Experimentos Numéricos em Algoritmo tipo Projeção para o Problema de Viabilidade Convexa

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS INSTITUTO DE INFORMÁTICA HEBERT COELHO DA SILVA Experimentos Numéricos em Algoritmo tipo Projeção para o Problema de Viabilidade Convexa Goiânia 2007

2 HEBERT COELHO DA SILVA Experimentos Numéricos em Algoritmo tipo Projeção para o Problema de Viabilidade Convexa Dissertação apresentada ao Programa de Pós Graduação do Instituto de Informática da Universidade Federal de Goiás, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ciência da Computação. Área de concetração: Otimização Orientador: Prof. Dr. Luis Román Lucambio Pérez Goiânia 2007

3 HEBERT COELHO DA SILVA Experimentos Numéricos em Algoritmo tipo Projeção para o Problema de Viabilidade Convexa Dissertação defendida no Programa de Pós Graduação do Instituto de Informática da Universidade Federal de Goiás como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ciência da Computação, aprovada em 29 de Junho de 2007, pela Banca Examinadora constituída pelos professores: Prof. Dr. Luis Román Lucambio Pérez Instituto de Informática UFG Presidente da Banca Prof. Dr. Rolando Garciga Otero COPPE UFRJ Prof. Dr. Orizon Pereira Ferreira Instituto de Matemática e Estatística UFG

4 Resumo da Silva, Hebert Coelho. Experimentos Numéricos em Algoritmo tipo Projeção para o Problema de Viabilidade Convexa. Goiânia, p. Dissertação de Mestrado. Instituto de Informática, Universidade Federal de Goiás. O problema de viabilidade convexa consiste em encontrar um ponto na interseção de conjuntos convexos. Uma abordagem para resolução deste problema é algorítmica utilizando a projeção. A projeção pode ser calculada explicitamente para alguns conjuntos como hiperplanos e semi-espaços, porém no caso geral não é simples. Nosso interesse é estudar esse problema, bem como sua solução, implementação e as alternativas quando o cálculo da projeção não é simples. Palavras chave Problema de Viabilidade Convexa e Algoritmos tipo projeção

5 Abstract da Silva, Hebert Coelho. Numeric experiments in Projection Algorithm for Convex Feasibility Problem. Goiânia, p. MSc. Dissertation. Instituto de Informática, Universidade Federal de Goiás. Finding a point in the intesection of convex sets is called Convex Feasibility Problem. Most algorithms to solve this class of problems use the projection mapping. The projection can be calculed for some simple sets as hiperplane, balls and etc. However in general it is not simple. Our interest is to study that problem, as well as its solution implementation and the alternatives when the calculation of the projection is not simple. Keywords Convex Feasibility Problem, Projection Algorithm

6 Sumário Introdução 6 1 Materiais Preliminares Noções de Topologia no IR n Tópicos de Convexidade Conjuntos Convexos O Operador Projeção Ortogonal Funções Convexas Matrizes Elipsóides 26 2 O Problema de Viabilidade Convexa O Problema de Viabilidade Convexa 28 3 Algoritmos tipo projeção O Algoritmo Principal O Caso Linear O caso não linear 35 4 Implementações Implementações projetando sobre C i Implementações utilizando super conjuntos 47 Conclusões 53 Referências Bibliográficas 54

7 Introdução O Problema de Viabilidade Convexa (PVC) consiste em encontrar um ponto em um conjunto convexo. Formalmente, sejam os conjuntos C 1,..., C m em IR n, convexos e fechados. O problema de viabilidade convexa, consiste em encontrar um ponto na interseção não vazia, C = C 1... C m. Uma abordagem para resolução deste problema é algorítmica. Neste trabalho, estamos interessados nos algoritmos tipo projeção. A idéia destes algoritmos é, a partir de um ponto inicial x 0, calcular as projeções P Ci (x 0 ) sobre cada conjunto C i, para i = 1,..., m. Então calcula-se uma direção D a partir da combinação linear convexa das projeções P Ci (x 0 ) e, caminha-se com um certo tamanho de passo α na direção D, a partir de x 0, obtendo um novo ponto x 1. Este processo é repetido até gerar uma seqüência de pontos que converge para o conjunto C. Existem diversas aplicações para o problema de viabilidade convexa, veja [2]. Podemos destacar em Teoria de Aproximação, mais especificamente em estatística, equações diferenciais parciais e análise de complexidade. Aplicabilidade se encontra na área médica em reconstrução de imagens, utilizadas em tomografia computadorizada e processamento de sinais. Por fim, podemos destacar aplicação em algoritmos de subgradiente, na solução de desigualdades convexas e minimização de funções convexas não suaves. Nosso objetivo neste trabalho, é estudar o problema de viabilidade convexa e implementar algoritmos tipo projeção para este problema. Para isso, dividiremos este texto em 4 capítulos. No capítulo 1, revisaremos alguns tópicos de topologia no IR n, estudaremos conceitos de análise convexa de conjuntos e funções, definindo a projeção sobre conjuntos convexos, enunciaremos alguns conceitos de matrizes e finalmente estudaremos um pouco sobre elipsóides, definindo sua forma matricial. Acreditamos obtermos um bom embasamento teórico para a compreensão dos demais capítulos.

8 7 No capítulo 2, definiremos o Problema de Viabilidade Convexa e comentaremos sobre as dificuldades encontradas na implementação dos algorimtos do tipo projeção para o PVC. Já no capítulo 3, estudaremos e enunciaremos o algoritmo tipo projeção que resolve o PVC. Abordaremos dois tipos principais de algoritmos e suas variantes, um primeiro que resolve o PVC onde os conjuntos são semiespaços fechados e um segundo tipo de algoritmo que resolve o problema para outros conjuntos convexos e fechados. Também, enunciaremos resultados de convergência. Por fim no Capítulo 4, apresentaremos as nossas implementações dos algoritmos tipo projeção, e suas variantes, para resolver o PVC.

9 Materiais Preliminares CAPÍTULO 1 Neste capítulo será apresentado conceitos básicos necessários ao bom entendimento do trabalho. Vamos iniciar com alguns conceitos de topologia no espaço Euclideano IR n, definindo alguns conjuntos e apresentando o teorema de Weierstrass. Estudaremos alguns tópicos de convexidade, com alguns fatos sobre projeção e funções convexas. Revisaremos algumas definições sobre matrizes positivas definidas e finalizaremos, com uma seção sobre elipsóides, definindo uma forma matricial para estes. Alguns teoremas serão apresentados sem suas demonstrações, em alguns casos devido ao fato do ferramental necessário para as demonstrações não fazer parte do escopo deste texto, em outros casos por se tratarem de exemplos. 1.1 Noções de Topologia no IR n Em nosso trabalho estaremos manipulando o espaço Euclideano IR n. As ênuplas (x 1, x 2,..., x n ) T, ou uma matriz coluna simplesmente chamada de vetor, serão a representação dos pontos de IR n. Usaremos indistintivamente as palavras pontos ou vetores. Para denotar as componentes x 1, x 2,... de um vetor x normalmente serão usados sub-índices, os super-índices denotam vetores em IR n. Dados x, y, z IR n e α IR, chamamos de produto interno uma operação que associa a cada par de vetores x e y o número real denotado por x, y, obedecendo as seguintes propriedades: (1) x, y = y, x ; (2) x, y + z = x, y + x, z ; (3) αx, y = α x, y ; (4) x, x > 0, se x 0.

10 1.1 Noções de Topologia no IR n 9 O produto interno canônico do espaço euclideano é definido por x, y = x T y = n x i y i. i=1 Quando x, y = 0, dizemos que os vetores x e y são ortogonais e escrevemos x y. Considere x, y IR n, α IR e α sendo o valor absoluto de α. A aplicação real. : IR n IR tal que: (1) x 0, onde x = 0 quando x = 0; (2) αx = α x ; (3) x + y x + y, é chamada de norma. Dado um produto interno qualquer,, a operação x, x define uma norma. Em especial se, é o produto interno canônico,. é chamado norma euclideana. O próximo resultado pode ser encontrado na página 3 em [9]. Teorema (Desigualdade de Schwarz) Para quaisquer x, y IR n, tem-se x, y x. y, valendo a igualdade se, e somente se, um dos vetores x, y é multiplo do outro. Demonstração: Para x = 0, temos 0, y = 0 = 0. y. Supondo x 0, podemos escrever α = O vetor z = y αx é ortogonal a x, pois x, z = x, y αx = x, y x, y x, x. x, y x, x = x, y x, y = 0. x, x Segue que, y 2 = z + αx, z + αx = z 2 + 2α z, x + α 2 x 2 = z 2 + α 2 x 2, logo y 2 α 2 x 2. Substituindo o valor de α temos y 2 x, y 2 x 2, ou seja, x, y 2 x 2 y 2, implicando x, y x. y. Vale a igualdade se, e somente se, z = 0, ou seja, y = αx.

11 1.1 Noções de Topologia no IR n 10 Com as definições de produto interno e norma, podemos agora definir alguns conjuntos de nosso interesse. Dados um ponto a IR n não nulo e um número real b IR, o conjunto H = {x IR n ; a, x = b} é chamado de hiperplano. Considerando os mesmo dados, os conjuntos H = {x IR n ; a, x b}, H + = {x IR n ; a, x b} (1-1) são ditos semi-espaços fechados gerados pelo hiperplano H, e H = {x IR n ; a, x < b}, H + = {x IR n ; a, x > b} são denominados semi-espaços abertos gerados pelo hiperplano H. conjunto Dados um ponto a IR n e um número real positivo δ > 0 IR, o B(a, δ) = {x IR n ; x a < δ}, é a bola aberta de centro a e raio δ. Analogamente, a bola fechada de centro a e raio δ é o conjunto B[a, δ] = {x IR n ; x a δ}. (1-2) Seja X IR n, dizemos que X é um conjunto limitado se estiver contido em alguma bola aberta de centro na origem, i.é., existe k > 0 tal que x k para todo x X. Um ponto a X IR n é dito ponto interior ao conjunto X quando, para algum r > 0, tem-se B(a, r) X. O conjunto dos pontos interiores a X será denotado por intx. O conjunto A IR n chama-se conjunto aberto quando A = inta. Uma seqüência em IR n é uma aplicação x : IN IR n, que associa a cada número natural k um vetor real x k, chamado de k-ésimo termo da seqüência. Denotaremos uma seqüência, cujo k-ésimo termo é x k, por {x k } e sua i-ésima coordenada por x k i, onde i = 1,..., n. Quando existe c > 0 tal que x k c, para todo k IN, {x k } é uma seqüência limitada. Isto é, quando existe uma bola em IR n que contém todos os termos da seqüência. Dizemos que um ponto a IR n é o limite de uma seqüência {x k }

12 1.1 Noções de Topologia no IR n 11 quando, para todo ɛ > 0 dado, é possível obter k 0 IN tal que k > k 0 x k B(a, ɛ). Neste caso, pode-se escrever lim k xk = a ou lim x k = a, e dizemos que {x k } converge ou tende para a. Uma seqüência {x k } em IR n é dita convergente quando o limite acima existe. Um ponto a X é aderente à X quando é limite de alguma seqüência de pontos em X, isto é, quando existe uma seqüência {x k } X tal que lim x k = a. O conjunto X formado por todos os pontos aderentes a X é chamado de fecho do conjunto X. Um conjunto X é fechado quando X = X. Ainda, um conjunto X é compacto em IR n quando é limitado e fechado. A interseção entre conjuntos fechados é também um conjunto fechado, vejamos o próximo resultado cuja demonstração pode ser encontrada em [8]. Teorema Suponha que C 1,..., C p são subconjuntos fechados de IR n. Então, é um conjunto fechado. C = C 1... C p (1-3) Demonstração: Se C = então C é fechado pois não existem pontos de aderência. Caso contrário, consideremos i = 1, 2,..., p e suponhamos um ponto c aderente a C arbitrário. Por hipótese, existe uma seqüência {x k }, x k C, para todo k IN, tal que lim x k = c. Segue de (1-3), que x k C i para todo i. Daí, c é aderente para cada C i. Como C i é fechado, então c C i, para todo i. Pela definição de interseção de conjuntos (1-3), c C. Portanto, C é fechado. Seja X IR n e uma função f : X IR n. Dizemos que f é contínua em a X quando lim k xk = a lim f(x k ) = f(a). k Diremos que f é uma aplicação contínua em X, quando f for contínua em todo ponto a X. O Teorema de Weierstrass garante que toda função contínua definida num conjunto compacto C, atinge seus valores mínimo e máximo em pontos de C. A demonstração do próximo resultado pode ser encontrada na página 7 em [6].

13 1.2 Tópicos de Convexidade 12 Teorema (Teorema de Weierstrass) Seja C IR n. Se f : C IR n é uma função contínua, então existem x 1, x 2 C tais que f(x 1 ) f(x) f(x 2 ) para todo x C. 1.2 Tópicos de Convexidade Para nossos estudos é fundamental o conceito de convexidade. Nesta seção, iremos definir conjuntos convexos e funções convexas e estudaremos algumas de suas características importantes Conjuntos Convexos Sejam dados dois vetores x, y IR n. O vetor z IR n é combinação linear convexa de x e y quando, z = λx + (1 λ)y, para λ [0, 1]. Em geral, dados p vetores x 1, x 2,, x p IR n, dizemos que z é combinação linear convexa desses p vetores quando, existem λ 1, λ 2,..., λ p [0, 1] tais que z = p λ i x i, e p λ i = 1. i=1 i=1 Considere X um subconjunto de IR n. Dizemos que X é um conjunto convexo quando a combinação linear convexa de dois pontos x, y X também pertence a X. Verifiquemos um conjunto convexo com o seguinte exemplo: Exemplo A bola fechada B[a, r] é um conjunto convexo. De fato, tomemos dois pontos x, y B[a, r], queremos verificar que para λ [0, 1] a combinação linear convexa λx+(1 λ)y está na bola B[a, r]. Como tomamos x, y B[a, r] e pela definição de bola fechada temos que x a r e y a r. (1-4) Agora note que, com algumas manipulações algébricas λx + (1 λ)y a = λx λa + (1 λ)y (1 λ)a λ x a + (1 λ) y a, da expressão acima e de (1-4) obtemos que λx + (1 λ)y a r.

14 1.2 Tópicos de Convexidade 13 A demonstração do próximo resultado pode ser encontrada na página 65 em [1]. Teorema Um conjunto X é convexo se, e somente se, toda combinação linear convexa de p vetores x 1, x 2,..., x p X esta em X. Demonstração: Suponha que X é um conjunto convexo. Sejam x 1,..., x p X, λ 1,..., λ p [0, 1] e λ 1 + λ λ p = 1. A demonstração será feita por indução em p. Para p = 1, temos que λ 1 x 1 X pois, por definição λ 1 = 1. Por hipótese, vamos assumir que seja válido para p = k. Então, λ 1 x 1 + λ 2 x λ p x p X. Usando a hipótese de indução queremos estender para p = k+1. Sejam x p+1 X, λ p+1 [0, 1] e x = λ 1 x λ p x p + λ p+1 x p+1, p+1 λ i = 1, i=1 uma combinação linear convexa de pontos de X. Sem perda de generalidade, vamos assumir que λ p+1 1 pois, caso contrário, teríamos λ i = 0 para i = 1,..., p, e recairíamos no caso p = 1. Então podemos escrever x = (1 λ p+1 )z + λ p+1 x p+1, (1-5) onde o vetor z é a combinação linear, Observe que p i=1 z = λ i 1 λ p+1 = = λ 1 x 1 λ p + + x p. (1-6) 1 λ p+1 1 λ p+1 ( p i=1 λ i 1 λ p+1 ) + λ p+1 1 λ p+1 λ p+1 1 λ p+1 = p+1 i=1 λ i 1 λ p+1 1 λ p+1 1 λ p+1 = 1 λ p+1 1 λ p+1 = 1. (1-7) Agora, como assumimos que λ p+1 [0, 1) temos que λ i 1 λ p+1 0, i = 1,..., k.

15 1.2 Tópicos de Convexidade 14 Da última expressão e de (1-7) temos que z, definido em (1-6), é uma combinação linear convexa de p pontos em X. Então segue, pela hipótese de indução, que z X. Como x p+1, z X temos, pela convexidade de X, que x X. Reciprocamente, se toda combinação linear convexa de X está em X, em particular, x 1, x 2 X, λ 1, λ 2 0, e λ 1 + λ 2 = 1 implica λ 1 x 1 + λ 2 x 2 X. Então X é um conjunto convexo. O próximo resultado é importante para nossos estudos, visto que estaremos interessados em encontrar um ponto na interseção de conjuntos convexos. Sua demonstração pode ser encontrada na página 65 em [1]. Teorema Suponha que C 1,..., C p são subconjuntos convexos de IR n. Então, C = C 1... C p (1-8) é um conjunto convexo. Demonstração: Se C = então C é convexo. Caso contrário, tomemos x 1, x 2 C arbitrários e λ 1, λ 2 [0, 1], com λ 1 + λ 2 = 1. Como x 1, x 2 C segue de (1-8) que, x 1, x 2 C i para i = 1,..., p. Por hipótese, C 1,..., C p são conjuntos convexos então, temos que x = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 C i i = 1,..., p. Da expressão acima e de (1-8) obtemos que x C. Como tomamos x 1, x 2 C arbitrários temos que C é convexo O Operador Projeção Ortogonal Nesta seção verificaremos que a projeção ortogonal sobre um conjunto convexo, fechado e não vazio, existe, é única e, também, é não expansiva. Também utilizaremos a projeção para demonstrar o teorema da separação. Vamos iniciar definindo a função distância de um ponto em um conjunto. A função distância de um ponto x IR n a um conjunto C IR n é definida por d(., C) : IR n IR (1-9) x d(x, C) = inf{ c x ; c C}. (1-10)

16 1.2 Tópicos de Convexidade 15 Seja um conjunto C IR n convexo e fechado. Utilizando a norma Euclideana, a projeção ortogonal de um ponto x IR n sobre C, é a função P C : IR n C definida como sendo o único ponto P C (x) C, tal que d(x, C) = P C (x) x. (1-11) Em outras palavras, a projeção ortogonal do ponto x IR n sobre um conjunto C IR n é um ponto de C que está mais próximo de x. A demonstração do próximo resultado pode ser encontrada na página 10 em [6]. Proposição Seja C um conjunto fechado e não vazio em IR n. Então, para todo x IR n, P C (x) existe. Demonstração: Queremos verificar que o problema inf{ y x ; y C}, (1-12) tem solução. Seja c C e considere o seguinte conjunto de subnível L = {y IR n ; y x c x }. Desta forma o problema (1-12) é equivalente ao seguinte problema inf{ y x ; y C L}. (1-13) Note que L é compacto, desta forma C L também é compacto e como f(x) = y x é contínua, temos pelo teorema de Weierstrass que o problema acima tem solução. Portanto o problema (1-12) tem solução e P C (x) existe. Utilizamos apenas o fato do conjunto ser fechado na existência da projeção, porém agora, vamos demonstrar que a projeção é única e a convexidade de C será necessária. O próximo resultado nos auxiliará a demonstrar a unicidade da projeção, sua demonstração pode ser encontrada na página 117 em [3]. Proposição Seja C um conjunto convexo, fechado e não vazio em IR n. Um ponto z C é a projeção P C (x) se, e somente se, x z, y z 0 y C.

17 1.2 Tópicos de Convexidade 16 Demonstração: Primeiramente verificaremos que se z = P C (x), então x z, y z 0 para todo y C. Considere z C, como C é convexo vale que (1 λ)z + λy = Q λ C, λ (0, 1). (1-14) Pela definição de projeção ortogonal, temos que x z x Q λ e portanto elevando ao quadrado ambos termos, 0 x z 2 x Q λ 2. Realizando algumas manipulações algebricas na desigualdade acima obtemos, 0 2 x, Q λ 2 x, z + z, z Q λ, Q λ. Adicionando e subtraindo os termos 2 z, Q λ e z, z do lado direito da última desigualdade temos com algumas operações, 0 2 x, Q λ z 2 z, Q λ z ( Q λ, Q λ 2 z, Q λ + z, z ). Que é equivalente a seguinte desigualdade, 0 2 x z, Q λ z Q λ z 2. Substituindo o valor Q λ, definido em (1-14), podemos escrever 0 2 x z, z λz + λy z z λz + λy z 2, = 2λ x z, y z λ 2 y z 2. Dividindo, a última expressão, por 2λ > 0 e passando o limite quando λ 0+, temos 0 x z, y z. Como tomamos y C qualquer, o resultado segue. Agora iremos verificar a recíproca. Suponha que z C. Por hipótese, para todo y C temos que, 0 x z, y z Utilizando as propriedades de produto interno temos, 0 x, y + z, z y, z x, z

18 1.2 Tópicos de Convexidade 17 Com algumas manipulações algébricas e completando o quadrado obtemos, ( x z 2 + y z 2 x y 2 ) Retirando o segundo termo do lado direito, que é positivo, a última desigualdade pode ser reescrita como ( x z 2 x y 2 ). Assim, com algumas manipulações simples, x z x y para qualquer y C, em outras palavras z = P C (x). A demonstração do próximo resultado pode ser encontrada na página 94 em [6]. Proposição Seja C um conjunto convexo, fechado e não vazio em IR n. Para todo x IR n, P C (x) é única. Demonstração: Verifiquemos o resultado por contradição. Suponha que existam duas soluções z = P C (x) e w = P C (x). Assim, pela Proposição temos que, x z, w z 0, w C e x w, z w 0, z C. Somando as duas desigualdades obtemos, 0 x z (x w), w z = w z 2. Como a norma é sempre um número não negativo, temos da última expressão que w z 2 = 0. Portanto, da primeira propriedade de norma, concluímos que w = z. Sejam x, y IR n, uma função f : IR n IR n é dita não expansiva quando f(x) f(y) x y. Outra propriedade importante do operador projeção ortogonal é dada no próximo resultado, cuja demonstração pode ser encontrada na página 98 em [6]. Proposição Seja C um conjunto convexo, fechado e não vazio em IR n. Para x, y IR n a projeção ortogonal é não expansiva.

19 1.2 Tópicos de Convexidade 18 Demonstração: Usando a proposição para x, vale que para todo w C temos, 0 w P C (x), x P C (x). Podemos usar também a proposição para y e respectivamente, 0 w P C (y), y P C (y). Como w é qualquer e P C (y), P C (x) C, podemos substituir w na primeira desigualdade por P C (y) e na segunda por P C (x), 0 P C (y) P C (x), x P C (x), 0 P C (x) P C (y), y P C (y). Somando as duas últimas desigualdades vale, 0 P C (x) P C (y), y P C (y) x + P C (x). Utilizando algumas propriedades de produto interno, obtemos que, P C (x) P C (y), x y P C (x) P C (y) 2, finalmente, usando a desigualdade de Schwarz no lado esquerdo da desigualdade acima temos, P C (x) P C (y) x y P C (x) P C (y) 2. Se P C (x) = P C (y), então P C (x) P C (y) = 0 e vale o resultado pois, x = y. Caso contrário, obtemos o resultado dividindo os dois lados da desigualdade por P C (x) P C (y) > 0 e vale que, x y P C (x) P C (y). Uma aplicação T é firmemente não expansiva, quando puder ser escrita como (1/2)Id + (1/2)N, onde N é não expansiva. Seja uma função f : C IR n não expansiva, o conjunto dos pontos fixos de f denotado por F ix(f) é dado por F ix(f) = {x C; x = f(x)}.

20 1.2 Tópicos de Convexidade 19 No caso da projeção, o conjunto dos pontos fixos é o próprio conjunto sobre o qual a projeção é aplicada. Ainda, a projeção é firmemente não expansiva, verifiquemos este fato nos próximos resultados, cuja demonstrações podem ser encontradas nas páginas 29 e 31 em [7]. Proposição Se C é um conjunto convexo e fechado de IR n e T : C IR n é um aplicação, então as seguintes afirmações são equivalentes: (i) T é firmemente não-expansiva. (ii) T x T y 2 T x T y, x y, para todo x, y C. (iii) 2T Id é não-expansiva. Demonstração: Verifiquemos que (i) (ii). Considere T firmemente não expansiva então, por definição, podemos escrever 1/2Id + 1/2N, onde N é não expansiva. Temos então, T x = 1 2 Idx Nx = 1 2 x + 1 Nx. (1-15) 2 Usando propriedades da função norma, podemos escrever T x T y 2 = T x T y, T x T y. Utilizando a expressão (1-15) e com algumas manipulações algébricas, a última expressão pode ser escrita como, T x T y 2 = 1 2 (x y) (Nx Ny), 1 2 (x y) + 1 (Nx Ny) 2 Aplicando propriedade distributiva e propriedade da norma, obtemos da última igualdade que, T x T y 2 = 1 4 x y x y, Nx Ny Nx Ny 2. (1-16) Como, por hipótese, N é não expansiva temos que, Nx Ny x y. Então aplicando o quadrado obtemos que, Nx Ny 2 x y 2. Agora, utilizando a última desigualdade em (1-16) obteremos, T x T y x y x y, Nx Ny. (1-17) 2

21 1.2 Tópicos de Convexidade 20 Novamente, utilizando a expressão (1-15) temos, T x T y, x y = 1 2 (x y) + 1 (Nx Ny), x y. 2 Utilizando propriedade distributiva e com algumas manipulações algébrica, temos da última igualdade que, T x T y, x y = 1 2 x y Nx Ny, x y. 2 Logo, da última expressão e de (1-17), obtemos que, T x T y 2 T x T y, x y x, y C. Agora, verifiquemos que (ii) (iii). Queremos provar que, (2T Id)x (2T Id)y x y x, y C. (1-18) Primeiro note que, (2T Id)x = 2T x x. Então, (2T Id)x (2T Id)y 2 = 2(T x T y) (x y) 2 Utilizando propriedades da norma temos, da última expressão que, (2T Id)x (2T Id)y 2 = 2(T x T y) (x y), 2(T x T y) (x y), e, aplicando propriedade distributiva e propriedade da norma, podemos reescrever a última igualdade como, (2T Id)x (2T Id)y 2 = 4 T x T y 2 4 T x T y, x y + x y 2. Como a aplicação T é firmemente não expansiva, obtemos da última igualdade que, (2T Id)x (2T Id)y 2 4 T x T y, x y 4 T x T y, x y = x y 2. Logo, aplicando o quadrado em ambos os lados obtemos (1-18). Por fim, verifiquemos que (iii) (i). Suponha que 2T Id seja não expansiva. Tomemos N = 2T Id. Assim, T = 1 2 Id N.

22 1.2 Tópicos de Convexidade 21 Como, por hipótese, N é não expansiva, temos que T é firmemente não expansiva. Teorema Seja C um conjunto convexo, fechado e não vazio em IR n. Então, a projeção ortogonal é firmemente não expansiva. Demonstração: Note que, da Proposição 1.2.5, temos que w P C (x), x P C (x) 0 e w P C (y), y P C (y) 0 w C. Logo, como P C (x), P C (y) C, temos das desigualdades acima que, P C (y) P C (x), x P C (x) 0 e P C (x) P C (y), y P C (y) 0. Portanto, das últimas expressões temos que P C (x) P C (y), y P C (y) x + P C (x) 0. Agora, utilizando propriedade distributiva e propriedade da norma, podemos reescrever a última desigualdade como, P C (x) P C (y), y x P C (x) P C (y) 2, que com simples manipulações algébricas, pode ser reescrito como P C (x) P C (y) 2 P C (x) P C (y), x y. Portanto, da Proposição e da última desigualdade, concluímos que a projeção ortogonal é firmemente não expansiva. Vamos agora, enunciar e demonstrar o Teorema da Separação, uma demonstração pode ser encontrada na página 122 em [3]. Teorema (Teorema da Separação) Seja C um conjunto convexo, fechado e não vazio em IR n e considere z / C. Então, existem um vetor a IR n, a 0, e um escalar δ IR tais que, para todo x C, a, x δ < a, z. (1-19)

23 1.2 Tópicos de Convexidade 22 Demonstração: Considere o conjunto convexo, fechado e não vazio C e z / C. Pelos Teoremas e 1.2.6, temos que existe um único ponto y C tal que z y, x y 0, (1-20) para cada x C. Agora defina a := z y 0, δ := a, y De (1-20) e da definição de a acima temos a, x a, y. Com a definição de δ implica que a, x δ, que é a primeira desigualdade em (1-19). Usando as definições de a e δ, para a segunda desigualdade em (1-19), obtemos que a, z δ = z y, z a, y = z y 2 0. Mas como z / C, a última desigualdade é estrita e δ < a, z. O Teorema da separação garante que, dado um ponto z / C, sendo C um conjunto convexo, fechado e não vazio, existe um hiperplano a T x = δ que separa z de C. Quando precisarmos utilizar superconjuntos (conjunto que contém outro conjunto) em algum algoritmo, um dos semi-espaços gerado pelo hiperplano do teorema da separação, englobará o conjunto C e assim, teremos pelo menos um superconjunto Funções Convexas Aqui, nosso interesse é definir funções convexas e estudar algumas de suas propriedades. Uma função f : C IR, onde C IR n é um conjunto convexo, é dita uma função convexa em C quando, para quaisquer x, y C e α [0, 1] temos, f(αx + (1 α)y) αf(x) + (1 α)f(y). (1-21) Quando a desigualdade acima é estrita para todos x y e α (0, 1) a função f é estritamente convexa. Seja uma função f : C IR, o conjunto E f = {(x, δ) C IR; f(x) δ}, é chamado de epígrafo de f.

24 1.2 Tópicos de Convexidade 23 Outra forma de definir a classe de funções convexas é dizer que são funções cujo epigrafo é convexo. Esta outra definição relaciona a convexidade de conjuntos e de funções. A demonstração do próximo teorema pode ser encontrada na página 67 em [6]. Teorema Seja C IR n um conjunto convexo. Uma função f : C IR é convexa em C se, e somente se, o epígrafo de f é um conjunto convexo em IR n IR. Demonstração: Considere que uma função f seja convexa em C IR n. Então para x, y C e α [0, 1] temos de (1-21) que, f(αx + (1 α)y) αf(x) + (1 α)f(y). Sejam (x, δ 1 ) E f e (y, δ 2 ) E f, pela definição de epígrafo f(x) δ 1 e f(y) δ 2 então a última inequação pode ser reescrita como, f(αx + (1 α)y) αδ 1 + (1 α)δ 2. A desigualdade acima implica em α(x, δ 1 ) + (1 α)(y, δ 2 ) = (αx + (1 α)y, αδ 1 + (1 α)δ 2 ) E f. Portanto, da definição de conjunto convexo e da expressão acima, concluímos que E f é convexo. Vamos agora verificar a recíproca. Suponha que o epígrafo de f é convexo então, queremos provar que f é convexa. Para isso, tomemos dois pontos x, y C quaisquer. Da definição de epígrafo sabemos que, (x, f(x)) E f e (y, f(y)) E f. Por hipótese, para todo α [0, 1] temos que, α(x, f(x)) + (1 α)(y, f(y)) E f. Manipulando a equação acima podemos obter, (αx + (1 α)y, αf(x) + (1 α)f(y)) E f. Novamente pela definição de epígrafo, isto equivale a f(αx + (1 α)y) αf(x) + (1 α)f(y), portanto f é convexa.

25 1.2 Tópicos de Convexidade 24 Um ponto a C é um mínimo local da função f : C IR quando, existe δ > 0 tal que f(a) f(x) para todo x C B(a, δ). E dizemos que um ponto a C é um mínimo global de f se f(a) f(x), para todo x C. Um fato importante sobre convexidade é dado no próximo resultado, sua demonstração pode ser encontrada na página 69 em [6]. Teorema Sejam C IR n um subconjunto convexo e f : C IR uma função convexa em C. Então todo mínimo local de f em C é global. Se f é estritamente convexa, não pode haver mais de um mínimo. Demonstração: Vamos supor que z C é um mínimo local que não é global. Então f(y) < f(z) para algum y C. Sendo C um conjunto convexo αy + (1 α)z C, para todo α [0, 1]. Pela convexidade de f temos f(αy + (1 α)z) αf(y) + (1 α)f(z). Agrupando os termos que multiplicam α e como f(y) < f(z) obtemos que f(αy + (1 α)z) f(z) + α(f(y) f(z)) < f(z). (1-22) Escolhendo um α > 0 suficientemente pequeno αy + (1 α)z B(z, δ), temos ainda que αy + (1 α)z C e a expressão (1-22). Mas então, um ponto suficientemente próximo de z tem um valor funcional menor que f(z). Isto contradiz o fato que z é mínimo local. Portanto, z é mínimo global de f. Agora demonstraremos que se f é estritamente convexa, não pode haver mais de um mínimo. Vamos supor que existam dois pontos de mínimo x z e que f seja estritamente convexa. Pela primeira parte deste teorema, x e z são mínimos globais e, pela convexidade de C, αx + (1 α)z C, segue disto que f(αx + (1 α)z) f(x) = f(z) = v. Sendo v o valor mínimo de f. Mas pela convexidade estrita de f, f(αx + (1 α)z) < αf(x) + (1 α)f(z) = v, isto é uma contradição, pois x e z são mínimos globais.

26 1.3 Matrizes Matrizes Em geral, métodos computacionais manipulam matrizes na resolução de diversos problemas. Desta forma, o estudo de alguns conceitos e propriedades dessas estruturas é interessante. Nesta seção vamos estudar apenas matrizes com algumas características especiais. Dizemos que uma matriz quadrada A IR n n é simétrica se A T = A. Isto equivale a dizer que a ij = a ji, para todo i e todo j. Então as linhas de A são as colunas de A T e vice-versa. Como todo vetor x é uma matriz de uma coluna, seu transposto x T é um vetor linha. Se A IR n n é uma matriz simétrica e também satisfaz a propriedade x T Ax > 0, (1-23) para todo vetor x IR n não nulo, dizemos que A é positiva definida. Uma matriz quadrada A é não singular se, a única solução do sistema Ax = 0 é x = 0. A demonstração do próximo resultado pode ser encontrada na página 18 em [10]. Teorema Se uma matriz A é positiva definida, então A é não singular. Demonstração: A demonstração pode ser feita por contradição. Suponha que A é singular. Então o sistema Ax = 0 admite solução para algum x IR n não nulo. Mas neste caso x T (Ax) = 0 e pela definição, concluímos que A não é positiva definida. O próximo resultado é interessante pois, provê uma forma simples de construir matrizes positivas definidas. Sua demonstração pode ser encontrada na página 18 em [10]. Teorema Seja uma matriz M IR n n não singular, e defina a matriz A = MM T. Então A é positiva definida. Demonstração: Dada uma matriz não singular M, queremos primeiro mostrar que a matriz A = MM T é simétrica. Temos que A T = (MM T ) T = (M T ) T M T = MM T = A. Assim A é simétrica.

27 1.4 Elipsóides 26 Agora vamos demostrar que x T Ax > 0. Para isso, considere um vetor x IR n não nulo. Então pela definição da matriz A temos que x T Ax = x T MM T x. Defina a vetor y = M T x então y T = (M T x) T = x T M. Como M é não singular, sua transposta M T também é não singular. Então, x 0 implica y 0. Assim, x T Ax = y T y e considerando as componentes de y temos, n x T Ax = yi 2. Como a soma de quadrados é não negativa e y 0 obtemos que, i=1 x T Ax > 0, e a matriz A é positiva definida. 1.4 Elipsóides Sejam os pontos F e F 1 e uma constante r > d(f 1, F ), onde d(f 1, F ) é a distância entre F 1 a F definido pela norma euclideana. Elipse é o conjunto dos pontos P do plano tais que d(p, F ) + d(p, F 1 ) = r. Os pontos F e F 1 são denominados focos da elipse, r é o eixo maior e, o ponto médio do segmento que liga os pontos F 1 e F é o centro da elipse. A equação reduzida de uma elipse centrada em [x 0, y 0 ] T com semi-eixos paralelos aos eixos coordenados é dada por (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 = 1, a,b > 0, onde a e b são os semi-eixos da elipse. Estaremos interessados em conjuntos convexos, portanto, chamaremos elipse os pontos que satisfazem a inequação (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 1. Chama-se elipsóide de revolução ao conjunto gerado pela rotação de uma

28 1.4 Elipsóides 27 elipse em torno de um de seus eixos. A inequação de um elipsóide com centro em x T 0 = (u 0, v 0, w 0 ) é dada por: (u u 0 ) 2 a 2 + (v v 0) 2 b 2 + (w w 0) 2 c 2 1. Elipsóide de revolução é um caso particular de elipsóide. Se x é o eixo de rotação então c = b e, quando y é o eixo de rotação então a = c. matricial d T u v w A inequação de um elipsóide pode ser reescrita na seguinte forma T a b c 2 u v + w 2u 0 a 2 2v 0 b 2 2w 0 c 2 T u v w + ( u 2 0 ) a + v2 0 2 b + w2 0 2 c Se denotarmos a matriz diagonal M = diag (1/a 2, 1/b 2, 1/c 2 ), o vetor = ( 2u 0 /a 2, 2v 0 /b 2, 2w 0 /c 2 ), o escalar σ = (u 2 0/a 2 + v 2 0/b 2 + w 2 0/c 2 1) e substituirmos na equação anterior, obtemos que x T Mx + dx + σ 0. (1-24) Para o caso n-dimensional a expressão acima não se altera. Pela forma que a matriz M foi construída é fácil verificar que se trata de uma matriz simétrica positiva definida.

29 CAPÍTULO 2 O Problema de Viabilidade Convexa O problema de viabilidade convexa consiste em encontrar um ponto em um conjunto convexo. Neste capítulo, vamos definir o problema de viabilidade convexa, comentar sobre o método de resolução por nós escolhido e sobre algumas dificuldades encontradas para sua resolução. 2.1 O Problema de Viabilidade Convexa Sejam dados os conjuntos C 1,..., C m considere a interseção não vazia, em IR n, convexos fechados e C = C 1... C m. O Problema de Viabilidade Convexa (PVC) consiste em encontrar algum ponto c em C. Uma abordagem para resolução deste problema é algorítmica. Dentre os algoritmos existentes para resolução do PVC, estamos interessados nos algoritmos tipo projeção. Dado um ponto inicial x 0 IR n, a idéia geral dos algoritmos tipo projeção é, a partir de x 0, calcular as projeções P Ci (x 0 ), sobre cada conjunto C i, para i = 1,..., n. Então calcula-se uma direção D a partir da combinação linear convexa das projeções P Ci (x 0 ) e, caminha-se com um certo tamanho de passo α na direção D, a partir de x 0, obtendo um novo ponto x 1. Este processo é repetido até gerar uma seqüência de pontos que é "convergente"para o conjunto C. Naturalmente, a direção D e o tamanho de passo α tomados, devem ser escolhidos de tal forma que o algoritmo convirja. Como foi definido no capítulo 1, a projeção ortogonal do ponto x IR n sobre um conjunto C IR n é um ponto de C que está mais próximo de x. Então, em cada passo do algoritmo tipo projeção é necessário resolver um problema de otimização, para encontrar a projeção de x sobre cada conjunto C i. Há duas classes importantes de problemas que são consideradas:

30 2.1 O Problema de Viabilidade Convexa O calculo da projeção de x sobre o conjunto C i é "simples", podendo ser obtida explicitamente. Assim o problema de otimização para encontrar a projeção pode se reduzir, em alguns casos, a resolver uma equação. Como exemplo, o conjunto C i poderia ser um hiperplano, um semi-espaço ou uma bola. 2. É difícil obter a projeção de x sobre C i. Contudo, é pelo menos possível descrever a projeção de x sobre algum superconjunto, conjunto maior que contém C i, aproximador de C i. Para a classe de problemas difíceis é importante utilizar algum superconjunto que exista e, no qual, a projeção possa ser calculada explicitamente. Pelo teorema da separação, temos a garantia da existência de um hiperplano que separa x / C i de C i. Podemos então escolher como superconjunto um Semiespaço gerado por um hiperplano separador de x e C i. Um novo algoritmo pode ser escrito neste caso. Este algoritmo envolve um oráculo para o conjunto C i, que aceita como entrada o ponto inicial x 0 IR n e produz uma saída dependendo se x 0 C i. Caso x 0 C i o oráculo determina que o algoritmo pare, senão o oráculo retorna um hiperplano separador H 0. Então é gerado um novo ponto x 1, mais próximo do conjunto C i, pela projeção do ponto x 0 sobre H 0. Neste caso, a confiança é que o oráculo gere hiperplanos H k cujas projeções P Hk (x k ), convirjam para algum ponto de C i. Nosso interesse é estudar o problema de viabilidade convexa, bem como sua solução algorítmica para os casos mais simples e alternativas quando o cálculo da projeção não é simples.

31 Algoritmos tipo projeção CAPÍTULO 3 Neste capítulo, vamos estudar algumas variações dos algoritmos tipo projeção que resolvem o problema de viabilidade convexa em IR n. Este capítulo será dividido em três seções. O assunto da primeira seção é um algoritmo que utiliza alguma aplicação que obedeça a certas condições, a projeção é uma dessas aplicações. Depois de enunciado o algoritmo, abordaremos algumas de suas variantes. Na segunda seção, abordaremos um algoritmo tipo projeção para resolver o PVC quando cada conjunto C i é o conjunto solução de uma inequação linear, isto é, os conjuntos serão semi-espaços fechados, veja em [4]. O que faremos, na terceira seção, será apresentar um algoritmo tipo projeção que resolve o PVC, este algoritmo pode ser encontrado em [5]. 3.1 O Algoritmo Principal Conforme idéia exposta no capítulo 2, para resolver o PVC podem ser utilizados os algoritmos tipo projeção. Nosso objetivo, nesta seção é enunciar um algoritmo que generaliza os algoritmos tipo projeção. O algoritmo aqui enunciado, pode ser encontrado em [2], assim como a demonstração dos teoremas de convergência. a interseção, Sejam os conjuntos C 1,..., C m em IR n, convexos fechados, e considere C = C 1... C m. A generalidade do algoritmo, se deve ao fato da utilização de uma aplicação que abrange a projeção. Suponha que Ti k : IR n IR n é uma aplicação não expansiva com F ix(ti k ) C i, para todo i = 1,..., m e todo k. Enunciaremos agora o Algoritmo.

32 3.1 O Algoritmo Principal 31 Algoritmo 1 Algoritmo Principal. Dados: x 0 ponto inicial e C i, i = 1,..., m. k := 0. REPITA Defina α k i [0, 2]. R i (x k ) := x k + α k i (T k i (x k ) x k ). Defina λ k i, λ k i 0 e m i=1 λk i = 1. A(x k ) := m i=1 λk i R i (x k ). x k+1 = A(x k ). k := k + 1. ATÉ QUE convirja. Vamos definir o conjunto dos índices ativos I k {1,..., m}, como I k := {i {1,..., m}; λ k i > 0}, (3-1) e dizer que r é a cardinalidade do conjunto I k. Vamos denotar [ ] m µ k i := λ k i αi k 2 λ k j αj k, i e k 0, j=1 para facilitar a apresentação de alguns teoremas. O próximo teorema garante que o Algoritmo 1 converge. Sua demonstração pode ser encontrada em [7]. Teorema (Condições suficientes para convergência) Se C = C 1... C m temos: 1. A sequência {x k } gerada pelo Algoritmo 1 converge para um ponto em IR n. 2. Se a sequência {x k } gerada pelo Algoritmo 1 tem uma subseqüência {x k } onde d(x k, C) 0, então a seqüência {x k } converge para um ponto em C. Dizemos que o algoritmo é focalizador se para todo índice i e toda subseqüência {x kn } k do algoritmo,

33 3.1 O Algoritmo Principal 32 x kn x x kn T kn i (x kn ) 0 i I kn implica que x C i. Proposição (Prototipo de um algoritmo focalizador). Suponha T 1,..., T m : IR n IR n é firmemente não expansivo e sejam C i = F ix(t i ) para todo índice i. Se {T k i } converge para T i para todo índice i, então o algoritmo é focalizador. Do Capítulo 1, temos que a projeção é uma aplicação firmemente não expansiva com C i = F ix(p Ci (x k )). Então da proposição anterior, temos que se no Algoritmo 1, Ti k (x k ) = P Ci (x k ), então o algoritmo é focalizador. Outro resultado de convergência pode ser conseguido para o algoritmo, sua demonstração pode ser encontrada em [2]. Teorema Suponha que o algoritmo é focalizador e o conjunto C. Se lim k µ k i > 0, onde k é a iteração onde i é ativo, para cada índice i, então a seqüência {x k } converge para algum ponto em C. O conjunto I, definido em (3-1), é uma forma de controlar quais conjuntos C i serão utilizados em cada iteração. Dependendo da forma como se define o conjunto I, podemos ter as seguintes variações: Algoritmo Simultâneo ou Pesado: Neste iremos definir o conjunto I da seguinte forma I = {1,..., m}. Desta forma, serão utilizados em cada iteração todos os conjuntos para, posteriormente, calcular o próximo ponto. Algoritmo intermitente ou p-intermitente: Se existe um inteiro p positivo tal que i I k I k+1... I k+p 1, para cada índice i e todo n 0. Teorema Suponha que o algoritmo é focalizador e intermitente e C. Seja v k := min{µ k i : kp k (k + 1)p 1, e i ativo em k }. Se lim k v k = +, então a seqüência {x k } converge em norma para algum ponto em C.

34 3.2 O Caso Linear 33 Um algoritmo de projeção é dito linearmente focalizador, se existe algum β > 0 tal que, βd(x k, C i ) d(x k, C k i ), para todo k grande e para todo índice i ativo em k. Teorema Se F ix(t k i ) = S i, k, então o algoritmo é linearmente focalizador. Teorema Suponha que o algoritmo de projeção é linearmente focalizador e que exista algum ɛ > 0 tal que ɛ α k i 2 ɛ, para todo k grande e o índice i ativo em k. Suponha que o interior de C é não vazio. Então a sequência {x k } converge em norma para algum ponto x. Se k µk i = + para algum índice i, então x C i. Consequentemente, se Se k µk i x C. = + para todo índice i, então 3.2 O Caso Linear Nesta seção vamos estudar o algoritmo tipo projeção para o caso linear, isto é, quando os conjuntos são semi-espaços fechados. Sejam os conjuntos C 1,..., C m em IR n, convexos fechados e considere a interseção não vazia, C = C 1... C m. Dados um vetor a i IR n não nulo e um número real b i IR, cada C i será um conjunto da forma {x IR n ; a i, x b i }. (3-2) Considere um conjunto de índices I {1,..., m}, r é a cardinalidade do conjunto I e P i (x) a projeção ortogonal do ponto x IR n C i IR n, definida em (1-11). no conjunto No caso de semi-espaços, a projeção é calculada a partir do próximo resultado, cuja demonstração pode ser encontrada em [4]. Proposição Dado o conjunto convexo e fechado C i definido em (3-2). Então P i (x) = x + t i a i é a projeção de x em C i, onde { t i = min 0, b } i a i, x. (3-3) a i 2 A partir da idéia exposta no Capítulo 2, enunciaremos o Algoritmo de projeções simultâneas para resolução de inequações lineares.

35 3.2 O Caso Linear 34 Algoritmo 2 Tipo projeção para o caso linear. Dados: x 0 ponto inicial e C i, i = 1,..., m. k := 0. REPITA I k = {1,..., m} { } t i = min 0, b i a i,x k. a i 2 P i (x k ) = x k + t i a i. Defina λ i, λ i 0 e m i=1 λ i = 1. P := m i=1 λ ip i (x k ) Defina α k [0, 2] x k+1 = x k + α k (P (x k ) x k ) k := k + 1; ATÉ QUE convirja. Note que, definindo T k i = P i e α k i = α k, o Algoritmo 2 é um caso particular do Algoritmo 1. Confirmemos esta afirmação, substituindo no Algoritmo 1 em R i (x k ), a aplicação T k i (x k ) por P i (x k ) obtendo R i (x k ) = x k + α k (P i (x k ) x k ). Ainda no Algoritmo 1, substituindo o valor acima em A(x k ), temos A(x k ) = m [ λ i x k + α k (P i (x k ) x k ) ] = i=1 m [ λ i (1 α k )x k + α k (P i (x k )) ], i=1 e com algumas manipulações algebricas obtemos que, A(x k ) = m λ i (1 α k )x k + i=1 m α k λ i P i (x k ) = (1 α k )x k i=1 m i=1 λ i + α k m i=1 λ i P i (x k ). Como m i=1 λ i = 1 verificamos que A(x k ) = (1 α k )x k + α k m i=1 λ i P i (x k ). O próximo resultado garante a convergência do Algoritmo 1, sua demonstração pode ser encontrada em [4].

36 3.3 O caso não linear 35 Teorema Para qualquer ponto inicial x 0 IR n a sequência {x k } gerada pelo Algoritmo 2 converge. i) Se C = C 1... C m, então o ponto limite é um ponto viável para (3-2). ii) Caso contrário, o ponto limite minimiza f(x) = m i=1 λ i P Ci x x 2. O último teorema garante que, mesmo quando não há interseção entre os conjuntos C i o algoritmo converge. 3.3 O caso não linear Nesta seção vamos estudar o algoritmo tipo projeção para o caso não linear. Considere novamente os conjuntos C 1,..., C m em IR n, convexos fechados e considere a interseção não vazia, C = C 1... C m. Considere um conjunto de índices I {1,..., m}, r é a cardinalidade do conjunto I e, P C (x) a projeção ortogonal do ponto x IR n no conjunto C IR n, definida em (1-11). Para x IR n, seja I(x) = {i; x / C i, i I} e q a cardinalidade do conjunto I(x). Definiremos ( ) 1 i I(x) α = λ i, se q 2 1, caso contrário. (3-4) A partir das definições acima, enunciaremos o Algoritmo de projeções simultâneas para o caso não linear. Algoritmo 3 Tipo projeção para o caso não linear. Dados: x 0 ponto inicial e C i, i = 1,..., m. k := 0. REPITA I k = {1,..., m} P j (x k ) = P CIj x k, j = 1,..., r Defina λ j, λ i 0 e m i=1 λ i = 1.

37 3.3 O caso não linear 36 P := r j=1 λ jp j (x k ) I(x) = {i; x / C i, i I} Defina α k, satisfazendo (3-4) x k+1 = x k + α k (P (x k ) x k ) k := k + 1; ATÉ QUE convirja. Conforme verificamos para o Algoritmo 2, o algoritmo acima também é um caso particular do Algoritmo 1. Teorema Se C = C 1... C m, então a sequência {x k } gerada pelo Algoritmo 3 converge para um ponto em C, qualquer que seja o ponto inicial x 0 IR n. No caso linear, o cálculo da projeção pode ser feito de maneira simples conforme exposto na seção anterior. Porém no caso não linear o cálculo da projeção é o que dificulta a implementação do Algoritmo 2.

38 Implementações CAPÍTULO 4 Neste capítulo, vamos apresentar resultados computacionais referentes as implementações de algumas variantes dos algoritmos tipo projeção. Conforme exposto no capítulo 3, os algoritmos tipo projeção podem resolver qualquer PVC, porém nossas implementações foram realizadas em três tipos de conjuntos, hiperplanos, bolas e elipses. Os algoritmos deste trabalho foram implementados em MATLAB, versão 6.5. Utilizamos dois computadores pessoais, um com processador Pentium 2.4 GHz e 1GB de memória RAM, outro com processador Pentium 1.73 GHz e 512 MB de memória RAM. Todos os problemas para nossos experimentos numéricos foram gerados aleatoriamente. Vamos considerar as seguintes implementações: Algoritmo pesado: Definido no capítulo 3. Algoritmo Cíclico: A idéia é diminuir o número de projeções a cada iteração. Ao invés de projetar um certo iterado x k em todos os conjuntos C i, i = 1,..., m, iremos calcular a projeção sobre alguns conjuntos e então calcular o novo iterado. A cada iteração os índices {1,..., m} serão divididos em blocos J i, i = 1,..., l, obedecendo duas condições: 1. J 1 J l = {1,..., m} com J i e J i J j =, para todo i, j {1,..., l} com i j. 2. Existe um escalar p inteiro e positivo onde, para todo n 0 e todo i {1,..., l}, I k = J i para todo k {k, k + 1,..., k + p 1}. Definiremos o conjunto I em cada iteração da seguinte forma I k 1 = J (k mod l), k 1. Algoritmo Randômico: No algoritmo cíclico os blocos J i eram utilizados de maneira sequêncial e cíclica, isto é, se em uma certa iteração o bloco J i é utilizado então na iteração posterior é utilizado o bloco J i+1.

39 4.1 Implementações projetando sobre C i 38 A idéia neste algoritmo também é dividir os índices {1,..., m} em blocos, satisfazendo as condições 1 e 2 acima. Mas a escolha do bloco na iteração corrente será feita de maneira aleatória e não sequêncial. Seja q {1,..., l} escolhido de maneira aleatória de forma que, no decorrer de um número definido de iterações q já tenha assumido cada valor no conjunto {1,..., l}. Então o valor de I será I k = J q, k 0. Os algoritmos cíclico e randômico são um caso particular dos algoritmos intermitentes. 4.1 Implementações projetando sobre C i Nesta seção, apresentaremos nossas implementações dos algoritmos onde a aplicação Ti k é a projeção. Iniciaremos com o caso linear. Para o caso linear, isto é, onde cada conjuto C i, i = 1,..., m, são semi-espaços como definidos em (3-2), construímos os problemas de forma a garantir interseção não vazia entre os conjuntos, seguindo os seguintes passos: 1. Gerar cada vetor a i aleatoriamente; 2. Gerar aleatoriamente valores positivos para b i. Como estamos considerando desigualdades da forma (3-2) e cada b i é positivo, temos a garantia que a origem (vetor de zeros) é uma das possíveis soluções deste sistema. O ponto inicial x 0 terá todos seus elementos iguais a 100. Foi gerado, para cada par (m, n), apenas um problema. Todos os algoritmos resolveram os mesmo problemas. A próxima tabela é referente ao caso linear considerando o algoritmo pesado. No Algoritmo os valores de α e λ são fixos durante toda execução do algoritmo. Os valores de α estão referidos na tabela, já cada componente de λ i, i = 1,..., m, é definido no ínicio do algoritmo com valor igual a 1/m. No Algoritmo os valores de α e λ variam em cada iteração. O valor de λ k i é definido através do seguinte cálculo: λ k i := t k i m (4-1) i=1 tk i,

40 4.1 Implementações projetando sobre C i 39 onde t i é calculado conforme (3-3). Note que, com algumas manipulações algébricas verifica-se que as componentes de λ i são todas não negativas e satisfazem, m i=1 λ i = 1. Quanto aos valores de α k, são calculados conforme a equação abaixo: onde T é a quantidade de conjuntos não satisfeitos. α k := T 1.95, (4-2) m Já no Algoritmo consideramos λ k i variável conforme (4-1) e fixamos α = 1.95 para todas as iterações. Número de Iterações (Algoritmo Pesado) Algoritmo Algoritmo Algoritmo m n α = 1 α = 1.5 α =