Cristina Maria Marques Departamento de Matemática-UFMG 1999 ( com revisão em 2005)

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1 Introdução à Teoria de Anéis Cristina Maria Marques Departamento de Matemática-UFMG 1999 ( com revisão em 2005)

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3 Prefácio Esta apostila consta das notas de aula feitas para as disciplinas Álgebra I e Estruturas Algébricas, as quais que já lecionei várias vezes na UFMG. Ele tem por objetivo introduzir a estrutura algébrica dos anéis. O pré requisito para a leitura desse livro é a disciplina Fundamentos de Álgebra, ou seja, uma introdução aos números inteiros. Fazemos uma recordação dessa disciplina no Capítulo 1. Esta apostila foi escrita com o intuito de ajudar aos alunos na leitura de outros textos de Álgebra como por exemplo o excelente livro do Gallian [1]. Vários anéis são apresentados como os anéis quocientes, anéis de polinômios sobre anéis comutativos e outros. No Capítulo 7 é feita uma generalização desses anéis, definindo domínios euclidianos, domínios de fatoração única e domínios de ideais principais. Tambem apresentamos o Teorema Fundamental dos Homomorfismos que permite a compararação de anéis. Espero alcançar meu objetivo. Cristina Maria Marques. Belo Horizonte,9/3/99. i

4 Sumário Prefácio i 1 Inteiros Propriedades básicas Teorema Fundamental da Aritmética Indução matemática Relação de equivalência Exercícios do capítulo Anéis Definições e propriedades básicas Subanéis Domínios Integrais Corpos Característica de um anel Exercícios do Capítulo Ideais e anéis quocientes Ideais Anéis quocientes Ideais primos e ideais maximais Exercícios do Capítulo Homomorfismos de anéis Definição e exemplos Propriedades dos homomorfismos O teorema fundamental dos homomorfismos O corpo de frações de um domínio Lista de exercícios do Capítulo Anéis de Polinômios Definição e exemplos O Algoritmo da divisão e conseqüências Lista de exercícios do Capítulo ii

5 SUMÁRIO iii 6 Fatoração de polinômios Testes de redutibilidade Testes de irredutibilidade Fatoração única em Z[x] Lista de exercícios do Capítulo Divisibilidade em domínios Irredutíveis e primos Domínios de Fatoração única Domínios Euclidianos Lista de exercícios do Capítulo Algumas aplicações da fatoração única em domínios Introdução O anel Z[ω] A equação X 3 + Y 3 + Z 3 = A equação Y = 2X

6 iv SUMÁRIO

7 Capítulo 1 Inteiros 1.1 Propriedades básicas Vamos recordar aqui as principais propriedades dos inteiros Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} as quais serão consideradas como axiomas.elas serão usadas em todo nosso curso. Fecho: Se a e b são inteiros então a + b e a.b também são. Propriedade comutativa: a + b = b + a e a.b = b.a para quisquer inteiros a e b. Propriedade associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c) para quaisquer inteiros a, b e c. Propriedade distributiva: (a + b).c = a.c + b.c para quisquer inteiros a, b e c. Elementos neutros: a + 0 = a e a.1 = a para todo inteiro a. Inverso aditivo: Para todo inteiro a existe um inteiro x que é solução da equação a + x = 0. Tal x é denominado inverso aditivo e tem a notação a. Obs: a notação b a significa b + ( a). Cancelamento: Se a, b e c são inteiros com a.c = b.c com c 0 então a = b Tais axiomas nos permitem provar outras propriedades de Z bastante comuns. Exemplo Para todo a, b e c em Z temos a.(b + c) = a.b + a.c Com efeito, como sabemos que o produto é comutativo em Z segue que Pela propriedade distributiva temos que a(b + c) = (b + c).a (b + c).a = b.a + c.a Finalmente usando a propriedade comutativa do produto segue o resultado. 1

8 2 CAPÍTULO 1. INTEIROS Exemplo Podemos provar que 0.a = 0. Para isto, observe que como Somando de ambos os lados 0.a teremos que pela comutatividade do produto. 0 = a = (0 + 0)a = 0.a + 0.a 0 = 0.a = a.0 Exercício Prove que para todo a, b e c em Z temos: 1. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. ( 1)a = a 3. (ab) = a( b) 4. ( a)( b) = ab 5. (a + b) = ( a) + ( b) A ordem em Z é definida usando os inteiros positivos { 1,2,3,...}. Definição Se a e b são inteiros dizemos que a é menor que b, e denotamos por a < b quando b a for positivo. Se a < b escrevemos também b > a. As principais propriedades da ordem dos inteiros são : Fecho dos inteiros positivos: a soma e o produto de dois inteiros positivos são positivas. Tricotomia : para todo inteiro a, temos que ou a > 0, ou a < 0 ou a = 0. Outras propriedades da ordem de Z podem ser obtidas através dessas. Exemplo Suponha que a, b e c são inteiros com a < b e c > 0. Vamos provar que ac < bc. Por definição a < b significa que b a > 0 Pela propriedade do fecho (b a)c > 0. Pela propriedade distributiva e o exercício anterior, segue o resultado. Exercício Prove que se a, b e c Z, a < b e c < 0 então ac > bc.

9 1.1. PROPRIEDADES BÁSICAS 3 Uma propriedade muito importante de Z é o princípio da boa ordenação : Princípio da boa ordenação (PBO) Todo subconjunto não vazio de inteiros positivos possui um menor elemento. O PBO diz que se S é um subconjunto não vazio dos inteiros positivos então existe um s 0 S tal que s s 0 para todo s em S. O conceito de divisibilidade é muito importante na teoria dos números e será estendido na teoria de anéis em geral. Dizemos que um inteiro não nulo t é divisor de um inteiro s se existe um inteiro u tal que s = tu. Escrevemos neste caso que t s ( lemos t divide s ) Quando t não é um divisor de s, nós escrevemos t s. Um primo é um inteiro positivo maior que 1 cujo únicos divisores positivos são 1 e ele mesmo. Como nossa primeira aplicação do PBO temos uma propriedade fundamental do inteiros: Teorema (Algoritmo de Euclides (AE)). Sejam a e b inteiros com b > 0. Então existem inteiros q e r tais que a = bq + r onde b > r b. Tais q e r são únicos. : Existência: Considere o conjunto S = {a bk k Z e a bk 0}. Se 0 S, existe q Z tal que a bq = 0. Fazendo r = 0 o algoritmo está provado. Se 0 S vamos aplicar o PBO. Para isto temos que provar que S. Se a > 0, a b0 = a > 0 e então S. Se a < 0, a b2a = a(1 2b) > 0 e então S. Pelo PBO, S possui um menor elemento que chamaremos de r. Assim, existem q, r Z tais que a bq = r, r é o menor elemento de S e r > 0. Só falta provar que r < b. Se r = b a bq = r = b a bq = b a b(q + 1) = 0 Isto indica que 0 S, o que não acontece neste caso. Se r > b a bq = r > b a bq b > 0 a b(q + 1) > 0 Isto indica que a b(q + 1) pertence a S o que é um absurdo pois é menor que r = a bq e r é o menor elemento de S. Unicidade Suponha que existam q, q, r, r tais que a = bq + r = bq + r

10 4 CAPÍTULO 1. INTEIROS com 0 r, r < b. Como r r = b(q q) temos que b (r r). Mas como r r < b concluimos que r r = 0, r = r e q = q. Notação : q será chamado de quociente e r será chamado de resto da divisão de a por b. Exemplo Se a = 34 e b = 7 o algoritmo diz que 34 = ; para a = 49 e b = 6, o algorítmo de Euclides diz que 49 = 6.( 9) + 5. Definição (Máximo divisor comum). O máximo divisor de dois inteiros a e b não nulos é o maior de todos os divisores comuns de a e b. Ele será denotado por mdc(a, b) ou quando não causar dúvidas simplesmente por (a, b). Quando mdc(a, b) = 1 dizemos que a e b são relativamente primos. Podemos definir mdc(a, b) da seguinte forma: mdc(a, b) = d se e somente se 1. d > 0 2. d a e d b. 3. se existir um inteiro c tal que c a e c b então c d. Temos de provar que as duas definições são equivalentes. Para isto precisamos do próximo teorema que diz que o mdc(a, b) é uma combinação linear de a e b. Esta é nossa segunda aplicação do PBO. Teorema (mdc é uma combinação linear). Se a e b são inteiros não nulos então existem inteiros s e r tais que mdc(a, b) = sa + tb Considere o conjunto S = {am + bn m, n Z e am + bn > 0}. S porque se você achar uma combinação am + bn < 0 então multiplique por 1 e terá uma combinação positiva. Pelo PBO, S possui um menor elemento. Seja d o menor elemento de S. Assim existem s, t Z tais que d = sa + tb. Afirmação : d = mdc(a, b) Com efeito, pelo algoritmo de Euclides, existem q, r Z tais que a = dq + r e 0 r < d. Se r > 0, então 0 < r = a dq = a (as + tb)q = a(1 s) + ( tq)b S. Isto é um absurdo pois d é o menor elemento de S, Assim r = 0 e d a. Analogamente, d b Seja agora d outro divisor comum de a e b. Assim a = d k e b = d h para certos k e h em Z, d = as + bt = d ks + d ht = d (ks + ht) e portanto d d. Logo d = mdc(a, b). Definição (Mínimo múltiplo comum ). O mínimo múltiplo comum de dois interos não nulos é o menor múltiplo comum positivo de a e b. Notação : mmc(a, b) Podemos definir o mmc(a, b) na forma : mmc(a, b) = m se e somente se 1. m > 0 2. a m e b m 3. Se existir m inteiro tal que a m e b m então m m Exercício Prove que as duas definições de mdc são equivalentes.

11 1.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA Teorema Fundamental da Aritmética O teorema fundamental da aritmética é um resultado importante o qual mostra que os números primos são os construtores dos inteiros. Teorema (Teorema Fundamental da Aritmética (T F A) ). Todo inteiro maior que um se escreve de maneira única como um produto de primos. Para provarmos este teorema temos de provar algumas propriedades dos primos. Lema (Lema de Euclides). Se p é um primo que divide a.b então p divide a ou p divide b. : Suponha que p é um primo que divide ab mas que p a.como p é primo podemos afirmar que p e a são relativamente primos.assim existem inteiros r e s tais que ra + sp = 1. Então rab + rpb = b. Como p ab e p rpb temos que p b. Note que o Lema de Euclides falha se p não for primo ; por exemplo 6 4.3,6 4 e 6 3 do Teorema Fundamental da Aritmética Unicidade Suponha que exista duas fatorações em primos de n: n = p 1 p 2...p r = q 1 q 2...q s. Pelo Lema de Euclides p 1 q i para algum q i e como p 1 e q i são primos temos que p 1 = q i para algum i {1, 2,..., s}. Analogamente p 2 = q j para algum j {1, 2,..., s} e assim por diante. Pela propriedade do cancelamento teremos 1 = q i1...q ik se s > r. Mas isto é um absurdo pois nenhum primo é invertível. Analogamente se r < s chegamos num absurdo. Logo s = r e os primos são os mesmos. Existência: Séra feito depois do segundo princípio da indução matemática na próxima seção. 1.3 Indução matemática Existem dois tipos de prova usando indução matemática. Ambas são equivalentes ao PBO e vêm do século XVI. Primeiro princípio da indução matemática (1 o P IM) Seja S um subconjunto de Z contendo a. Suponha que S tem a propriedade de possuir n+1 sempre que S possuir n com n a. Então S contem todo inteiro maior ou igual a a. Assim, para provarmos que uma afirmação é verdadeira para todo inteiro positivo, nós devemos primeiro verificar que a afirmação é verdadeira para o inteiro 1. Nós então supomos que a afirmativa é verdadeira para o inteiro n e usamos esta afirmativa para provar que a afirmativa é válida para n + 1.

12 6 CAPÍTULO 1. INTEIROS Exemplo Podemos usar o (1 0 P IM) para provar que n! n n para todo inteiro positivo n. A afirmativa é válida para n = 1 pois 1! = = 1. Agora suponha que n! n n ; esta é a hipótese de indução.temos de provar que (n + 1)! (n + 1) (n+1). Usando a hipótese de indução (n + 1)! = (n + 1).n! Isto completa a prova. (n + 1)! (n + 1).n n (n + 1)! (n + 1).(n + 1) n (n + 1)! (n + 1) (n+1) Segundo princípio de indução matemática.(2 o P IM) Seja S um subconjunto de Z contendo a. Suponha que S tenha a propriedade de sempre conter n quando S contiver todos os inteiros menores que n e maiores que a. Então S contem todo inteiro maior ou igual a a. Para usar esta forma de indução, nós primeiro provamos que a afirmativa é válida para a. Depois mostramos que se a afirmativa é verdadeira para todos os inteiros maiores ou iguais a a e menores que n então ela é verdadeira para n. Exemplo (Existência do TFA). Nós usamos o 2 o P IM com a = 2 para provar a parte da existência do TFA. Seja S Z formado de inteiros maiores que 1 que são primos ou um produto de primos. Claramente 2 S. Agora nós assumimos que para algum inteiro n, S contém todos os inteiros k com 2 k < n. Nós devemos mostrar que n S. Se n é primo, então n S por definição. Se n não for primo, n poderá ser escrito na forma n = ab onde 1 < a < n e 1 < b < n. Como estamos assumindo que a e b pertencem a S, nós sabemos que eles são primos ou produto de primos. Assim, n também é um produto de primos. Isto completa a prova. 1.4 Relação de equivalência Em matemática objetos diferentes num contexto podem ser vistos como iguais noutro. Por exemplo, como i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1 temos que para efeito de achar potencias de i os números são iguais se tiverem o mesmo resto na divisão por 4. Assim, aqui 5 = 1, 240 = 0, 243 = 3. O que é necessário fazer para que estas distinções fiquem claras, é uma generalização apropriada da noção de igualdade; isto é, nós necessitamos de mecanismo formal para especificar quando ou não duas quantidades são iguais numa certa colocação. Tais mecanismos são as relações de equivalencia. Definição (Relação de Equivalência). Uma relação de equivalência num conjunto S é um conjunto R de pares ordenados de elementos de S de modo que: 1. (a, a) R para todo a S ( propriedade reflexiva ) 2. (a, b) R implica (b, a) R ( propriedade simétrica ). 3. (a, b) R e (b, c) R implica (a, c) R ( propriedade transitiva )

13 1.4. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA 7 Quando R for uma relação de equivalência num conjunto S, escrevemos arb ao invés de (a, b) R. Também como uma relação de equivalência é uma generalização de igualdade, símbolos sugestivos são,, ou. Se for uma relação de equivalência num conjunto S e a S, então o conjunto [a] = {x S x a} é chamado de classe de equivalencia de S contendo a. Exemplo ((a b mod n)). Em Z definimos a relação de equivalência: a b mod n n (a b) É fácil ver que modn é uma relação de equivalência ; 1. a a mod n pois n 0 2. Se a b mod n então b a mod n pois se n (a b) então n (b a). 3. Se a b mod n e b c mod n temos que n (a b) e n (b c) e então n (a c). Isto mostra que a c mod n As classes de equivalencia de Z mod n serão as classes dos restos da divisão por n. Com efeito, dado a em Z pelo algorítmo de Euclides temos a = qn + r com 0 r < n. Isto mostra que a r mod n. Denotaremos por Z n o conjunto das classes de equivalencia de Z módulo n. Usaremos a notação ā para [a].assim. Z n = { 0, 1,..., n 1} Definição (Partição de um conjunto S). Uma partição de um conjunto S é uma coleção de subconjuntos não vazios disjuntos de S cuja união é S. Teorema As classes de equivalencia de um conjunto S formam uma partição de S. Reciprocamente, para toda partição P de um conjunto S, existe uma relação de equivalencia em S cujas classes de equivalencia são os elementos de P. : Seja uma relação de equivalencia em S. Para todo a S temos que a [a] pela propriedade reflexiva. Assim [a] e a união de todas as classes de equivalencia de S é S. Vamos agora provar que duas classes de equivalencia distintas são disjuntas. Com efeito, suponha que [a] e [b] possuem um elemento x em comum. Isto implica que x a e x b. Pela propriedade transitiva a b e portanto [a] = [b]. A recíproca é deixada como exercício. Exemplo Pelo exemplo anterior temos que Z = [0] [1]... [n 1].

14 8 CAPÍTULO 1. INTEIROS 1.5 Exercícios do capítulo 1 1. Se a e b são inteiros positivos então ab = mdc(a, b).mmc(a, b) 2. Suponha que a e b são inteiros que dividem o inteiro c. Se a e b são relativamente primos, mostre que ab c. Mostre com um exemplo, que se a e b não são relativamente primos então ab não necessita dividir c. 3. O conjunto dos racionais positivos satisfaz o PBO? 4. Mostre que mdc(a, bc) = 1 mdc(a, b) = 1 e mdc(a, c) = 1 5. Se existem inteiros a, b, s e t de modo que at + bs = 1 mostre que mdc(a, b) = Seja d = mdc(a, b). Se a = da e b = db mostre que mdc(a, b ) = 1 7. Sejam p 1, p 2,..., p n primos distintos. Mostre que p 1 p 2...p n + 1 não é divisível por nenhum desses primos. 8. Mostre que existem infinitos primos. Sug: Use Prove que para todo n, n = n(n + 1)/2 10. Para todo inteiro positivo n, prove que um conjunto com n elementos tem exatamente 2 n subconjuntos(contando com o vazio e o todo). 11. Prove o Lema generalizado de Euclides: Se p é um primo e p a 1...a n, prove que p a i para algum i, i = 1, 2,..., n. 12. Seja S um subconjunto de R. Se a e b pertencem a S, defina a b se a b é um inteiro. Mostre que é uma relação de equivalência em S. 13. Seja S = Z. Se a, b S defina arb se ab 0. R é uma relação de equivalencia em S? 14. Uma relação num conjunto S é um conjunto de pares ordenados de elementos de S. Ache um exemplo de uma relação que seja simétrica, reflexiva mas não transitiva. 15. Ache um exemplo de uma relação que seja reflexiva, transitiva mas não simétrica. 16. Ache um exemplo de uma relação que seja simétrica, transitiva e não reflexiva. 17. Sejam n e a inteiros positivos e d = (a, n). Mostre que a equação ax 1 mod n tem uma solução d = Prove que o 1 o PIM é uma consequência do PBO.

15 1.5. EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO Seja (x 0, y 0 ) uma solução de ax + by = c com a, b e c inteiros. Mostre que todas as soluções de ax + by = c têm a forma x = x 0 + t(b/d), y = y 0 t(a/d) onde d = mdc(a, b) e t Z. 20. Se u e v são positivos, mdc(u, v) = 1 e uv = a 2, mostre que u e v são quadrados onde u, v e a pertencem a Z. 21. Prove por indução sobre n, que n 3 + 2n é sempre divisível por Se n é um natural ímpar, prove que n 3 n é sempre divisível por Seja n um natural composto. Então n tem um divisor primo p tal que p n. 24. Prove que existe um número infinito de primos da forma 4n 1.

16 Capítulo 2 Anéis 2.1 Definições e propriedades básicas Um anel é um conjunto A, cujos elementos podem ser adicionados e multiplicados ( isto é, são dadas duas operações (x, y) x + y e (x, y) x.y aos pares de elementos de A em A) satisfazendo as seguintes condições : 1. Para todo x e y A nós temos a comutatividade da soma, a saber x + y = y + x 2. Para todo x e y A nós temos a associatividade da soma, a saber, (x + y) + z = x + (y + z) 3. Existe um elemento e em A tal que x + e = x para todo x A. Not: e = 0. Este é chamado elemento neutro da adição. 4. Para todo elemento x A existe um elemento y em A tal que x + y = 0. Not: y = x Este é também chamado de simétrico de x. 5. Para todo x, y, z A nós temos a associatividade da multiplicação, a saber (x.y).z = x.(y.z) 6. Para todo x, y, z A nós temos a distributividade da multiplicação à direita e esquerda, a saber x(y + z) = x.y + x.z e (y + z).x = y.x + z.x Observações : 1) Observe que a multiplicação não necessita ser comutativa. ocorrer, dizemos que A é um anel comutativo Quando isto 10

17 2.1. DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES BÁSICAS 11 2) Um anel não necessita ter elemento neutro da multiplicação (isto é, um elemento y tal que xy = yx = x para todo x A). Este elemento é chamado de unidade do anel e denotado por 1. Quando um anel A possui o elemento neutro da multiplicação dizemos que A é um anel com unidade. 3) Os elementos não nulos de um anel não necessitam ter inversos multiplicativos (isto é, y é inverso multiplicativo de x se e somente se xy = yx = 1). Os elementos de um anel A que possuem inverso multiplicativo são chamados de invertíveis de A ou unidades de A. Usaremos a notação U(A) = {x A x é uma unidade de A}. Exemplo O conjunto dos inteiros Z com a adição e multiplicação usuais é um anel. Exemplo Os conjuntos Q, R, C com as operações usuais são exemplos de anéis. Observe que U(Q) = Q {0}, U(R) = R {o}, U(C) = C {0}. Exemplo (O anel Z n ). Já definimos Z n no capítulo 1. Z n = { 0, 1,..., n 1} Vimos também quando duas classes são iguais,isto é, Em Z n definimos as operações : ā = b n (a b) Z n Z n Z n Z n Z n Z n (ā, b) a + b (ā, b) a.b Como estamos trabalhando com classes, as quais são conjuntos, temos de mostrar que estas operações estão bem definidas, isto é, se ā = a 1 e b = b 1 então a + b = a 1 + b 1 e a.b = a 1.b 1. Pela igualdade das classes temos que existem x, y Z tais que Somando estas duas equações temos que Isto significa que Também, a a 1 = xn e b b 1 = yn (a + b) (a 1 + b 1 ) = (x + y)n a + b = a 1 + b 1 a.b = (xn + a 1 )(yn + b 1 ) = xyn 2 + xnb 1 + a 1 yn + a 1 b 1 e esta equação indica que n (ab a 1 b 1 ) ou seja a.b = a 1.b 1. Como a soma e a multiplicação de duas classes dependem essencialmente da soma e multiplicação em Z, respectivamente, temos que várias propriedades dessas operações de Z n são herdadas de Z.É o caso da comutatividade da soma, associatividade da soma e produto e distributividade. Observe que o elemento neutro da soma de Z n vai ser a classe 0 que representa os múltiplos de n. O simétrico da classe ā é a classe a. O anel Z n é comutativo com unidade sendo a unidade a classe 1.

18 12 CAPÍTULO 2. ANÉIS Exemplo O conjunto Z[x] de todos os polinômios na variável x com coeficientes inteiros com a multiplicação e adição usuais é um anel comutativo com unidade. Recorde que se f(x) = a 0 + a 1 x a n x n e então g(x) = b 0 + b 1 x +...b m x m f(x) + g(x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x (a k + b k )x k onde k = max{n, m} f(x).g(x) = c 0 + c 1 x c n+m x n+m onde c j = a j.b 0 + a j 1.b a 0.b j Agora verifique que Z[x] realmente um anel comutativo e a sua unidade é f(x) = 1 Exemplo O conjunto ( M) 2 (Z) das matrizes 2 2 com entradas inteiras é um anel não 1 0 comutativo com unidade. Verifique isto! 0 1 Exemplo O anel 2Z com a soma e produto usuais é um anel comutativo sem unidade. Exemplo O conjunto das funções reais contínuas a uma variável cujo gráfico passa pelo ponto (1, 0) é um anel comutativo sem unidade com as operações : (f + g)(a) = f(a) + g(a) e (fg)(a) = f(a)g(a) Exemplo Se A 1 e A 2 são anéis, nós podemos definir um novo anel A 1 A 2 = {(a 1, a 2 ) a i A i } com as operações componente a componente: (a 1, a 2 ) + (b 1, b 2 ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2 ) e (a 1, a 2 ).(b 1, b 2 ) = (a 1.b 1, a 2.b 2 ) Este anel é chamado de soma direta de A 1 e A 2. Vamos ver agora como podemos operar com anéis. Teorema (Regras da soma e do produto). Sejam a, b e c elementos de um anel A. Então: 1. Vale a lei de cancelamento para a soma, isto é, se a + b = a + c então b = c. 2. O elemento neutro aditivo é único. 3. O inverso aditivo é único. 4. a.0 = 0.a = 0 5. a( b) = ( a)b = (ab) 6. ( a)( b) = ab 7. a(b c) = ab ac e (b c)a = ba ca. Se A tem unidade 1 então

19 2.2. SUBANÉIS ( 1)a = a 9. ( 1)( 1) = O elemento neutro da multiplicação é único. 11. O inverso multiplicativo é único. 1. Basta somar a ambos os lados da igualdade o inverso aditivo de a. 2. Suponha que existam dois elementos neutros, a saber, e e e 1. Usando a definição de elemento neutro temos e = e + e 1 = e Suponha que o elemento a possui dois inversos aditivos: a 1 e a 2. Então a + a 1 = a + a 2 = 0. Segue então pelo cancelamento provado em 1 que a 1 = a Utilizando a distributividade temos a.0 = a(0+0) = a.0+a.0. pelo cancelamento em 1 temos que a.0 = 0. Analogamente 0.a = Queremos provar que a( b) é o simétrico de ab. Para isto basta somar a( b) + ab e ver se o resultado é zero. Como a( b) + ab = a( b + b) = a.0 = 0, segue o resultado. Analogamente para ( a)b é o simétrico de ab. 6. ( a)( b) = [a( b)] = [ ab] pelo ítem anterior. É fácil ver que ( a) = a para todo a em A. 7. a(b c) = a(b + ( c)) = ab + a( c) = ab + ( ac) = ab ac pelas propriedades anteriores. 8. ( 1)a = (1a) = a por Direto de Suponha que existam duas unidades em A: 1 e b. Pela definição de unidade teremos 1 = 1.b = b. 11. Suponha que o elemento a de A tenha dois inversos multiplicativos : b e c. Assim ba = ab = ac = ca = 1 e b = b1 = bac = 1c = c utilizando a associatividade da multiplicação. 2.2 Subanéis Um subconjunto S de um anel A é um subanel de A se S for um anel com as operações de A. Exemplo Z é um subanel de Q, Q é um subanel de R e R é um subanel de C. Teorema ( Teste para saber se é um subanel). Um subconjunto S de um anel A é um subanel de A se:

20 14 CAPÍTULO 2. ANÉIS 1. S 2. Para todo a e b em S, a b S e ab S. Como as propriedades comutativa, associativa,distributiva são válidas para A, em particular, para S. Então faltam apenas verificar se as operações são fechadas, se o elemento neutro aditivo está em S e se o inverso aditivo de cada elemento de S está em S. Por hipótese, se a e b S então ab S. Como S, tome x em S.Por hipótese x x = 0 S. Também, por hipótese 0 a = a S para todo a S Logo, se a e b S,a + b = a ( b) S por hipótese e o teste está provado. Exemplo {0} e A são subanéis de A. Exemplo { 0, 2, 4} é um subanel de Z 6. Construa as tabelas para verificar isto. Exemplo Os subanéis de Z são da forma nz. Exemplo (Inteiros de Gauss). Z[i] = {a + bi a e b Z} é um subanel de C. Com efeito, Z[i]. (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Z[i] Pelo teste, Z[i] é um subanel de C. 2.3 Domínios Integrais (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i Z[i] O anel Z tem propriedades que em geral um anel qualquer não tem. Veremos algumas delas nesta seção. Definição (Divisor de zero). Um elemento não nulo a em um anel comutativo A é chamado um divisor de zero se existe um elemento não nulo b em A tal que ab = 0. Definição (Domínio integral). Um anel comutativo com unidade é chamado de domínio integral ou simplesmente domínio se ele não tem nenhum divisor de zero. Assim, num domínio integral ab = 0 a = 0 ou b = 0 Exemplo Z, Q, C, R são domínios. Z 6 não é um domínio pois 2. 3 = 0 e 2, 3 0 Exemplo O anel dos inteiros de Gauss Z[i] = {a + bi a, b Z} é um domínio pois é comutativo com unidade e não tem divisores de zero porque está contido em C Exemplo Z[x] é um domínio.com efeito, sejam e f(x) = a 0 + a 1 x a n x n g(x) = b 0 + b 1 x +...b m x m em Z[x] tal que f(x)g(x) = 0. Suponha que f(x) e g(x) não são nulos. Tome a i0 Z tal que i 0 é o menor coeficiente de f(x) tal que a i0 0. Analogamente tome b j0 em g(x) tal que j 0 é o menor índice tal que b j0 0. Se f(x)g(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x c n+m x n+m teremos pela nossa escolha de i 0 e j 0 que c i0 +j 0 = a i0 b j0 0, o que é um absurdo. Logo f(x) ou g(x) é nulo.

21 2.4. CORPOS 15 Exemplo Z[ 2] = {a + b 2 a, b Z} é um domínio. Observe que Z[ 2] R Exemplo Z p é um domínio p é primo. Com efeito, suponha que p é primo e ā b = 0; isto indica que ab = 0 ou p ab. Pelo Lema de Euclides temos p a ou p b, ou seja ā = 0 ou b = 0. Reciprocamente suponha que Z p é um domínio e p não é primo. Então existem inteiros a e b tais que p = ab e 1 < a, b < p. Temos então ō = ā b. Como Z p é um domínio temos que ā = 0 ou b = 0, ou seja p a ou p b. É facil ver que isto não acontece e chegamos assim num absurdo. Uma das propriedaes mais importantes dos domínios é a propriedade de cancelamento. Teorema (Cancelamento). Sejam a, b e c pertencem a um domínio integral. Se a 0 e ab = ac então b = c. De ab = ac temos a(b c) = 0 e como a 0 e estamos num domínio temos que b = c. 2.4 Corpos Em muitas aplicações, um tipo especial de domínio é usado. Definição Um anel comutativo com unidade é chamado um corpo nulo é uma unidade. se todo elemento não Frequentemente usamos a notação ab 1 como a dividido por b. Pensando nisto podemos dizer que um corpo é um conjunto o qual é fechado em relação à adição, subtração, multiplicação e divisão. Exemplo Q, R, C são os exemplos mais famosos de corpos. O teorema seguinte diz que no caso finito, corpos e domínios são os mesmos. Teorema Se D é um domínio finito então D é um corpo. Como D é um domínio, D já é um anel comutativo com unidade. Assim só falta provar que todo elemento não nulo é invertível. Seja a 0 um elemento de D. Como D é finito, a sequencia a, a 2, a 3, a 4,... começará a se repetir, isto é, existe um i > j tal que a i = a j. Então pela lei do cancelamento a j (a i j 1) = 0 e como a 0 temos que a i j = 1. Se i j = 1, a = 1 e portanto é invertível. Se i j > 1, a i j 1 é o inverso de a e então a é invertível. Corolário Se p é primo Z p é um corpo. Usando o exemplo anterior temos Corolário Z n é corpo se e somente se n é primo. Exemplo (Corpo com 49 elementos). Seja Z 7 [i] = {a + bi a, b Z 7 e i 2 = 1}. Este é o anel dos inteiros de Gauss módulo 7. Elementos são adicionados e multiplicados como em números complexos, exceto que é módulo 7. Mostre que Z 7 [i] é um corpo. Exemplo Q[ 2] é um corpo. Prove isto.

22 16 CAPÍTULO 2. ANÉIS 2.5 Característica de um anel Note que para todo x Z 7 [i] nós temos 7x = 0. Similarmente no anel { 0, 3, 6, 9} contido em Z 12 nós temos 4x = 0 para todo x. Esta observação motiva a definição seguinte. Definição (característica de um anel). A característica de um anel A é o menor inteiro positivo n tal que nx = 0 para todo x A. Se tal elemento n não existe nós dizemos que A tem característica 0. Not: car(a) Exemplo Z tem característica zero e Z n tem característica n. Um anel infinito pode ter característica não nula. Por exemplo, o anel Z 2 [x] de todos os polinômios com coeficientes em Z 2 tem característica 2. Quando um anel tem unidade, o processo de achar a característica é simplificado; Teorema (característica de um anel com unidade). Seja A um anel com unidade 1. Se n.1 = 0 e n é o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0 temos que a característica de A é n. Se não existe n inteiro positivo tal que n.1 = 0 então a característica de A é 0. Suponha que não existe n inteiro positivo tal que n.1 = 0; pela definição de característica dea, car(a) = 0. Se n é o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0 temos que nx = n(1x) = (n.1)x = 0 para todo x em A. Isto prova que car(a) = n Teorema (característica de domínio). A característica de um domínio é 0 ou um número primo. Demostração Seja D um domínio. Pelo teorema 2.5.3, como D possui unidade basta verificar a unidade. Se não existe n inteiro positivo tal que n.1 = 0, então a característica de D é 0.Suponha agora que existe um inteiro positivo m tal que m.1 = 0 e seja n o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0. Queremos provar que n é primo. Suponha que n não é primo. Então existem inteiros s, t tal que n = st com 1 < s, t < n. Assim 0 = n.1 = (st).1 = (s.1)(t.1) e como D é domínio temos que s.1 = 0 ou t.1 = 0. Mas isto contraria o fato de n ser o menor inteiro positivo tal que n.1 = 0. Logo n é primo.

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