PROJETO DE CONTROLADORES FUZZY USANDO REALIMENTAÇÃO DA DERIVADA DOS ESTADOS

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1 PROJETO DE CONTROLADORES FUZZY USANDO REALIMENTAÇÃO DA DERIVADA DOS ESTADOS Edvaldo Assunção, Flávio A. Faria, Marcelo C. M. Teixeira, Rodrigo Cardim UNESP - Universidade Estadual Paulista, Departamento de Engenharia Elétrica, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Avenida Brasil, 56, , Ilha Solteira, SP. s: edvaldo@dee.feis.unesp.br, flaviof15@yahoo.com.br, marcelo@dee.feis.unesp.br, rcardim@aluno.feis.unesp.br Abstract In some practical problems, for instance in the control systems for the suppression of vibration in mechanical systems, the state-derivative signals are easier to obtain than the state signals. Sufficient Linear Matrix Inequalities LMI) conditions for the design of state-derivative feedback for nonlinear systems are proposed. The nonlinear systems are represented by fuzzy models proposed by Takagi and Sugeno. The proposed method provides control over the transient behavior of the closed-loop system. The LMI, when feasible, can be efficiently solved using convex programming techniques. The efficiency of design procedure is illustrated through numerical example. Keywords state-derivative feedback, control of nonlinear systems, fuzzy control, linear matrix inequalities LMI), Takagi- Sugeno fuzzy model. Resumo Em alguns problemas práticos, por exemplo, no controle de vibrações de sistemas mecânicos, é mais fácil obter o sinal da derivada dos estados que o sinal dos estados. Usando desigualdades matriciais lineares LMI), são propostas condições suficientes para o projeto de realimentação da derivada dos estados eistemas não-lineares. Os sistemas não-lineares são representados por modelos Fuzzy Takagi Sugeno. A metodologia proposta é capaz de atuar no transitório do sistema em malha fechada. As LMI, quando factíveis, são facilmente resolvidas usando técnicas de programação convexa. A eficiência do método proposto é ilustrada através de um exemplo numérico. Palavras-chave realimentação da derivada dos estados, controle de sistemas não-lineares, controle fuzzy, desigualdades matriciais lineares LMI), modelo fuzzy Takagi-Sugeno. 1 Introdução Existem problemas práticos em que a derivada dos estados é mais fácil de se obter do que os sinais dos estados. Como exemplo podem-se citar sistemas nos quais os sensores usados são acelerômetros. A partir da aceleração é possível obter a velocidade com boa precisão, porém é mais complexo obter o deslocamento Abdelaziz and Valášek, 24), logo os sinais usados para realimentar esses sistemas são: a aceleração e a velocidade. Essas são as derivadas da velocidade e da posição que podem representar os estados do sistema. Devido ao seu baixo custo os acelerômetros têido cada vez mais usados pela indústria. As aplicações mais comuns são em controle de oscilações de sistemas mecânicos Reithmeier and Leitmann, 23; Abdelaziz and Valášek, 24; Duan et al., 25). Na literatura especializada é possível encontrar vários artigos sobre o uso da realimentação da derivada dos estados realimentação derivativa) eistemas lineares Assunção et al., 27a; Cardim et al., 27; Cardim et al., 28; Faria et al., 29; Faria, Assunção and Teixeira, 29). Porém existem poucos resultados envolvendo sistemas não-lineares Assunção et al., 27b). Devido a sua complexidade, os sistemas não-lineares são difíceis de serem analisados. Uma maneira de facilitar a análise de estabilidade desses sistemas é representálos através de modelos Fuzzy Takagi-Sugeno T-S) Takagi and Sugeno, 1985; Sugeno and Kang, 1988). Esse tipo de modelagem consiste em obter uma aproximação do sistema não-linear através de uma combinação fuzzy de sistemas lineares, normalmente invariantes no tempo. Já é conhecido na literatura Taniguchi et al., 21) que uistema nãolinear pode ser exatamente representado por modelos T-S escolhendo-se adequadamente o número de sistemas lineares modelos locais) e os parâmetros da combinação fuzzy conhecidos como, funções de pertinência). Nos últimos anos, houve um crescente interesse em pesquisas e aplicações de sistemas fuzzy. A análise de estabilidade e o projeto de controladores é um dos conceitos mais importantes em sistemas fuzzy e normalmente é feito usando LMI Tanaka et al., 1998; Kim and Lee, 2; Teixeira et al., 23; Teixeira et al., 25; Teixeira et al., 26; Fang et al., 26). Problemas descritos por LMI podeer facilmente resolvidos com o software MATLAB Sturm, 1999). A maior parte dos trabalhos sobre sistemas fuzzy consideram apenas a realimentação de estados ou da saída e existem poucos trabalhos usando a realimentação derivativa. Em Assunção et al., 27b) os autores apresentam uma técnica para o projeto de controladores eistemas T-S usando esse tipo de realimentação. A metodologia considera o projeto de um controlador fixo K, porém esse resultado é conservador. Nesse trabalho são propostas condições suficientes menos conservadoras para a estabilidade de sistemas T-S. Condições menos conservadoras podem ser obtidas usando o procedimento conhecido como Compensação Distribuída Paralela do inglês, Parallel Distributed Compensation PDC)) Tanaka et al., 1998). Esse procedimento consiste em projetar controladores para cada um dos modelos locais e o controlador global, que é nãolinear em geral, é obtido através da combinação fuzzy dos controladores locais. A técnica proposta nesse trabalho, permite que o projetista possa diminuir a duração do período transitório do sistema controlado através de um parâmetro γ previamente especificado. A eficiência da metodologia pode ser verificada através da solução de um exemplo numérico.

2 2 Modelos Fuzzy Takagi-Sugeno Considere uistema não-linear da forma: ẋt) = fxt)) gxt))ut), yt) = Cxt). sendo xt) R n o vetor de estados, fx) e gx) funções não-lineares, ut) R m a entrada de controle, yt) R q a saída do sistema e C R q n uma matriz constante. O sistema 1) pode ser representado por modelos T-S dados abaixo Takagi and Sugeno, 1985; Tanaka et al., 1998). ẋt) = α i zt)) A i xt) B i ut) ) = Aa)xt) Ba)ut), 2) yt) = α i zt))c i xt) = Ca)xt), sendo zt) R r denominado de vetor premissa. As matrizes A i R n n, B i R n m e C i R q n são os parâmetros dos modelos locais e as variáveis α i zt)) satisfazem a relação: α i zt)), i = 1, 2,...,r, α i zt)) = 1, 3) a = α 1 zt)) α 2 zt))... α r zt)) NOTA: Apenas por facilidade de notação, em todo o texto o termo α i zt)) será representado por α i. Supondo que as matrizes A i do sistema 2) sejam invertíveis deta i ), i) e que o vetor a em 3) é conhecido. O projeto de controladores fuzzy usando realimentação da derivada dos estados pode ser definido como: Problema: Encontre matrizes constantes K 1,K 2,,K r IR m n, tais que: 1) 1. O ponto de equilíbrio x = do sistema 2), obtido com a entrada de controle ut) = α i u i t) = α i K i ẋt) 4) = Ka)ẋt), seja globalmente assintoticamente estável. 2. A matriz I Ba)Ka) ) seja invertível; Quando a matriz IBa)Ka) ) é invertível, o sistema em malha fechada, dado por 2) e 4) pode ser representado da seguinte forma: ẋt) = Aa)xt) Ba)Ka)ẋt) I Ba)Ka) )ẋt) = Aa)xt) ẋt) = I Ba)Ka) ) 1 Aa)xt). 5) 3 Projeto para controladores fuzzy usando realimentação derivativa O desempenho do sistema 5) está diretamente relacionado com a localização dos pólos dos modelos locais no semiplano esquerdo complexo Hong and Nam, 23; Assunção et al., 27b). Considerando esse fato, nesse texto é proposto um método que melhora o desempenho do sistema 5). A restrição de desempenho considerada nesse trabalho é obtida diretamente de resultados clássicos da literatura. Em Chilali and Gahinet, 1996) os autores mostram que a estabilidade assintótica de uistema linear e invariante no tempo ẋt) = A N xt), 6) é equivalente a solução das LMI Q >, A N Q QA N 2γQ <. 7) Além disso, quando as LMI 7) são factíveis, os pólos do sistema 6) possuem parte real menor que γ, sendo γ uma constante real positiva previamente estabelecida. As LMI 7) permitem ao projetista diminuir o tempo de duração do transitório no sistema 6). A partir desse resultado no próximo teorema são propostas condições suficientes para a estabilidade assintótica do sistema 5). Teorema 1 Dada uma constante real positiva γ, se existir uma matriz simétrica Q IR n n e matrizes Y i IR m n, satisfazendo as LMI 8), 9), 1) e 11) da próxima página, então o sistema 5) é globalmente assintoticamente estável, e os pólos dos modelos locais possuem parte real menor que γ. Quando 8), 9), 1) e 11) são factíveis, um conjunto de ganhos locais para a entrada 4) pode ser dado por K i = Y i Q 1, e a matriz Ka) que garante a estabilidade de 5) é: Ka) = α i K i. 12) Prova: Primeiramente motraremos que se 8) e 9) são factíveis, então os pólos dos modelos locais do sistema 2) ẋt) = Ai xt) B i u i t) ) realimentados com a entrada u i t) = K i ẋt) possuem parte real menor que γ. Aplicando o complemento de Schur Boyd et al., 1994) em 9) tem-se que i) A i Q QA i B i Y i A i A iy i B i <, ii) A i Q QA i B iy i A i A iy i B i Q B i Y i ) 2γQ 1 Q B i Y i ) <, sendo i = 1, 2,..., r). Considerando Y i = K i Q em i) tem-se que A i Q QA i B i K i QA i A i QK ib i = A i QI B i K i ) I B i K i )QA i <. 13) Das propriedades de matrizes sabe-se que: para toda matriz M não simétrica M M ), se M M <, então M é invertível. Logo, de 13) conclui-se que as matrizes I B i K i ) e Ai são invertíveis condições necessárias para a aplicação da realimentação derivativa). Agora substituindo Y i = K i Q em ii) chega-se em A i QI B i K i ) I B i K i )QA i I B i K i )2γQI B i K i ) <. 14)

3 Q >, 8) Ai Q QA i B iy i A i A iy i B i Q B i Y i Q Y ib <, i Q/2γ) 9) Ai Q QA i B iy j A i A iy j B i Q B i Y j Q Y j B i Q/2γ) Ai Q QA i B j Y i A i A iy i B j Q B j Y i Q Y i B j Q/2γ) Aj Q QA j B iy i A j A jy i B i Q B i Y i Q Y ib i Q/2γ) Ai Q QA i B j Y k A i A iy k B j Q B j Y k Q Y k B j Q/2γ) Ai Q QA i B ky j A i A iy j B k Q B k Y j Q Y j B k Q/2γ) Aj Q QA j B k Y i A j A jy i B k Q B k Y i Q Y i B k Q/2γ) Aj Q QA j B iy k A j A jy k B i Q B i Y k Q Y k B i Q/2γ) Ak Q QA k B j Y i A k A ky i B j Q B j Y i Q Y i B j Q/2γ) Ak Q QA k B iy j A k A ky j B i Q B i Y j Q Y j B i Q/2γ), i j), 1), i j, i k e j k), 11) sendo i, j, k = 1, 2,..., r). Do item i) segue que I B i K i ) é invertível. Então, multiplicando 14) à esquerda por ) 1 IB i K i e à direita I ) 1, por Bi K i obtém-se IBiK i ) 1 A iqqa i IBiK i ) 1 2γQ <, 15) que é equivalente as LMI 7), considerando A N = ) 1Ai I B i K i. Logo, os pólos dos modelos locais realimentados com a entrada u i t) = K i ẋt) possuem parte real menor que γ. Agova vamos mostrar que se 8), 9), 1) e 11) são factíveis, então o sistema 5) é assintoticamente estável e satisfaz as condições 7), para qualquer vetor a pertencente ao domínio 3). Multiplicando 9) por α 3 i, 1) por α2 i α j, 11) por α i α j α k e somando todas as LMI obtém-se E de 3) e 2) segue que Aa)Q QAa) Ba)Ya)Aa) Aa)Ya) Ba) Q Ya) Ba) Q Ba)Ya) <. 17) Q/2γ) Quando 17) é factível, segue das propriedades do complemento de Schur Boyd et al., 1994) que: iii) Aa)Q QAa) Ba)Ya)Aa) Aa)Ya) Ba) <, iv) Aa)Q QAa) Ba)Ya)Aa) Aa)Ya) Ba) Q Ba)Y) 2γQ 1 Q Ba)Y) <. Considerando Ya) = Ka)Q em iii) tem-se que Aa)Q QAa) Ba)Ka)QAa) Aa)QKa) Ba) = Aa)Q I Ba)Ka) ) I Ba)Ka) ) QAa) <. 18) Pela propriedade citada abaixo de 13) pode-se concluir que I Ba)Ka) ) é invertível e que I Ba)Ka) ) 1 Aa)Q QAa) I Ba)Ka) ) 1 <, j=1 k=1 α iα jα k AiQ QA i BjY ) ka i A iy kb j j=1 k=1 j=1 k=1 j=1 k=1 α iα jα k Q Y k B ) j α iα jα k Q B jy k ) <. 16) α iα jα k Q/2γ) a 3). Logo o sistema 5) é assintoticamente estável. Agora, efetuando no item iv) as mesmas operações realizadas em 14) e 15) tem-se que I Ba)Ka) ) 1 Aa)Q QAa) I Ba)Ka) ) 1 2γQ <, 19) que é equivalente à 7), considerando A N = I Ba)Ka) ) 1Aa). Assim, quando 8), 9), 1) e

4 11) são factíveis, o sistema 5) é assintoticamente estável e satisfaz 7), a 3). Além disso, usando o método proposto em Taniguchi et al., 21), conclui-se que o desempenho do sistema não-linear 1) realimentado com 4) é equivalente à combinação do comportamento dinâmico dos modelos locais realimentados com 4). A eficiência do Teorema 1 é verificada na solução do próximo exemplo de projeto. 4 Exemplo - Sistema de suspensão ativa Considere o sistema de suspensão ativa dado em Reithmeier and Leitmann, 23). Modificando as entradas de controle obtém-se o sistema da Figura 1. x 2 t) x 1 t) k 2 b 2 k x b 1 u 2t) u 1t) pneu Acelerômetro ẍ 2 t)) assentomotorista Sistema de suspensão ativa do assento Acelerômetro ẍ 1 t)) Carro Sistema de suspensão ativa do carro Figura 1: Sistema de suspensão ativa de um carro. Cujo modelo dinâmico pode ser descrito por: ẋ 1t) ẋ 2t) fxt)) = k x k 2 k x 1t) 2 b x 2t) 1 b 2 b ẋ 1t) 2 ẋ 2t) k 2 k 2 x 1t) x 2t) gxt)) = b 2 ẋ 1t) C = 1 1 b 2 ẋ 2t). 2) O vetor de estados é definido por xt) = x 1 t) x 2 t) ẋ 1 t) ẋ 2 t). O sistema consiste em um carro de massa, um assento e uma pessoa, cuja massa conjunta é. Vibrações causadas por irregularidades na estrada podeer atenuadas pelo sistema de suspensão do carro mola nãolinear k x e amortecedor b 1 ). Mesmo assim o motorista ainda pode sentir um pouco de vibrações. Uma maneira de melhorar o conforto do motorista é instalar uistema de suspensão ativa no seu assento composto por uma mola linear k 2 e um amortecedor b 2 ) e diminuir as vibrações entre o motorista ) e o chassis do carro ), modificando as entradas de controle u 1 t) e u 2 t). Considere = 15kg massa do carro), = 9kg massa do banco 2kg) peso do motorista 7kg)), b 1 = Ns/m e b 2 = Ns/m coeficientes de amortecimento), e k 2 = N/m coeficiente de elasticidade da mola do assento). O coeficiente não-linear da mola do carro é dado por Marquez, 23): k x = k 1 1 a 2 x 1 t) 2 ), sendo k 1 = N/m e a = 1. Supondo uma ação de controle nula ut) = ), comportamento dinâmico do sistema 2) Figura 1) para a condição inicial x) =.1.3 pode ser visto na Figura 2. y1t)m e y2t)m y 1 t) y 2 t) Tempo s Figura 2: Resposta do sistema não-linear 2) sem ação de controle. Observe na Figura 2 que o tempo de duração do transitório no sistema não-linear 2), para condição inicial x), é maior que 4 s. Esse tempo de transitório é indesejável e pode até prejudicar a direção do automóvel. O nosso objetivo agora é elaborar um projeto de controle que seja capaz de atenuar as oscilações no carro e melhorar o conforto do motorista. Como em Reithmeier and Leitmann, 23), estão disponíveis para realimentação somente os sinais de aceleração ẍ 1 t) e ẍ 2 t) que são obtidos pelos acelerômetros), e os valores ẋ 1 t) e ẋ 2 t) que são obtidos pela integração dos respectivos sinais de aceleração). Os sinais medidos são as acelerações e velocidades derivada dos estados), logo se pode usar a metodologia proposta para resolver o problema. Como o termo não-linear depende do estado x 1 t), então supondo que x 1 t) é limitado no intervalo.5 x 1 t).5 e usando o método de representação exata Taniguchi et al., 21), são obtidos os seguintes modelos locais: A 1 = A 2 = B = Considerando γ = 2, as LMI do Teorema 1 foram resolvidas com o Toolbox SeDuMi 1.2 Sturm, 1999), e as seguintes soluções foram obtidas: Q = Y 1 = Y 2 = ), 22). 23)

5 De 12) segue que: Kα) = α 1 x 1 t)) α 2 x 1 t)) ) Nesse exemplo, o termo não-linear depende de x 1 t). Supondo zt) = x 1 t), a função de pertinência do sistema baseado em Taniguchi et al., 21) é dada por: α 1 x 1 t)) = f 1 x 1 t)) l 2, l 1 l 2 25) e α 2 x 1 t)) = 1 α 1 x 1 t)), sendo f1 x 1 t)) = k 11 a 2 x 1 t) 2 ) k 2, l 1 = max{ f 1 x 1 t))}, l 2 = min{ f 1 x 1 t))} e.5 x 1 t).5. Para a condição inicial x) =.1.3, o comportamento dinâmico do sistema não-linear 2) realimentado com a entrada de controle 4) obtida com 24) e 25)), pode ser visto na Figura 3. y1t)m e y2t)m y 1 t) y 2 t) y1t)m e y2t)m y 1 t) y 2 t) Tempo s Figura 4: Resposta do sistema controlado γ = 15). 5 Conclusões Neste artigo foi proposta uma metodologia para o projeto de controladores fuzzy usando realimentação da derivada dos estados, o resultado é eficaz eistemas que usam acelerômetros como sensores. A metodologia garante a estabilidade assintótica de sistemas não-lineares e permite atuar no desempenho do sistema diminuindo o tempo de duração do transitório. Nesse trabalho os sistemas não-lineares foram representados através de modelos Fuzzy Takagi-Sugeno. O uso de LMI para resolver o projeto de controladores fuzzy, permite uma formulação convexa que é facilmente resolvida em microcomputadores. Agradecimentos Os autores agradecem o apoio financeiro recebido da CAPES, da FAPESP e do CNPq Tempo s Figura 3: Resposta do sistema controlado γ = 2). Pela Figura 3 pode-se observar que o tempo de duração do transitório do sistema 2) realimentado com a entrada de controle 4) é menor que.6 s. Logo o Teorema 1 com γ = 2 já é capaz de garantir um desempenho satisfatório nesse exemplo. Contudo o desempenho do sistema ainda pode ser melhorado considerando maiores valores para o parâmetro γ. Resolvendo novamente o problema com γ = 15, o novo controlador 12) obtido foi: Kα) = α 1 x 1 t)) α 2 x 1 t)) ) O comportamento dinâmico do sistema controlado com 26) pode ser visto na Figura 4. Agora o tempo de duração do transitório do sistema é menor que.4 s Figura 4). Logo sistema 2) realimentado com 26) tem tempo de duração do transitório menor do que o realimentado com 24). Dessa forma, quanto maior for o valor do parâmetro γ, menor será o transitório do sistema. Referências Abdelaziz, T. H. S. and Valášek, M. 24). Poleplacement for siso linear systems by state-derivative feedback, IEE Proceedings-Control Theory and Applications 1514): Assunção, E., Teixeira, M. C. M., Faria, F. A., da, Silva, N. A. P. and Cardim, R. 27a). Robust statederivative feedback LMI-based designs for multivariable linear systems, International Journal of Control 88): Assunção, E., Faria, F. A., Teixeira, M. C. M. and Cardim, R. 27b). Realimentação da derivada dos estados eistemas fuzzy takagi sugeno, VIII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, Vol. 1, Florianópolis, SC, Brasil, pp. Artigo páginas. Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, E. and Balakrishnan, V. 1994). Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, Volume 15 of Studies in Applied Mathematics, 2nd edn, SIAM Studies in Applied Mathematics, USA. boyd/lmibook/lmibook.pdf. Cardim, R., Teixeira, M. C. M., Assunção, E. and Covacic, M. R. 27). Design of state-derivative feedback

6 controllers using a state feedback control design, 3 rd IFAC Symposium on System, Structure and Control, Vol. 1, Iguassu Falls, PR, Brazil, pp. Article pages. Cardim, R., Teixeira, M. C. M., Assunção, E. and Faria, F. A. 28). Control designs for linear systems using state-derivative feedback, Systems, Structure and Control, In-Teh, Vienna, Austria, pp techonline.com/downloadfinal.php?is= &type=B. Chilali, M. and Gahinet, P. 1996). H design with pole placement constraints: An lmi approach, IEE Trans. Autom. Control 413): Duan, Y. F., Ni, Y. Q. and Ko, J. M. 25). State-Derivative feedback Control of Cable Vibration Using Semiactive Magnetorheological Dampers, Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering 26): Fang, C. H., Liu, Y. S., Kau, S. W., Hong, L. and Lee, C. H. 26). A new LMI-based approach to relaxed quadratic stabilization of t-s fuzzy control systems, IEEE Transactions on Fuzzy Systems 143): Tanaka, K., Ikeda, T. and Wang, H. O. 1998). Fuzzy Regulators and Fuzzy Observers: Relaxed Stability Conditions and LMI-Based Designs, IEEE Transactions on Fuzzy Systems 62): Taniguchi, T., Tanaka, K., Ohatake, H. and Wang, H. O. 21). Model construction, rule reduction, and robust compensation for generalized form of Takagi- Sugeno fuzzy systems, IEEE Transactions on Fuzzy Systems 94): Teixeira, M. C. M., Assunção, E. and Avellar, R. G. 23). On Relaxed LMI-Based Designs for Fuzzy Regulators and Fuzzy Observers, IEEE Transactions on Fuzzy Systems 115): Teixeira, M. C. M., Catharino, M. F. R., Assunção, E. and Machado, E. R. M. D. 25). A comparative study between two relaxed LMI-based fuzzy control designs, 25 IEEE International Conference on Fuzzy Systems pp Teixeira, M. C. M., da, Silva, N. A. P., Assunção, E. and Machado, E. R. M. D. 26). Design of fuzzy regulators with optimal initial conditions compensation, 26 IEEE International Conference on Fuzzy Systems pp Faria, F. A., Assunção, E. and Teixeira, M. C. M. 29). Realimentação da derivada dos estados eistemas multivariáveis lineares usando LMIs, Revista Controle & Automação 21): Faria, F. A., Assunção, E., Teixeira, M. C. M., Cardim, R. and da Silva, N. A. P. 29). Robust state-derivative pole placement LMI-based designs for linear systems, International Journal of Control 821): Hong, S. K. and Nam, Y. 23). Stable fuzzy control system design with pole placement constraint: an LMI approach, Computers in Industry 51: Kim, E. and Lee, H. 2). New Approaches to Relaxed Quadratic Stability Condition of Fuzzy Control Systems, IEEE Transactions on Fuzzy Systems 85): Marquez, H. J. 23). Nonlinear Control Systems Analysis and Design, Wiley), New Jersey. Reithmeier, E. and Leitmann, G. 23). Robust Vibration Control of Dynamical Systems Based on the Derivative of the State, Archive of Applied Mechanics ): Sturm, J. 1999). Using SeDuMi 1.2, a MATLAB toolbox for optimization over symmetric cones, Optimization Methods and Software 11 12: Sugeno, M. and Kang, G. T. 1988). Structure Identification of Fuzzy Model, Fuzzy Sets and Systems 28: Takagi, T. and Sugeno, M. 1985). Fuzzy Identification of Systems and Its Applications to Modeling and Control, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics 151):