PROJETO DE CONTROLADORES PARA SISTEMAS CHAVEADOS AFINS COM APLICAÇÃO EM UM CONVERSOR CC-CC BUCK

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1 PROJETO DE ONTROADORES PARA SISTEMAS HAVEADOS AFINS OM APIAÇÃO EM UM ONVERSOR - BUK E. I. Mainardi Júnior, M.. M. Teixeira, R. ardim, E. Assunção, J. M. de Souza Ribeiro, A. A. arniato IF - Instituto Federal de Educação, iência e Tecnologia atarinense, ampus Videira Rodovia S 35, km 25 - ampo Experimental , Videira, Santa atarina, Brasil UNESP - Univ Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Departamento de Engenharia Elétrica, ab. de Pesquisa em ontrole, Av. José arlos Rossi, 37, 5385-, Ilha Solteira, São Paulo, Brasil IFSP - Instituto Federal de Educação, iência e Tecnologia de São Paulo, ampus Presidente Epitácio, Av José Ramos Júnior, 27-5, Presidente Epitácio, SP 947-, Brasil s: edson.junior@ifc-videira.edu.br, marcelo@dee.feis.unesp.br, rcardim@dee.feis.unesp.br, edvaldo@dee.feis.unesp.br, jean@dee.feis.unesp.br, carniato@ifsp.edu.br Abstract This paper investigates the control problem of continuous-time switched affine systems. Supposing a finite and sufficiently great switching frequency, new control strategies are proposed in order to guarantee uniform ultimate boundedness such that the state vector converges to an arbitrarily small neighborhood of the equilibrium point. The proposed method is applied to the control of a Buck D-D converter, operating in ontinuous onduction Mode (M). The D-D converter is represented by nonlinear model and the design is based on quadratic yapunov functions and inear Matrix Inequalities (MIs). Simulation results demonstrates that the proposed method has an adequate performance. Keywords Switched affine systems, Nonideal switching strategy, Buck D-D converter. Resumo Este artigo tem como objetivo o estudo de estabilidade de sistemas chaveados afins contínuos no tempo. Supondo uma frequência de chaveamento finita e suficientemente grande, uma nova estratégia de controle é proposta, a fim de assegurar estabilidade uniforme ultimate bounded de tal forma que o vetor de estado convirja para uma vizinhança arbitrariamente pequena do ponto de equilíbrio. O método proposto é aplicado no controle de um conversor Buck -, operando no Modo de ondução ontínua (M). O conversor - é representado por um modelo não linear e o projeto é baseado em uma função quadrática de yapunov e Desigualdades Matriciais ineares (MIs). Resultados de simulação demonstram que o procedimento de controle proposto tem um desempenho adequado. Keywords Sistemas chaveados afins, Estratégia de chaveamento não ideal, onversor - Buck. Introdução É bem conhecido da literatura que sistemas chaveados são uma importante subclasse de sistemas híbridos (Decarlo et al., 2). Os sistemas chaveados consistem de uma família de subsistemas a tempo contínuo e uma regra de chaveamento adequada que seleciona, a cada instante de tempo, um subsistema dinâmico dentre um determinado número de subsistemas disponíveis e ainda assegura a estabilidade assintótica com uma garantia de desempenho adequado (Geromel and olaneri, 26). Entre os muitos campos de aplicações para os sistemas chaveados, destaca-se os conversores de corrente contínua, mais especificamente conhecidos como conversores -, os quais são amplamente utilizados na indústria, principalmente no controle da velocidade de motores de corrente contínua e fonte de alimentação de computadores. No entanto, a dinâmica dos conversores - pode ser descrita por sistemas chaveados afins, que consideram em seu modelo todas as não linearidades do sistema. Sistemas chaveados afins são mais difíceis de controlar do que os sistemas chaveados lineares, pois é possível que os subsistemas não compartilhem o mesmo ponto de equilíbrio do sistema global. Desta forma, o conceito de estabilidade deve ser estendido e assim, as ideias contidas em (Bolzern and Spinelli, 24) podem ser utilizadas. Baseado em funções quadráticas de yapunov, atualmente vários autores têm proposto controladores não lineares a fim de garantir a estabilidade de sistemas chaveados afins (Deaecto et al., 2; Yoshimura et al., 23; Scharlau et al., 24). No entanto, a maioria das estratégias de chaveamento propostas para o problema de estabilidade de sistemas chaveados afins, que utilizam funções de yapunov(iberzon and Morse, 999), são definidas considerando a frequência de chaveamento próxima ao infinito (chaveamento ideal), não podendo ser implementados em sistemas práticos. A estabilidade de sistemas com frequência finita de chaveamento é um conceito de estabilidade diferente, o qual admite que o estado não exceda um determinado número de chaveamento durante um intervalo de tempo fixo. Alguns resultados iniciais sobre estabili-

2 dade de sistemas com frequência finita de chaveamento podem ser encontradas em (Dorato, 96). Deste modo, estabilidade e projeto de controladores com frequência fixa de chaveamento para sistemas chaveados têm sido muito pouco estudados. Motivados pela ampla aplicação desta teoria em sistema práticos tais como, conversores -, a contribuição principal deste artigo é a proposta de novas condições suficientes, baseadas em MIs, e o projeto de estratégias a frequência fixa de chaveamento, que asseguram estabilidade uniforme ultimate bounded (orless and eitmann, 98) do sistema chaveado afim. Os resultados são aplicados em um conversor - Buck e a validade da técnica é comprovada através de resultados de simulações numéricas. A análise de estabilidade foi reduzida a problemas descritos por MIs (Boyd et al., 994). A notação usada é padrão. Para matrizes ou vetores reais ( ) indica o seu transposto. O conjunto composto pelos primeiros N inteiros positivos, ou seja, {,...,N} é denotado por IK. O conjunto de todos vetores λ = λ...λ N ] tais que λ i, i {,2,...,N} e λ + λ λ N = é denotado por Λ. A combinação convexa de um conjunto de matrizes {A,...,A N } é denotado por A λ = N i= λ ia i, sendoλpertencenteaoconjunto Λ. V g(t) 2 onversor - Buck + - S i (t) r + S 2 V - (t) R Figura : onversor - Buck. A Figura ilustra o diagrama esquemático do circuito de um conversor - Buck, sendo V g (t) a tensão de entrada constante para todo t, V (t) a tensão de saída e i (t) a corrente no indutor. A carga do conversor é representada por uma resistência R, enquanto que r, e representam, respectivamente, a resistência parasita doindutor, ocapacitoreoindutor. Osistemadescrito possui apenas um sinal de entrada de controle, o qual é denotado por u(t) sendo u(t),]. Sendo assim, a entrada de controle u(t) é responsávelporcontrolaraschavess es 2, ilustradasna Figura, as quais devem operar de modo complementar (enquanto uma chave está ativada (ON) a outra estará desativada (OFF) e vice versa). Assim, u(t) = representa uma chave aberta (OFF) e u(t) = representa uma chave fechada (ON). Neste trabalho é suposto que o conversor opera em modo de condução contínua. Em seguida, defina como variável de estado do sistema chaveado afim x(t) = x (t) x 2 (t)] = i (t) V (t)] e o ponto de operação dado por x r = x r x 2r ] = i r V r ]. Então, da Figura, note que o conversor pode ser modelado como um sistema chaveado afim. O modelo instantâneo para o conversor - Buck é representado por: ] ] ] ] i (t) i (t) Vg = V (t) +u(t). R V (t) () O objetivo do projeto de controle é assegurar a estabilidade assintótica global tal que o sistema controlado satisfaça um índice de desempenho, por exemplo, um custo garantido. A próxima seção, apresenta condições baseadas em MIs que satisfazem estes objetivos. 3 ontrole de Sistema haveado Afim onsidere o sistema chaveado afim definido pela seguinte realização em espaço de estados: { ẋ(t) = Hσ(t) x(t)+g σ(t) w(t), (2) y(t) = F σ(t) x(t), sendo x(t) IR n o vetor de estado, y(t) IR p o vetor de saída, w(t) IR m a entrada suposta constante para todo t e σ(t): t IK N a estratégia de chaveamento. Para um conjunto conhecido de matrizes H i IR n n, G i IR n m e F i IR p, i IK N, tal que H σ(t) {H,H 2,...,H N }, G σ(t) {G,G 2,...,G N }, F σ(t) {F,F 2,...,F N }, a estratégia de chaveamento σ(t) seleciona, a cada instante de tempo t, um subsistema conhecido dentro os N subsistemas disponíveis. onsidere o sistema chaveado afim ()-(2), as matrizes que definem a representação em espaço de estados para o conversor - Buck, são dadas a seguir (Deaecto et al., 2): ] ] H = R, H 2 = R G = ], G2 = ]. (3) Então, o problema de controle é o seguinte: determinar uma função σ(x(t)) para todo t, tal que a estratégia de chaveamento σ(t) torne o ponto de equilíbrio x(t) = x r de (2) globalmente assintoticamente estável e também satisfaça um certo índice de desempenho, por exemplo um custo garantido. Uma solução para este problema, considerando uma função de yapunov quadrática com o seguinte índice de desempenho: J = min σ IK N (x(t) x r ) Q σ (x(t) x r )dt, (4) é apresentada em (Deaecto et al., 2), sendo Q σ = F σf σ para σ(t) IK N e x r um ponto de equilíbrio conhecido.,

3 Teorema (Deaecto et al., 2) onsidere o sistema chaveado afim (2) com uma entrada w(t) = w constante para todo t e seja o ponto de equilíbrio x r IR n dado. Se existir λ Λ e uma matriz simétrica positiva definida P IR n n, tal que H ip +PH i +Q i <, e H λ x r +G λ w =, (5) para todo i IK N, então a estratégia de chaveamento σ(x) = argmin i IKN 2ξ(t) P(H i x r +G i w), sendo Q i = F i F i, i IK N e ξ(t) = x(t) x r, torna o ponto de equilíbrio x r IR n globalmente assintoticamente estável e o custo garantido J < (x x r ) P(x x r ), (6) mantém-se para x r. Prova: Veja (Deaecto et al., 2) para maiores detalhes. Note que a estratégia de chaveamento descrita no Teorema assegura que, para um dado ponto de equilíbrio x r IR n, o sistema controlado é globalmente assintoticamente estável. Entretanto, observe que este controlador opera com uma frequência de chaveamento infinita (no caso de um chaveamento ideal), a qual não pode ser implementada em sistemas práticos. Este fenômeno de chaveamento não ideal é conhecido como chattering. No entanto, vários métodos de redução da frequência de chaveamento são atualmente utilizados em eletrônica de potência para eliminar os efeitos do chattering, por exemplo, histerese por amplitude variável, sincronização com flip-flops, injeção de perturbação, dentre outros (veja (ardoso et al., 992) para maiores detalhes). Então, o novo problema de controle proposto é o seguinte: Seja T > uma constante de amostragem de tempo dada. Determine uma estratégia de chaveamento σ(t) = σ(x(kt)), para kt t (k + )T, k =,,2,..., que torne um ponto de equilíbrio conhecido x(t) = x r de (2) uniformemente ultimate bounded (orless and eitmann, 98). Observação É bem conhecido da teoria de ontrole por Estrutura Variável com modos deslizantes, que se um ponto de equilíbrio de um sistema controlado é assintoticamente estável para uma estratégia de chaveamento ideal, então supondo uma frequência de chaveamento finita e suficientemente grande, têm-se que o sistema controlado não converge necessariamente para a origem do sistema x(t) = e sim para uma região fechada e limitada em torno desta origem. Este resultado é conhecido como ultimate boundedness (orless and eitmann, 98). Uma solução que assegura estabilidade uniforme ultimate bounded (orless and eitmann, 98) para as condições de projeto apresentadas pelo Teorema é proposta no Teorema 2. Teorema 2 O ponto de equilíbrio x r IR n do sistema chaveado afim (2) é uniformemente ultimate bounded para uma estratégia de chaveamento arbitrária σ(t) = σ(kt), kt t < (k + )T e k =,,2,..., para toda constante de amostragem de tempo T >, se existir uma matriz simétrica positiva definida P IR n n, tal que para todo i IK N. H ip +PH i +Q i <, (7) Prova: onsidere a candidata a função quadrática de yapunov V(ξ(t)) = ξ(t) Pξ(t), sendo ξ(t) = x(t) x r. Agora, como Q σ, de (2), (7) e ξ(t), segue que: V(ξ(t)) = 2ξ(t) P(H σ x(t)+g σ w) = 2ξ(t) P(H σ x r +G σ w)+ξ(t) (H σp +PH σ +Q σ )ξ(t) ξ(t) Q σ ξ(t) 2ξ(t) P(H σ x r +G σ w)+ξ(t) (H σp +PH σ +Q σ )ξ(t) ǫ ξ(t) 2 +ǫ 2 ξ(t), (8) sendo que ǫ < denota o máximo autovalor de (H i P + PH i + Q i ), i IK N e ǫ 2 > representa o valor máximo de 2P(H i x r +G i w), i IK N sendo ξ(t) = ξ(t) ξ(t). ogo, para ξ(t) então, V(ξ(t)) < se ξ(t) > ǫ 2 /ǫ e assim de acordo com (orless and eitmann, 98) o sistema controlado é uniformemente ultimate bounded. A prova está completa. Observação 2 Note que a estratégia de chaveamento não ideal σ(t) = σ(kt), kt t < (k+)t e k =,,2,... proposta pelo Teorema 2, conduz a trajetória do sistema controlado (2) no espaço de estados para uma vizinhança do ponto de equilíbrio. Então, da equação (4) observe que para t, o custo garantido do sistema controlado pela estratégia de chaveamento não ideal σ(t) = σ(kt), kt t < (k +)T e k =,,2,... é infinito. Assim, para o caso de um chaveamento não ideal, o custo garantido do sistema controlado pode ser interpretado como o custo necessário para o sistema convergir para uma vizinhança (normalmente bastante próxima) do ponto de equilíbrio. Na próxima seção, a principal contribuição deste trabalho é apresentada e uma nova estatégia de chaveamento baseada em condições suficientes, para uma classe de sistemas chaveados afim, é proposta. A motivação para o novo método de controle proposto é que ele possibilita o projeto de uma estratégia de chaveamento a qual proporciona a entrada de controle u(t) IR que é equivalente à razão cíclica do sistema controlado, além

4 de assegurar uma estratégia de chaveamento que torna o sistema controlado uniformemente ultimate bounded. onforme desejado, o valor da entrada de controle equivalente é mantida entre e. Assim, uma frequência de chaveamento constante pode ser conseguida através de uma modulação PWM (Erickson, 2). 4 ontrole de Sistemas haveados Afins com não linearidades na matriz B(u) onsidere o sistema chaveado afim: { ẋ(t) = Ax(t)+Bo +B u(t), y(t) = Zx(t), (9) sendo x(t) IR n o vetor de estados, y(t) IR p a saída e u(t) = u (t),u 2 (t),...,u M (t)] sendo que u i (t),], i IK M, a entrada de controle. Agora, de () e (9), note que as matrizes que definem a representação em espaço de estados do conversor - Buck são: ] ] ] A= R, B o =, B = Vg. () Então, o problema de projeto de controle é o seguinte: determinar a entrada de controle u(t),], para todo t, que torna um ponto de equilíbrio conhecido x(t) = x r de (9) globalmente assintoticamente estável e também satisfaça um certo índice de desempenho, por exemplo, um custo garantido. Para desenvolver o sistema de controle proposto inicialmente a planta será representada por uma forma adequada. Suponha que existem vetores constantes x r IR n e u r IR tais que, substituindo x(t) = x r, y(t) = y r e u(t) = u r em (9), as equações abaixo sejam satisfeitas: l IK m, tais que: ξ(t) = Aξ(t)+B δ(t), ξ n+ (t) = v (t),. ξ n+m (t) = v m (t). (3) Então, de (3) e (2) obtêm-se o seguinte sistema aumentado: { ˆξ(t) = ˆξ(t)+ ˆBv(t), ˆζ(t) = Ẑˆξ(t), (4) sendo ˆξ(t) = ξ(t) δ(t) ], A B Â= ], ˆB= I ] Z, Ẑ= ]. (5) Note que o sistema (4) é equivalente a um sistema linear e portanto, pode-se projetar uma lei de controle v(t) = Kˆξ(t). ogo, substituindo a lei de controle v(t) = Kˆξ(t) em (4), obtêm-se o seguinte sistema realimentado: { ˆξ(t) = (  ˆBK)ˆξ(t), ˆζ(t) = Ẑˆξ(t). (6) Agora, o novo problema de projeto de controle é o seguinte: determinar o ganho K IR m e a entrada de controle u i (t),], i IK M, para todo t, que torna o ponto de equilíbrio ˆξ(t) = de (6) globalmente assintoticamente estável. O teorema proposto a seguir apresenta estas condições e também estabelece um limitante superior para um custo garantido. Adicionalmente, a fim de especificar um índice de desempenho associado ao sistema chaveado (6), o seguinte custo garantido é proposto: ˆ J = (ˆx(t) ˆx r ) ˆQ(ˆx(t) ˆxr ) dt, (7) { xr = = Ax r +B o +B u r, y r = Zx r. () sendo ˆQ = Ẑ Ẑ, ˆx(t) = x(t) u(t) ] e ˆx r = x r u r] um ponto de equilíbrio conhecido. Portanto, x(t) = x r é um ponto de equilíbrio de (9) e u(t) = u r é a respectiva entrada de controle. ogo, da definição ξ(t) = x(t) x r, definindo ζ(t) = y(t) y r, δ(t) = u(t) u r e subtraindo () de (9), note que o sistema chaveado afim (9) pode ser representado por: ξ(t) = Aξ(t)+B δ(t), ζ(t) = Zξ(t), δ(t) = u(t) u r, (2) sendo B uma matriz constante e δ(t) > uma função não linear. Assim, seja v(t) IR m a derivada temporal do vetor de entrada de controle δ(t) = u(t) u r sendo u i (t),], i IK M. Defina ξ n+l (t) e v l (t) tais que ξ n+l (t) = δ l (t) = v l (t), Teorema 3 onsidere o sistema (9), com entrada de controle u(t),] e seja o ponto de equilíbrio x r IR n e a respectiva entrada de controle u r IR dados. Se existirem, uma matriz simétrica positiva definida X IR n n e uma matriz Y IR m n, tais que ÂX +X  ˆBY ] Y ˆB XẐ <, (8) ẐX I W (ˆx ˆx r ) (ˆx ˆx r ) X ] >, (9) sendo ˆx r = x r u r], então o ganho de realimentação K = YX e a estratégia de chaveamento δ(t) = u(t) = Kˆξ(t), (2)

5 sendo ˆξ(t) = ξ(t) δ(t) ], tornam o sistema em malha fechada globalmente assintoticamente estável e o custo garantido (7), com ˆQ = Ẑ Ẑ, mantém-se. ˆ J < (ˆx ˆx r ) P(ˆx ˆx r ) < W, (2) Prova: onsidere que (8)-(9) são factíveis. Assim, aplicando o omplemento de Schur em (8), levando em conta que K = YX e multiplicando ambos os lados por P = X, obtêm-se que, Â P +PÂ P ˆBK K ˆB P +Ẑ Ẑ <. Em seguida, de (6), e relembrando que ˆQ = Ẑ Ẑ, para ˆξ(t) note que: > ˆξ(t) (Â P +PÂ P ˆBK K ˆB P + ˆQ)ˆξ(t) = ˆξ(t) ((Â ˆBK) P +P(Â ˆBK)+ ˆQ)ˆξ(t) = 2ˆξ(t) P ˆξ(t)+ ˆξ(t) ˆQˆξ(t) = V(ˆξ(t))+ˆξ(t) ˆQˆξ(t), (22) sendo V(ˆξ(t)) = ˆξ (t)pˆξ(t) > para ˆξ(t). ogo, observe que de (22) V(ˆξ(t)) < para ˆξ(t) e V() =, então ˆξ(t) = é um ponto de equilíbrio globalmente assintoticamente estável. Agora, integrando(22) de zero ao infinito, considerando ˆξ(), sabendo que V(ˆξ( )) = e de (9) obtêm-se: ˆ J= ˆξ(t) ˆQˆξ(t) dt < (ˆx ˆx r ) P(ˆx ˆx r ) < W. A prova está concluída. 4. Implementação do projeto de controle (23) Para o conversor - Buck ilustrado na Figura, considere os seguintes parâmetros de projeto: w(t) = V g (t) = 3V], R = 4Ω], r = µω], = 33µH], = µf], f chave = 2kHz, T = 5µs, ˆQ = diag{ρ r, ρ 2 /R, } e Q i = diag{ρ r, ρ 2 /R}, sendo ˆQ e Q i, i IK, as matrizes de índice de desempenho associado ao seguinte custo garantido: (ρ 2 R (V V r ) 2 +ρ r (i i r ) 2 dt, (24) no qual ρ e ρ 2 IR + são parâmetros de projeto (veja (Deaecto et al., 2) para maiores detalhes). Neste estudo, considere ρ = e ρ 2 =. O conjunto de todos os pontos de equilíbrio alcançáveis do conversor - Buck podem ser obtidos de (9) e () impondo que x(t) = x r, ẋ(t) = ẋ r =, u(t) = u r e estão descritos a seguir, sendo V r um parâmetro de projeto conhecido (veja (Deaecto et al., 2) para maiores detalhes): x r = { ir V r i r = V r R },u r = R ] : ir V g r +R, ( Vr r + RV r V g V g ). (25) Então, adote o seguinte valor de tensão de saída no capacitor V r = 2V]. De (25), note que x r = 3 2] e ˆx r = 3 2,4]. Agora, considere o conversor - Buck partindo da condição inicial nula e o seguinte problema de otimização, correspondente ao Teorema (Deaecto et al., 2): min P ρ sujeito a P > e (5). Uma solução obtida foi ρ =,654 4, ] P = 3,65,, (26),, 5 e de (6) o custo guarantido J < (x x r ) P(x x r ) <,252. Em seguida, para os mesmos parâmetros de projeto definidos anteriormente, considere o seguinte problema de otimização correspondente ao Teorema 3: min X, Y W sujeito a X > e (8) (9). Uma solução obtida foi W =,2, K = 4 5,288,9354 3,487 ], (27) e de (2) o custo guarantido J ˆ < (ˆx ˆx r ) P(ˆx ˆx r ) < W =,2. Os resultados correspondentes aos Teoremas com σ(t) = σ(kt) e Teorema 3 com u i (t) = u i (kt) são ilustrados nas Figuras 2-5 para uma condição inicial nula. Dentre os resultados apresentados, note que para este conversor, o custo garantido obtido com o Teorema 3 é menor do que o custo garantido obtido utilizando as condições mais conservadoras fornecidas pelo Teorema (Deaecto et al., 2). Destaca-se também a proximidade entre o limitante superior obtido através do Teorema 3 e o custo funcional J, ˆ e este fato demonstra a qualidade da metodologia proposta neste estudo. Entretanto,opicodecorrentenoindutori (t)obtido com a estratégia de chaveamento (2) é mais e- levado. Ademais, observe que quando o conversor - Buck opera com uma frequência de chaveamento limitada, o método de projeto proposto faz com que o vetor de estado convirja para uma pequena vizinhança do ponto de equilíbrio. Observação 3 É importante destacar que para implementar as estratégias de chaveamento relacionadas aos Teoremas e 3 é necessário considerar a informação completa do vetor ponto de equilíbrio. Entretanto, observe de (25) que caso haja incertezas politópicas (ou falhas estruturais) na planta do conversor - Buck, não é possível implementar diretamente as estratégias de controle relacionadas aos Teoremas e 3.

6 x(t) = i(t) A] x2(t) = V(t) V] u(t), ] custo Teorema 3 Teorema Figura 2: orrente no indutor i (t). Teorema Teorema 3 x x 3 Figura 3: Tensão no capacitor V (t) x Figura 4: Sinal da chave u(t) - Teorema 3. x 3 cust. gar. Teor. 3 cust. func. Ĵ x 3 cust. gar. Teor. cust. func. J Figura 5: ustos para o conversor - Buck. 5 onclusões Neste trabalho foi apresentado um estudo sobre estabilidade e projeto de controle para sistemas chaveados afins. Inicialmente, foi proposto um novo teorema para o projeto de controle de sistemas chaveados afins, o qual propõe resultados sobre estabilidade uniforme ultimate bounded e projeto de controladores com frequência de chaveamento limitada. Posteriormente, uma nova condição menos conservadora foi obtida a fim de flexibilizar um índice de desempenho, custo garantido. A teoria desenvolvida foi aplicada em um conversor - Buck. Agradecimentos Os autores agradecem a APES, ao NPq e a FAPESP (2/76 ) pelo apoio financeiro. Referências Bolzern, P. and Spinelli, W.(24). Quadratic stabilization of a switched affine system about a nonequilibrium point, Vol. 5, Proc. of the American ontrol onf., pp Boyd, S., Ghaoui,., Feron, E. and Balakrishnan, V. (994). inear Matrix Inequalities in System and ontrol Theory, Vol. 5 of SIAM, 2nd edn, SIAM, Philadelphia. ardoso, B. J., Moreira, A. F., Menezes, B. R. and ortizo, P.. (992). Analysis of switching frequency reduction methods applied to sliding mode controlled D-D converters, Proc. 7th Annual onf. on Appl. Power Electr., IEEE, Boston, pp orless, M. and eitmann, G. (98). ontinuous state feedback guaranteeing uniform ultimate boundedness for uncertain dynamic systems, IEEE Trans. on Autom. ontrol 26(5): Deaecto, G. S., Geromel, J.., Garcia, F. S. and Pomilio, J. A. (2). Switched affine systems control design with application to D- D converters, IET ontrol Theory & Appl. 4(7): 2 2. Decarlo, R. A., Branicky, M. S., Pettersson, S. and ennartson, B. (2). Perspectives and results on the stability and stabilizability of hybrid systems, IEEE Proc. 88(7): Dorato, P. (96). Short time stability in linear time-varying systems, Polytechnic Institute of Brooklyn, New York. Erickson, R. W. (2). D-D Power onverters, John Wiley & Sons, Inc., New York. Geromel, J.. and olaneri, P. (26). Stability and stabilization of continuous-time switched linear systems, SIAM J. ontrol and Optim. 45(5): iberzon, D. and Morse, A. S. (999). Basic problems in stability and design of switched systems, IEEE ontrol Systems 9(5): Scharlau,.., de Oliveira, M.., Trofino, A. and Dezuo, T. J. M. (24). Switching rule design for affine switched systems using a max-type composition rule, Systems & ontrol etters (Print) 68: 8. Yoshimura, V.., Assunção, E., dasilva, E.R.P., Teixeira, M.. M. and Mainardi Júnior, E. I. (23). Observer-based control design for switched affine systems and applications to D-D converters, J. of ontrol, Autom. and Electr. Systems 24(4):