XII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente (SBAI) Natal RN, 25 a 28 de outubro de 2015

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1 Natal RN, 25 a 28 de outubro de 2015 CONTROLE DE SISTEMAS CHAVEADOS INCERTOS COM REALIMENTAÇÃO DA SAÍDA DA PLANTA Alexandre A. Carniato, Edson I. M. Júnior, Marcelo Carvalho M. Teixeira, Edvaldo Assunção, Uiliam N. Lendzion T. Alves, Herbert E. Soto P. IFSP - Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo Departamento de Indústria - Campus Presidente Epitácio Avenida: José Ramos Júnior, 27-50, , Presidente Epitácio, São Paulo, Brasil IFC - Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Catarinense Departamento de Eletroeletrônica - Campus Videira Rodovia SC 135, Videira, SC , Brasil Laboratório de Pesquisa em Controle (LPC), Departamento de Engenharia Elétrica, Faculdade de Engenharia, Univ Estadual Paulista (UNESP), Campus Ilha Solteira, Avenida José Carlos Rossi, 1370, Ilha Solteira, SP , Brasil s: carniato@ifsp.edu.br, edsonitalo@yahoo.com.br, marcelo@dee.feis.unesp.br, edvaldo@dee.feis.unesp.br, uiliamlendzionalves@gmail.com, hespbusqueda@gmail.com Abstract This paper investigates the design of static switched output feedback for continuous-time uncertain switched linear systems aiming to extend results avaliable in literature for open-loop systems. It is considered that the state variables are not available, however, the switching strategy depends on the controlled output. The formulation is based on Linear Matrices Inequalities (LMIs). Three theorems are proposed. One illustrative example shows that, when the conditions proposed in theorems are feasible, the static output feedback can increase the feasibility area and reduce the guaranteed cost, when compared with similar results available in literature. Keywords Control Systems, Switched Systems, Static Output Feedback, Uncertain Linear Systems. Resumo Este artigo investiga a realimentação estática de saída em sistemas lineares chaveados incertos e contínuos no tempo visando generalizar resultados disponíveis na literatura para sistemas em malha aberta. Considera-se que as variáveis de estado não estão totalmente disponíveis para realimentação e, portanto, a estratégia de chaveamento depende da saída da planta. A formulação é baseada em Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs). Três teoremas são propostos para sistemas lineares chaveados incertos. Um exemplo ilustrativo mostra que, quando as condições dos teoremas propostos são factíveis, a realimentação estática de saída aumenta a região de factibilidade e também reduz o custo garantido, se comparado com resultados similares disponíveis na literatura. Keywords Incertos. Controle de Processos, Sistemas Chaveados, Realimentação Estática de Saída, Sistemas Lineares 1 Introdução Sistemas chaveados representam uma subclasse dos sistemas híbridos. Deste modo, pode-se dizer que sistemas chaveados são sistemas dinâmicos compostos por um número finito de subsistemas que comutam entre si, respeitando uma regra de chaveamento. Os subsistemas não precisam apresentar as mesmas características, ou seja, caso o sistema global seja estável, não necessariamente, cada subsistema será estável (Liberzon, 2003). Recentemente, tópicos de pesquisa relacionados aos sistemas chaveados apresentaram um crescimento considerável (Geromel and Colaneri, 2006). Este fato associa-se à uma vasta possibilidade de descrever sistemas físicos. Podese citar algumas aplicações práticas, tais como: controle de tráfego urbano (Papageorgiou et al., 2003), controle de conversores CC-CC, (Deaecto et al., 2010), (Mainardi Júnior et al., 2012), dentre outros. Com relação à comutação, os sistemas lineares chaveados podem ser classificados em: comutação dependente do vetor de estado (σ(x)) e comutação dependente do tempo (σ(t)). Com relação à estabilidade de sistemas chaveados, resultados importantes podem ser encontrados em (DeCarlo et al., 2000) e (Geromel and Colaneri, 2006). Em (Wicks et al., 1994), os autores demonstraram que se existir uma combinação convexa Hurwitz entre as matrizes do subsistemas dinâmicos, isto implica na existência de uma regra de chaveamento estabilizante que depende das variáveis de estado. A partir destes resultados, (Feron, 1996) provou que as condições propostas em (Wicks et al., 1994) são necessárias e suficientes para um sistema chaveado com dois subsistemas dinâmicos. Para os sistemas lineares chaveados incertos, em (Zhai et al., 2003) foi proposta uma regra de comutação quadrática estabilizante baseada em Desigualdades Matriciais Lineares (Linear Matrices Inequalities - LMIs). A partir deste resultado, em (Ji et al., 2003) foram propostas duas 462

2 condições suficientes para estabilidade de sistemas em malha fechada. Um dos problemas mais desafiadores nesta área de pesquisa, é o projeto de controladores através da realimentação estática da saída. Um trabalho minucioso a respeito deste assunto encontra-se em (Syrmos et al., 1997). Condições suficientes para estabilidade de sistema lineares realimentados através da saída foram apresentadas em (Crusius and Trofino, 1999). A principal contribuição deste trabalho consiste na utilização da realimentação estática de saída (Crusius and Trofino, 1999) visando estabilizar e garantir um desempenho adequado para o sistema linear chaveado incerto através de uma regra de comutação dependente da saída da planta (DeCarlo et al., 2000). Deste modo, este trabalho visa generalizar os resultados para estabilidade quadrática de sistemas chaveados lineares incertos obtidos em (Mainardi Júnior et al., 2014). Inicialmente, considera-se a realimentação estática da saída (u = K σ y = K σ Cx) e em seguida, insere-se um critério de desempenho (custo garantido). As análises são realizadas através da resolução de LMIs. Por conveniência, a seguir são definidas algumas notações que serão utilizadas ao longo do trabalho. Para matrizes ou vetores reais ( ) indica o transposto. O conjunto formado pelos N primeiros inteiros {1,..., N} é denotado por IK N. O conjunto de todos os vetores λ = λ 1... λ N tais que λ i 0, i IK N e λ 1 + λ λ N = 1 é denotado por Λ. A combinação convexa de um conjunto de matrizes (A 1,..., A N ) é denotada A λ = N i=1 λ ia i, sendo λ Λ. Além disso, o símbolo (*) será usado em expressões matriciais para denotar o transposto de um elemento simétrico. Para expressões em linha, este símbolo denotará o transposto dos termos do lado esquerdo, como mostrado nos exemplos a seguir: A B A ( ) =, B C B C A + B + A + B = A + B + ( ). 2 Sistema Lineares Chaveados Considere o sistema linear chaveado definido em (Geromel and Colaneri, 2006). { ẋ(t) = Aσ x(t) x(0) = x 0 y(t) = Cx(t), (1) sendo x(t) IR n o vetor de estado, y(t) IR p a saída controlada, σ(t) é a regra ou lei de chaveamento, x 0 é a condição inicial e C IR p n é a matriz de saída do sistema, constante para todo t 0. Considere um conjunto dado de matrizes constantes A i IR n n, para i IK N. Deste modo, a regra de chaveamento atua da seguinte maneira: A σ(t) {A 1, A 2,..., A N }, (2) sendo que A σ(t) deve comutar de A i para A j, i j, quando o chaveamento ocorrer entre σ(t) = i e σ(t) = j. Observação 1 Não existe a necessidade de que cada matriz do conjunto {A 1, A 2,..., A N }seja Hurwitz. Problema 1 Determine uma função u(.) : IR p {1, 2,..., N} tal que a regra de chaveamento σ (t) = u(y(t)), (3) torne o ponto de equilíbrio x = 0 do sistema linear chaveado definido em (1) e (2) globalmente assintoticamente 3 Sistema Linear Chaveado com Incertezas Politópicas Considere o sistema linear chaveado incerto com a seguinte realização em espaço de estados: { ẋ(t) = A(σ, α)x(t), x(0) = x0 (4) y(t) = Cx(t), sendo x(t), y(t), x 0, C e σ(t) definidos na Seção 2. Na matriz A(α, σ) o vetor α = α 1 α 2... α r representa as incertezas politópicas da planta. A matriz A(σ, α) IR n n pode ser descrita através da combinação convexa de seus vértices, como mostrado abaixo: A(σ, α) = α j A σj, α j = 1, α j 0, σ(t) IK N, (5) sendo r o número de vértices do politopo. Para mais detalhes sobre incertezas politópicas, veja (Boyd et al., 1994). Os resultados apresentados a seguir, servirão de base para o desenvolvimento teórico deste trabalho. Teorema 1 (Mainardi Júnior et al., 2014) Considere o sistema apresentado em (4), (5) e y(t) IR p disponível para realimentação. Se existir λ Λ, matrizes X 1i e X 2i IR n n, matrizes simétricas Q 0 IR n n, Q i IR p p e matrizes simétricas positivas definidas P j IR n n, tais que X 1i A ij + ( ) ( ) P j X 1i + X 2iA ij X 2i X 2i Q0 + C Q i C 0 n n, (6) 463

3 Q 0 + C Q λ C 0, (7) para todo i IK N e j IK r, então a regra de chaveamento σ(y) = arg min (y Q i y) (8) torna a origem x = 0 do sistema (4) e (5) um ponto de equilíbrio globalmente assintoticamente Proof: Para maiores detalhes, Júnior et al., 2014). veja (Mainardi Teorema 2 (Mainardi Júnior, 2013) Considere o sistema apresentado em (1) e y(t) IR p disponível para realimentação. Se existir λ Λ, um escalar ρ > 0, matrizes X 1i, X 2i IR n n, matrizes simétricas Q 0 IR n n, Q i IR p p e matrizes simétricas positivas definidas P j IR n n, tais que: P j ρ 0, (9) X1i A ij + ( ) + C C ( ) P j X 1i + X 2iA ij X 2i X 2i Q0 + C Q i C 0 n n, (10) Q 0 + C Q λ C 0, (11) para todo i IK N e j IK r, então a regra de chaveamento (8) torna a origem x = 0 do sistema (4) e (5) um ponto de equilíbrio globalmente assintoticamente estável e o custo garantido J = 0 y(t) y(t) dt max j IK r x 0P j x 0 ρx 0 x 0, é mantido para x(0) = x 0 0. Proof: Para maiores detalhes, Júnior, 2013). (12) veja (Mainardi 4 Sistema Linear Chaveado com Incertezas Politópicas e Realimentação Estática da Saída Considere o sistema linear chaveado incerto com a seguinte realização em espaço de estados: { ẋ(t) = A(σ, α)x(t) + Bσ u(t), x(0) = x 0 y(t) = Cx(t), (13) sendo x(t), y(t), x 0 e C definidos na Seção 2. Considere que σ(t) é a regra ou lei de chaveamento, que seleciona em cada instante de tempo t 0, um subsistema disponível (A(i, α),b i ), i IK N, sendo que B i IR n m é uma matriz constante, conhecida e com posto completo. Além disso, considere a matriz A(σ, α) definida em (5) e que u(t) IR m é a entrada de controle da planta. Entretanto, suponha que o vetor de estado x(t) IR n não está totalmente disponível, mas a saída y(t) IR p está passível para realimentação. Deste modo, definese o seguinte problema de controle: Problema 2 Determine uma lei de controle u(t) = K σ y(t), (14) que torne o ponto de equilíbrio x = 0 do sistema definido em (13) e (5) globalmente assintoticamente estável, considerando a regra de chaveamento definida em (8) e que também satisfaça um certo índice de desempenho, por exemplo, o custo garantido (12). Então, substituindo (14) em (13), obtém-se: { ẋ(t) = (A(σ, α) + Bσ K σ C)x(t), x(0) = x 0 y(t) = Cx(t). (15) Observe que a estrutura apresentada em (15) é semelhante à (1), sendo que a única diferença é a obtenção dos ganhos estabilizantes K i, i IK N. A partir das definições supracitadas e das aproximações apresentadas em (Crusius and Trofino, 1999) é proposto o Teorema 3. Teorema 3 Considere o sistema apresentado em (15),(5), sendo que posto(b i ) = m para i IK N e que y(t) IR p está disponível para realimentação. Se existirem λ Λ, matrizes simétricas Q 0 IR n n, Q i IR p p, matrizes N i IR m p, matrizes M i IR m m e matrizes simétricas positivas definidas P j IR n n, tais que: A ijp + B i N i C + ( ) Q 0 + C Q i C (16) B i M i = P B i (17) Q 0 + C Q λ C 0 (18) para todo i IK N e j IK r, então a regra de chaveamento (8) e (14) com os ganhos K i = M 1 i N i, tornam o ponto de equilíbrio x = 0 do sistema (15) e (5) globalmente assintoticamente Proof: Considere a candidata à função quadrática de Lyapunov V (x) = x P x. A partir de (5) e (15), tem-se que, para x 0: = V (x) = x ( (A(α, σ) + B σ K σ C) P + ( ) ) x α j x ( A σjp + C K σb σp + ( ) ) x (19) Como B i tem posto completo, então a partir de (17), conclui-se que M i, i IK N, também tem posto completo. Deste modo, de (17) B σp = M σb σ, σ IK N. Considerando que K σ = Mσ 1 N σ, σ IK N, então C K σb σp = 464

4 C K σm σb σ = C N σb σ. Logo, de (16), (18), (19) e (8), para x 0: V (x) = α j x (A(α, σ) P + B σ N σ C + ( )) x α j x (Q 0 + C Q σ C)x = min x (Q 0 + C Q i C)x = x Q 0 x + min (y Q i y) x (Q 0 + C Q λ C)x 0. (20) Deste modo, a prova está concluída. Visando flexibilizar o Teorema 3, condições menos conservadoras são propostas no Teorema 4. Suponha que α = α 1 α 2... α r definido em (5) é um parâmetro desconhecido, porém invariante no tempo. Teorema 4 Considere o sistema apresentado em (15),(5), sendo que posto(b i ) = m para i IK N e que y(t) IR p está disponível para realimentação. Se existirem λ Λ, matrizes X 1i, X 2i IR n n, matrizes simétricas Q 0 IR n n, Q i IR p p, matrizes N i IR m p, matrizes M i IR m m e matrizes simétricas positivas definidas P j IR n n, tais que: X1i A ij + B i N i C + A ij X 1i + C N i B i P j X 1i + X 2iA ij + B i N i C P j X 1i + A ij X 2i + C N i B i X 2i X 2i Q0 + C Q i C 0 n n, (21) X 1i B i = B i M i, (22) X 2i B i = B i M i, (23) Q 0 + C Q λ C 0. (24) para todo i IK N e j IK r, então a regra de chaveamento (8) e (14) com os ganhos K i = M 1 i N i, tornam o ponto de equilíbrio x = 0 do sistema (15) e (5) globalmente assintoticamente Proof: Considere que (21) - (24) são factíveis. Deste modo, a partir de (8) e (24), para x 0 tem-se que: 0 > x (Q 0 + C Q λ C)x x Q 0 x + min (y Q i y) = x (Q 0 + C Q σ C)x. (25) Denotando = (A(σ, α) + B σ K σ C), note que a expressão (25) pode ser reescrita, como: 0 > x Zσ 0 n n x, (26) sendo Z σ = Q 0 + C Q σ C. A partir de (21), (22),(23), (26), lembrando que N σ = M σ K σ, note que: x X 1σ (A σj + B σ K σ C) + ( ) P j X 1σ + X 2σ (A σj + B σ K σ C) ( ) X 2σ X 2σ x 0. (27) Considere que P (α) = (α 1 P 1 +α 2 P α r P r ). Deste modo, a partir de (5), multiplicando (27) por α j e realizando a soma de j = 1 até j = r, têm-se: x X 1σ (A(σ, α) + B σ K σ C) + ( ) P (α) X 1σ + X 2σ (A(σ, α) + B σ K σ C) ( ) X 2σ X 2σ x 0. (28) Deste modo, a expressão (28) pode ser reescrita como: { 0 > x 0 P (α) P (α) 0 X1σ Acl (σ, α) + X 2σ } A + cl (σ, α) X1σ x X 2σ = x 0 P (α) P (α) 0 x. (29) Considerando uma função candidata de Lyapunov V (x) = x P (α)x, a partir de (5), observe que V (x) > 0 para x 0 e a partir de (15) e (29), V (x) 0 para x 0, conclue-se a prova. O próximo teorema, além de garantir a estabilidade assintótica, também assegura um critério de desempenho, por exemplo, o custo garantido (12). Teorema 5 Se existirem λ Λ, um escalar ρ > 0, matrizes X 1i, X 2i IR n n, matrizes simétricas Q 0 IR n n, Q i IR p p, matrizes N i IR p n, 465

5 matrizes M i IR m m e matrizes simétricas positivas definidas P j IR n n, tais que: X1i A ij + B i N i C + A ij X 1i + C N i B i + C C P j X 1i + X 2iA ij + B i N i C P j X 1i + A ij X 2i + C N i B i X 2i X 2i Q0 + C Q i C 0 n n, (30) e que as condições (9),(22)-(24) sejam satisfeitas, sendo posto(b i ) = m para todo i IK N e j IK r, então a regra de chaveamento (8) e (14) com os ganhos K i = M 1 i N i, tornam o ponto de equilíbrio x = 0 do sistema (15) e (5) globalmente assintoticamente estável e o custo (12) é mantido para x(0) = x 0 0. Proof: A partir da demonstração do Teorema 4, é possível verificar que: 0 > x C C P (α) x, P (α) 0 0 > V (x(t)) + y y. (31) Considerando que P (α) = (α 1 P 1 + α 2 P α r P r ) e uma função candidata de Lyapunov V (x) = x P (α)x, a partir de (5), observe que V (x) > 0 para x 0 e a partir de (15) e (31), V (x) 0 para x 0. Agora integrando (31) de zero até o infinito, considerando x(0) = x 0 0, sabendo que V (x( )) = 0, obtem-se (12). A prova está concluída. Teorema 6 Se as condições dadas no Teorema 3 mantêm-se, então das condições dadas no Teorema 4 também mantêm-se. Proof: Suponha que as condições (16)-(18) do Teorema 3 mantêm-se. Então, de (16), (17) e N i = M i K i, i IK N, note que existe P = P > 0 e uma pequena constante, ξ IR, ξ > 0, tal que: (A ij + B i K i C) P + ( ) Q 0 C Q i C + ξ 2 (A ij + B i K i C) (A ij + B i K i C) 0 (32) Utilizando o complemento de Schur (Boyd et al., 1994), então (32) torna-se: T ij ξ(a ij + B i K i C) 0, (33) (A ij + B i K i C)ξ 2ξ sendo T ij = (A ij +B i K i C) P +( ) Q 0 C Q i C. A partir de (22),(23) e N i = M i K i, i IK N observe que para P j = P, X 1i = P, X 2i = ξ, para todo i IK N e j IK r, então a condição (21) é equivalente à condição (33). Deste modo, se (16) mantêm-se, então (21) é satisfeita. Finalmente, note que (18) e (24) são equivalentes. Deste modo, a prova está completa. 5 Exemplos Ilustrativos Nesta seção é apresentado um exemplo visando demonstrar a eficácia da estratégia de controle proposta neste artigo. Inicialmente, compara-se a região de factibilidade fornecida pelas condições dispostas nos Teoremas 1, 3 e 4. Em seguida, realiza-se a comparação relativa à minimização do custo garantido através das condições dos Teoremas 2 e 5. Os resultados de simulação são apresentados a seguir. O solver utilizado nestas análises é o LMIlab do software MATLAB através do toolbox YALMIP (Lofberg, 2004). 5.1 Exemplo 1 Considere o sistema linear incerto (15) e (5), com i = {1, 2}, j = {1, 2} e as seguintes matrizes: A 11= A 12= h , A21=, A22= h ,. (34) Este exemplo apresenta um estudo comparativo relativo à factibilidade considerando as condições propostas nos Teoremas 1, 3 e 4, para alguns pares de h 1 e h 2, sendo: h 1 25, 15 e h 2 2, 1. A matriz de saída e matriz de entrada do sistema linear incertos são, respectivamente: C =, B = B 1 = 0. (35) 0 h Figura 1: Regiões de factibilidade obtidas com os Teoremas 1, 3 4, sendo Teorema 1 representado por (o), Teorema 3 por ( ) e (o) e Teorema 4 por ( ), (o) e (.) Para todas as análises deste trabalho, adotouse λ 1 = λ 2 = 0.5. A Figura 1 apresenta uma comparação entre as factibilidades obtidas através h 1 466

6 das condições dos Teoremas 1, 3 e 4. Observase que a realimentação estática de saída proporcionou um aumento na região factível. Na Tabela 1 observa-se a comparação entre o custo garantido obtido para as condições dos Teoremas 2 e 5 para diferentes valores de h 1 e h 2. A condição inicial é x 0 = Verifica-se que as condições menos conservadoras do Teorema 5 juntamente com a realimentação estática de saída reduziram o custo garantido (12). Tabela 1: Cálculo do custo garantido Teorema h 1 h 2 Custo Mínimo Conclusões Neste trabalho apresentou-se uma estratégia de controle baseada na realimentação estática de saída para sistemas lineares chaveados incertos, através de uma estratégia de chaveamento dependente da saída da planta que generaliza os resultados apresentados em (Mainardi Júnior et al., 2014). Inicialmente a realimentação u = K σ y foi proposta e em seguida, um critério de desempenho: minimização do custo garantido. Um exemplo ilustrativo mostra que, quando as condições dos teoremas propostos são factíveis, a realimentação estática de saída aumentou a região de factibilidade e também reduziu o custo garantido. Agradecimentos Os autores agradecem a CAPES, ao CNPq e a FAPESP (2011/ ) pelo apoio financeiro. Referências Boyd, S. P., El Ghaoui, L., Feron, E. and Balakrishnan, V. (1994). Linear matrix inequalities in system and control theory, Vol. 15, SIAM. Crusius, C. A. and Trofino, A. (1999). Sufficient LMI conditions for output feedback control problems, Automatic Control, IEEE Transactions on 44(5): Deaecto, G. S., Geromel, J. C., Garcia, F. and Pomilio, J. (2010). Switched affine systems control design with application to DC-DC converters, IET control theory & applications 4(7): DeCarlo, R. A., Branicky, M. S., Pettersson, S. and Lennartson, B. (2000). Perspectives and results on the stability and stabilizability of hybrid systems, Proceedings of the IEEE 88(7): Feron, E. (1996). Quadratic stabilizability of switched systems via state and output feedback, Center for Intelligent Control Systems. Geromel, J. C. and Colaneri, P. (2006). Stability and stabilization of continuous-time switched linear systems, SIAM Journal on Control and Optimization 45(5): Ji, Z., Wang, L. and Xie, G. (2003). New results on the quadratic stabilization of switched linear systems, Decision and Control, Proceedings. 42nd IEEE Conference on, Vol. 2, IEEE, pp Liberzon, D. (2003). Switching in systems and control, Springer Science & Business Media. Lofberg, J. (2004). Yalmip : a toolbox for modeling and optimization in matlab, Computer Aided Control Systems Design, 2004 IEEE International Symposium on, pp Mainardi Júnior, E. I. (2013). Projeto de controladores para sistemas chaveados com aplicações em conversores CC-CC, Doutorado em engenharia elétrica, Universidade Estadual Paulista (UNESP), Ilha Solteira. Mainardi Júnior, E. I., Assunção, E., Teixeira, M., Moreira, M., Cardim, R. and Yoshimura, V. L. (2012). On Control Design of Switched Affine Systems with Application to DC- DC Converters, INTECH Open Access Publisher. Mainardi Júnior, E. I., Teixeira, M., Cardim, R., Assunçao, E., Moreira, M. and de Oliveira, D. R. (2014). Robust control of switched linear systems with output switching strategy, Congresso Brasileiro de Automática (CBA), 2014 Brazilian, SBA, pp Papageorgiou, M., Diakaki, C., Dinopoulou, V., Kotsialos, A. and Wang, Y. (2003). Review of road traffic control strategies, Proceedings of the IEEE 91(12): Syrmos, V. L., Abdallah, C. T., Dorato, P. and Grigoriadis, K. (1997). Static output feedbackâa survey, Automatica 33(2): Wicks, M. A., Peleties, P. and DeCarlo, R. A. (1994). Construction of piecewise Lyapunov functions for stabilizing switched systems, Decision and Control, 1994., Proceedings of the 33rd IEEE Conference on, Vol. 4, IEEE, pp Zhai, G., Lin, H. and Antsaklis, P. J. (2003). Quadratic stabilizability of switched linear systems with polytopic uncertainties, International Journal of Control 76(7):