Condição de equações de Lyapunov acopladas generalizadas para a estabilidade exponencial estocástica dos sistemas singulares com saltos Markovianos

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1 Condição de equações de Lyapunov acopladas generalizadas para a estabilidade exponencial estocástica dos sistemas singulares com saltos Markovianos Amanda L. P. Manfrim, Depto de Ciências Exatas, FCAV, UNESP, , Jaboticabal, SP amanda@fcav.unesp.br, Eduardo F. Costa Depto de Matemática Aplicada e Estatística, ICMC, USP, Campus de São Carlos , São Carlos, SP efcosta@icmc.usp.br, Marco H. Terra Depto de Engenharia Elétrica, EESC, USP, Campus de São Carlos , São Carlos, SP terra@sc.usp.br. Palavras-chave: Estabilidade exponencial, sistemas estocásticos, cadeia de Markov Resumo: Este trabalho refere-se à estabilidade exponencial dos sistemas lineares singulares discretos com saltos de Markov. É proposto um conjunto de equações de Lyapunov acopladas generalizadas que determina uma condição necessária para verificar essa propriedade desta classe de sistemas. 1 Introdução Os sistemas singulares têm despertado interesse considerável na literatura devido ao fato desta classe ser apropriada para modelar sistemas que são muito utilizados em diversas áreas. Exemplos clássicos de aplicação são encontrados em modelagem de sistemas: aeronáuticos [22], de circuitos [18], [19], econômicos [14], interconectados em larga escala [13], robóticos [7], [12] e com processos químicos [11], [6]. Outra classe de sistemas que tem recebido grande atenção é a dos sistemas estocásticos, cuja evolução é influenciada por fatores aleatórios. Falhas, reparos em máquinas e modificações em parâmetros de sistemas são exemplos clássicos em que o uso exclusivo de argumentos determinísticos não é apropriado. Uma abordagem importante dessa classe de sistemas é baseada em modelos com saltos Markovianos nos parâmetros, que vem se tornando muito popular por possuírem propriedades eficientes para descrever este tipo de comportamento em sua dinâmica, veja [4], [23], [17], e as suas referências. Exemplos de aplicação podem ser encontrados em [5] e [21]. Ao incorporar saltos de Markov nos parâmetros de um sistema singular convencional, obtémse uma classe bastante ampla de sistemas, denominada de sistemas lineares singulares sujeitos a 291

2 saltos Markovianos SLSSM). Esta classe tem grande potencial de aplicações em sistemas físicos e econômicos, veja por exemplo [10] e [20]. O objetivo deste trabalho é obter um método que possa resolver as equações de Lyapunov que surgem na análise da estabilidade de SLSSM, cujas soluções apresentam um grau elevado de dificuldade. As equações de Lyapunov acopladas generalizadas ELAG) para SLSSM em tempo discreto que são consideras neste artigo, servem para caracterizar a estabilidade exponencial do sistema. Esta análise exponencial da estabilidade estocástica complementa os resultados apresentados em [15], onde estabelecemos uma condição de Lyapunov para a estabilidade na média quadrática de SLSSM. Nesse trabalho, é apresentado um conjunto de equações de Lyapunov acopladas generalizadas ELAG) para SLSSM em tempo discreto que estendem resultados apresentados em [8] e [9], para sistemas singulares convencionais, e os resultados apresentados em [2], para os sistemas lineares singulares sujeitos a saltos Markovianos SLSM) convencionais. Essas ELAG servem para caracterizar a estabilidade exponencial do sistema. Essa análise exponencial da estabilidade estocástica complementa os resultados apresentados em [15] onde estabelecemos uma condição de Lyapunov para a estabilidade na média quadrática de SLSSM e [16]. 2 Notações e Conceitos Preliminares Nesta seção, apresentamos as notações para referência posterior. R n denota o espaço linear Euclidiano de dimensão n, R r,n respectivamente, R n ) o espaço linear normado formado por todas as matrizes reais de dimensão r n respectivamente, n n) e R n0 R n+ ) o cone convexo fechado das matrizes simétricas semidefinidas positivas o cone aberto das matrizes simétricas definidas positivas); U denota o transposto de U, U V U > V) significa que U V R n0 U V R n+ ). Seja M n,q o espaço linear formado por um número N de matrizes tais que M n,q = U = U 1,...,U N ) : U i R n,q, i = 1,...,N ; ainda, M n M n,n. Denotamos como M n0 M n+ ) o conjunto M n quando ele é constituído de U i R n0 U i R n+ ) para todo i = 1,...N. Define-se, também, como U V U > V) a representação de U i V i U i > V i ), para cada i = 1,...,N; estendemos, de forma análoga, esta representação para as outras relações matemáticas. Para U M n0, definimos U = max 0 i N σu i ), sendo σu i ) o maior valor singular de U i, e denotamos U i j,l) como a j-ésima linha e l-ésima coluna da matriz U i. Denotamos, sempre que não houver risco de confusão, o valor esperado condicional E x 0, θ 0 simplesmente por E e a variância por Var ). Com o objetivo de desenvolver as ELAG para os SLSSM, é apresentado, ainda nesta seção, alguns conceitos preliminares. Considere o sistema Ψ dado por Ψ : S θk) xk +1) = F θk) xk)+g θk) uk), para k = 0,1,..., sendo o par xk), θk)) o estado do sistema, com θ T = 1,...,N, chamado de variável de salto ou modo e xk) a variável do sistema dinâmico associado a cada modo θk), yk) a saída do sistema e uk) a entrada de controle do sistema. θk) é o estado de uma cadeia de Markov discreta no tempo com espaço de estado finito e com matriz de probabilidade de transição P = [p ij ], i,j = 1,...,N, tal que p ij := P θk +1) = j θk) = i) é a probabilidade do sistema passar do modo de operação i para j; portanto p ij 0 deve ser satisfeita, para i,j T e, para cada i, N j=1 p ij = 1. Define-se a distribuição da cadeia de Markov, dada por π i k), como π i k) = P θk) = i) sempre que i T. Sempre que θk) = i e θk+1) = j, S θk) = S i, F θk) = F i, G θk) = G i e H θk) = H i, sendo S i uma matriz singular, com postos i ) = r i n. Considera-se os seguintes conjuntos de matrizes conhecidas de dimensões apropriadas S = S 1,..., S N ), F = F 1,..., F N ) e G = G 1,..., G N ) 292

3 Com o objetivo de estabelecer uma condição de ELAG para a estabilidade estocástica exponencial, é apresentado, na sequencia, alguns resultados encontrado na literatura de sistemas estocásticos, veja [4] e referências nele citadas. Definição 1. Dizemos que o Sistema Ψ é estocasticamente exponencialmente estável se para algum β 1, 0 < ζ < 1, temos para todo x0) admissível e todo θ0) Θ, E xk) 2 βζ k x0) 2, k 0. O próximo resultado se refere a observabilidade que é uma propriedade fundamental a ser verificada na análise da estabilidade do Sistema Ψ, veja [1]. Definição 2. Considere S R n, F = F 1,..., F N ) M n e Q = Q 1,..., Q N ) M n0. O Sistema Ψ é observável em Q, ou S, F, Q) é observável, se para todo k 0 existirem γ > 0 e T > 0, independentes de k e de θk) = θ k, tais que E k+t x t)q θt) xt) F k γ xk) 2. Atendendo a condição necessária e suficiente para a verificação da observabilidade no caso em que k = 0, temos que S θk) e F θk) não dependem explicitamente de k. Dessa maneira os seguintes lemas, apresentado em [16], são verificados. Lema 1. Considere Q θk) 0 R n, xk) estável e a função candidata de Lyapunov dada por T V xk),θk)) := E x t)q θt) xt) F k, 1) então E V xk),θk)) V xk +1),θk +1)) F k = x k)q θk) xk). 2) Lema 2. Se existirem Q θk) 0 R n e S i X θk)s i 0 R n tais que x k)s ix θk) S i xk) := E x t)q θt) xt) F k 3) então, para θk) = i T, S ix i S i = F i N p ij X j F i +Q i +F is 0i R i +R is 0 i F i, i T 4) j=1 nas quais R i R n r) n e S 0i é tal que S i S 0 i = 0. Observação 1. Note que 3) é válida considerando lim T T x t)q θk) xt) F k com termo final x T)S i M θt)s i xt), ou seja, Q θt) = S i M θt)s i. 293

4 3 Resultado Principal Nesta seção é apresentada uma análise de Lyapunov dos SLSSM que nos permite verificar a estabilidade estocástica exponencial. Esta é uma extensão dos resultados apresentados em [15]. As análises convencionais encontradas na literatura, veja por exemplo [10] e referências nela citada, não abordam estabilidade desta classe de sistemas Markovianos neste contexto. Teorema 1. Considere o Sistema Ψ regular estocasticamente, S, F, Q) observável e S 0i R n n r) posto coluna plena tal que S i S 0 i = 0, r i = postos i ). Seja a seguinte ELAG com variáveis X i, R i ) R n R n r) n S ix i S i = F i N p ij X j j=1 F i +F is 0 R i +R is 0F i +Q i, i T, 5) na qual S i, F i R n. Se existir uma solução para 5) com S i X is i 0, i T, então o Sistema Ψ é estocasticamente exponencialmente estável. Demonstração. Para mostrar a estabilidade, considere V xk),θk)) := E x t)q θt) xt) F k. Do Lema 1 temos que E V xk),θk)) V xk +1),θk +1)) F k = x k)q θk) xk), k 0. 6) Empregando propriedades básicas do operador E, de 6) temos que, para 0 k T, V x0),θ0)) E V x1),θ1)) F 0 = E x 0)Q θ0) x0) F 0 E. V xt 1),θT 1)) F 0 E V xt),θt)) = E x T 1)Q θt 1) xt 1) F 0. F 0 7) Somando todas as equações de 7) obtemos T 1 V x0),θ0)) E V xt),θt)) F 0 = E x t)q θt) xt) F 0. 8) Uma vez que S, F, Q) é observável, empregando a Definição 2, podemos reescrever 8) como V x0),θ0)) E V xt),θt)) F 0 γ x0) 2, 9) t=0 com γ > 0. Similarmente, para l > 1 N, temos que E V xlt),θlt)) F 0 E V xl+1)t),θl+1)t)) F 0 l+1)t) 1 = E x t)q θt) xt) F 0 > xlt) 2. t=lt 10) Para cada θk) conhecido, defina = sup σ S i X θk)s i )), k 0, então V xk),θk)) xk) 2, k 0, 11) 294

5 de 9) e 11) obtemos de 12) temos que V x0),θ0)) E Similarmente, para l > 1 N, obtemos E V xlt),θlt)) F 0 E então V xt),θt)) F 0 γ x0) 2 γ 1 V x0),θ0)), 12) E V xt),θt)) F 0 1 γ ) V x0),θ0)). 13) > γ E V xlt),θlt)) E V xl+1)t),θl+1)t)) De 15) podemos escrever E V xlt),θlt)) F 0 V xl+1)t),θl+1)t)) F 0 F 0 14) F 0 1 γ ) E V xlt),θlt)) 1 γ ) E V xl 1)T),θl 1)T)) F 0 1 γ ) 2E V xl 2)T),θl 2)T)) F 0 1 γ ) le. V x0),θ0)) F 0. 15) 16) F 0. T 1 k=0 x k)q θk) xk) F 0, ou Note que, da Definição 2, podemos escrever γ xk) 2 E seja, γ xk) 2 V xk),θk)). 17) Aplicando o valor esperado em 17), considerando k = lt, segue que γe xlt) 2 F0 E V xlt),θlt)) F 0. 18) Aplicando 11), 16) e 18), obtemos a seguinte desigualdade γe xlt) 2 F0 E V xlt),θlt)) F 0 1 γ lv x0),θ0)) ) 1 γ ) l x0) 2 19) assim, podemos reescrever 19) como segue E xlt) 2 F0 α x0) 2, 20) na qual α = 1 γ ) l. Desta maneira, para l suficientemente grande, α < 1 satisfazendo 1. Observação 2. Pode-se verificar de forma direta que, quando N = 1, as ELAG 5) se reduzem às ELG dos sistemas lineares singulares convencionais sem salto), veja [9]. Note que, como P = 1, podemos reescrever 5) como F 1X 1 F 1 S 1X 1 S 1 +F 1S 01 R 1 +R 1S 0 1 F 1 +C 1C 1 = 0. Além disso, fazendo S i = I para todo i T, espaço de estados usual, as ELAG 5) se reduzem às ELGA dos SLSM, veja [3], dadas por N X i = F i p ij X j F i +Q i. j=1 295

6 4 Conclusão Neste artigo propomos um conjunto de equações de Lyapunov Acopladas GeneralizadasELAG), para sistemas lineares singulares com salto de Markov, que é utilizado como uma condição suficiente para a estabilidade exponencial. Referências [1] Bender, D. 1987). Lyapunov-like equations and reachability/observabiliy gramians for descriptor systems. IEEE Transactions on Automatic Control 324), [2] Costa, E. F. e J. B. R. do Val 2002). Weak detectability and the linear-quadratic control problem of discrete-time Markov jump linear systems. International Journal of Control 7516), [3] Costa, O. L. V. e M. Fragoso 1995). Discrete-time LQ-optimal control problems for infinite Markov jump parameter systems. IEEE Transactions on Automatic Control AC-40, [4] Costa, O. L. V., M. D. Fragoso, e R. P. Marques 2005). Discrete-time Markov jump linear systems: Probability and its applications. Springer-Verlag, London. [5] do Val, J. B. R. e T. Basar 1999). Receding horizon control of jump linear systems and a macroeconomic policy problem. Journal of Economic Dynamics & Control 23, [6] Gilles, E. D. 1998). Network theory for chemical processes. Chemical Engineering and Technology 212), [7] Hemami, H. e B. Wyman 1979). Modeling and control of constrained dynamic systems with application to biped locomotion in the frontal plane. IEEE Transactions on Automatic Control 244), [8] Ishihara, J. Y. e M. H. Terra 2002). On the Lyapunov theorem for singular systems. IEEE Transactions on Automatic Control, Estados Unidos 47, [9] Ishihara, J. Y. e M. H. Terra 2003). A new Lyapunov equation for discrete-time descriptor systems. American Control Conference, ), [10] J. Lam, Z. Shu, S. X. e E. K. Boukas 2007). Robust H control of descriptor discrete-time Markovian jump systems. International Journal of Control 803), [11] Kumar, A. e P. Daoutidis 1995). Feedback control of nonlinear differential-algebraic equation systems. American Institute of Chemical Engineers Journal 413). [12] Lewis, F. L. 1986). A survey of linear singular systems. Circuits, Systems, and Signal Processing 51), [13] Luenberger, D. G. 1978). Time-invariant descriptor systems. Automatica 145), [14] Luenberger, D. G. e A. Arbel 1977). Singular dynamic Leontief systems. Econometrica 454), [15] Manfrim, A., M. Terra, E. Costa, e J. Ishihara 2008). Stochastic stability for discrete-time singular systems with Markov jump parameters. pp [16] Manfrim, A. L. P., M. H. Terra, E. F. Costa, e J. Y. Ishihara 2012). Stochastic exponential stability of singular linear system with Markov jump parameters. Proceedings of the 14th IASTED International Conference on Control and Applications,

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