Introdução à Teoria dos Reticulados e Reticulados de Subgrupos

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1 Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Tecnologia Unidade Acadêmica de Matemática Introdução à Teoria dos Reticulados e Reticulados de Subgrupos por Michell Lucena Dias sob orientação do Prof. Dr. Antônio Pereira Brandão Júnior Campina Grande - PB Setembro de 2013

2 Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Tecnologia Unidade Acadêmica de Matemática Michell Lucena Dias Introdução à Teoria dos Reticulados e Reticulados de Subgrupos Trabalho apresentado ao Curso de Graduação em Matemática da Universidade Federal de Campina Grande como requisito parcial para a obtenção do título de Bacharel em Matemática. Prof. Dr. Antônio Pereira Brandão Júnior Orientador Campina Grande, 30 de Setembro de 2013 Curso de Matemática, Modalidade Bacharelado

3 Introdução à Teoria dos Reticulados e Reticulados de Subgrupos por Michell Lucena Dias Trabalho de Conclusão de Curso defendido e aprovado em 30 de Setembro de 2013 pela comissão examinadora constituída pelos professores: Prof. Dr. Antônio Pereira Brandão Júnior Orientador UAMat/CCT/UFCG Prof. Dr. Diogo Diniz Pereira da Silva e Silva Examinador UAMat/CCT/UFCG Com nota igual a:

4 Resumo Neste trabalho apresentaremos um estudo introdutório sobre a Teoria dos Reticulados, no qual discutiremos algumas propriedades de maior relevância, como modularidade, distributividade e completude, e sobre a estreita relação entre álgebras de Boole e anéis de Boole. Além disso, mostraremos sua utilidade pontual enquanto ferramenta algébrica no estudo da Teoria de Grupos. Para tanto, buscaremos aplicar os resultados desenvolvidos no presente texto a uma importante classe de reticulados, chamada Reticulados de Subgrupos. 4

5 Abstract In this work we will present an introductory study on the Lattice Theory, in which we will discuss some of the most relevant properties, such as modularity, distributivity and completeness, and the close relationship between Boolean algebras and Boolean rings. Furthermore, we will show their utility as an algebraic tool in the study of Group Theory. For that, we will seek to apply the results developed in this text to an important class of lattices, called Subgroups Lattices. 5

6 Dedicatória Aos meus pais, Mairon e Socorro. 6

7 Sumário Introdução 9 1 Preliminares Conjuntos Parcialmente Ordenados Denição e Exemplos Dual de um Sistema Parcialmente Ordenado Elementos Maximais, Minimais, Máximos e Mínimos Diagramas de Hasse Isomorsmo de Conjuntos Parcialmente Ordenados Algumas Notas Sobre Grupos Denição e Propriedades Básicas Subgrupos Classes Laterais e o Teorema de Lagrange Grupos Cíclicos Subgrupos Normais e Grupos Quocientes Homomorsmos de Grupos Teoremas de Cauchy e de Sylow Grupos Abelianos Finitamente Gerados Anéis de Boole Reticulados Conceitos Primários Denição e Exemplos Subreticulados Homomorsmos de Reticulados Reticulados Completos Reticulados como Espaços Algébricos Reticulados Distributivos e Modulares

8 2.5 Álgebras de Boole Reticulados de Subgrupos Resultados Preliminares Reticulados Distributivos e Grupos Cíclicos Reticulados Modulares e Grupos Abelianos Grupos Abelianos e Duais Alguns Teoremas de Classicação Reticulados de Subgrupos e o Grupo de Klein Reticulados de Subgrupos e Cadeias Reticulados de Subgrupos e Álgebras de Boole Reticulados que Não São Reticulados de Subgrupos.. 86 Bibliograa 89 8

9 Introdução A teoria dos reticulados teve sua origem em meados do século XIX com os estudos do matemático britânico George Boole ( ) sobre relações entre conjuntos. Estes estudos representaram o protótipo das estruturas algébricas hoje conhecidas como álgebras booleanas, em sua homenagem. George Boole. No entanto, o conceito de reticulado, no sentido atual, foi introduzido pelo alemão Richard Dedekind ( ) por volta de 1890 com a tentativa de responder a seguinte problemática ([6]): dados três subgrupos A, B e C de um grupo abeliano, qual o maior número de subgrupos distintos que é possível formar usando A, B e C e as operações de união (ou soma) e interseção? Dedekind iniciou a teoria básica dos reticulados culminando com a publicação de dois artigos, em 1897 e Todavia, o tema permaneceu adormecido até a década de 1930, quando passou a ter a colaboração de outros matemáticos, como Ernest Schroder, Garret Birko, Oystein Ore e George Gratzer. 9

10 Daquele momento em diante, a teoria dos reticulados tem sido um tema ativo e em crescimento, tanto em termos de sua aplicação à álgebra e suas próprias questões intrínsecas ([5]). Assim, sob caráter introdutório, pretendemos com este trabalho resgatar esta fecunda linha de pesquisa da álgebra moderna, salientando sua utilidade como uma conveniente ferramenta para elucidar características intrínsecas à estrutura de grupo. Dispusemos este trabalho em três capítulos da seguinte maneira: No Capítulo 1 introduziremos os resultados que darão suporte ao documento e é assumido o conhecimento por parte do leitor de relações binárias. Iniciamos com a denição de ordem parcial em um conjunto, e apresentamos os conceitos relacionados a conjuntos ordenados como ordem dual, elementos máximo e mínimo, diagramas de Hasse e isomorsmo entre conjuntos ordenados. Sobremaneira, este estudo teve como base a referência [4]. Além disso, abordamos brevemente tópicos importantes sobre grupos, os quais serão amplamente utilizados no Capítulo 3. Nesta seção, seguimos essencialmente [1] e [2]. Por m, apresentamos a denição de Anel de Boole. No capítulo 2 apresentamos a denição de reticulado como um caso particular de conjuntos ordenados. Deniremos distributividade, modularidade e completude, em reticulados, e mostraremos condições que identicam reticulados com estas propriedades, das quais destacamos a Lei de Corte. Em seguida, descreveremos com detalhes o processo de contrução de álgebras de Boole a partir de anéis de Boole, e reciprocamente. Tivemos como referência [3] e [4]. O Capítulo 3 será destinado aos reticulados de subgrupos. Relacionaremos reticulados distributivos e grupos cíclicos, reticulados modulares e grupos abelianos e reticulados auto-duais e grupos abelianos nitos. Em seguida, ancorados em alguns problemas sugeridos em [7], mostraremos alguns teoremas que classicam reticulados de subgrupos como cadeias, álgebras de Boole e o Grupo de Klein. Também mostraremos exemplos de reticulados que não são reticulados de subgrupos. 10

11 Capítulo 1 Preliminares 1.1 Conjuntos Parcialmente Ordenados Denição e Exemplos Denição Seja P um conjunto não vazio. Dizemos que uma relação binária é uma ordem parcial em P, normalmente denotada por, se possui as seguintes propriedades: i) a a, para todo a P (reexividade); ii) Se a, b P são tais que a b e b a, então a = b (anti-simetria); iii) Se a, b, c P são tais que a b e b c, então a c (transitividade); Neste contexto, dizemos que o par (P, ) é um sistema parcialmente ordenado, ou que P é um conjunto parcialmente ordenado. Uma ordem parcial também recebe a denominação de relação de precedência. Assim, se a b, dizemos que a precede b, e que os elementos a e b são comparáveis. Se a b e a b então escrevemos a < b e dizemos que a precede efetivamente b. Dizemos ainda que b é um sucessor de a se a < b e se não existe x P tal que a < x < b. Denição Seja uma ordem parcial em P. Se a b ou b a, para quaisquer a, b P, dizemos que é um ordem total e que (P, ) é um sistema totalmente ordenado, ou cadeia. Observe, portanto, que numa cadeia quaisquer dois elementos são comparáveis. 11

12 Denimos o comprimento de uma cadeia nita de n elementos como sendo n 1. Seja C N o conjunto dos comprimentos de todas as cadeias nitas contidas em P. Se C é limitado superiormente, dizemos que P tem comprimento nito. Em caso contrário, dizemos que P tem comprimento innito. Denição Denimos o comprimento (ou altura) de um conjunto ordenado P, e denotamos por l(p ), como sendo l(p ) = max{n N; n C }, se P tem comprimento nito. Se {n N; n C } é ilimitado, denimos l(p ) =. De agora em diante, denotaremos (P, ) simplesmente por P, cando sua ordem subentendida. Exemplo Seja E um conjunto qualquer. O conjunto P(E) das partes de E, munido da relação de inclusão, é um sistema parcialmente ordenado. Temos que l(p(e)) = número de elementos de E, se E for nito. Exemplo Sendo G um grupo, o conjunto dos subgrupos de G, munido da relação de inclusão, é um sistema parcialmente ordenado, normalmente denotado por R(G). Este será um dos principais objetos de estudo deste trabalho. Exemplo O conjunto R dos números reais, munido de sua ordem usual, é uma cadeia. Exemplo O conjunto N dos números naturais, munido da relação de divisibilidade, é um sistema parcialmente ordenado. Observação O conjunto Z dos inteiros não pode ser ordenado pela relação de divisibilidade. De fato, dado a Z não nulo, temos que a divide a e a divide a, mas a a. Logo, a propriedade de anti-simetria não é válida. Exemplo Sejam P 1 e P 2 conjuntos ordenados. Considerando o produto cartesiano P 1 P 2, vamos denir a relação 12

13 (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) se x 1 x 2 e y 1 y 2. Temos que P 1 P 2 munido desta relação é um conjunto parcialmente ordenado, chamado de produto cardinal (ou produto direto) de P 1 e P 2. Observação Se o produto cardinal P 1 P 2 é uma cadeia, então P 1 e P 2 também são. No entanto, a recíproca não é verdadeira. De fato, os elementos (0, 1) e (1, 0) são incomparáveis em R R. Denição (Q, ) é dito ser um subsistema de (P, ) se Q P. Exemplo Todo subsistema é por si um sistema parcialmente ordenado, e todo sistema é um subsistema de si próprio. Exemplo Considerando os conjuntos numéricos N, Z, Q e R, temos que N é um subsistema de Z, que é um subsistema de Q, que por sua vez é um subsistema de R, com respeito à sua ordem usual. Exemplo Seja E um conjunto innito. Então o conjunto de suas partes nitas constitui um subsistema de P(E), com respeito a relação de inclusão. Exemplo Se a, b P e a b, denotemos por [a, b] o conjunto formado pelos elementos x P tais que a x b. Temos que [a, b] é um subsistema de P chamado de intervalo fechado com extremos a e b. Em especial, para todo a P, temos que {a} = [a, a] é um subsistema de P. Exemplo Dado n N, denotaremos por D n o conjunto dos divisores naturais de n. Temos que D n é um subsistema de N, com respeito à relação de divisibilidade. Observe que D n = [1, n] Dual de um Sistema Parcialmente Ordenado Denimos a inversa de uma relação de ordem em um conjunto P, e denotamos por, como sendo uma relação de ordem em P que satisfaz para quaisquer a, b P. a b b a 13

14 Denição O sistema (P, ) será dito o dual do sistema (P, ) se a ordem parcial for a relação inversa da ordem parcial. Denotaremos por P o dual de um conjunto ordenado P. Observação Todo sistema parcialmente ordenado coincide com o dual do seu dual. O dual de uma cadeia ainda é uma cadeia Elementos Maximais, Minimais, Máximos e Mínimos Denição Sejam P um conjunto parcialmente ordenado, S P e x S. Dizemos que: a) x é um elemento minimal de S, se não existe s S tal que s < x. b) x é um elemento maximal de S, se não existe s S tal que x < s. Denição Sejam P um conjunto parcialmente ordenado, S P e x P. Dizemos que: a) x é uma cota inferior de S, se x s para todo s S. b) x é uma cota superior de S, se s x para todo s S. No contexto da denição anterior, se x S é uma cota superior de S, então dizemos que x é um elemento máximo de S. Dualmente, se x S é uma cota inferior de S, então dizemos que x é um elemento mínimo de S. É imediato que todo elemento mínimo de S também é um elemento minimal de S. Além disso, se x, x S são elementos mínimos de S, então x x e x x, ou seja, x = x. Portanto, o elemento mínimo de um conjunto, se existir, é único, e é denotado por mins. De maneira dual, todo elemento máximo também é um elemento maximal, e é único, se existir. Denotaremos por maxs o elemento máximo de S, se existir. Usualmente, vamos denotar o mínimo e o máximo de um conjunto ordenado P por 0 e 1, respectivamente, se existirem. Exemplo Em R não existem elementos minimais ou maximais, com respeito à sua de ordem usual. 14

15 Exemplo Em D 36, considere o subconjunto S = {2, 3, 6, 12, 18}. Temos que 2 e 3 são elementos minimais e 12 e 18 são elementos maximais em S, mas não existe em S nem máximo e nem mínimo. Seja P um conjunto parcialmente ordenado com elemento mínimo 0. Dizemos que x P é um átomo de P se x é um sucessor de 0. Observe que os átomos (se existirem) são os elementos minimais do subsistema que se obtém de P, excluindo-se o elemento 0. Exemplo Seja E um conjunto qualquer. Então 0 = e 1 = E em P(E) (ordenado pela inclusão). Ademais, os seus átomos são exatamente os subconjuntos unitários de E. Exemplo O conjunto N dos números naturais, parcialmente ordenado pela divisibilidade, tem como o seu mínimo o número 1, mas não possui máximo. Temos que os seus átomos são exatamente os números primos. Exemplo Sendo G um grupo, tem-se 0 = {e} e 1 = G em R(G), onde e denota o elemento neutro de G. Note também que os átomos em R(G) são os subgrupos de G que não possuem subgrupos intermediários, ou seja, são exatamente os seus subgrupos de ordem prima, se existirem (conforme veremos na seção 3.1). Observe que para cada p primo, pz é maximal em R(Z) Z, mas não existem átomos em R(Z) Diagramas de Hasse Em geral, a utilização de diagramas é uma conveniente ferramenta para identicar relações hierárquicas entre determinados elementos. Não obstante, no caso de sistemas parcialmente ordenados nitos, os diagramas de Hasse serão introduzidos de modo a evidenciar tais relações. Considerando-se um sistema ordenado nito P, seu diagrama é construído da seguinte forma: Os elementos do sistema são representados por pequenos círculos; Se a < b, então o círculo que representa b ca acima do círculo que representa a; Se b é sucessor de a, então o círculo que representa a é ligado ao círculo que representa b por um segmento de reta. 15

16 Exemplo Considere os diagramas abaixo. O primeiro diagrama representa o conjunto D 30, ordenado pela divisibilidade (Exemplo ). O segundo representa uma cadeia com quatro elementos. Exemplo Considere o sistema parcialmente ordenado representado pelo seguinte diagrama: Observe que esta é uma generalização dos diagramas de Hasse para conjuntos ordenados innitos. Observe também que o sistema representado acima possui innitos átomos, mas sua altura é nita (igual a 2) Isomorsmo de Conjuntos Parcialmente Ordenados Denição Sejam P e Q dois sistemas parcialmente ordenados. Diremos que uma aplicação ϕ : P Q é: a) isótona, se para a, b P tais que a b tivermos ϕ(a) ϕ(b). b) antítona, se para a, b P tais que a b tivermos ϕ(b) ϕ(a). 16

17 Denição Um isomorsmo de conjuntos ordenados é denido como sendo uma bijeção isótona com inversa isótona. Se existe um isomorsmo ϕ : P Q dizemos que P e Q são sistemas isomorfos, e denotamos por P Q. Observação Nem toda aplicação isótona possui inversa isótona. De fato, basta considerarmos a aplicação ϕ : D 6 {1} D 9 denida por 1, se x = 2 ϕ(x) = 3, se x = 3 9, se x = 6 Temos que 1 3 em D 9, mas sequer ϕ 1 (1) e ϕ 1 (3) são comparáveis em D 6 {1}. Observação Se ϕ : P Q é um isomorsmo de conjuntos ordenados e x, y P são elementos distintos, então: x < y ϕ(x) < ϕ(y). Portanto, todas as relações hierárquicas entre os elementos são preservadas por isomorsmos, e daí, podemos concluir que sistemas isomorfos possuem o mesmo diagrama de Hasse. Quanto à recíproca, conforme discutimos anteriormente, como os diagramas de Hasse estabelecem tais relações, então podemos concluir que conjuntos ordenados que possuem o mesmo diagrama de Hasse são isomorfos. Observação Claramente, todo sistema parcialmente ordenado é isomorfo a si. Observe também que se ϕ : P Q é um isomorsmo, então a aplicação inversa ϕ 1 : Q P também é um isomorsmo. De fato, se y 1, y 2 Q então existem x 1, x 2 P tais que ϕ(x 1 ) = y 1 e ϕ(x 2 ) = y 2. Logo, y 1 y 2 ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 ) ϕ 1 (y 1 ) = x 1 x 2 = ϕ 1 (y 2 ). Ademais, como a composta de duas aplicações isótonas é uma aplicação isótona, segue que a composição de isomorsmos ainda é um isomorsmo. Com base nisto, ca estabelecido, portanto, que a relação de isomorsmo na classe de todos os sistemas parcialmente ordenados é uma relação de equivalência. 17

18 Observação Sejam P e Q conjuntos ordenados e ψ : P Q um isomorsmo. Se P tem mínimo 0 P, então Q também possui mínimo e ψ(0 P ) = 0 Q. De fato, se y Q, então y = ϕ(x), com x P. Sendo 0 P x, tem-se ϕ(0 P ) ϕ(x) = y. Por analogia: ψ(1 P ) = 1 Q (onde 1 P é o maxp, se existir); Se x P é maximal, então ψ(x) é maximal em Q; Se x P é minimal, então ψ(x) é minimal em Q. Um isomorsmo de um sistema parcialmente ordenado sobre si mesmo será dito um automorsmo. Denição Um isomorsmo dual é denido como sendo uma aplicação bijetiva, antítona e com inversa antítona. Um isomorsmo dual de um sistema sobre si é denido como sendo um automorsmo dual, ou auto-dualidade. Observe que um isomorsmo dual entre conjuntos ordenados P e Q pode ser visto como um isomorsmo entre P e o dual de Q. Neste sentido, um automorsmo dual é um isomorsmo entre um conjunto ordenado e seu dual. Em especial, se ψ : P Q é um isomorsmo dual, então, tendo em vista a Observação , tem-se: ψ(0 P ) = 1 Q (onde 0 P = minp, se existir); ψ(1 P ) = 0 Q (onde 1 P = maxp, se existir); Se x P é maximal, então ψ(x) é minimal em Q; Se x P é minimal, então ψ(x) é maximal em Q. 1.2 Algumas Notas Sobre Grupos Nesta seção pretendemos coligir alguns resultados e conceitos relevantes sobre a Teoria de Grupos, os quais se farão presentes ao longo deste trabalho. Esclarecemos, ainda, que as demonstrações serão omitidas para que o presente texto não se torne demasiado longo, e portanto, fuja do seu objetivo. 18

19 1.2.1 Denição e Propriedades Básicas Denição Sejam G um conjunto não vazio e uma operação em G. Dizemos que o par (G, ) é um grupo se: i) é associativa, ou seja, (a b) c = a (b c) para quaisquer a, b, c G; ii) possui elemento neutro, ou seja, existe e G tal que e g = g e = g para todo g G; iii) Para cada g G, existe g 1 G tal que g g 1 = g 1 g = e. Muitas vezes deixaremos de indicar a operação do grupo, escrevendo simplesmente G para denotar (G, ). Para a, b G também representaremos a b por ab. Não é difícil ver que o elemento neutro em G é único. Ademais, para cada g G existe um único g 1 G tal que gg 1 = g 1 g = e. O elemento nestas condições é chamado de inverso de g. Dizemos que G é um grupo abeliano, se a operação é comutativa. Dizemos que (G, ) é um grupo nito se o conjunto G é nito. Em caso contrário, dizemos que o grupo é innito. Sendo (G, ) nito, denimos a sua ordem como sendo o número de elementos de G. Sendo (G, ) innito, denimos a sua ordem como sendo innita. Denotaremos a ordem de G por G. Observação Temos duas notações para grupos. Multiplicativa: denota a operação, e (ou 1) denota o elemento neutro e g 1 denota o inverso do elemento g. Aditiva: + denota a operação, 0 denota o elemento neutro e g denota o inverso de g. Observação Sendo G um grupo, g G e n Z, denimos e, se n = 0 gg g, se n > 0 g n }{{} = n vezes (g 1 ) n, se n < 0 São válidas as leis das potências: g n+m = g n g m e (g n ) m = g nm, com n, m Z. Perceba que na notação aditiva, usamos ng ao invés de g n. 19

20 Exemplo (Z, +) e (Q, +) são grupos aditivos e (C = C {0}, ) é um grupo multiplicativo, onde + e representam a soma e o produto usuais de números. Além disso, estes grupos são abelianos. Exemplo Sejam G = {e, a, b, c} e uma operação em G denida segundo a tabela: e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Temos que G, munido desta operação, é um grupo, chamado de Grupo de Klein. Exemplo Sejam n N e M n (R) o conjunto das matrizes de ordem n com entradas em R. Considerando o conjunto GL n (R) = {X M n (R); detx 0}, temos que GL n (R) é fechado em relação ao produto usual de matrizes. Ademais, GL n (R), munido deste produto, é um grupo, chamado de grupo linear de grau n sobre R. Exemplo Sejam G 1,..., G n grupos e considere o produto cartesiano G 1 G n. Denimos em G 1 G n a operação: (x 1,..., x n ) (y 1,..., y n ) = (x 1 y 1,..., x n y n ) Temos que G 1 G n, munido desta operação, é um grupo, chamado de produto direto de G 1,..., G n. Sendo e i o elemento neutro de G i, temos que (e 1,..., e n ) é o elemento neutro do produto direto G 1... G n. Se (x 1,..., x n ) G 1 G n, então (x 1,..., x n ) 1 = (x 1 1,..., x 1 n ). Denição Sejam G um grupo e g G. Dizemos que g tem ordem nita se existe n Z não nulo tal que g n = e. Neste caso, denimos a ordem de g, denotada por o(g), como sendo o(g) = min{n N g n = e}. 20

21 Se g n = e vale somente para n = 0, dizemos que a ordem de g é innita, e denotamos por o(g) =. Denotemos por T (G) o conjunto dos elemetos de ordem nita de G. Dizemos que G é um grupo de torção se T (G) = G. Dizemos que G é um grupo livre de torção se T (G) = {e}. Observação Sejam G um grupo, g G e n, m Z. a) Se o(g) é nita, vale: g n = e o(g)divide n. Ademais, g n = g m se, e somente se, n m (mod o(g)). b) Se o(g) é innita, então g n = g m se, e somente se, n = m Subgrupos Denição Seja G um grupo. Denimos um subgrupo de G como sendo um subconjunto H não vazio de G tal que: i) xy H para quaisquer x, y H; ii) x 1 H para todo x H. Escrevemos H G para indicar que H é subgrupo de G. Se H G, observe que H é por si um grupo, cujos subgrupos são exatamente os subgrupos de G contidos em H. Exemplo G e {e} são subgrupos de G. Exemplo Se G é o Grupo de Klein, então os seus subgrupos são exatamente {e}, G, {e, a}, {e, b} e {e, c}. Exemplo Dado g G, consideremos o seguinte conjunto g = {g n n Z}. Temos que g é um subgrupo de G, chamado de subgrupo gerado por g. Observe que g = g 1. Ademais, se o(g) =, então g é innito. Se o(g) é nito, então g = {e, g,..., g k 1 }, onde k = o(g). Nestas condições, g é nito de ordem igual a o(g). 21

22 Exemplo Se n Z, então nz = {nq q Z} é um subgrupo do grupo aditivo dos inteiros. Observe que nz = n. Exemplo Sejam G um grupo abeliano e H um subgrupo de G. Se g G, denimos o conjugado de H por g, denotado por g 1 Hg, como sendo g 1 Hg = {g 1 hg; h H}. Perceba que g 1 Hg G e que H = g 1 Hg. Exemplo Denimos o centro de G, normalmente denotado por Z(G), como sendo Z(G) = {x G xg = gx, g G}. Note que Z(G) G. Exemplo Se G é um grupo e (H i ) i I é uma família de subgrupos de G, i I é um subgrupo de G. Além disso, tal interseção é o maior subgrupo contido H i em todos os H i 's. Se a família (H i ) i I for uma cadeia (ou seja, H i1 ou H i2 H i1 para quaisquer i 1, i 2 I), então i I H i H i2 é um subgrupo de G. Denição Se S G, denimos o subgrupo de G gerado por S, denotado por S, como sendo a interseção de todos os subgrupos de G que contêm S. Observação Sendo G um grupo, tem-se: Se S G, então S S. Além disso, se H é subgrupo de G e S H, então S H. Se S 1 S 2 G, então S 1 S 2. 22

23 Observe que se S G, então S = {x 1 x 2... x n /n N, x i S S 1 }, onde S 1 = {s 1 /s S}. Se H é subgrupo de G e H = S, dizemos que S gera H, ou que S é o conjunto gerador de H. Se H possui um conjunto gerador nito, dizemos que H é nitamente gerado. Se S = {a 1,..., a n }, denotamos S por a 1,..., a n. Sendo G abeliano, temos a 1,..., a n = {a k a kn n /k i Z} (ou {k 1 a 1 + k n a n /k i Z}, em notação aditiva). Sejam G um grupo e H e N subgrupos de G. Denimos HN = {hn/h H, n N}. Temos que H e N são subconjuntos de HN. Observe que se G é abeliano, então HN G. Se H e N são nitos, então HN = H N H N (consultar [2], página 142). Observe também que H N HN H N Classes Laterais e o Teorema de Lagrange Denição Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e g G. Denimos: a) A classe lateral à diretia de H contendo g, denotada por Hg, como sendo Hg = {hg/h H}. b) A classe lateral à esquerda de H contendo g, denotada por gh, como sendo gh = {gh/h H}. Observação ) No contexto da denição anterior, temos que Hg = Hg = H. 2) Para g G vale: gh = H g H Hg = H. 3) Para x, y G vale: xh = yh x 1 y H e Hx = Hy xy 1 H. 23

24 Vamos denotar por D G:H o conjunto de todas as classes laterais à direita de H em G e por E G:H o conjunto de todas as classes laterais à esquerda de H em G. Ademais, a aplicação f : E G:H D G:H xh f(xh) = Hx 1 é bem denida e é uma bijeção. Assim, os conjuntos E G:H e D G:H têm a mesma cardinalidade, a qual é chamada de índice de H em G, e denotada por G : H. Teorema (Lagrange) Se G é um grupo nito e H é um subgrupo de G, então G = G : H H e assim H divide G. Demonstração. Consultar [2], página 134. Observação O Teorema de Lagrange estabelece um resultado bastante útil: se G é um grupo nito de ordem prima, então {e} e G são seus únicos subgrupos. Consequentemente, se g G {e}, então g = G Grupos Cíclicos Denição Dizemos que G é um grupo cíclico se existe g G tal que G = g. Nas condições desta denição, observe que G = o(g). Todo grupo cíclico é abeliano (pela lei das potências, g m g n = g m+n = g n+m = g n g m ), mas a recíproca não vale. Basta tomarmos como exemplo o Grupo de Klein. Segue do Exemplo que se G é nito, vale: G é cíclico existe g G tal que o(g) = G. Observação Todo grupo cíclico é nitamente gerado (pois possui conjunto gerador unitário). 24

25 Teorema Seja G = g cíclico. a) Se H G, com H {e}, então H = g k onde k = G : H. b) Sejam H 1 e H 2 subgrupos de G tais que G : H 1 = n e G : H 2 = m. Vale: H 1 H 2 = G mdc(n, m) = 1. c) Se G é innito, então g n = g m se, e somente se, n = ±m. d) Se G é nito e n é divisor de G, existe um único H G tal que H = n. Ademais, H = g k, onde k = G /n = G : H. e) Se G é nito e k Z, então o(g k ) = G /d, onde d = mdc( G, k). Ademais, G = g k se, e somente se, mdc( G, k) = 1. Dizemos que um grupo é localmente cíclico se todo subgrupo nitamente gerado é cíclico. Observação Seja G um grupo localmente cíclico. Valem: a) G é abeliano. De fato, dados a, b G, temos que a, b é um subgrupo nitamente gerado de G, e portanto é cíclico. Logo a, b é abeliano, donde ab = ba. Como estes elementos foram tomados arbitrários em G, segue o resultado. b) Se H G, então H é localmente cíclico. c) Se G é um grupo nitamente gerado, então G é cíclico. Observação G é localmente cíclico se, e somente se, a, b é cíclico, para todo a, b G. De fato, basta observar que se a 1,..., a n G e a n 1, a n = c, então a 1,..., a n = a n,..., a n 2, c Subgrupos Normais e Grupos Quocientes Denição Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Dizemos que H é um subgrupo normal de G, e denotado por H G, se gh = Hg para todo g H. Observação Se G é um grupo e N G. Então: N G g 1 Ng = N, g G. Em decorrência disto, se H G e é único com sua ordem, então H é normal em G. 25

26 Observação Se H G ou N G, então HN G (consultar [2], página 141). Neste caso, como H N HN, devemos ter H N HN, e assim H N = HN. Sejam N G e G/N = {gn g G}. Por simplicidade, vamos denotador gn por g. Considere também a seguinte operação: : G/N G/N G/N (a, b) a b = ab Temos que G/N, munido desta operação (bem denida, uma vez que N é normal em G), é um grupo, chamado de grupo quociente de G por N. Observe que e = N é o elemento neutro em G/N. Observe também que se a G, então a 1 = a 1 em G/N. Observação Sejam G um grupo e N G. Valem: a) G/N é trivial se, e somente se, N = G. b) Se g G e n Z, então g n = g n. Segue daí que se G é cíclico, então G/N é cíclico. c) Se G é abeliano, então G/N é abeliano. d) Se G é nitamente gerado, então G/N é nitamente gerado. e) Se G/N e N são nitos, então G é nito. f) Se N Z(G) e G/N é cíclico, então G é abeliano. Exemplo Sendo p primo, considere o subgrupo do grupo aditivo dos racionais { } a A = p ; a Z, n 0. n Temos que o quociente A/Z é um grupo, chamado de p-grupo de Prufer, e normalmente denotado por C p. Denindo α n = 1/p n e H n = α n, temos C p = H n, e o(α n ) = p n. De fato, observe que a inclusão n=1 H n C p é clarividente. Reciprocamente, se g C p, então g = a/p n, para algum a Z e n Z. Nestas condições n=1 g = a/p n = a1/p n = aα n α n H n 26

27 e assim g n=1 H n mostrando a igualdade. Perceba também que α n = p m n α m para m n, e assim H n H m. Tomando agora H um subgrupo próprio de C p, deve existir n N tal que α n / H, e daí α m / H para m n. Seja, portanto, n 0 = max{n N; α n H}. Uma vez que α n0 H, então H n0 H. Reciprocamente, se g H então g = a/p m = aα m, para algum a Z e m N, com mdc(a, p m ) = 1. Existem, portanto, t, s Z tais que ta + sp m = 1. Como ta + sp m = 1 = t(a/p m ) + s = 1/p m = tg = α m = α m H = m n 0, temos que α m H n0. Portanto, g H n0 e H = H n0. Mais geralmente, estes apontamentos indicam que os subgrupos próprios de C p formam a seguinte cadeia não estacionária {e} = H 0 < H 1 < H 2 < < H n < H n+1 < onde H n = α n. O grupo C p é localmente cíclico. De fato, tomando g 1,..., g k C p e H n1,..., H nk subgrupos de C p, tais que g j H nj, seja l = max{n 1,..., n k }. Assim, g 1,..., g k H l, donde g 1,..., g k H l e portanto g 1,..., g k é cíclico. Teorema (Teorema da Correspondência) Sejam G um grupo e N G. Então: a) Se H G e N H, então H/N = {h = hn/h H}. b) Todo subgrupo de G/N é da forma K/N, onde K é um subgrupo de G contendo N. 27

28 c) Se K 1 e K 2 são subgrupos de G, ambos contendo N, tais que K 1 /N = K 2 /N, então K 1 = K 2. Ademais, K 1 K 2 se, e somente se, K 1 /N K 2 /N. d) Se H é um subgrupo de G, com N H, tem-se H/N G/N se, e somente se, H G. Observe que o Teorema da Correspondência associa biunivocamente: { } { } Subgrupos de G Subgrupos de contendo N G/N K K/N Demonstração. Consultar [2], página Homomorsmos de Grupos Denição Sejam G e G 1 grupos. Dizemos que uma aplicação ϕ : G G 1 é um homomorsmo de grupos se ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) para quaisquer a, b G. Denimos o Núcleo e a Imagem de um homomorsmo ϕ : G G 1, denotados por Kerϕ e Imϕ, respectivamente, como sendo Kerϕ = {x G ϕ(x) = e 1 }, onde e 1 denota o elemento neutro de G 1, e Imϕ = {y G 1 y = ϕ(x), para algum x G}. Denimos um isomorsmo como sendo um homomorsmo bijetivo. Sendo G 1 e G 2 grupos isomorfos, indicamos por G 1 G 2. Observação A inversa de um isomorsmo também é um isomor- smo. Proposição (Propriedades Básicas) Sejam G e G 1 ϕ : G G 1 um homomorsmo de grupos. Valem: grupos e a) ϕ(e) = e 1. 28

29 b) ϕ(x n ) = ϕ(x) n para quaisquer x G e n Z. c) Se H é um subgrupo de G, então ϕ(h) = {ϕ(h) h H} é um subgrupo de G 1. Particularmente, Imϕ é subgrupo de G 1. d) Se K é um subgrupo de G 1, então ϕ 1 (K) G. Ademais, se K G 1, então ϕ 1 (K) G. Particularmente, kerϕ G. e) ϕ é injetor se, e somente se, Kerϕ = {e}. Teorema (1 Teorema de Isomorrmo) Sejam G e G 1 grupos e ϕ : G G 1 um homomorsmo. Sendo N = Kerϕ, a aplicação ϕ : G/N Imϕ g ϕ(g) = ϕ(g) é bem denida e é um isomorsmo. Consequentemente, G/N Imϕ. Demonstração. Consultar [2], páginas Teorema (2 Teorema de Isomorsmo) Sejam G um grupo e H e N subgrupos de G, com N G, então H N H e HN N H H N. Demonstração. Consultar [2], páginas Teoremas de Cauchy e de Sylow Teorema (Cauchy) Sejam G um grupo e p um divisor primo de G. Então G possui pelo menos um elemento de ordem p, e consequentemente pelo menos um subgrupo de ordem p. Demonstração. Consultar [1], página 219. Teorema (1 Teorema de Sylow) Seja G um grupo nito de ordem p n m, onde p é primo, n 1 e p não divide m. se k {1, 2..., n}, então G possui pelo menos um subgrupo de ordem p k. Ademais, se k < n e H é um subgrupo de G de ordem p k, então existe algum subgrupo N de G tal que H N e N = p k+1. 29

30 Demonstração. Consultar [1], páginas Sejam G um grupo nito e p um divisor primo de G. O 1 Teorema de Sylow assegura que se p k divide G, então G deve possuir pelo menos um subgrupo de ordem p k. Considere p n a maior potência de p que divide G. Um subgrupo de G de ordem p n é chamado de S p -subgrupo ou p-subgrupo de Sylow de G. Teorema (2 Teorema de Sylow) Sejam G um grupo nito e p um divisor primo de G. Se P 1 e P 2 são dois S p -subgrupos de G, então P 1 e P 2 são conjugados. Demonstração. Consultar [1], página 221. Teorema (3 Teorema de Sylow) Sejam G um grupo nito, p um divisor primo de de G e n p o número de S p -subgrupos de G. Então n p 1 (mod p) e n p divide G : P, onde P é um S p -subgrupo de G. Demonstração. Consultar [1], páginas Grupos Abelianos Finitamente Gerados Sendo G um grupo abeliano nitamente gerado, dentre todos os conjuntos geradores nitos de G, considere aqueles que têm a menor quantidade de elementos. Esta menor quantidade de elementos que um conjunto gerador de G pode ter é chamada de número mínimo de geradores de G, e é denotada por d(g). Observe que d(g) = 1 se, e somente se, G é cíclico. No próximo teorema, C denotará um grupo cíclico innito, Cm (m N) denotará o produto direto C C }{{ e C } k (k N) denotará o grupo m vezes cíclico de ordem k. Teorema (Teorema Fundamental) Seja G um grupo abeliano - nitamente gerado. Então: a) G C d1 C d2 C dn C m, onde, n, m 0, d i divide d i+1, para todo i = 1,..., n 1, e d 1 2. Ademais, d(g) = n + m, e m = 0 se, e somente se, G é nito. b) Se C d1 C d2 C dn C m C q1 C q2 C qu C v, com d 1, q 1 2, d 1 divide d i+1, q i divide q i+1 e n, m, u, v 0, então n = u, m = v e d i = q i para todo i = 1,..., n 1. 30

31 Demonstração. Consultar [2], página 309. Observação Sejam G, G 1,..., G n grupos. Então se o grupo G é isomorfo ao grupo G 1... G n, então G possui subgrupos normais H 1 G 1,..., H n G n tais que: a) G = H 1... H n. b) Para cada g G, existem elementos unicamente determinados x 1 H 1,..., x n H n tais que g = x 1... x n. Para maiores esclarecimentos sobre a observação anterior, indicamos a leitura de [2], páginas Anéis de Boole Denição Sejam R um conjunto não vazio e + e duas operações binárias em R. Dizemos que a terna (R, +, ) é um anel se: i) (R, +) é um grupo abeliano. ii) é associativa, ou seja, (a b) c = a (b c) para quaisquer a, b, c R. iii) é distributiva em relação a +, ou seja, a (b + c) = a b + a c e (a + b) c = a c + b c, para quaisquer a, b, c R. Sendo (R, +, ) um anel, chamamos a operação + de adição e a operação de multiplicação. Para a, b R, costumamos denotar a b simplesmente por ab. O elemento neutro para + em R também é normalmente chamado de zero do anel R, e denotado por 0 (ou por 0 R ). Além disso, para cada a R existe um único a R tal que a + ( a) = ( a) + a = 0, o qual é chamado de oposto aditivo de a. Observe que ( a) = a. Dizemos que o anel R é comutativo se for comutativa. Dizemos que R é um anel com unidade se existe 1 R tal que 1x = x1 = x para todo x R. Obsrve que um tal elemento, se existir, é único, e é chamado de unidade de R. Dizemos que x R é idempotente se x 2 = x. Denição Um anel de Boole é denido como sendo um anel onde todo elemento é idempotente. 31

32 Observação Seja A um anel de Boole. Observe primeiramente que para todo a A 2a = (2a) 2 = 4a 2 = 4a, isto é, 2a = 0, e assim a = a. Daí, se x, y R, tem-se x + y = (x + y) 2 = (x + y)(x + y) = x 2 + xy + yx + y 2 = x + xy + yx + y, e portanto xy + yx = 0 = xy = yx = yx. Assim, todo anel de Boole é comutativo. 32

33 Capítulo 2 Reticulados 2.1 Conceitos Primários Denição e Exemplos Sejam P um conjunto parcialmente ordenado e X P um subconjunto limitado superiormente, ou seja, que possui cota superior em P. Um elemento b P será chamado de supremo do conjunto X, quando b é a menor das cotas superiores de X em P, isto é: i) Para todo x X, tem-se x b; ii) Se c P é tal que x c para todo x X, então b c. É imediato que se dois elementos b e b em P cumprem as condições (i) e (ii) acima, então b b e b b, ou seja, b = b. Portanto, o supremo de um conjunto, se existir, é único, e denotado por supx. De maneira dual, um elemento a P será chamado de ínmo de um conjunto Y, limitado inferiormente, quando a é a maior das cotas inferiores de Y em P, ou seja, se valem: i ) Para todo y Y tem-se a y; ii ) Se c P é tal que c y para todo y Y, então c a. Note que o ínmo de um conjunto, quando existe, também é único, e denotado por infy. 33

34 Denição Um sistema parcialmente ordenado será dito um reticulado se nele existirem o supremo e o ínmo de qualquer par de seus elementos. e Sendo R um reticulado, consideremos as operações em R denidas por: : R R R (a, b) a b = sup{a, b} : R R R (a, b) a b = inf{a, b} Observe que estas operações estão bem denidas em virtude da unicidade de supremos e ínmos, comentadas anteriormente. Dessa forma, passaremos a indicar por e por, o supremo e o ínmo de um par de elementos. Mais geralmente, se P é um conjunto ordenado e S P, denotaremos quando conveniente sups = s e infs = s s S s S se estes existirem. De modo particular, se S = {s 1, s 2,..., s n }, então denotaremos n n sups = s i e infs = i=1 Exemplo Toda cadeia é um reticulado, pois quaisquer dois de seus elementos são comparáveis. Logo, o supremo de um par {a, b} será o maior entre a e b, e o ínmo será o menor entre eles. Exemplo O conjunto das partes de um conjunto E, parcialmente ordenado pela inclusão, é um reticulado. Observe que o supremo e o ínmo de dois subconjuntos de E são, respectivamente, sua união e sua interseção. Exemplo O conjunto N dos números naturais, parcialmente ordenado pela divisibilidade, é um reticulado. O supremo e o ínmo de dois elementos são, respectivamente, o mínimo múltiplo comum e o máximo divisor comum entre eles. Exemplo Para todo grupo G, temos que R(G) é um reticulado. De fato, dados H, N G, lembre que H N é o maior subgrupo contido em ambos, donde H N = H N. Além disso, claramente H H N e N H N. Tomando, agora, K subgrupo de G tal que H K e N K, temos que H N K e assim H N K. Portanto, H N = H N. 34 i=1 s i

35 Exemplo O conjunto de todos os subespaços de um espaço vetorial, parcialmente ordenado pela inclusão, é um reticulado. Observe que o ínmo de dois subespaços W 1 e W 2 é a sua interseção. Veja também que se W 3 é um subespaço de sorte que W 1, W 2 W 3, então W 1 + W 2 W 3, onde W 1 + W 2 = {w 1 + w 2 ; w i W i }. Assim, W 1 +W 2 é o menor subespaço que contém ambos, ou seja, W 1 W 2 = W 1 + W 2. Exemplo Se P é o dual do conjunto parcialmente ordenado P, temos que a b = c em P se, e somente se, a b = c em P. Da mesma forma, a b = d em P se, e somente se, a b = d em P. Portanto, o dual de um reticulado é um reticulado. Exemplo Os diagramas de Hasse de todos os reticulados de ordem menor do que 6 são: Este último será chamado de Pentágono. Exemplo Considere (G, ) o Grupo de Klein (veja Exemplo 1.2.5), onde G = {e, a, b, c}. Sabemos que seus subgrupos são exatamente: {e}, G, a = {e, a}, b = {e, b} e c = {e, c}. Logo, R(G) possui 5 elementos, dos quais G e {e} são, respectivamente, o máximo e o mínimo, e os demais são incomparáveis dois a dois. Portanto, o diagrama de Hasse de R(G) é: 35

36 o qual será chamado de Reticulado de Klein. Exemplo O produto cardinal (Exemplo 1.1.9) de dois reticulados é um reticulado. Sendo R e L dois reticulados e (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ) R L, temos que (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ) e (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ). Vimos que o conceito de reticulado está fortemente associado aos conceitos de supremo e ínmo. Neste sentido, é fundamental esclarecermos algumas propriedades relevantes sobre e, as quais serão alicerce na condução de nosso estudo. Teorema (Propriedades básicas) Seja R um reticulado. para quaisquer a, b, c, d R valem: Então a) Se a b, então a b = b e a b = a. b) Se a b e c d, então a c b d e a c b d; c) Se a b, então a c b c e a c b c. d) a a = a e a a = a. e) a b = a b a = b. f) a b = b a e a b = b a. g) (a b) c = a (b c) e (a b) c = a (b c). h) a (b c) (a b) (a c) e (a b) (a c) a (b c). i) a (a b) = a e a (a b) = a. Demonstração. a) Decorre imediatamente das denições de supremo e ínmo. 36

37 b) Suponha a b e c d. Observando que b b d e d b d, por transitividade, tem-se a b d e c b d, e portanto, a c b d. A demonstração da outra armação é análoga. c) Basta observar que c c e utilizar d = c no ítem (b). d) Como a a decorrem a a a e também a a a. Logo, por anti-simetria, segue que a a = a. A demonstração da outra armação é análoga. e) Se a = b, é imediato que a b = a b em virtude de (c). Reciprocamente, suponha a b = a b. Assim, e a a b = a b b b a b = a b a. Daí, por anti-simetria, encontramos a = b. f) Primeiramente, note que a b a e que b b a. Devemos ter, então, a b b a. Da mesma forma, verica-se que b a a b, e assim, por anti-simetria, a b = b a. A demonstração da outra armação é análoga. g) Temos Vericamos ainda que e donde a a b (a b) c. b a b (a b) c c (a b) c, b c (a b) c. Logo, a (b c) (a b) c. Da mesma forma, (a b) c a (b c), o que nos leva à igualdade (a b) c = a (b c). A demonstração da outra armação é análoga. h) De a a b e a a c resulta que a (a b) (a c). Também 37

38 vale b c b a b e b c c a c donde b c (a b) (a c). Portanto, a (b c) (a b) (a c). A demonstração da outra armação é análoga. i) Por um lado, é imediato que a a (a b). Por outro lado, como a a e a b a temos a (a b) a, e assim a (a b) = a. A demonstração da outra armação é análoga. Em virtude da associatividade de e, expressadas pelo ítem (g) no teorema anterior, por simplicidade, escreveremos a b c e a b c para designar, respectivamente, o supremo e o ínmo de {a, b, c}. Com base nisto, dados a 1, a 2,..., a n (com n 2) elementos quaisquer de um reticulado, mostra-se indutivamente que a 1 a 2 a n = sup{a 1, a 2,..., a n } = (a 1 a 2 a n 1 ) a n e também a 1 a 2 a n = inf{a 1, a 2,..., a n } = (a 1 a 2 a n 1 ) a n. Esta interpretação permite concluir que todo reticulado contém o ínmo e o supremo de qualquer subconjunto nito, generalizando, portanto, a Denição Subreticulados Denição Sejam R um reticulado e Q um subconjunto não vazio de R. Dizemos que Q é um subreticulado de R se dados a, b Q, tem-se a b, a b Q, ou seja, o ínmo e o supremo de {a, b}, em R, pertencem a Q. Exemplo Seja E um conjunto innito. Temos que o conjunto das partes nitas de E, ordenado pela inclusão, é um subreticulado de P(E) (Exemplo 2.1.3), pois a união e a interseção de conjuntos nitos é nita. Por outro lado, observe que o conjunto das partes innitas de E não é um subreticulado de P(E), pois duas de suas partes innitas podem ter interseção nita. Exemplo Sejam R um reticulado e a, b R. Perceba que o intervalo [a, b] é um subreticulado de R. De fato, se x, y [a, b], então a x b e 38

39 a y b, e portanto a x y b e a x y b. Em especial, D n é um subreticulado de N (ordenado pela divisibilidade), para todo n N. Exemplo Seja G um grupo. Se H é um subgrupo de G, então R(H) é um subreticulado de R(G). Basta observar que se M e N são subgrupos de H, então M N = M, N H e que M N = M N H. Observação No contexto da Denição , é interessante observar que um subsistema de um reticulado pode ser, por si, um reticulado, e no entanto não ser subreticulado. Por exemplo, considere D 36 (ordenado pela divisibilidade) e o subconjunto P = {1, 2, 3, 12}. Temos que P é um reticulado com respeito à relação de divisibilidade. Porém, o supremo de 2 e 3 em D 36 é igual a 6, que não pertence a P. Logo, P não pode ser um subreticulado de D 36 com esta ordem Homomorsmos de Reticulados Denição Sejam R 1 e R 2 reticulados. Uma aplicação ϕ : R 1 R 2 será dita um homomorsmo de reticulados se preservar ínmos e supremos, ou seja, ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y) e ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y) para quaisquer x, y R 1. Um isomorsmo de reticulados é denido como sendo um homomorsmo bijetivo. 39

40 Observação Todo homomorsmo de reticulados é uma aplicação isótona. De fato, seja ϕ : R 1 R 2 um homomorsmo e x, y R 1 tais que x y. Então x = x y e assim ϕ(x) = ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y) ou seja, ϕ(x) ϕ(y). Observe que ϕ(x) ϕ(y) implica em ϕ(x) = ϕ(x y). Observação Sejam ϕ : R 1 R 2 é um isomorsmo de reticulados. Dados y 1, y 2 R 2, existem x 1, x 2 R 1 tais que ϕ(x 1 ) = y 1 e ϕ(x 2 ) = y 2. Logo, ϕ 1 (y 1 y 2 ) = ϕ 1 (ϕ(x 1 ) ϕ(x 2 )) = ϕ 1 (ϕ(x 1 x 2 )) = x 1 x 2 = ϕ 1 (y 1 ) ϕ 1 (y 2 ) e analogamente, ϕ 1 (y 1 y 2 ) = ϕ 1 (y 1 ) ϕ 1 (y 2 ). Assim ϕ 1 também é um isomorsmo (tendo em vista que também é bijetiva). Podemos então dizer que R 1 e R 2 são reticulados isomorfos e, neste caso, usaremos a notação R 1 R 2. Proposição Sejam R 1 e R 2 reticulados e δ : R 1 R 2 uma aplicação bijetiva. Então são equivalentes: i) x y se, e somente se, δ(x) δ(y), para quaisquer x, y R 1 (ou seja, δ é um isomorsmo de conjuntos ordenados); ii) δ(x y) = δ(x) δ(y) para quaisquer x, y R 1 ; iii) δ(x y) = δ(x) δ(y) para quaisquer x, y R 1. Além disso, se δ satisfaz (i) e S é um subconjunto de R tal que infs = s S s existe, então infδ(s) = s S δ(s) existe e δ( s S s) = s S δ(s); analogamente, δ( s S s) = s S δ(s) se sups existe. Demonstração. Observe que iii) = i) dá-se essencialmente conforme a Observação , levando em conta que δ é injetora. ii) = i) mostra-se analogamente. i) = ii) Se δ : R 1 R 2 satisfaz (i) e S é um subconjunto de R 2 tal que z = s S s 40

41 existe, então δ(z) δ(s) para todo s S. Logo, δ(z) é uma cota inferior para δ(s) em R 2. Supondo que w R 2 também é uma cota inferior de δ(s), então w δ(s) e daí, δ 1 (w) s para todo s S. Portanto, δ 1 (w) s S s = z, e por conseguinte, w δ(z). Isto mostra que δ(z) é o ínmo de δ(s) e que δ( s S s) = s S δ(s). Em particular, (ii) ocorre, bastando tomar S = {x, y}. i) = iii) Análoga à demonstração anterior. Observação Nem toda aplicação isótona entre dois reticulados é um homomorsmo. Por exemplo, considere ψ : D 10 D 8 denida por 1, se x = 1 2, se x = 2 ψ(x) = 4, se x = 5 8, se x = 10 Temos que ψ é isótona, mas ψ(2 5) = ψ(1) = 1 2 = 2 4 = ψ(2) ψ(5). Observação Sendo P um reticulado, então todo sistema parcialmente ordenado isomorfo a P também é um reticulado. De fato, seja ϕ : P Q um isomorsmo de conjuntos ordenados. Dados x, y P, temos que x x y e y x y, donde ϕ(x) ϕ(x y) e também ϕ(y) ϕ(x y). Por outro lado, suponha z Q tal que ϕ(x) z e ϕ(y) z. Devemos ter z = ϕ(t), para algum t P, donde x t e y t. Logo, x y t, e portanto ϕ(x y) ϕ(t) = z. Isto signica que ϕ(x y) é o menor entre as cotas superiores de {ϕ(x), ϕ(y)} em Q, ou seja, ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y). Ademais, mostra-se dualmente que ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y), e assim (Q, ) é um reticulado. 41

42 Observação Dois reticulados isomorfos possuem o mesmo Diagrama de Hasse. Denição Denimos um isomorsmo dual entre reticulados, ou antiisomorsmo, como sendo uma bijeção que inverte ínmos e supremos, isto é, f(x y) = f(x) f(y) e f(x y) = f(x) f(y). Dizemos ainda que um reticulado é auto-dual, se existe um isomorsmo entre ele e o seu dual. Com respeito aos anti-isomorsmos, podemos ainda destacar o resultado dual da Proposição , cuja demonstração é análoga. Proposição Sejam R 1 e R 2 reticulados e δ : R 1 R 2 uma aplicação bijetiva. Então são equivalentes: i) x y se, e somente se, δ(y) δ(x), para quaisquer x, y R 1 (ou seja, δ é um isomorsmo dual de conjuntos ordenados); ii) δ(x y) = δ(x) δ(y) para quaisquer x, y R 1 ; iii) δ(x y) = δ(x) δ(y) para quaisquer x, y R 1. Além disso, se δ satisfaz (i) e S é um subconjunto de R tal que infs = s S s existe, então supδ(s) = s S δ(s) existe e δ( s S s) = s S δ(s); analogamente, δ( s S s) = s S δ(s) se sups existe. 2.2 Reticulados Completos Na Seção discutimos que um reticulado contém o supremo e o ínmo de todo subconjunto nito de seus elementos; porém, isto não ocorre com qualquer subconjunto. Por exemplo, se R não possui máximo e nem mínimo, em especial, não existe o supremo e o ínmo do próprio R. Neste contexto, introduziremos a seguinte Denição Um reticulado será dito completo se nele existirem o ínmo e o supremo de qualquer subconjunto. Exemplo Todo reticulado nito é completo, em virtude do que foi comentado acima. Exemplo Sejam R 1 e R 2 reticulados isomorfos. Ancorados na Proposição , temos que R 1 é completo se, e somente se, R 2 é completo. Em particular, o dual de todo reticulado completo é completo. 42

43 Exemplo Sejam R 1 e R 2 reticulados completos e S R 1 R 2. Denindo, S 1 = {x R 1 /(x, y) S, para algum y R 2 } e S 2 = {y R 2 /(x, y) S, para algum x R 1 }, temos S 1 R 1 e S 2 R 2, e portanto, existem sups 1 em R 1 e sups 2 em R 2. Logo, (sups 1, sups 2 ) é o supremo de S em R 1 R 2. Além disso, existem também infs 1 em R 1 e infs 2 em R 2, donde (infs 1, infs 2 ) é o ínmo de S em R 1 R 2. Portanto, R 1 R 2 é completo. Reciprocamente, suponha o produto cardinal R 1 R 2 completo e considere S 1 e S 2 subconjuntos não vazios de R 1 e R 2, respectivamente. Fixado arbitrariamente x 0 S 1, tomemos o conjunto A = {(x 0, y)/y S 2 }. Tem-se A R 1 R 2, e assim, existe em R 1 R 2 o supa e o infa, os quais são da forma sup(a) = (x 0, y s ) e inf(a) = (x 0, y i ) Nestas condições, devemos ter y s = sups 2 e y i = infs 2, ambos pertencendo a R 2. Logo, R 2 é completo. Analogamente, verica-se que R 1 é completo. Com isto, mostramos que R 1 R 2 é completo R 1 e R 2 são completos. A propriedade de completude nem sempre é herdada pelos subreticulados. Por exemplo, dado um conjunto E qualquer, P(E) é um reticulado completo. Sendo E um conjunto innito, o subreticulado constituído pelo conjunto de suas partes nitas não pode ser completo. De fato, considerando-se os subconjuntos unitários, vem = x E{x} {x} = E, x E que não é nito. Outro exemplo interessante ocorre com o conjunto N dos naturais (ordenado pela divisibilidade). Por um lado, este reticulado não pode ser completo, pois não existe o mínimo múltiplo comum de um conjunto innito de números naturais. Por outro lado, ele possui innitos subreticulados completos: observe que D n é nito para todo n N. 43