PROJETO DE PESQUISA. Prof. Roman Kuiava Universidade Federal do Paraná (UFPR) Departamento de Engenharia Elétrica

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1 PROJETO DE PESQUISA Estudo de estabilidade a grandes e pequenas perturbações considerando transições entre pontos de equilíbrio (ou operação): uma aplicação em sistemas elétricos com geração distribuída Autor: Instituição: Prof. Roman Kuiava Universidade Federal do Paraná (UFPR) Departamento de Engenharia Elétrica Curitiba, 8 de abril de 2011

2 1 1 Introdução A idéia de estabilidade de sistemas elétricos de potência (tanto sistemas de geração/transmissão, como sistemas de distribuição com geradores de energia elétrica) está relacionada com o comportamento dinâmico do sistema quando o mesmo é retirado de uma condição de operação em equilíbrio (ou de regime permanente) por meio de uma perturbação ou distúrbio. Assim, a definição de estabilidade está associada, fundamentalmente, aos conceitos de condição inicial e perturbação. O período que segue logo após a ocorrência de uma perturbação é chamado de período transitório. Em sistemas elétricos de potência, a característica desse período é, por natureza, oscilatória. Quando essas oscilações são amortecidas ao longo do tempo e um ponto de equilíbrio é novamente alcançado, então, diz-se que o sistema é estável. Quando ocorre o contrário, o sistema é considerado instável. São infinitas as perturbações que podem ocorrer num sistema de potência, sendo que, de acordo com a natureza delas, derivam-se duas categorias de estabilidade: estabilidade a grandes perturbações (ou estabilidade transitória) e estabilidade a pequenas perturbações (ou também conhecida como estabilidade dinâmica) [1]. Essa classificação é bastante adequada, uma vez que ela define a abordagem matemática para se resolver o problema. A primeira categoria de estabilidade refere-se à capacidade do sistema em encontrar uma condição de operação em equilíbrio após ter sido submetido a perturbações severas (ou fortes). Uma forte perturbação pode ser caracterizada por um curto-circuito numa determinada linha ou ramo do sistema, pela perda de uma unidade geradora, pela entrada ou saída inesperada de cargas significativas, dentre outras. Nestas condições, o sistema se afasta do ponto de operação original e, para garantir a estabilidade do sistema, um novo ponto de operação estável deve ser alcançado. Desse modo, as não linearidades presentes nas equações que regem a dinâmica dos geradores devem ser levadas em consideração e a solução do problema de estabilidade a grandes perturbações envolve, então, a solução numérica de um conjunto de equações diferenciais não-lineares (já que o mesmo não apresenta uma solução analítica). O único controle efetivo para eliminar a falha do sistema é aquele associado às operações de chaveamento (disjuntores de potência, relés, chaves

3 2 seccionadoras), através da remoção da linha onde ocorreu a falta. Já a estabilidade a pequenas perturbações está relacionada, principalmente, ao comportamento dinâmico do sistema quando o mesmo é sujeito a perturbações de baixa magnitude, tais como, pequenas variações nas cargas do sistema. Neste caso, a solução do problema de estabilidade pode ser realizada admitindo-se a linearização das equações do modelo do sistema de potência em torno do ponto de operação inicial, resultando assim, num conjunto de equações diferenciais lineares (o qual pode ser resolvido por diversas técnicas associadas à teoria de sistemas lineares). Essa consideração é válida, uma vez que, após a ocorrência de uma pequena perturbação, o sistema irá oscilar em torno do ponto de operação inicial e retornar a ele (ou a um ponto de equilibrio muito próximo a ele) no caso do sistema ser considerado estável. Estudos de estabilidade (tanto a grandes, como a pequenas perturbações) envolvem também o conhecimento de regiões de estabilidade do sistema. Tais regiões permitem avaliar, por exemplo, se o sistema operando próximo a um determinado ponto de operação continuará com suas trajetórias próximas a esse ponto à medida que o tempo evolui. Este projeto de pesquisa tem como foco o emprego de geradores diretamente em sistemas de distribuição de energia elétrica. Esta prática exige que sejam desenvolvidos e implantados esquemas especiais de proteção (detecção de ilhamento de geradores, por exemplo), controle dos níveis de tensão das barras da rede, normas de regulamentação e despacho de geração [2]. Além destes, estudos de estabilidade transitória e a pequenas perturbações [3, 4] tem sido alvos de vários trabalhos recentes. Tais estudos têm mostrado que problemas de estabilidade podem ser observados, por exemplo, nas mudanças no perfil de tensão e na qualidade da potência entregue aos consumidores [4]. Segundo [2], o aumento da inserção da geração distribuída pode afetar significativamente todos os tipos de estabilidade, ou seja, a estabilidade de freqüência, de tensão e de ângulo do rotor. A Fig. 1 ilustra um arranjo bastante comum de sistema de geração distribuída. Ela mostra uma rede de distribuição dotada de um único alimentador (que conecta as barras 2 e 3) interligando a subestação de energia elétrica a um gerador elétrico (G) (ou a um parque de geração de energia elétrica, aqui representado por uma máquina equivalente) e a uma carga local (L).

4 3 Neste projeto de pesquisa consideraremos duas formas diferentes de geração: i) um turbo-gerador acoplado a uma turbina térmica. Este arranjo pode representar, na prática, uma planta de co-geração baseada no aproveitamento da queima do bagaço da canade-açucar para geração de energia elétrica, bastante usual no estado de São Paulo. ii) um gerador de indução acoplado a uma turbina eólica, podendo representar, de forma equivalente, um parque de geração de energia eólica. Figura 1: Diagrama unifilar de um turbo-gerador conectado a um sistema de distribuição. Conforme mostrado em [5] (considerando a inclusão de geradores síncronos) e em [6] (considerando a presença de geradores eólicos), um sistema de geração distribuída (como aquele mostrado na Fig. 1) pode ser descrito matematicamente por um modelo na forma de espaço de estados dado por ẋ(t) = f (x(t),λ(t)), (1) em que x(t) R n é o vetor com as variáveis de estado (ângulo do rotor do gerador, frequência, tensão de campo, dentre outras) e λ(t) R l é um vetor contendo os parâmetros do sistema sujeitos a sofrer variações ao longo do tempo (tais como, cargas). Um ponto de equilíbrio x e do sistema (1) (tal que f (x e,λ) = 0) é calculado a partir das condições de fluxo de carga do sistema de energia elétrica para uma condição de operação específica, ou seja, para um λ fixo. Vamos tomar o sistema ilustrado na Fig. 1 como exemplo. Supomos que uma condição de operação λ = λ 1 (associada a carga local L = L 1 ) corresponda ao ponto de equilíbrio x e1 e λ = λ 2 (cuja carga local se altera para L = L 2 ) ao ponto x e2. Essas condições de operação podem, evidentemente, se alternar ao longo do tempo.

5 4 O objetivo principal desta pesquisa é avaliar sob quais condições as variações ao longo do tempo entre os pontos de operação x e1 e x e2 (ou para o caso geral, x e1,x e2,,x es ) mantém o sistema operando de forma estável. Isto será feito tanto sob o ponto de vista de estabilidade a grandes perturbações (levando em conta que x e1,x e2,,x es podem estar distantes entre si no espaço R n ), como também sob o ponto de vista de estabilidade a pequenas perturbações (em que x e1,x e2,,x es estão próximos entre si no espaço R n ). A importância desse estudo para sistemas de distribuição com a presença de geradores (tanto síncronos, como de indução) reside no fato de que a freqüência de eventos de natureza descontínua (por exemplo, faltas permanentes ou temporárias, ou mesmo manobras envolvendo desligamentos programados) é maior nos sistemas de distribuição do que em redes de transmissão. Em termos do modelo (1), isso equivale a dizer que a freqüência na qual o vetor de parâmetros sofrerá variações descontínuas será maior do que aquela observada nos modelos de sistemas de geração e transmissão de grande porte. Esse estudo será feito a partir de uma representação do sistema (1) na forma de um sistema chaveado com sinal de chaveamento dependente do tempo, o qual é discutido em detalhes na próxima seção. 2 Sistemas chaveados Sistemas chaveados contínuos no tempo são tipicamente representados por equações escritas na forma geral ẋ(t) = f σ( ) (x(t)), x(t 0 ) = x 0, (2) em que x(t) R n é o estado, t 0 é o instante de tempo inicial e σ é uma função chamada de sinal de chaveamento. Esta função σ pode ser dependente do tempo (quando ela depende apenas de t), ou dependente do estado (quando ela é dependente do valor do estado x no instante t) ou dependente de chaveamentos passados, o que significa que o sinal de chaveamento exibe algum grau de memória. Neste trabalho considera-se que o sinal de chaveamento é dependente apenas do tempo t, então σ é uma função definida como σ(t) : I = [t 0,t 0 + T f ) S, sendo T f

6 5 uma constante (finita) conhecida ou T f = e S = {1,...,N} é um conjunto finito de números inteiros. Portanto, dado um conjunto de campos vetoriais (ou subsistemas) { f 1,..., f N }, o sinal de chaveamento é tal que f σ(t) { f 1,..., f N }, para cada t [t 0,t 0 +T f ). Isto obviamente impõe uma descontinuidade em f σ(t), uma vez que este vetor deve saltar instantaneamente de f i para f j para algum i j, i, j S, sempre que um chaveamento ocorre. Os instantes de tempo na qual f σ(t) é descontínua, ou seja, t 1,t 2,...,t k,... I (t 0 < t 1 < t 2 < < t k < ), são chamados de instantes de chaveamento. Também é dito que o subsistema i k S está ativo quando σ(t) = i k, t [t k,t k+1 ). Iremos também assumir que o comportamento de σ(t) é dado por σ(t) = i k S = {1,...,N}, t [t k,t k+1 ), (3) em que t k e t k+1 são dois instantes consecutivos de chaveamento que satisfazem t k+1 t k T, (4) para todos os instantes de chaveamento t 1,t 2,...,t k,t k+1,... I e o índice i k S é selecionado arbitrariamente em cada um destes instantes de chaveamento. Também, T é um número positivo chamado na literatura de tempo de permanência do sinal de chaveamento σ(t). Definição 1 Um número positivo T é dito ser o tempo de permanência do sinal de chaveamento σ se o intervalo de tempo entre dois quaisquer instantes consecutivos de chaveamento k e k +1 não for inferior à T [7]. Direcionando a formulação teórica de sistemas chaveados apresentada anteriormente para o problema da área de sistemas elétricos de potência em estudo nessa pesquisa, devemos considerar que cada subsistema ẋ(t) = f i (x(t)), i S, corresponda a uma condição de operação em particular do sistema elétrico, como exemplificado na seção anterior ao considerar λ = λ 1 para a condição de carregamento L = L 1 e λ = λ 2 para a condição de carregamento L = L 2. Seguindo este caminho, temos que o subsistema ẋ(t) = f i (x(t)) corresponde à condição de carregamento

7 6 L = L i. Com relação à definição do sinal de chaveamento na forma (3)-(4), temos que o intervalo de tempo entre dois instantes sucessivos quaisquer de chaveamento não deve ser inferior ao tempo de permanência T. Em outras palavras, supondo que no instante t k o nível de carregamento do sistema é L i, então uma mudança de carregamento de L i para L j em t k+1 só deve ocorrer após passados com relação à t k um tempo igual ou superior ao tempo de permanência T. Tendo em vista que as concessionárias de distribuição possuem bancos de dados e históricos bastante consistentes a respeito da operação do sistema, pode ser possível conhecer (ou estimar) o tempo de permanência T de um determinado sistema. Caso não seja possível obter tal valor, pode ser possível estimar o menor valor de T de forma que o sistema continue operando de forma estável. A análise do comportamento dinâmico de sistemas chaveados contínuos no tempo escritos na forma geral (2) têm sido feita por diversos autores, cujos estudos são em sua maioria focados em estabilidade [8, 9, 7], controlabilidade, observabilidade [10, 11] e o projeto de controladores com estabilidade e desempenhos desejados [12, 13]. Em geral, os principais resultados nestas áreas assumem que todos os subsistemas de (2) compartilham de um mesmo ponto de equilíbrio (tipicamente a origem x = 0, ou seja, f i (0) = 0 para todo i = 1,...,N). Assim sendo, o problema de estabilidade destes sistemas consiste essencialmente em investigar a estabilidade da origem x = 0 [12, 14, 15, 16]. Neste sentido, alguns resultados de estabilidade assintótica do ponto de equilíbrio na origem podem ser obtidos a partir de métodos diretos, fazendo uso de funções de valores escalares (ou funções de Lyapunov). Pelo uso de métodos diretos, a estabilidade assintótica da origem é garantida se existir uma função de Lyapunov v(x(t)) comum a todos os subsistemas { f 1,..., f N }, e que seja continuamente diferenciável, definida positiva e que satisfaça v x f i < λ i v, λ i > 0, i = 1,...,N, x 0. (5) A existência de uma função de Lyapunov comum a todos os subsistemas { f 1,..., f N } garante que o ponto de equilíbrio x = 0 é globalmente assintóticamente estável para qualquer sinal de chaveamento [12]. No entanto sabe-se que, dependendo do comportamento do sistema e suas

8 7 dimensões, a busca por uma solução factível para a inequação (5) pode ser uma tarefa extremamente difícil ou, até mesmo, a solução pode nem mesmo existir, uma vez que certos sistemas chaveados podem ser estáveis apenas para alguns sinais de chaveamento restritos. Para estudar a estabilidade destes sistemas, a imposição de uma função de Lyapunov comum a todos os subsistemas pode ser substituída pela existência de uma família de funções de Lyapunov {V 1 (x(t)),...,v N (x(t))}, todas elas continuamente diferenciáveis, radialmente ilimitadas, definidas positiva, e que satisfaçam as condições V i x f i < λ i V i, λ i > 0, i = 1,...,N, x 0. (6) e, V ik+1 (x(t k )) V ik (x(t k )), (7) para todo instante de chaveamento t k I na qual a função σ é chaveada de i k para i k+1, em que i k,i k+1 S, i k i k+1 [8, 7]. Ao contrário da condição (5), esta última abordagem permite a ocorrência de certas descontinuidades (nos instantes de chaveamento) da função de Lyapunov v(x(t)) = V σ(t) (x(t)), o que parece ser bastante atrativo para a análise de estabilidade de sistemas chaveados. A estabilidade assintótica da origem é então verificada quando os subsistemas { f 1,..., f N } são individualmente estáveis (condição (6)) e v(x(t)) é uniformemente decrescente para todo t I (condição (7)). Um resultado menos conservativo (em comparação com ambas condições (6) e o par (7)- (8)) é proposto em [9, 12], onde a condição de decrescimento uniforme imposto às funções de Lyapunov é relaxada. Basicamente, ela é substituída por uma condição mais fraca que impõe que a sequência v(x(t k )), t 0,t 1,...,t k,... I deve convergir uniformemente a zero, em que v(x(t k )) = V ik (x(t k )) quando σ é chaveado para o modo i k no instante de chaveamento t k. Em outras palavras, é requerido que V ik+1 (x(t k+1 )) V ik (x(t k )), i k,i k+1 S, i k i k+1, (8)

9 8 para todos instantes sucessivos de chaveamento k e k + 1, onde σ(t) = i k S, t [t k,t k+1 ). Além disso, os resultados de estabilidade mostrados em [9, 12] nos permitem estimar um tempo de permanência mínimo (ou do inglês, dwell-time para o sinal de chaveamento σ que garante estabilidade assintótica para o sistema chaveado pela solução de um problema de otimização constituído por um conjunto de inequações de Lyapunov. Para a forma linear de (2), pode ser mostrado que é sempre possível manter a estabilidade quando todos os subsistemas são estáveis e o chaveamento é lento o suficiente, no sentido de que o tempo de permanência é suficientemente grande. Uma estimativa do tempo de permanência mínimo que garante estabilidade para a forma linear de (2) pode ser computado pela solução de um certo problema de otimização formulado em termos de um conjunto de desigualdades matriciais lineares. Em outras palavras, o cálculo deste tempo de permanência nos fornece uma estimativa do tempo mínimo necessário entre chaveamentos sucessivos para assegurar que as trajetórias irão convergir assintóticamente para o ponto de equilíbrio na origem. 3 Proposta de Pesquisa Percebe-se, nesse momento, que todas as abordagens de análise de estabilidade discutidas na seção anterior buscam impor condições para que o ponto de equilíbrio na origem x = 0, o qual é um equilíbrio em comum para cada sistema f i (x(t)), i S, seja globalmente assintóticamente estável. Além do mais, por ser globalmente estável, isso significa que ele é o único ponto de equilíbrio do sistema chaveado (2). Claramente, isso ocorre também para o caso linear, onde o único ponto de equilíbrio em comum entre os sistemas ẋ(t) = A i x(t), i S, é também a origem (levando-se em conta que A i é uma matriz não-singular, para todo i S). Para o problema que se pretende investigar nessa pesquisa, devemos considerar que cada sistema f i (x(t)), i S, possa estar associado a um ponto de equilíbrio x ei em particular (estando ele na origem ou não), o qual é referente à uma determinada condição de operação do sistema. Uma abordagem interessante envolvendo estabilidade e estabilização de sistemas chaveados sem um ponto de equilíbrio em comum aos subsistemas de (2) é proposta em [17, 18, 19, 20]

10 9 em termos de estabilidade prática (tradução literal do termo em inglês practical stability). Essencialmente, este conceito lida com dois conjuntos Ω 1 R n e Ω 2 R n satisfazendo Ω 1 Ω 2, os quais são especificados para o estado inicial x(t 0 ) e para todo o estado x(t), t I, respectivamente. Estes dois conjuntos não precisam incluir necessariamente a origem e eles podem ser especificados em termos de restrições físicas das variáveis do sistema em estudo. A estabilidade prática requer que se o estado inicial x(t 0 ) estiver em Ω 1, então o estado x(t) deve permanecer em Ω 2 para todo t I [18]. Então, diferente da definição clássica de estabilidade a qual é baseada na existência de Ω 1 para qualquer Ω 2, aqui ambos os conjuntos Ω 1 e Ω 2 são pré-especificados e, portanto, eles não variam. Assim sendo, estabilidade com relação à um conjunto, e não à um ponto em particular, é a base do conceito de estabilidade prática. Direcionando o conceito de estabilidade prática apresentado anteriormente para o problema de estabilidade em sistemas de energia elétrica, podemos associar o conjunto Ω 2 à uma determinada região de operação do sistema elétrico. Esta região pode ser definida a partir de limitantes superior e inferior para as grandezas do sistema (como frequência, ângulo do rotor, tensão de campo, dentre outras). Por outro lado, o conjunto Ω 1 pode ser determinado a partir de um estudo dos diversos tipos de perturbações que o sistema está sujeito à sofrer durante um determinado período de operação. No interior do conjunto Ω 2 estariam incluídos também os pontos de operação (ou de equilíbrio) do sistema (ou seja, x e1,x e2, ). A partir desta caracterização do sistema elétrico, o problema de estabilidade consiste em avaliar se o sistema é estável (no sentido dado pelo conceito de estabilidade prática) para os conjuntos Ω 1 e Ω 2 pré-especificados de uma investigação das condições operativas do sistema. Caso seja confirmado que o sistema é praticamente estável para tais conjuntos, então, num sentido prático, o conjunto Ω 2 poderia ser definido como sendo uma região de estabilidade para o sistema de energia elétrica. Pelo conhecimento desta região de estabilidade pode ser possível avaliar se o sistema operando no interior de Ω 2 continuará com suas trajetórias neste conjunto, mesmo que certas variações de carregamento ocorram de modo a alterar os pontos de operação do sistema ao longo do tempo. Como no caso da teoria clássica de estabilidade de Lyapunov utilizada para analisar a estabilidade assintótica de sistemas chaveados com um ponto de equilíbrio em comum aos subsistemas

11 10 de (2), os resultados de estabilidade prática propostos em [18, 19] são também baseados em métodos diretos, fazendo uso de uma função auxiliar de Lyapunov v(x(t)) comum a todos os subsistemas, a qual deve satisfazer algumas condições para { f 1,..., f N }. É importante enfatizar, no entanto, que esta função v(x(t)) tem propriedades que se diferenciam significativamente das funções usuais de Lyapunov encontradas na teoria clássica de estabilidade de Lyapunov, como discutido em [18, 19]. Então, tendo como motivação os estudos realizados em [18, 19], esta pesquisa se propõe a obter, primeiramente, novos resultados de estabilidade prática de sistemas chaveados na forma dada por (2) sem a existência de um ponto de equilíbrio em comum entre os seus subsistemas e, além disso, considerando que σ(t) é definido na forma (3)-(4). Usando estes resultados teóricos, uma próxima etapa da pesquisa consiste em aplicá-los ao problema de estabilidade a grandes perturbações de sistemas de distribuição com a presença de geradores (síncronos ou de indução, conforme apresentado na seção 1). Quanto ao estudo de estabilidade a pequenas perturbações, podemos trabalhar numa abordagem linearizada de f i (x(t)), na vizinhança de seu ponto de equilibrio x ei. Da teoria de linearização por séries de Taylor, sabe-se que um modelo linearizado de ẋ(t) = f i (x(t)) com relação ao ponto de equilíbrio x ei é dado por ẋ i (t) = A i x i (t), onde x i (t) = x(t) x ei. Pela alteração da origem do sistema de coordernadas imposta pelo processo de linearização (veja que agora o vetor de estados é x i (t) e não mais x(t)), o ponto de equilíbrio do modelo linearizado é x i (t) = 0, para todo i S. Porém, é possível preservar a origem do sistema de coordenadas do sistema não-linear escrevendo ẋ i (t) = A i x i (t) ẋ i (t) ẋ ei = A i (x(t) x ei ) ẋ i (t) = A i x(t) A i x ei ẋ i (t) = A i x(t) b i, (9) onde b i = A i x ei. Para verificar, veja que o ponto de equilíbrio x ei de (9) é dado por x ei = A 1 i i b i = A 1 ( A i x ei ) = x ei, ou seja, é exatamente o ponto de equilíbrio do sistema nãolinear para o estado de operação i. Com isso, podemos apresentar o seguinte sistema chaveado

12 11 afim ẋ i (t) = A σ(t) x(t) b σ(t). (10) Com base neste desenvolvimento, esse projeto de pesquisa propõe estender os resultados teóricos obtidos para o sistema chaveado (2), para a análise de estabilidade a pequenas perturbações de redes de distribuição com a presença de geradores (síncronos e/ou de indução) usando-se uma representação matemática do sistema em estudo na forma de um sistema chaveado afim definido por (9). 4 Considerações finais O interesse e a motivação em se trabalhar com sistemas chaveados, mas especialmente aqueles que apresentam múltiplos pontos de operação, vem de um problema que surgiu a alguns anos atras, durante pesquisas realizados pelo prof. Rodrigo Andrade Ramos da EESC/USP (orientador de mestrado, doutorado e pós-doutorado do autor deste projeto de pesquisa). O problema em questão consistia em projetar controladores de amortecimento (os chamados PSS, ou Power System Stabilizers) para sistemas elétricos de potência a partir de modelos que representassem, de forma satisfatória, as alterações nos pontos de (operação) equilíbrio do sistema. Para isso, a idéia era obter uma representação do sistema em estudo na forma de um modelo linear com incertezas politópicas [21] e aplicar, no modelo resultante, uma técnica de controle robusto (a metodologia proposta pode ser vista [22]). Tal modelo politópico era construído, então, a partir da linearização do sistema não-linear original com relação à diversos pontos de equilíbrio. O problema dessa formulação vem do fato de que o modelo politópico é construído a partir da linearização do sistema não-linear original em diversos pontos de equilíbrio de interesse, mas, o modelo com incertezas resultante desse processo apresenta como único ponto de equilíbrio a origem, e isso é devido às mudanças da origem do sistema de coordenadas ocorridas durante o processo de linearização do sistema, conforme já discutido na seção anterior. Conclui-se então que o modelo politópico pode ser uma boa representação local de cada ponto de equilíbrio do sistema, mas não é totalmente adequado para representar as transições que ocorrem entre tais

13 12 pontos. Uma possível solução para esse problema surgiu durante o estágio no exterior realizado pelo autor deste projeto de pesquisa na UNSW@ADFA (University of New South Wales at Australian Defence Force Academy, Canberra, Australia). A partir de discussões com o prof. Hemanshu R. Pota (seu supervisor de estágio), surgiu a idéia de trabalhar com um modelo afim, pois o mesmo poderia ser utilizado como uma aproximação linearizada do sistema não-linear original com relação a um ponto de equilíbrio específico, mas mantendo a origem do sistema de coordenadas do sistema original. A partir desse ponto inicial, surgiu então a idéia de se trabalhar com sistemas chaveados afins (para caracterizar diferentes pontos de equilíbrio do sistema) e na formulação de condições de estabilidade para tais sistemas. Nisso, outros professores se envolveram diretamente nessa pesquisa, sendo eles, o próprio prof. Rodrigo Andrade Ramos e o prof. Luis Fernando Costa Alberto (também da EESC/USP). Com base nessas considerações, torna-se importante mencionar que as pesquisas que eventualmente forem realizadas na área proposta por esse projeto irão contar com a participação e colaboração dos professores acima citados. Referências [1] P. Kundur, Power System Stability and Control. McGraw-Hill, [2] P. Gomes, M. T. Schilling, and e. a. J. W. M. Lima, Geração distribuída: vantagens, problemas e perspectivas, in XII Seminário Nacional de Produção e Transmissão de Energia Elétrica, [3] F. V. Edwards, J. W. Dudgeon, J. R. MacDonald, and W. E. Leithead, Dynamic of distribution networks with distributed generation, in Proc. of the IEEE PES General Meeting. Seattle, USA: IEEE, July [4] R. Kuiava, R. A. Ramos, R. V. de Oliveira, and N. G. Bretas, An analysis of the potential impacts of electromechanical oscillations on the stability and power quality of distributed

14 13 generation systems, in Proc. of the IEEE PES General Meeting. Pittsburgh, USA: IEEE, July [5] R. Kuiava, Projeto de controladores para o amortecimento de oscilações em sistemas elétricos com geração distribuida, Ph.D. Thesis, EESC/USP, Sao Carlos, Brazil (In Portuguese), [6] J. Hossain, H. R. Pota, V. Ugrinovskii, and R. A. Ramos, A novel statcom control to augment lvrt of fixed speed wind generators, in Proc. of the IEEE Conf. on Dec. and Contr. Shanghai, China: IEEE, December [7] H. Lin and P. J. Antsaklis, Stability and stabilizability of switched linear systems: a survey of recent results, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 54, no. 2, pp , [8] J. P. Hespanha, Uniform stability of switched linear systems: extensions of lasalle s invariance principle, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 49, no. 4, pp , [9] J. C. Geromel and P. Colaneri, Stability and stabilization of continuous-time switched linear systems, SIAM Journal on Control and Optimization, vol. 45, no. 5, pp , [10] A. Bemporad, G. Ferrari-Trecate, and M. Morari, Observability ad controllability of piecewise affine and hybrid systems, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 45, no. 10, pp , [11] J. P. Hespanha, D. Liberzon, D. Angeli, and E. D. Sontag, Nonlinear norm-observability notions and stability of switched systems, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 52, no. 2, pp , [12] P. Colaneri, J. C. Geromel, and A. Astolfi, Stabilization of continuous-time switched nonlinear systems, Systems & Control Letters, vol. 57, no. 1, pp , 2008.

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