 1(x 1(t)) = 1 + sin(x1(t)), h (x 1(t)) = 1 sin(x1(t)) «7 ḣ 1(x 1(t)) = cos(x 1(t)) x1(t) + x(t) 4 3 x1(t) sin(x1(t))cos(x1(t)). 4 Embora várias trajetórias convergentes para a origem sejam observadas (veja na Figura 1 o retrato de fases indicado por setas e algumas trajetórias em pontilhado), o que indica estabilidade, nenhuma função quadrática existe para este sistema (Tanaka et al., 3; Tanaka et al., 9). Considerando φ 1 i =3, e φ i =,5 o Teorema 1 consegue determinar uma FLF que garante estabilidade. A matriz V que satisfaz (7) é dada como: [ ] 1 +1 V = φ x(t) uma vez que φ 1 1 = φ 1. As matrizes obtidas usando-se o solver Se- DuMi (Sturm, 1999) junto com o parser Yalmip (Löfberg, 4) na versão 7.1 do MATLAB R são: P 1 1 = P 1 = ,77,17, P 1 =,17,37,631,178, P =,178,934,879,456,,456,1681,6565,56.,56, x 1(t) Figura 1: Retrato de fases e trajetórias para o sistema TS do Exemplo

5 O método proposto por (Tanaka et al., 3) consegue determinar estabilidade no máximo para φ 1 i =,57. Uma característica interessante, comum às FLFs, é mostrada pelas Figuras a 4. As funções quadráticas que são combinadas não precisam ser, individualmente, funções de Lyapunov, mas somente a sua combinação fuzzy deve ser. Nas Figuras e 3, o valor ao longo do tempo de cada uma das funções individuais V j i (x) x P j i x é mostrado. Note como não são funções de Lyapunov, uma vez que seu decaimento não é monotônico. Já na Figura 4 é mostrada a FLF obtida, dada pela combinação fuzzy V (x) Figura 4: Valor da FLF obtida ao longo do tempo, partindo da condição inicial x = [,,]. Note o decaimento monotônico. t V (x) = x (t) { h 1 (x 1 (t))p1 1 + h (x 1 (t))p 1 } ḣ 1 (x 1 (t))p1 + ḣ(x 1 (t))p x(t), cujo decaimento é monotônico, portanto uma função de Lyapunov b.5 V (x) t a Figura : Valor de cada função isoladamente, ao longo do tempo, partindo da condição inicial x = [,, ]: linha cheia V1 1 (x); linha pontilhada V1 (x). V (x) Figura 3: Valor de cada função isoladamente, ao longo do tempo, partindo da condição inicial x = [,, ]: linha cheia V 1 (x); linha pontilhada V (x). 5. Exemplo Considere o sistema TS com 4 regras apresentado em (Rhee e Won, 6). As matrizes locais são: [ ] [ ] A 1 =, A 1 a = 1 5 (3b ) 1, 5 (3a 4) t Figura 5: Pares de parâmetros (a, b) para os quais é possível determinar estabilidade do sistema TS: (Sala e Ariño, 7); e (Mozelli et al., 9); todos os pontos assinalados (, e ) Teorema 1. [ ] [ ] A 3 = 1 5 (b 3) 1, A 5 (a 6) 4 =. b Considerando φ 1 i =.85 e φ i =., a estabilidade foi avaliada para um conjunto de pontos no intervalo a [ 8, 1] e b [, 4]. Na Figura 5, todos os pontos assinalados representam sistemas estáveis de acordo com o Teorema 1. Esse resultado é comparado com a FLF apresentada em (Mozelli, Palhares, Souza e Mendes, 9), demarcada por e, e também com as condições propostas em (Sala e Ariño, 7, Teorema ) com n = 5, assinalada com. Note que as condições propostas são bem menos conservadoras. 6 Conclusões Neste trabalho foi proposta uma nova função de Lyapunov fuzzy que proporciona melhor caracterização da propriedade variante no tempo de sistemas TS, considerando nas LMIs para análise de estabilidade informações adicionais sobre a taxa de variação das funções de pertinência, a saber a derivada temporal segunda. Além disso foram empre- 466

6 gadas técnicas para reduzir conservadorismo das condições LMI, explorando as características politópicas das derivadas das pertinências. Exemplos numéricos ilustram o aperfeiçoamento com relação a condições LMI presentes na literatura recente. Agradecimentos Este trabalho contou com o apoio do CNPq e da Fapemig. Agradecemos ao revisores que contribuíram para a melhoria deste trabalho. Referências Geromel, J. e Colaneri, P. (6). Robust stability of time varying polytopic systems, Syst. Contr. Lett. 55: Haddad, W. M. e Chellaboina, V. (8). Nonlinear dynamical systems and control: a Lyapunov-based approach, Princeton University Press. Jadbabaie, A. (1999). A reduction in conservatism in stability and L gain analysis of Takagi- Sugeno fuzzy systems, Proc. of IFAC World Cong., Beijing, China. Johansson, M., Rantzer, A. e Årzén, K.-E. (1999). Piecewise quadratic stability of fuzzy systems, IEEE Trans. Fuzzy Syst. 7(8): Löfberg, J. (4). Yalmip : A toolbox for modeling and optimization in MATLAB, Proc. of the CACSD Conf., Taipei, Taiwan. Montagner, V. F., Oliveira, R. C. L. F. e Peres, P. L. D. (9). Convergent LMI relaxations for quadratic stabilizability and H control of Takagi-Sugeno fuzzy systems, IEEE Trans. Fuzzy Syst. 17(4): Montagner, V. F. e Peres, P. L. D. (3). A new LMI condition for the robust stability of linear time-varying systems, Proc. of CDC, Maui, USA, pp Mozelli, L. A., Campos, C. D., Palhares, R. M., Tôrres, L. A. B. e Mendes, E. M. A. M. (7). Chaotic synchronization and information transmission experiments: a fuzzy relaxed H control approach, Circ. Syst. Signal Process. 6(4): Mozelli, L. A., Palhares, R. M., de Avelar, G. S. C. e dos Santos, R. F. (1). Condições LMIs alternativas para sistemas Takagi-Sugeno via função de Lyapunov fuzzy, SBA Controle & Automação 1(1): Mozelli, L. A., Palhares, R. M. e de Avellar, G. S. (9). A systematic approach to improve multiple Lyapunov function stability and stabilization conditions for fuzzy systems, Inform. Sci. 179(8): Mozelli, L. A., Palhares, R. M., Souza, F. O. e Mendes, E. M. A. M. (9). Reducing conservativeness in recent stability conditions of TS fuzzy systems, Automatica 45(6): Rhee, B.-J. e Won, S. (6). A new fuzzy Lyapunov function approach for a Takagi-Sugeno fuzzy control system design, Fuzzy Set. Syst. 157(9): Sala, A. e Ariño, C. (7). Asymptotically necessary and sufficient conditions for stability and performance in fuzzy control: applications of Polya s theorem, Fuzzy Set. Syst. 158(4): Sturm, J. F. (1999). Using SeDuMi 1., a Matlab toolbox for optimization over symmetric cones, Optim. Method Softw. 11(1): Takagi, T. e Sugeno, M. (1985). Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control, IEEE Trans. Syst., Man, Cybern. 15(1): Tanaka, K., Hori, T. e Wang, H. O. (3). A multiple Lyapunov function approach to stabilization of fuzzy control systems, IEEE Trans. Fuzzy Syst. 11(4): Tanaka, K., Ohtake, H. e Wang, H. O. (7). A descriptor system approach to fuzzy control system design via fuzzy Lyapunov functions, IEEE Trans. Fuzzy Syst. 15(3): Tanaka, K. e Wang, H. O. (1). Fuzzy Control Systems Design and Analysis: a Linear Matrix Inequality Approach, John Wiley and Sons. Tanaka, K., Yoshida, H., Ohtake, H. e Wang, H. (9). A sum-of-squares approach to modeling and control of nonlinear dynamical systems with polynomial fuzzy systems, IEEE Trans. Fuzzy Syst. 17(4): Tanscheit, R., Gomide, F. e Teixeira, M. C. M. (7). Modelagem e controle nebuloso, in L. A. Aguirre (ed.), Enciclopédia de Automática: Controle & Automação, Vol. 3, Blucher. Teixeira, M. C. M. e Assunção, E. (7). Extensões para sistemas não-lineares, in L. A. Aguirre (ed.), Enciclopédia de Automática: Controle & Automação, Vol. 1, Blucher. Teixeira, M. C. M., Pietrobom, H. C. e Assunção, E. (). Novos resultados sobre a estabilidade e controle de sistemas não-lineares utilizando modelos fuzzy e LMI, SBA Controle & Automação 11(1):