ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE SISTEMAS FUZZY USANDO FUNÇÕES DE LYAPUNOV FUZZY

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1 ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE SISTEMAS FUZZY USANDO FUNÇÕES DE LYAPUNOV FUZZY Flávio A. Faria 1, Geraldo N. Silva 1, Vilma A. de Oliveira 2 1 Instituto de Biociências Letras e Ciências Exatas, UNESP - Univ Estadual Paulista, Departamento de Ciência da Computação e Estatística, São José do Rio Preto, São Paulo, Brasil, 2 Escola de Engenharia de São Carlos, USP - Universidade de São Paulo, Departamento de Engenharia Elétrica, São Carlos, São Paulo, Brasil, Abstract: A fuzzy Lyapunov function approach for stability analysis of continuous-time Takagi-Sugeno fuzzy systems is proposed. The method is based on solution of Linear Matrix Inequalities, which can be efciently solved by convex programming techniques, and can outperform other results available in the literature. Numerical examples illustrate the efciency of the proposed method. Keywords: Stability analysis, Fuzzy Lyapunov functions, Linear Matrix Inequalities (LMIs). 1. INTRODUÇÃO Devido a sua complexidade, sistemas dinâmicos não-lineares são difíceis de serem analisados. Uma maneira de facilitar o projeto de controle para sistemas não-lineares é representá-los por modelos fuzzy Takagi Sugeno [26]. A ideia básica do projeto consiste na representação de um sistema não-linear como uma combinação fuzzy de sistemas lineares (modelos locais), que descrevem o comportamento do sistema não-linear em diferentes pontos do espaço de estados. Dependendo da escolha dos modelos locais e dos parâmetros da combinação fuzzy (conhecidos como, funções de pertinência) o modelo fuzzy pode fornecer uma representação aproximada [31] ou exata [29] do sistema não-linear. Nos últimos anos, houve um crescente interesse em pesquisas e aplicações de sistemas fuzzy [1, 15, 17]. A análise de estabilidade e o projeto de controladores é um dos conceitos mais importantes em sistemas fuzzy e normalmente é feito usando LMIs. A solução de problemas de otimização com restrições descritas por LMIs, pode ser realizada com softwares de programação semi-denida, tais como, o LMISol [9], ou os pacotes LMI control toolbox [14] e SeDuMi [25] do MATLAB. Nesses softwares, a solução ótima é encontrada usando algoritmos com tempo de convergência polinomial. Além disso, projetos baseados em LMIs podem ser, em geral, estendidos para tratar sistemas que possuem incertezas nos parâmetros da planta ou que estejam sujeitos a falhas estruturais [2, 3, 6 8, 10 13, 24]. Normalmente, as condições de estabilidade são obtidas empregando o método direto de Lyapunov, e a maioria dos trabalhos encontrados na literatura usam uma função quadrática de Lyapunov (do inglês, Common Quadratic Lyapunov Function (CQLF)) para garantir a estabilidade do sistema [4, 5, 18, 20, 28, 30]. Contudo, já é conhecido na literatura que CQLFs conduzem a resultados conservadores e que em certos casos não é possível encontrar uma CQLF para um sistema fuzzy estável [16]. Consequentemente, alguns autores têm explorado o uso de funções de Lyapunov alternativas para obter condições de estabilidade menos conservadoras. Dentre as várias opções encontradas na literatura, as funções de Lyapunov fuzzy (do inglês, Fuzzy Lyapunov Functions (FLFs)), têm ganhado muito destaque [21 23, 27]. As FLFs são representadas por: V (x(t)) = h k (z(t))x(t) P k x(t), (1) Serra Negra, SP - ISSN

2 sendo P k, matrizes denida positivas. Esta metodologia consiste em encontrar CQLFs distintas para cada um dos modelos locais, e então, gerar a função global de Lyapunov a partir de uma combinação fuzzy dessas CQLFs. A particularidade deste método, é que a combinação fuzzy da função global de Lyapunov é realizada com a mesma função de pertinência do modelo fuzzy TS. Dessa forma, a atuação da função de Lyapunov ocorre na mesma proporção que a ativação dos modelos locais. Este trabalho propõe condições de estabilidade menos conservadoras que às apresentadas em [27]. O estudo é realizado considerando modelos fuzzy TS dados por: ẋ(t) = h k (z(t))a k x(t), (2) sendo z(t) IR p um sinal disponível denominado vetor premissa, x(t) IR n o vetor de estados, A k IR n n representam as matrizes dos modelos locais e h k (z(t)) são as funções de pertinência de cada um dos modelos locais. As funções de pertinência satisfazem as seguintes propriedades: k R, h k (z(t)) 0, e h k (z(t)) = 1, (3) sendo R o conjunto de números inteiros dados por {1, 2,..., r}. Apenas por facilidade de notação, de agora em diante vamos denotar h k (z(t)) por h k. As condições de estabilidade obtidas com (1) dependem explicitamente das derivadas temporais das funções de pertinência (3), e para convertê-las em LMI é necessário impor limites nos seus valores. Esta característica afeta diretamente a eciência da técnica, e representa o ponto chave deste trabalho. Em [27], os autores conseguiram relaxar as condições de estabilidade, considerando as seguintes propriedades de funções de pertinência: h k =1 ḣ k =0 (4) r 1 ḣr = ḣ k. (5) Usando (5), eles encontraram condições de estabilidade menos conservadoras que as obtidas com uma CQLF. No entanto, a propriedade (5) foi pouco explorada. Neste trabalho é vericado que a propriedade (5) pode ser melhor aproveitada se permitirmos ao projetista atuar nas LMIs de acordo com o problema a ser resolvido. A nova estrutura adiciona graus de liberdade ao problema, melhorando a região de estabilidade encontrada pelas LMIs. A eciência do novo método é ilustrada através da solução numérica de exemplos. 2. ANÁLISE DE ESTABILIDADE DE SISTEMAS FUZZY TS Ao longo do texto a notação M 0 (M 0) é usada para representar matrizes denidas (semidenidas) positivas. De modo equivalente a notação M 0 (M 0) representa matrizes denidas (semidenidas) negativas. A estabilidade do sistema (2) pode ser vericada usando o método direto de Lyapunov. Normalmente, as condições de estabilidade são obtidas empregando uma CQLF. Lema 1 O sistema fuzzy (2) é globalmente estável, se existir uma matriz simétrica P IR n n, satisfazendo as seguintes LMIs: P 0, (6) PA k + A kp 0, k R. (7) Prova: Para mais informações consulte [28]. O Lema 1 foi um dos primeiros critérios usados para a análise de estabilidade de sistemas fuzzy TS. Contudo, já é conhecido na literatura que o Lema 1 conduz a resultados conservadores e que em certos casos não é possível encontrar uma matriz P satisfazendo as LMIs (6) e (7) [16]. A m de solucionar esse problema, alguns autores começaram a usar a FLF (1) na análise de estabilidade. Em [27] os autores apresentaram condições menos conservadoras para a estabilidade do sistema (2), considerando a propriedade (5). O principal resultado é citado abaixo. Lema 2 Seja φ k, k R, números reais positivos conhecidos. Assumindo que ḣk φ k, k R, o sistema fuzzy (2) é globalmente estável, se existir matrizes simétricas P k IR n n,k R, satisfazendo as seguintes LMIs: P k 0, k R, (8) P k P r 0, k R {r}, (9) P φ + 1 2( Pk A + A P k + P A k + A k P ) 0, r 1 sendo k, R e P φ = φ k (P k P r ). k, (10) Serra Negra, SP - ISSN

3 Prova: Para mais informações consulte [27]. Aeciência dos Lemas 1 e 2 são vericadas na solução de um exemplo numérico. EXEMPLO 1 Considere um sistema fuzzy TS (2), representado pelos seguintes modelos locais [23]: A 1 =, A 1 a 2 = 3b 2 3a 4, A 3 = 2b 3 2a 6 2 4, A 4 =, b A estabilidade do sistema acima foi vericada com os Lemas 1 e 2 para vários valores dos parâmetros a e b. Para a solução numérica das LMIs foram usados os pacotes YALMIP toolbox [19] e SeDuMi [25] do MATLAB, também foi suposto que φ k =0.85, k R. Os resultados encontrados para a análise de estabilidade podem ser vistos na Figura 1. b da propriedade (5): ḣ k =0 ḣi = ḣ k, i R. (11) k=i Considerando a propriedade (11) pode-se obter uma generalização do Lema 2. O resultado é proposto no próximo teorema. Teorema 1 Seja φ k, k R, números reais positivos conhecidos. Assumindo que ḣk φ k, k R, o sistema fuzzy (2) é globalmente estável, se para algum índice xo i R, existir matrizes simétricas P k IR n n,k R, satisfazendo as seguintes LMIs: P k 0, k R, (12) P k P i 0, k R {i}, (13) P φ Pk A + A P k + P A k + A k P 0, sendo k, R e P φ = φ k (P k P i ). k=i k, (14) Prova: A prova deste teorema segue diretamente da demonstração do Lema 2 e será apresentada neste texto apenas para facilitar o entendimento do trabalho. Quando a LMI (12) é factível, segue que a FLF (1) é positiva para qualquer vetor x(t) = 0, sendo x(t) IR n. Além disso, a derivada temporal da FLF (1) ao longo das trajetórias do sistema (2), é dada por V (x(t)) = x(t) ḣ k P k x(t)+ẋ(t) h k P k x(t) + x(t) h k P k ẋ(t) Figure 1 Regiões de estabilidade dos Lemas 1 ( ) e2 ( ). Pela Figura 1 pode-se observar que o Lema 2 ( ) obtém uma região de estabilidade maior que o Lema 1 ( ). Dessa forma, as condições de estabilidade do Lema 2 são menos conservadoras que as do Lema 1. Observação 1 A diminuição da conservabilidade do Lema 2 é obtida com a LMI (9). Essa LMI permite que algumas das matrizes P k,k R, sejam iguais. Agora, nós vamos mostrar que a LMI (9) pode ser generalizada. Para tanto, considere a seguinte extensão a = x(t) ḣ k P k x(t)+x(t) h A h k P k x(t) =1 + x(t) h k P k h A x(t) =1 = x(t) ḣ k P k + h h k A P k + P k A x(t) =1 = x(t) ḣ k P k + 1 h h k A 2 P k + A k P =1 Da Propriedade (11) obtém-se ḣ k P k = ḣip i + = + P k A + P A k x(t). ḣ k P k = ḣ k P i + ḣ k P k ḣ k (P k P i ) (15) Serra Negra, SP - ISSN

4 Agora, substituindo (15) em V (x(t)) e considerando a hipótese ḣk φ k, k R, conclui-se que { V (x(t)) x(t) P φ + 1 ( h h k A 2 P k + A k P =1 + P k A + P A k ) } x(t). (16) Dessa forma, quando as LMIs (13) e (14) são factíveis, tem-se que (16) é negativa para todo x(t) = 0. Portanto, quando as LMIs (12)-(14) são factíveis, existe uma função escalar (1) satisfazendo as condições de Lyapunov ao longo das trajetórias do sistema (2). Logo, o sistema (2) é globalmente estável. Aeciência do Teorema 1 é vericada na solução do Exemplo 1. Na Figura 2 pode-se ver a região de estabilidade do Exemplo 1 obtida com o Teorema 1. Aeciência do Teorema 1 é vericada na solução de outro exemplo numérico. EXEMPLO 2 Considere o sistema fuzzy do Exemplo 2 de [21]: [ ] [ ] a A 1 =, A =, [ ] 0 b A 3 =, sendo a [2 10] e b (0 10]. O sistema é vericado com o Teorema 1 considerando φ k =0.3, k R. As regiões de estabilidade obtidas com o Teorema 1 podem ser vistas na Figura b b a Figure 2 Regiões de estabilidade do Lema 2 ( ) e do Teorema 1 para i =3( ). Pela Figura 2 pode-se observar que o Teorema 1 ( ) obtém uma região de estabilidade maior que o Lema 2 ( ). Assim, a generalização da LMI (13) é capaz de melhorar as condições de estabilidade do Lema 2. A Figura 2 ilustra a região de estabilidade do Teorema 1 para o caso i =3, durante as simulações foi vericado que a escolha desse índice tem grande inuência na região de estabilidade do teorema. Neste exemplo, o caso i =4é equivalente ao Lema 2 ( ). Também foi vericado neste exemplo, que a melhor região de estabilidade do Teorema 1 é a encontrada com o índice i =3. Observação 2 Para obter a melhor região de estabilidade do Teorema 1 é necessário testar todos os índices i R. No Exemplo 1 foram testados os índices i =1, 2, 3 e 4. a Figure 3 Regiões de estabilidade do Teorema 1 para i = 1 ( ), i =2( )ei =3( ). Neste exemplo a melhor solução do Teorema 1 foi encontrada com o índice i =1( ), neste caso, a região de estabilidade do Teorema 1 é maior que a região do Lema 2 ( ). Observe também que neste exemplo o Lema 2 obtém a pior região de estabilidade dentre todos os índices i =1, 2 e 3. Desta forma, a generalização do Teorema 1 oferece mais liberdade ao projetista na hora de vericar a estabilidade do sistema fuzzy (2). 3. CONCLUSÕES Neste trabalho foram propostas condições menos conservadoras para a análise de estabilidade de sistemas fuzzy TS. Os resultados são obtidos diretamente de uma generalização do método apresentado em [27]. Essa nova metodologia permite que o projetista altere as restrições LMI, responsáveis pela análise de estabilidade, durante a solução do exemplo. A vericação da estabilidade de um sistema fuzzy (2) com o Teorema 1 é realizada avaliando as LMIs para um determinado índice i. Para encontrar a melhor região de estabilidade é Serra Negra, SP - ISSN

5 necessário avaliar todos os índices i R. Desta forma, pode ser complicado encontrar a melhor região de estabilidade em sistemas que possuem muitos modelos locais. Uma extensão deste trabalho consiste na busca de condições ótimas para a escolha do índice i. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem ao CNPq 1 e à FAPESP 2 pelo apoio nanceiro. REFERENCES [1] N. S. D. Arrifano, V. A. Oliveira, R. A. Ramos, N. G. Bretas, and R. V. Oliveira. Fuzzy stabilization of power systems in a co-generation scheme subject to random abrupt variations of operating conditions. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 15(2): , [2] E. Assunção, F. A. Faria, and M. C. M. Teixeira. Controle robusto de sistemas lineares sujeitos à falhas estruturais usando realimentação derivativa. In Proceedings of the 7th Brazilian Conference on Dynamics, Control and Applications, Presidente Prudente, UNESP. 6p. [3] E. Assunção, F. A. Faria, and M. C. M. Teixeira. D-estabilidade de sistemas descritores sujeitos a falhas estruturais usando realimentação da derivada dos estados. In Anais do 17 o Congresso Brasileiro de Automática, volume 1, Juiz de Fora, SBA. 6p. (Artigo 38448). [4] E. Assunção, F. A. Faria, M. C. M. Teixeira, and R. Cardim. Realimentação da derivada dos estados em sistemas fuzzy Takagi Sugeno. In Anais do 8 o Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, Florianópolis, [s.n.]. 6p. (Artigo 29542). [5] E. Assunção, F. A. Faria, M. C. M. Teixeira, and R. Cardim. Projeto de controladores fuzzy usando realimentação da derivada dos estados. In Anais do 9 o Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, Brasília, [s.n.]. 6p. (Artigo 54485). [6] E. Assunção, M. C. M. Teixeira, F. A. Faria, N. A. P. da Silva, and R. Cardim. Robust statederivative feedback LMI-based designs for multivariable linear systems. International Journal of Control, 80(8): , Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientíco e Tecnológico 2 Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo [7] R. Cardim, M. C. M. Teixeira, E. Assunção, and F. A. Faria. Control designs for linear systems using state-derivative feedback. In Systems, Structure and Control, pages In- Teh, Vienna, Austria, i-techonline.com/book.php?id=73. [8] E. R. P. da Silva, M. C. M. Teixeira, E. Assunção, and F. A. Faria. Controle robusto de sistemas não-lineares sujeitos a falhas estruturais. In Proceedings of the 8th Brazilian Conference on Dynamics, Control and Applications, Bauru, UNESP. 6p. [9] M. C. de Oliveira, D. P. Farias, and J. C. Geromel. LMISol, User s guide. UNICAMP, Campinas-SP, Brazil, ~mauricio/software.html. [10] F. A. Faria, E. Assunção, and M. C. M. Teixeira. Realimentação da derivada dos estados em sistemas descritores usando LMIs. In Proceedings of the 6th Brazilian Conference on Dynamics, Control and Their Applications, pages , São José do Rio Preto, UNESP. [11] F. A. Faria, E. Assunção, and M. C. M. Teixeira. Realimentação da derivada dos estados em sistemas multivariáveis lineares usando LMIs. Controle & Automação, 20(1):83 93, doi: /S [12] F. A. Faria, E. Assunção, M. C. M. Teixeira, and R. Cardim. Robust state-derivative feedback LMIbased designs for linear descriptor systems. Mathematical Problems in Engineering, 2010:1 15, doi: /2010/ [13] F. A. Faria, E. Assunção, M. C. M. Teixeira, R. Cardim, and N. A. P. da Silva. Robust statederivative pole placement LMI-based designs for linear systems. International Journal of Control, 82(1):1 12, [14] P. Gahinet, A. Nemirovski, A. J. Laub, and M. Chilali. LMI control toolbox - For use with MATLAB. The Math Works Inc., [15] J. P. Hwang and E. Kim. Robust tracking control of an electrically driven robot: Adaptive fuzzy logic approach. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 14(2): , [16] M. Johansson, A. Rantzer, and K.-E. Arzén. Pie- Serra Negra, SP - ISSN

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