Álgebras Booleanas e Aplicações

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2 Álgebras Booleanas e Aplicações Prof. Dr. Clotilzio Moreira dos Santos IBILCE - UNESP São José do Rio Preto Outubro de 2013

3 Álgebras Booleanas e Aplicações Clotilzio Moreira dos Santos

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5 Sumário 1 ÁLGEBRAS DE BOOLE Álgebras Booleanas Ordens Funções Booleanas Formas Canônicas APLICAÇÕES DE FUNÇÕES BOOLEANAS EM CIRCUITOS Circuitos Lógicos Simplificação de funções e de Circuitos

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7 Capítulo 1 ÁLGEBRAS DE BOOLE O objetivo principal deste mini-curso é fazer um breve estudo sobre as álgebras booleanas e uma de suas aplicações. Usaremos a estrutura natural de ordem de uma álgebra booleana e demonstraremos o Teorema de Stone para álgebras booleanas finitas, que nos mostra que tipos de álgebras finitas podem ser booleanas. Exemplo destas álgebras são as álgebras de proposições e álgebras de conjuntos. Daremos formas canônicas de funções booleanas. No capítulo dois faremos uma breve aplicação de funções booleanas em circuitos, muito útil na área de engenharia. 1.1 Álgebras Booleanas Definição Um conjunto A, com duas operações: adição + e multiplicação é uma álgebra booleana se verificar os seguintes axiomas: (A.1) (Comutatividade). a,b A, a+b=b+a, ab = ba. (A.2) (Existência de elementos neutros). 0 A, 1 A A, tais que a + 0 A = a e a 1 A = a, a A. Em geral, denota-se 0 A e 1 A apenas por 0 e 1, respectivamente, se o anel A estiver claro no contexto. (A.3) (Distributividade). Para todos a,b,c A, (a + b)c = ac + bc e a + bc = (a + b)(a + c). (A.4) (Existência do complemento). Para cada a A, b A, tal que a+b = 1 e a b = 0. O elemento b será denotado por a. Exemplo 1.1 (1) Sejam U e A = (U). Então (A,, ) é álgebra booleana, onde 0 = e 1 = U, a = U \ a. Os axiomas de (A1) a (A4) podem ser verificados usando diagramas de Euler- Venn. (2) Seja B = {0,1} com as operações de adição e multiplicação dadas pelas tabelas

8 Então B é uma álgebra booleana, onde 0 = 1 e 1 = 0. Usando este exemplo, vamos a outro exemplo tendo este como base (3) Seja B n = B B B, com as operações assim definidas: (a 1,a 2,...,a n ) (b 1,b 2,...,b n ) = (a 1 + b 1,a 2 + b 2,...,a n + b n ) e (a 1,a 2,...,a n ) (b 1,b 2,...,b n ) = (a 1.b 1,a 2.b 2,...,a n.b n ), onde as operações de adição e multiplicação em cada coordenada são feitas em B, como definidas no exemplo (2). Com estas operações B n é uma álgebra booleana, onde (a 1,...,a n ) = (a 1,...,a n ), 0 B n = (0,...,0), 1 B n = (1,...,1). Por exemplo, em B 4, (0,1,1,0) = (0,1,1,0) = (1,0,0,1). (4) O conjunto de todas as proposições sobre um conjunto não vazio é uma álgebra booleana com as operações e, onde 0 é a proposição logicamente falsa (=Contradição), 1 é uma proposição logicamente verdadeira (=Tautologia) e o complemento de uma proposição p é sua negação: p = p. De fato (A1) p q q p, p q q p, (A2) p F p, p T p, (A3) p (q r) (p q) (p r), p (q r) (p q) (p r), (A4) p p T e p p C. (5) O conjunto dos divisores positivos de 30, D(30) = {1,2,3,5,6,10, 15, 30} com as operações a + b =: mmc(a, b) e a.b = mdc(a, b), é uma álgebra booleana. Proposição 1.2 (1) Idempotência Para todo elemento a de uma álgebra booleana A, tem-se: a+a = a e a a = a. Demonstração: a = a + 0 A.2 a = a.1 A.2 = a + a.a A.4 = a(a + a) A.4 = (a + a)(a + a) A.3 = a.a + a.a A.3 = (a + a).1 A.4 = a.a + 0 A.4 = a + a A.2 = a.a A.2 (2) Identidades: Para todo a pertencente a A, a + 1 = 1 e a 0 = 0. Demonstração: a + 1 == A.2 (a + 1).1 == A.4 (a + 1)(a + a) == A.3 a + 1.a == A.2 a + a == A.4 1. (3) Absorção: Para todos a,b A, a + ab = a e a(a + b) = a. (4) Associativa: Em qualquer álgebra booleana A, as operações + e são associativas, isto é, para todos a, b, c A, tem-se: (a + b) + c = a + (b + c) e (ab)c = a(bc). (5) O elemento a associado ao elemento a em uma álgebra booleana A é único. Além disso, para todo elemento b de uma álgebra booleana (b) = b e 0 = 1 e 1 = 0.

9 (6) Leis de De-Morgan: Para todos elementos a,b de uma álgebra booleana A, tem-se: ab = a + b e a + b = a b Ordens A relação R definida sobre uma álgebra booleana (A,+,.) por arb se, ab = a é uma relação de ordem sobre A. Isto significa que R é reflexiva, anti-simétrica e transitiva. Notação 1.3 : Sejam a, b pertencentes a uma álgebra booleana A. Se arb, denotaremos por a b (que se lê: a precede b ). Além disso, se a b, também denotaremos este fato por a b ( a precede estritamente b ). Observe que o x 1, para qualquer x A. Exemplos 1.4 (1) Considere a álgebra booleana ( (U),, ). Por definição e Lema??(a), temos que a b se, e somente se, a b = a, ou seja, se, e somente se, a b. (2) Seja A = (B n,+, ) com as operações definidas anteriormente. Se a = (a 1,a 2,...,a n ), b = (b 1,b 2,...,b n ). então a b se, e somente se, a b = a, ou seja, se, e somente se, (a 1.b 1,...,a n.b n ) = (a 1,...,a n ). Assim a b a i b i em B. Teorema 1.5 Toda álgebra booleana A é um reticulado, ou seja, para quaisquer x, y A existem sup{x,y}, inf{x,y}. Além disso, sup{x,y} = x+y, inf{x,y} = x y. Mais geralmente, para todos x 1, x 2,...,x n A (n 1), temos n n x i = sup{x 1,x 2,...,x n } e x i = inf{x 1,x 2,...,x n }. i=1 i=1 Demonstração: Sejam x, y A. Como x(x+y) = x 2 +xy = x+xy = x(1+y) = x.1 = x (e analogamente y(x+y) = y), pelo Lema anterior vem que x+y é um limite superior de {x, y}. Seja l um limite superior de {x,y}. Então x l e y l. Disto vem que (x + y)l = xl + yl = x + y, ou seja, x + y l. Portanto x + y = sup{x,y}. Analogamente xy = inf{x,y}. O resto segue-se por indução em n. O Teorema de Stone afirma que toda álgebra de Boole atômica tem a mesma estrutura de uma álgebra de conjuntos ( (U),, ) para U conveniente, ou a mesma estrutura de (B n,+,.) para algum n 1, n natural ou. Nossa intenção de agora em diante é provar este Teorema. Dizer que duas álgebras tem a mesma estrutura significa que existe uma bijeção entre elas que preserva as estruturas algébricas envolvidas, no caso: adição, multiplicação e complementação. Isto significa que a bijeção comuta com as operações das álgebras. Definição 1.6 Um átomo em uma álgebra booleana A é um elemento a 0, tal que, para todo b A, 0 b a, então b = 0 ou b = a (ou seja: b A \ {0}, ab = 0, ou ab = a). Isto afirma que a é um átomo, se entre 0 e a não existe elemento.

10 Exemplo 1.7 (1) Para qualquer U, os átomos de ( (U),, ) são os conjuntos unitários {x} U; (2) Os átomos em (B n,, ) são as n-uplas (x 1,x 2,...,x n ) B n com exatamente um dos x i igual a um. Definição 1.8 Uma álgebra booleana A é dita atômica se, para todo elemento não nulo b A, existe um átomo a A que precede b. Por exemplo, toda álgebra booleana finita é atômica. Para o que segue, A é uma álgebra booleana atômica e S = {a i,i I} conjunto dos átomos de A. Um lema básico que nos leva em direção ao teorema de Stone é o Lema 1.9 Sejam A uma álgebra booleana atômica e x A. Então x é exatamente a soma de todos os átomos de A que precedem x, ou seja, convencionando 0.a = 0 A e 1.a = a, podemos escrever x = i I α ia i, onde α i {0,1}, α i = 1 se, e somente se, a i x. Em particular, i I a i = 1. Além disso, esta escritura de x como soma de átomos de A é única. Exemplo 1.10 Seja (A,+, ) = ( (N),, ). Então o conjunto de átomos de A é S = {{i},i N}. Temos que 1 A = i N {i} = i N {i} = N. Definição 1.11 Sejam (A,, ) e (D, +,.) duas álgebras booleanas. Um isomorfismo de A em D é uma aplicação: f : A D que satisfaz: (i) f é bijetora, (ii) f(x y) = f(x) + f(y), (iii) f(x y) = f(x).f(y), (iv) f(x) = f(x), onde x e z são os complementos de x A e z D. Neste caso, dizemos que as álgebras A e D são isomorfas e escrevemos A D ou A D. Teorema 1.12 Teorema de Stone (Caso Finito). Seja (A,, ) uma álgebra de Boole finita. Então A é isomorfa a (B n,+, ), onde n é o número de átomos de A. Demonstração: Como A é finita o conjunto S de átomos de A também é finito. Seja S = {a 1,...,a n }. Pelo Lema 1.9 todo elemento x de A se escreve na forma x = α 1 a 1 α n a n. Definimos f : A B n por f(x) = (α 1,...,α n ). É fácil demonstrar que f é um isomorfismo de A em B n. Assim, B 3 D(30) {0,a,b,c,a,b,c}. Veja os diagramas os diagramas. Corolário 1.13 Toda álgebra booleana finita tem 2 n elementos e, reciprocamente, para cada n N, existe uma álgebra booleana com 2 n elementos, a saber: (B n,+, ).

11 1.2 Funções Booleanas Interessa-nos considerar funções de A m em A. Pelo teorema de Stone, isto equivale a considerar funções de B nm em B n, que por sua vez basta considerar funções de B m em B, que são funções coordenadas típicas, desde que as operações em B n são realizadas entrada à entrada. Tendo, ainda, que B n pode ser identificado com Z 2 n como álgebra de Boole, (não como o anel de restos módulo 2 n ), quando se escreve todos os elementos de Z 2 n = {[0],[1],...,[2 n 1]} na base dois, podemos considerar uma função de B n em B como sendo uma função f : Z 2 n B definida por f([x]) = f(a 1,a 2,...,a n ), onde [x] = (a 1 a 2 a n ) 2. Por exemplo, para n = 4, f([14]) = f(1,1,1,0), pois 14 = (1110) Formas Canônicas Definição 1.14 As funções booleanas p e : B n B dadas por: p e (X) = x e 1 1 xe 2 2 xen n, onde X = (x 1,...,x n ), e = (e 1 e n ) 2 Z 2 n e x 0 i = x i, são chamadas de funções minimais ou polinômios minimais, e as funções booleanas s e (X) = p e (X) = x e xe xen n, são chamadas de funções maximais ou polinômios maximais da álgebra booleana B n. Exemplo: Se n = 5, então p 11 = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 e s 11 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5, pois 11 = (01011) 2. Exemplo 1.15 Para n = 3 temos as seguintes funções minimais e maximais sobre a álgebra B 3. Z 8 B 3 i (e 1 e 2 e 3 ) p i s i x 1.x 2.x 3 x 1 + x 2 + x x 1.x 2 x 3 x 1 + x 2 + x x 1.x 2.x 3 x 1 + x 2 + x x 1.x 2.x 3 x 1 + x 2 + x x 1.x 2.x 3 x 1 + x 2 + x x 1.x 2.x 3 x 1 + x 2 + x x 1.x 2.x 3 x 1 + x 2 + x x 1.x 2.x 3 x 1 + x 2 + x 3 Lema 1.16 Para todos e = (e 1 e 2 e n ) 2, j = (j 1 j 2 j n ) 2 {0,1,...,2 n 1}, temos p e (j) = δ ej e s e (j) = δ ej, onde δ ej = 1 se e = j e δ ej = 0 se e j. Demonstração: Temos p e (X) = x e 1 1 xen n. Então p e (j) = j e 1 1 je 2 2 jen n = 1 se, e somente se, j e i i = 1, i se, e somente se, j i = e i em B = {0,1}

12 se, e somente se, e = (e 1 e 2 e n ) = (j 1 j 2 j n ) = j. Agora, como s e (X) = p e (X), vem que s e (j) = p e (j) = δ ej e o lema está concluído. O seguinte teorema dá um modelo padrão em que se expressam todas funções booleanas de B n em B. Teorema 1.17 Todas funções booleanas f : B n B podem ser representadas de modo único em cada uma das formas: f(x) = 2 n 1 e=0 ou ainda f(x 1,x 2,...,x n ) = f(e)p e (X) ou f(a 1,...,a n)=1 chamada de forma disjuntiva normal de f e f(x) = 2 n 1 e=0 chamada de forma conjuntiva normal de f. ( = ) f(e)p e (X) e B n x a 1 1 xa 2 2 xan n, onde X = (x 1,...,x n ), ( ) f(e) + s e (X), Abreviadamente, f.d.n. e f.c.n. significarão forma disjuntiva normal e forma conjuntiva normal, respectivamente. Observemos que, como f(e) é zero ou um, na f.d.n. de f só figuram as funções minimais p e (X), para as quais f(e) = 1. Dualmente cada um dos fatores que aparecem na f.c.n. de f será suprimido se f(e) = 1. Isto porque o fator f(e)+s e (j) = 1 + s e (j) = sup{1,s e (j)} = 1 em B = {0,1}. Assim o conjunto dos índices i, de p i (X), e o conjunto dos índices j, de s j (X), nas f.d.n. e f.c.n. de f, respectivamente, são complementares um do outro, ou seja, sua união é Z 2 n e sua intersecção é vazia. Exemplo 1.18 (1) Vamos achar a f.d.n. e a f.c.n. da função booleana f : B 3 B dada pela tabela: Z 8 B 3 e e 1 e 2 e 3 f(e)

13 A f.d.n. de f é dada por: f(x) = f(0)p 0 (X) + f(1)p 1 (X) + f(2)p 2 (X) + f(3)p 3 (X)+ +f(4)p 4 (X) + f(5)p 5 (X) + f(6)p 6 (X) + f(7)p 7 (X) que, pela observação acima, nos dá f(x) = p 1 (X) + p 2 (X) + p 7 (X). Pela tabela do exemplo anterior f(x) = x 1.x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3. A f.c.n. de f é dada por: f(x) = ( f(0) + s 0 (X) )( f(1) + s 1 (X) )( f(2) + s 2 (X) )( f(3) + s 3 (X) )( f(4) + s 4 (X) )( f(5) + s 5 (X) )( f(6) + s 6 (X) )( f(7) + s 7 (X) ). Novamente, pela observação acima, temos f(x) = s 0 (X) s 3 (X) s 4 (X) s 5 (X) s 6 (X), para todo X = (x 1,x 2,x 3 ) em B 3. Pela tabela do exemplo anterior, temos: f(x) = (x 1 +x 2 +x 3 )(x 1 +x 2 +x 3 )(x 1 +x 2 +x 3 )(x 1 +x 2 +x 3 )(x 1 +x 2 +x 3 ), para todo X = (x 1,x 2,x 3 ) B 3. Escrevemos f(x) = p 1 (X) + p 2 (X) + p 7 (X) e f(x) = s 0 (X).s 3 (X).s 4 (X).s 5 (X).s 6 (X). (2) Considere f : B 3 B dada pela tabela x y z f(x,y,z) x y z f(x,y,z) Como f(1,1,1) = 1, o termo xyz deve ocorrer na forma disjuntiva normal de f. Como f(1, 0, 1) = 1, o termo xyz deve ocorrer na f.d.n., enfim, a forma disjuntiva normal de f é a soma dos polinômios minimais, onde f tem o valor 1, ou seja: f(x,y,z) = xyz + xyz + xy z + xyz + x yz. Se f é dada por uma expressão, podemos montar uma tabela apresentando f(e) para e B n e daí proceder como no exemplo anterior. Outro modo é que, fazendo uso das leis de DeMorgan, complementação e a distributividade, podemos sempre achar as formas disjuntiva e conjuntiva normais de f. Por exemplo, se f : B 3 B é dada por f(x,y,z) = xz + y, então: f(x,y,z) = x.1.z +1.y.1 = x(y +y)z +(x+x)y(z +z) distr. == xyz +xy.z +xyz +xyz + xyz + xyz = (2,3,4,6,7). Observe a simplificação feita p 6 (X) + p 6 (X) = p 6 (X). Para a forma conjuntiva normal, temos: f(x,y,z) = xz+y distr. == (x+y)(z+y) = (x + y + 0)(0 + y + z) = (x + y + zz)(xx + y + z) distr. == (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z) = (0,1,5). Observe aqui também a simplificação feita s 1 (x) 2 = s 1 (x). Estas são as f.d.n. e f.c.n. de f, respectivamente.

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15 Capítulo 2 APLICAÇÕES DE FUNÇÕES BOOLEANAS EM CIRCUITOS 2.1 Circuitos Lógicos A álgebra booleana tem aplicações muito importantes dentro da teoria de Circuitos (eletrônicos, eletromecânicos, etc.) porque elas descrevem as leis básicas destes circuitos, que são chamados circuitos booleanos, ou circuitos lógicos. Embora os elementos de um circuito possam ser designados com uma variedade de características, concentraremos nossa atenção em dois tipos de elementos: nas entradas (ou portas) e, ou. Elas correspondem, respectivamente, a uma máquina processadora das operações booleanas multiplicação, adição de uma álgebra booleana. Assim, para entradas a e b, as saídas a b, a + b e a b são simbolizadas respectivamente por: a ab a a + b b b Figura 2.1: Portas lógicas No campo da engenharia, estes símbolos são usados para ligações de canais em série e paralelo, respectivamente. Por exemplo, se desejamos enviar uma mensagem de uma fonte X a um destino Y, através dos canais A e B, e se denotamos 1 para mensagem recebida e 0 para mensagem não recebida, então a.b e a+b representam fielmente as ligações em série e paralelo dos canais A e B, respectivamente. Representamos a máquina processadora da operação booleana complementação (ou negação) acrescentando um círculo cheio do seguinte modo: a a Isto significa que, para entrada a, a máquina processa a informação e nos dá 11

16 como saida a. Combinando a complementação e a multiplicação, temos os casos a.b e a.b. As máquinas, tais que, para entradas a e b dão como saidas a.b e a.b, respectivamente, são representadas por a a b a.b b a.b Figura 2.2: Produto e Negação do Produto. e as máquinas, tais que, para entradas a, b nos dão como saídas a + b e a + b são representadas, respectivamente, por a a a+b a+b b b Figura 2.3: Soma e Negação da Soma. Definição 2.1 Um circuito booleano é a realização de uma função booleana f de B n em B, usando as portas lógicas, ou seja, é um arranjo de sucessivas combinações em série (o que equivale à porta e) e em paralelo (o que equivale à porta ou) e complementações de n entradas x 1, x 2,...,x n, de modo que tenhamos saída f(x 1,...,x n ). Portanto, toda função booleana em n variáveis sobre B dá origem a um circuito booleano com n entradas e, reciprocamente, para toda combinação em série ou em paralelo de portas e e ou e complementação sobre n entradas x 1,x 2,...,x n, existe uma função booleana f : B n B associado a ele. Exemplo 2.2 Os circuitos correspondentes à f : B 3 B, f(x,y,z) = xy +xz de g : B 2 B, g(x,y) = xy + xy + x y são, respectivamente: x x y z xy xz f(x,y,z) x y x y x y x y x y x y g(x,y) Figura 2.4: Circuitos das Funções f e g.

17 2.1.1 Simplificação de funções e de Circuitos Definição 2.3 Sejam f, g funções booleanas de B n em B. Dizemos que f e g são funções equivalentes se, a partir da expressão de uma das funções, obtém-se a outra, fazendo uso das operações booleanas. Também, definimos circuitos equivalentes como sendo circuitos com as mesmas entradas, cujas saídas são funções booleanas equivalentes. Por exemplo, a função g do exemplo 2.2 e h : B 2 B dada por: h(x,y) = x+y são equivalentes, pois g(x,y) = xy + xy + x y = x(y + y) + x y = x.1 + x y = x + x y = (x + x)(x + y) = x + y = h(x,y). Portanto, o circuito da função g do exemplo anterior é equivalente ao circuito x y x+y=h(x,y) Figura 2.5: Circuito da Função h. que é um circuito mais simples e mais econômico. Utilizando as propriedades de álgebra booleanas, podemos simplificar quaisquer funções booleanas. O processo de simplificação é mais ou menos o processo inverso para se obter formas disjuntivas e conjuntivas normais de funções booleanas. Uma simplificação (ou minimização) de uma função booleana é uma função booleana com o mínimo possível de polinômios minimais, no caso em que ela esteja escrita como somas de produtos (e não necessariamente na forma disjuntiva normal) e que seja equivalente à função original. Isto significa que os termos redundantes da expressão original foram eliminados. Algebricamente, este processo pode ser feito usando as propriedades da álgebra booleana. Devido às propriedades de uma álgebra booleana, não existe uma expressão mínima única para uma dada fórmula booleana. Por exemplo, a lei de DeMorgan nos dá que x + y e xy são expressões mínimas (uma usando soma e a outra usando produto), de alguma fórmula booleana, e são equivalentes. Por exemplo; façamos uma simplificação de (a) f : B 2 B, definida por f(x,y) = xy + x + y. Usando propriedades da álgebra booleana, temos: xy+x+y = (x+x))(y+x)+y = 1(y + x) + y = x + y, pois y + y = y. Logo a função s : B 2 B, s(x,y) = x + y. é uma simplificação da função f. (b) Seja R(X,Y ) = XY + XY + X Y. Então o circuito de R é

18 X Y X Y X Y XY X Y X Y R(X,Y)=XY+XY+XY Figura 2.6: Usando a igualdade X Y = X Y + X Y, temos a seguinte simplificação de R: R(X,Y ) = (XY +X Y )+(X Y +XY ) = (X+X)Y +X(Y +Y ) = 1.Y +X.1 = X+Y, cujo o circuito é X X+ Y Y Figura 2.7: que é bem mais simples e econômico que o circuito correspondente a R(X,Y ). Exemplo. Dada a função f : B 4 B definida na tabela que segue, dê a f.d.n. para f e uma simplificação para f. x 1 x 2 x 3 x 4 f(x 1,x 2,x 3,x 4 )

19 Solução: Sabendo-se que o polinômio minimal x a 1 1 xa 2 2 xan n ocorre na f.d.n. quando f(a 1,a 2,a 3,a 4 ) = 1, temos f(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 3 x 4. Exercícios (1) Quais as funções booleanas associadas aos circuitos abaixo: X Y Z Y X A(x,y,z) Z X Z X Y W W B(x,y,z,w) Y Figura 2.8:. (2) Há cinco livros em uma estante v, w, x, y e z. Você deve selecionar alguns livros de modo a satisfazer todas as condições a seguir: (i) Selecionar v ou w ou ambos; (ii) Selecionar x ou z, mas não ambos; (iii) Selecionar v e z juntos ou nenhum dos dois; (iv) Se selecionar y, também deve selecionar z; (v) Se selecionar w, também deve selecionar v e y. Pede-se: (a) Coloque esta situação como uma expressão usando os símbolos lógicos, (b) Simplifique a expressão obtida, (c) A partir de (b), dê um outro conjunto (menor em número) de condições equivalentes às 5 condições dadas.

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