MATRIZES Matriz quadrada Matriz linha e matriz coluna Matriz diagonal Matriz identidade

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1 MATRIZES Matriz quadrada matriz quadrada de ordem. diagonal principal matriz quadrada de ordem diagonal principal diagonal secundária Matriz linha e matriz coluna [ ] colunas). (linha e matriz linha x 9 - ( linhas ecoluna). matriz coluna x Matriz diagonal Matriz identidade

2 j para i, a j para i, a temos matriz identidade, Em uma ij ij Matriz nula Matriz transposta - A - t A Adição de matrizes B e matrizes A Sejam as A soma das matrizes A e B é feita da seguinte maneira:

3 A + B , assim + 7 A + B 8 9. Propriedades da adição: comutativa: A + B B + A associativa: (A + B) + C A + (B + C) elemento neutro: A + + A A elemento oposto: A + (- A) (- A) + A cancelamento: A B A + C B + C Multiplicação de número real por matriz 7 Dada a matriz A, A Propriedades da multiplicação de número real por matriz: α.(a + B) αa + αb α(β. A) αβ.a (α + β)a α.a + β.b

4 Multiplicação de matrizes Sejam as matrizes A - e B. A B x x x Propriedades da multiplicação de matrizes: Na multiplicação de matrizes as únicas propriedades válidas são a associativa e a distributiva. Matriz inversa Dada a matriz A, calculamos a matriz inversa de A (A- ) da seguinte forma:

5 a c b d a + c b + d a + c b + d Pela igualdade de matrizes, temos o seguinte sistema: a + c a + c b + d b + d Resolvendo-se o sistema, encontramos a, b -, c -½ e d ½. - Logo, A. - Operações elementares em uma matriz L L - L -L - L L A Toda matriz inversível pode ser transformada, mediante um número finito de operações elementares, na matriz I. A mesma seqüência de operações que transforma a matriz A em In, transforma In em A -. seqüênciadeoperaçõeselementares - [ A In ] [ In A ] Determinantes de ª ordem 7 Seja a matriz A, det A

6 Ou seja, dada uma matriz genérica a a A, det A a a a a a a. Também podemos indicar o determinante da seguinte maneira: a a a a. Regra de Sarrus Seja a matriz genérica obtemos o a A a a a a a a a a, através da Regra de Sarrus, determinantes de uma matriz x da seguinte maneira: repete-se as duas primeiras colunas à direita da matriz e efetuamos as seis multiplicações, conforme estão indicadas: a a a a a a a a a a a a a a a (a.a.a ) + (a.a.a ) + (a.a.a ) (a.a.a ) + (a.a.a ) + (a.a.a ) Os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo sinal; os produtos obtidos na direção da diagonal secundária mudam de sinal;

7 o determinante é a soma dos valores obtidos. Exemplo: A -, assim: Propriedades dos determinantes: Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M forem iguais a zero, seu determinante será nulo; ou seja, det M. Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada M forem iguais, seu determinante será nulo, ou seja, det M. Se uma matriz quadrada M possui duas linhas (ou duas colunas) proporcionais, seu determinante será nulo, ou seja, det M. Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número real k, então seu determinante fica multiplicado por k. Se uma matriz quadrada M de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu determinante fica multiplicado por k n, ou seja, det(kmn) k n. det Mn. O determinante de uma matriz quadrada M é igual ao determinante de sua transposta, isto é, det M det (M t ).

8 Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada M, o determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da matriz anterior. O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matrizproduto, então det(ab) (det A)(det B) (teorema de Binet). Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando a matriz B, então det A det B (teorema de Jacobi). SISTEMAS LINEARES Equações lineares x + y equação linear de variáveis x e y. x + y z equação linear de variáveis x, y e z. x + y + x y equação linear de variáveis x e y. Exemplos de sistemas de equações lineares: x + y x y é um sistema linear x nas variáveis x e y. x + y z 8 x + y + z 9 x + y + z é um sistema linear nas variáveis x, y e z. Genericamente, representamos um sistema linear da seguinte maneira: ax + ax + ax anx n b ax + ax + ax anxn b S M amx + amx + amx amnxn bm

9 Resolução de um sistema linear Resolver um sistema linear consiste em encontrar o conjunto solução S que satisfaz as igualdades. Há vários métodos que podem ser utilizados para resolver um sistema linear, a seguir apresentaremos o método da adição. Resolução pelo método da adição x y Seja o sistema, multiplicando-se a primeira equação por (-) e x + y a segunda por (), encontramos o seguinte: x y x + y (-) () - x + y - x + y 7y -7 y -. Da mesma forma, podemos encontrar o valor de x, basta encontrarmos um número que multiplicando as equações as tornem simétricas em relação a y. Resolvendo-se o sistema até o final, encontramos como solução (, -) este é o único par que é solução do sistema. Sistema linear homogêneo Um sistema linear é chamado de homogêneo quando todos os termos independentes são nulos. Exemplo de um sistema linear escalonado x + y z y + z z

10 Resolução de um sistema linear por triangularização ou escalonamento Operações Permutação de duas equações. Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero. Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por um número real diferente de zero. Sistema compatível - Determinado: quando após escalonar obtém-se tantas linhas significativas (não totalmente nulas) quantas são as colunas da matriz dos coeficientes. - Indeterminado: quando após escalonar obtém-se menos linhas significativas do que o número de colunas da matriz dos coeficientes. Exemplo. - -