Hipergrupos: do choque de partículas à soma de operadores auto-adjuntos. Universidade de Coimbra. Tarde de Trabalho SPM/CIM 16 Dezembro 2006

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Leonardo de Sequeira Canário
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1 Hipergrupos: do choque de partículas à soma de operadores auto-adjuntos João Filipe Queiró Universidade de Coimbra Tarde de Trabalho SPM/CIM 16 Dezembro 2006

2 N. Wildberger, Algebraic structures associated to group actions and sums of Hermitian matrices, Textos de Matemática, Coimbra, W. Fulton, Eigenvalues, invariant factors, highest weights, and Schubert calculus, Bulletin AMS 37 (2000),

3 K = {c 0, c 1,..., c n } c i? c j? = c k com probabilidade n k ij

4 Formalmente, c i c j = n k=0 n k ij c k com n k ij 0, n k=0 n k ij = 1. CK, axiomas adicionais Caso numerável, caso contínuo

5 Alguns problemas clássicos

6 1. Valores próprios da soma de matrizes hermíticas Dados dois espectros reais α e β, quais são os possíveis espectros γ de somas A + B, onde A e B são matrizes hermíticas n n com espectros α e β, respectivamente? α = (α 1,..., α n ), β = (β 1,..., β n ), γ = (γ 1,..., γ n ), α 1 α n β 1 β n γ 1 γ n E(α, β)

são matrizes hermíticas n n com espectros α e β, respectivamente? α = (α 1,.

7 Relações triviais: γ γ n = α α n + β β n (porque tr(a + B) = tr A + tr B) γ 1 α 1 + β 1 (porque α 1 = max x =1 x Ax, etc.)

8 Reformulação do problema: U n actua sobre H n por A UAU. As órbitas desta acção são as classes O α de matrizes hermíticas unitariamente semelhantes. Pretendemos descrever O α + O β. O α + O β é U n -invariante, e portanto O α + O β = γ O γ. O problema é então: que órbitas O γ ocorrem nesta união?

unitariamente semelhantes. Pretendemos descrever O α + O β.

9 2. Valores singulares do produto de matrizes complexas (só matrizes quadradas) Valores singulares de A = valores próprios de A A (hermítica 0) Dados α e β ( 0), quais são os possíveis espectros singulares γ de produtos AB, onde A e B são matrizes complexas com espectros singulares α e β, respectivamente? S(α, β)

0), quais são os possíveis espectros singulares γ de produtos AB, onde A e B

10 Relações triviais: γ 1 γ n = α 1 α n β 1 β n (porque det(ab) = det(a). det(b) ) γ 1 α 1 β 1 (porque α 1 = A, etc.)

11 3. Produto tensorial de representações irredutíveis de GL n (C) (ou de U n ) V α e V β duas representações irredutíveis de GL n (C), 0 α, β Z n V α V β = γ c γ αβ V γ Quando é que V γ ocorre em V α V β? Por outras palavras, quando é que c γ αβ 0? P (α, β)

(C), 0 α, β Z n V α V β = γ c γ αβ V γ Quando é que V γ ocorre

12 4. Produto de polinómios de Schur s α (x 1,..., x n ) = det [ x α ] j+n j i det [ x n j i ], 0 α Z n No anel dos polinómios simétricos em x 1,..., x n, s α s β = γ d γ αβ s γ Quando é que s γ ocorre em s α s β? Por outras palavras, quando é que d γ αβ 0?

13 5. Factores invariantes do produto R um domínio de ideais principais. Só matrizes quadradas. Factores invariantes de A: a k = d n k+1(a) d n k (A) Dados a n... a 1, b n... b 1, quais são os possíveis factores invariantes c n... c 1 de produtos AB, onde A e B são matrizes sobre R (s.p.g. não-singulares) com factores invariantes a n... a 1 e b n... b 1, respectivamente? Relações triviais: a n b n c n, c 1 c n = a 1 a n b 1 b n

.. b 1, quais são os possíveis factores invariantes c n.

14 6. Extensões de módulos R de novo um domínio de ideais principais Dados c n... c 1, b n... b 1 e a n... a 1, quando é que estas são as sequências de factores invariantes de R-módulos de torsão finitamente gerados C, B C e A C/B? 0 B C A 0

15 Todos estes problemas estão resolvidos...

16 ... e são o mesmo

17 1. Valores próprios da soma de matrizes hermíticas 2. Valores singulares do produto de matrizes complexas 3. Produto tensorial de representações irredutíveis de GL n (C) 4. Produto de polinómios de Schur 5. Factores invariantes do produto 6. Extensões de módulos

Produto tensorial de representações irredutíveis de GL n (C) 4.

18 Relação entre os problemas 1 e 2 S.p.g. α, β > 0 S(α, β) = e E(log α,log β) (a relação que se obteria se e H e K = e H+K ) A. Klyachko (não trivial)

19 Relação entre os problemas 3 e 4 s α é o carácter de V α s α s β é o carácter de V α V β O carácter de é d γ αβ = cγ αβ trivial

20 Relação entre os problemas 5 e 6 Módulos Matrizes R. Thompson - anos 80 (não muito difícil)

21 Solução do problema 3 (e 4): P (α, β) = LR(α, β) (clássico)

22 A regra de Littlewood-Richardson α = (6, 4, 2) β = (7, 4, 1) (9, 8, 7) (11, 7, 6) (12, 9, 3) (...)

23 LR(α, β) No exemplo, LR(α, β) = {(10, 10, 4), (11, 10, 3), (9, 9, 6), (10, 9, 5), (11, 9, 4), (12, 9, 3), (9, 8, 7), (10, 8, 6), (11, 8, 5), (12, 8, 4), (13, 8, 3), (10, 7, 7), (11, 7, 6), (12, 7, 5), (13, 7, 4), (12, 6, 6), (13, 6, 5)}

24 Reformulação do problema dos factores invariantes do produto O problema é localizável: para cada primo fixo p R, podemos restringir-nos a matrizes sobre o domínio local R p, i.e. trabalhar apenas com potências de p. a i p α i, b i p β i, c i p γ i α 1 α n, β 1 β n, γ 1 γ n (inteiros 0) I(α, β)

25 Solução do problema 5 (e 6): I(α, β) = LR(α, β) T. Klein (não trivial)

26 1. Valores próprios da soma de matrizes hermíticas 2. Valores singulares do produto de matrizes complexas 3. Produto tensorial de representações irredutíveis de GL n (C) 4. Produto de polinómios de Schur 5. Factores invariantes do produto (versão local) 6. Extensões de módulos (versão local)

27 Relação entre os problemas 1 e 3 1. Valores próprios da soma de matrizes hermíticas 3. Produto tensorial de representações irredutíveis de GL n (C)

28 Exemplo: α = (6, 4, 2), β = (7, 4, 1) E(α, β) = {(γ 1, γ 2, γ 3 ) : γ 1 γ 2 γ 3, γ 1 + γ 2 + γ 3 = 24, γ 1 13, γ 2 10, γ 3 7, γ 1 + γ 2 21, γ 1 + γ 3 18, γ 2 + γ 3 15}

29 E(α, β)

30 LR(α, β) = {(10, 10, 4), (11, 10, 3), (9, 9, 6), (10, 9, 5), (11, 9, 4), (12, 9, 3), (9, 8, 7), (10, 8, 6), (11, 8, 5), (12, 8, 4), (13, 8, 3), (10, 7, 7), (11, 7, 6), (12, 7, 5), (13, 7, 4), (12, 6, 6), (13, 6, 5)}

31 LR(α, β)

32 E(α, β) & LR(α, β)

33 0 α, β Z n E(α, β) Z n = LR(α, β)

34 Demonstração?

35 E(α, β) Z n LR(α, β) A.P.Santana, J.Q., E.M.Sá γ E(α, β) N Nγ LR(Nα, Nβ) A.Klyachko

36 N Nγ LR(Nα, Nβ) γ LR(α, β) A.Knutson, T.Tao (não trivial!)

37 A equivalência γ E(α, β) N Nγ LR(Nα, Nβ) também se deduz de um resultado de F. Kirwan ( 1994) sobre quocientes geométricos e quocientes simplécticos (Knutson )

38 Descrição de E(α, β) (e de LR(α, β)) por desigualdades Para I = (i 1,..., i r ) com 1 i 1 < < i r n definamos λ(i) = (i r r,..., i 2 2, i 1 1) Σ γ = Σ α + Σ β, γ E(α, β) Σ γ K Σ α I + Σ β J sempre que λ(k) E[λ(I), λ(j)], 1 r < n (K+KT; conjectura A.Horn, 1962; descrição recursiva; não trivial!)

39 Soluções completas para n = 1, 2, 3 n=1 γ 1 = α 1 + β 1 n=2 γ 1 α 1 + β 1 γ 2 α 1 + β 2 γ 2 α 2 + β 1 γ 1 + γ 2 = α 1 + α 2 + β 1 + β 2

40 n=3 γ 1 α 1 + β 1 γ 2 α 1 + β 2 γ 3 α 1 + β 3 γ 2 α 2 + β 1 γ 3 α 2 + β 2 γ 3 α 3 + β 1 γ 1 + γ 2 α 1 + α 2 + β 1 + β 2 γ 1 + γ 3 α 1 + α 2 + β 1 + β 3 γ 2 + γ 3 α 1 + α 2 + β 2 + β 3 γ 1 + γ 3 α 1 + α 3 + β 1 + β 2 γ 2 + γ 3 α 1 + α 3 + β 1 + β 3 γ 2 + γ 3 α 2 + α 3 + β 1 + β 2 γ 1 + γ 2 + γ 3 = α 1 + α 2 + α 3 + β 1 + β 2 + β 3

41 À parte a igualdade do traço, para n = 2, 3 desigualdades para n = 3, 12 desigualdades para n = 4, 41 desigualdades para n = 5, 142 desigualdades para n = 6, 522 desigualdades

42 As desigualdades essenciais : Belkale , Knutson, Tao, Woodward (relação com multiplicidades de Littlewood-Richardson) Para n 5 não há desigualdades a mais.

43 A igualdade E(α, β) Z n = LR(α, β) sugere uma correspondência profunda entre órbitas O λ e representações irredutíveis V λ F. Kirwan

44 O programa de Kirillov para grupos de Lie: Representações irredutíveis Órbitas (co)adjuntas

45 devendo ter-se: Restrição de representações irredutíveis de G a um subgrupo K Projecção de órbitas em g nas correspondentes em k ( functorialidade do método das órbitas) A.Kirillov, Bulletin AMS

46 Aplicação ao caso de U n µ λ medida de probabilidade na órbita O λ, S ih n, U = e S Fórmula de Kirillov: s λ (U) = 1 j(s) µ λ+δ (S) onde δ = (n 1, n 2,..., 1, 0), designa a transformada de Fourier inversa e j(s) é uma certa função 0 satisfazendo j = µ δ Correspondência entre representações irredutíveis V λ e órbitas O λ+δ

47 As medidas µ λ formam um hipergrupo para a convolução. supp(µ λ µ ν ) = supp(µ λ ) + supp(µ ν ) = O λ + O ν s α s β = γ c γ αβ s γ µ α+δ µ β+δ = j γ c γ αβ µ γ+δ µ α+δ µ β+δ = µ δ γ c γ αβ µ γ+δ A.Dooley, J.Repka, N.Wildberger, 1993

48 Dará uma outra demonstração de E(α, β) Z n = LR(α, β)? (ou pelo menos de ) γ E(α + δ, β + δ) O γ ocorre em O α+δ + O β+δ O γ ocorre em supp(µ α+δ µ β+δ ) O γ ocorre em supp γ c γ αβ ( µδ µ γ+δ )

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