Problemas e Soluções

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1 FAMAT em Revista Revista Científica Eletrônica da Faculdade de Matemática - FAMAT Universidade Federal de Uberlândia - UFU - MG Problemas e Soluções Número 0 - Abril de 008

2 Comitê Editorial da Seção Problemas e Soluções do Número 0 da FAMAT EM REVISTA: Luiz Alberto Duran Salomão (coordenador da seção) Ednaldo Carvalho Guimarães Marcos Antônio da Câmara

3 7. Para todo número primo p, demonstre que os números são ambos irracionais. p + + p ± p + n n 8. Demonstre que o polinômio X + X + é divisível pelo polinômio X + X + se, e somente se, n não é múltiplo de. 9. Seja ABC um triângulo que tem inraio (raio do círculo inscrito) r e circunraio (raio do círculo circunscrito) R. Demonstre que R r. 40. Seja P um ponto interior ao triângulo ABC cujos lados medem a, b e c e cuja área vale S. Demonstre que o produto das distâncias de P aos lados do triângulo é menor do 8S que ou igual a, sendo que a igualdade ocorre somente se P for o baricentro do 7abc triângulo. p

4 . Demonstre que a soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível por 9. a Resolução: Veja que n + ( n + ) + ( n + ) = n + 9n + 5n + 9. Portanto, bastanos mostrar que n + 5n = n( n + 5) é divisível por 9. Para n = k, para algum inteiro k, é claro que ( n n + 5) é múltiplo de 9. Caso n = k +, n + 5 = 9k + 6k + 6. Por fim, caso n = k +, n + 5 = 9k + k + 9. Assim, nos dois últimos casos, n + 5 é, claramente, múltiplo de. Portanto, concluímos que n ( n + 5) é múltiplo de 9 em ambos os casos. a Resolução (enviada pelo leitor Otoniel Nogueira da Silva): Observe que n + ( n + ) + ( n + ) =(n³ - n) + 9( n² + n +). Portanto, é suficiente mostrar que n n é múltiplo de, para todo inteiro n. Ora, pelo Pequeno Teorema de Fermat, n n( mod), o que quer dizer que n n é, de fato, divisível por, para todo inteiro n. 4. Em um tetraedro regular tomam-se seções paralelas a duas de suas arestas que não se intersectam. Determine a seção de área máxima. Resolução: Seja ABCD o tetraedro dado. O quadrilátero MNKL, obtido ao se intersectar o tetraedro com o plano, é um paralelogramo, com LK paralelo a MN e LM paralelo a NK. A área desse paralelogramo é dada pelo produto KN KL senα, onde α é a medida do ângulo LKN ˆ. Portanto, a área da seção depende apenas do produto KN KL já que sen α é uma constante para todas as seções em questão. Representando por x o comprimento do segmento AK, teremos, como conseqüência da semelhança dos KN AD x KL x triângulos envolvidos que = e =. Multiplicando essas duas AB AD CD AD AB CD igualdades termo a termo, obtemos KN KL = ( AD x)x. Daí, como o fator AB CD AD é constante, o produto AD KN KL será máximo quando o fator ( AD x)x o for. AD AD Porém, esse fator pode ser reescrito como x + e, assim, é fácil ver AD que seu valor máximo é alcançado quando x =, o que conclui o problema. 5. A função f ( x) = cos x, definida para x 0, é periódica? Justifique sua resposta. Resolução: Suponha que a resposta seja afirmativa. Assim, existe T > 0 tal que cos x + T = cos x, para todo x 0. Nessa última igualdade, façamos primeiramente x = 0 e, a seguir, x = T e obteremos, respectivamente, cos T = e cos T = cos T =. Daí, teremos simultaneamente que T = kπ e T = lπ, para determinados inteiros positivos k e l. Dessas duas últimas igualdades, dividindo uma pela outra, tiraremos que l =, o que é uma k contradição. Portanto, a função f ( x) = cos x, definida para x 0, não é periódica.

5 6. De quantas maneiras n, sendo n um natural, pode ser expresso como a soma de quatro quadrados de números naturais? Justifique sua resposta. n Resolução: Suponha que a + b + c + d =. Vamos representar por p a maior potência de que divide os quatro inteiros a, b, c e d. Dividindo ambos os membros da p p n equação acima por ( ) =, obtemos p a + b + c + d =, onde pelo menos um dos quatro inteiros a, b, c e d é ímpar. Se exatamente um ou exatamente três dos inteiros a, b, c e d forem ímpares, então a + b + c + d é ímpar e, portanto, nesses casos a igualdade inicial é impossível. Se dois desses inteiros são ímpares, digamos a = k + e b = l +, e os outros dois são pares, digamos c = m e d n, então podemos escrever = + b + c + d = 4k + 4k + + 4l + 4l + + 4m + 4n = ( k + k + l + l + m + n ) + n p a [ ] o que é uma contradição, pois não pode ter um fator ímpar. Por fim, se todos os quatro inteiros forem ímpares, digamos a = k +, b = l +, c = m + e d = n +, teremos a + b + c + d = 4k + 4k + + 4l + 4l + + 4m + 4m + + 4n + 4n + = 4 [ k ( k + ) + l( l + ) + m( m + ) + n( n + ) + ]. Note que a expressão acima, interior aos colchetes, é ímpar; ainda, seu valor só pode 0 =. Isso acarreta que p n p =, n = p +, e k = l = m = n = 0, a = b = c = d =, a = b = c = d =. Concluindo, se n é ímpar, então n não pode ser escrito como soma de quatro quadrados; se n é par, n = p, então n pode ser expresso como soma de quatro quadrados somente da seguinte maneira: = p p p p ( ) + ( ) + ( ) + ( ). p

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