x a1 mod m 1 x a 2 mod m 2

Transcrição

1 Teorema Chinês do Restos. Dados dois inteiros m, m primos entre si (isto é, mdc(m, m )=), e dados outros dois inteiros quaisquer a, a, o sistema x a mod m x a mod m () Obs: Quem é chinês é o teorema, não os restos possui uma solução x=x 0. Além disso, um inteiro x será solução do sistema se e somente se x x 0 mod m m. A conclusão do Teorema também pode ser expressa assim: O conjunto de soluções do sistema é sempre da formax 0 + km m ; k Z}. Em particular, a solução única modm m. Exemplo. Considere o sistema x mod x 5mod 5 A primeira equação diz que x é ímpar, enquanto a segunda diz que o dígito das unidades de x é 0 ou 5. Portanto as soluções do sistema são 0,±5,±5 etc. Ou seja, x é solução se e somente se x 5 mod 0. Em particular, a solução é única mod 0, como previsto pelo Teorema Chinês dos Restos. Exemplo. Para ver que a hipótese mdc(m, m )= é necessária no teorema, considere o sistema x mod 4 x mod 6 Esse sistema não tem solução. Por outro lado, o sistema x 0mod 4 x 0mod 6 tem soluções x=0,±,±4,... Porém a solução não é única mod m m = 4. Corolário. Suponha m, m primos entre si. Então temos x amod m m se e somente se valem as duas relações abaixo. x amod m x amod m () Este é o teoreminha que está nas notas do Henri Demonstração. Dado qualquer inteiro a, o sistema () de equações em x obviamente possui uma solução x 0 = a. Pelo TCR, todas as outras soluções serão congruentes a esta mod m m. Portanto vale () se e somente se x amod m m.

2 Prova do TCR. Primeiro veremos que existe pelo menos uma solução. Um inteiro x satisfaz o sistema () se e somente se existem inteiros y e y tais que Subtraindo as duas equações e reordenando temos x=m y + a () x=m y + a (4) m y m y = a a. (5) Agora, como mdc(m, m )=, sabemos [já foi explicado antes] que a equação (5) possui alguma solução (y, y ) Z. Fixe uma tal solução e defina x=x 0 pela equação (). Então usando (5) vemos que também vale a equação (4). Portanto este x=x 0 é uma solução do sistema (). Uma vez encontrada uma solução x 0, vejamos que qualquer x x 0 mod m m é solução: de fato x = x 0 + km m implica x x 0 mod m e x x 0 mod m. Por outro lado, veremos que todas as soluções são dessa forma. Suponha x solução do sistema (). Como x também é solução, temos que y=x x 0 satisfaz y a a 0 mod m (6) y a a 0 mod m (7) Por (6), m divide y, isto é, existeltal que y=lm. Por (7), m divide y=lm. Como m e m são primos entre si, m dividel, isto é, existe k tal quel=km. Portanto y=km m 0 mod m m, ou seja, x x 0 mod m m, como queríamos provar. Observação. A prova do teorema dá um método para encontrar soluções dos tais sistemas. Isso deve ser mostrado em aula com alguns exemplos. Vejamos agora uma versão ainda melhor do TCR: Teorema Chinês do Restos (Versão forte). Sejam m,..., m k inteiros dois a dois primos entre si (isto é, mdc(m i, m j )= sempre que i j). Sejam a,..., a k inteiros quaisquer. Então o sistema x a mod m x a mod m (8) x a k mod m k possui uma solução x=x 0. Além disso, um inteiro x é solução do sistema se e somente se x x 0 mod m m k.

3 Demonstração. A prova é por indução no número k de equações. Já vimos que o teorema vale para equações. Agora fixe k > e suponha que o teorema vale para k equações. Dados m,..., m k dois a dois primos entre si, e a,..., a k quaisquer, considere o sistema formado apenas pelas k primeiras equações em (8). Pela hipótese de indução, existe um b tal que este subsistema é equivalente a uma única equação, a saber, x bmod M, onde M=m m k. Portanto o sistema inteiro (8) é equivalente a um sistema com duas equações: x bmod M x a k mod m k Notando que M e m k são primos entre si, e usando que o teorema vale para duas equações, temos que existe solução x 0. Além disso, x é solução se e somente se x x 0 módulo Mm k = m m k m k, como queríamos demonstrar. Exemplo. Resolver x = 77 mod 60. Note que 60 = 8 9 5, e esses três números são primos entre si. Pelo TCR versão forte, a equação é equivalente ao sistema x 77 mod 8 x 77 mod 9 x 77 mod 5 Exemplo do caderno Aí resolvemos na força bruta... Observação. Eu gostaria de mostrar na aula mais aplicações do TCR! Quem sabe isto? Ver também o [GKP]. Prova dinâmica do Teorema Chinês dos Restos Vamos dar uma outra prova do TCR, que esclarece o que acontece quando m e m não são primos entre si. Sejam m e m inteiros quaisquer. Considere um retângulo de lados m e m, dividido em quadrados. Cada quadrado é descrito por coordenadas (x, y) onde x e y são inteiros com 0 x m e 0 y m ; veja a Figura. Considere o seguinte passeio no retângulo: No tempo t=0 começamos no quadrado (0, 0).

4 Figura : Passeio no retângulo 5. No tempo t= estamos no quadrado (, ). Se no tempo (inteiro não-negativo) t estamos no quadrado (x(t), y(t)) então no tempo t+ pulamos para o único quadrado (x(t+), y(t+)) no retângulo m m cujas coordenadas satisfazem x(t+) x(t)+ mod m e y(t+) y(t)+ mod m. Equivalentemente, x(t) tmod m e y(t) tmod m. Quando retornamos pela primeira vez ao quadrado (0, 0)? Isso acontece no menor tempo t que é congruente a zero módulo m e m, isto é, no mínimo múltiplo comum de m e m, chamemos p=mmc(m, m ). Observe também que o tempo t=péa primeira vez que visitamos um quadrado que já tinha sido visitado antes. (Isso acontece pois não há dois quadrados diferentes que pulem para um mesmo quadrado.) A partir do tempo p, visitaremos os mesmos quadrados de novo, e na mesma ordem. Além disso, cada um desses quadrados é visitado periodicamente uma vez a cada p unidades de tempo. No caso que m e m são primos entre si, temos p=m m. Mas esse é o número total de quadrados no retângluo; portanto visitaremos todos os quadrados. Isto prova o Teorema Chinês dos Restos: Dados quaisquer x 0, y 0, o sistema t x 0 mod m e t y 0 mod m tem uma solução t 0, e as outras soluções são exatamente os t s tais que t t 0 mod p. (Podemos pensar que o passeio se estende indefinitamente no passado para incluir t s negativos.) No caso que m e m são primos entre si, temos p<m m e portanto alguns quadrados jamais serão visitados. Observação. Imagine o retângulo m m feito de borracha. Aí colamos a aresta de baixo com a de cima, obtendo um cilindro. Depois colamos os dois círculos correspondentes às arestas laterais do retângulo, obtendo um 4

5 toro (superfície de uma rosquinha). Um vídeo do passeio no toro está aqui: LINK YOUTUBE. Observação. A prova acima também dá a versão forte do teorema, desde que usemos um retângulo de dimensão maior... Alguns comentários sobre equações quadráticas Proposição (Raízes quadradas módulo p). Se p> é primo então para qualquer a, a equação x a mod p cai em um dos três casos: a) ou não tem solução; b) ou as soluções são da forma x 0mod p; c) ou as soluções são da forma x ±x 0 mod p. Demonstração. Basta mostrar que se x e x 0 são soluções da equação então x ±x 0 mod p. Se x 0 é solução então 0 a a x x 0 (x x 0)(x+x 0 ) mod p Suponha que x x 0 mod p. Então podemos multiplicar os dois lados da equação acima pelo inverso multiplicativo mod p de x x 0 e obter 0 x+x 0 mod p. observar Observação. Usando a proposição acima e a existência de inverso multiplicativo módulo p primo, podemos mostrar que a fórmula de Báscara vale mod p. A proposição é falsa se o módulo não é primo; no exemplo seguinte veremos que um número pode ter mais de duas raízes quadradas módulo 5 incongruentes entre si: Exemplo 4 (Refazendo o exemplo 4 das notas do Henri, pag ).. Resolver a equação x mod 5. Pelo TCR, isto é equivalente ao sistema x mod 5 x 4mod 7 que a Lei do é quando Corte falsa o módulo não é primo. Como e 4 já são quadrados emz, pela proposição anterior este sistema é Como 5 e 7 equivalente a são primos, x ± mod 5 uma vez x ± mod 7 encontradas Isso dá quatro sistemas estilo TCR: duas raízes quadradas x mod 5 x mod 5 x mod 5 x mod 5 não precisamos x mod 7 x mod 7 x mod 7 x mod 7 que dão todas as soluções procuradas: x ±9 mod 5 x ±6 mod 5. procurar outras 5