Tudo começou com um problema aparentemente banal: Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano?

Transcrição

1 B"H Fibonacci Tudo começou com um problema aparentemente banal: Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano? O matemático italiano Leonardo Pisano (de Pisa), cujo apelido era Fibonacci, ao resolver esse problema, transcreveu o que seria uma das seqüências mais instigantes da matemática, que entrou para a história como a seqüência fibonnaci (série de números infinitos onde cada número é a soma dos dois anteriores onde os primeiros números são 0 e 1) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... Essa seqüência aparece na natureza, no comportamento da refração da luz, dos átomos, do crescimento das plantas, nas espirais das galáxias, dos marfins de elefantes, nas ondas no oceano, furacões, etc. Vejamos um exemplo: Certas plantas mostram os números de Fibonacci no crescimento de seus galhos, como a Achillea ptarmica, enquanto outras regulam a posição ou número de suas folhas ou pétalas pela mesma seqüência. Filotaxia 1

2 Os números de Fibonacci também são encontrados em arranjos de folhas (Filotaxia). Consideremos que exista um padrão helicoidal (para a esquerda ou para a direita) para as folhas em torno do caule. Cada conjunto de 3 folhas consecutivas (1,2,3) nascem formando um mesmo ângulo entre 1 e 2 e entre 2 e 3, mantendo uma certa distância ao longo do caule. Na figura, a folha 3 forma um mesmo ângulo com 2 da mesma forma que a folha 2 forma com 1. Admitimos o mesmo padrão para todas as folhas restantes. Neste exemplo, temos 5 folhas e 2 voltas. Cada volta é entendida como uma rotação de 360 o para que uma folha possa se sobrepor à outra. Para que isto ocorra cada ângulo deverá ser igual a 2x360 o 5=144 o. de Fibonacci na Filotaxia. Podemos identificar o período p como o número de voltas necessárias até nascer uma nova folha se sobrepondo à primeira e m indicará o número de folhas por período, neste caso, p=2 e m=5. Numerosas experiências com plantas mostraram que p e m assumem mais frequentemente valores como 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., que são os números da sequência de Fibonacci. Existem também exceções, mas os números de Fibonacci ocorrem tão frequentamente que não podem ser explicados como casuais. Os biólogos tantaram explicar a predominância dos números A simetria das folhas pode dar equilíbrio ao caule e também facilitar a exposição à luz, mas a ciência está longe de uma explicação satisfatória. O homem tem ciência das coisas da terra, mas a sabedoria é dom de Deus! No livro de Jó, Cap.28, Biblia Sagrada encontramos estas palavras: 12: Mas onde se achará a sabedoria? E onde está o lugar da inteligência? 13: O homem não lhe conhece o valor; não se acha na terra dos viventes. 20: Donde pois vem a sabedoria e onde está o lugar da inteligência? 28: Mas disse ao homem: Eis que o temor do Senhor é a sabedoria e apartar-se do mal é a inteligência. Pode-se analisar o cone de um pinheiro e observar as pétalas que se formam no mesmo. Pode-se observar a formação de dois tipos de espirais, para a esquerda e para a direita. Tais espirais são do mesmo tipo que aquelas estudadas anteriormente. O número de pétalas quase sempre segue os números de 2

3 Fibonacci. Normalmente um cone de pinheiro possui a espiral apoiada em quadrados iniciais com lados iguais a 5 e 8 ou 8 e 13. As folhas das violetas africanas segue o padrão de Fibonacci. Uma grande quantidade de flores segue um padrão semelhante ao padrão da sequência de Fibonnaci. Tome uma margarida, um girassol ou qualquer outra flor e olhe as posições relativas de suas pétalas assim como o núcleo onde fica a região branca na margarida ou as sementes no girassol. No girassol, as espirais são apoiadas em quadrados iniciais com 34 e 55 ou 55 e 89. Tome um abacaxi e observe as espirais à direita e à esquerda que são formadas na casca do mesmo. Se você retirar a casca do abacaxi, você verá claramente os "olhos" que aparecem junto à parta interna da fruta. Não deixe de comer o abacaxi! Normalmente a espiral no abacaxi está apoiada em quadrados iniciais com lados iguais a 13, 21 ou 34. Observe o tronco da planta "Agave" que tem folhas com extremidades pontiagudas. Se as folhas forem retiradas você observará claramente as espirais com padrão de Fibonacci. A beleza desta seqüência é que seu resultado visual é pura... beleza. Dividindo dois termos consecutivos da sucessão (o número maior pelo menor) vamos obter as sucessivas aproximações de PHI (34:21 = 1,619) (89:55 = 1,618) A escola grega de Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos numéricos que apareciam na natureza, na beleza, na estética, na harmonia musical e outros, e entre elas uma se destacou: Esta razão foi muito usada por Phidias (um escultor grego), e em função das primeiras letras de seu nome usamos Phi para representar o valor numérico do que conhecemos como razão dourada ou proporção Divina, pois os antigos achavam que este era um número predeterminado pelo Criador do Universo. Se você dividir o número de fêmeas pelo número de machos de qualquer colméia do mundo, sempre vai obter PHI. 3

4 A razão de cada diâmetro da espiral do Náutilo (Molusco que bombeia gás para dentro de sua concha repleta de câmaras pra poder regular a profundidade de sua flutuação) para a seguinte também é PHI. Arquitetura Há vários exemplos sobre o modo como o retângulo áureo se ajusta à construção do Parthenon. O Parthenon, agora em ruínas, é um dos templos que foi construído em Athenas por volta dos anos a.c. e nele podemos observar a proporção Áurea. A planta do Parthenon mostra que o templo foi construído tendo por base um retângulo com comprimento igual a raiz quadrada de 5 e largura igual a 1. Neste século, o arquiteto francês Le Corbusier utilizou também de relações harmônicas para projetar estruturas. O padrão utilizado por ele nas relações humanas foi o Modulor, que aparece na gravura abaixo. 4

5 Indústria e Comércio Empresas usam a sequência de Fibonacci de uma forma intuitiva, até mesmo porque as dimensões associadas representam algo bonito e econômico, mas é provável que muitos usuários desta sequência e das relações áureas nem saibam que fazem uso da mesma. Um cartão de crédito parece ter a forma das medidas áureas, sempre relacionadas com o número Phi. Dimensões áureas no homem 5

6 Faça uma análise com o uso da gravura abaixo para observar como um ser humano se adapta às dimensões áureas. Referências Existem muitos livros sobre o uso da Sequência de Fibonacci em situações da vida. Há um excelente livro publicado pela Editora Universidade de Brasília em 1985: "A divina proporção: Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática", H.E.Huntley, Brasília-DF. 6

7 Dentre as páginas da Web que conhecemos, a que fornece melhor tratamento geral sobre as Sequências de Fibonacci é: Fibonacci Numbers and The Golden Section. Ver Numerologia Judaica e seus Mistérios, de David Zumerkorn, Ed. Maayanot, Cap. 8 e cap. 9 7