Árvores B Partes I e II

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1 Estruturas de Dados Prof. Ricardo J. G. B. Campello Árvores B Partes I e II Motivação & Construção Bottom-Up Adaptado e Estendido dos Originais de: Leandro C. Cintra Maria Cristina F. de Oliveira A Invenção da B-Tree Bayer and McGreight, 1972, publicaram o artigo: "Organization and Maintenance of Large Ordered Indexes" Em 1979, o uso de árvores-b para manutenção de arquivos de índice de bases de dados já era praticamente padrão em sistemas de arquivos de propósito geral 2 1

2 Problema Acesso a disco é muito custoso (lento) Se um arquivo de índice é grande e não cabe em memória RAM, pode exigir muitos acessos Por exemplo, via busca binária: itens podem requerer log 2 (1000) 10 acessos Solução? Número muito alto para relativamente poucos itens Ainda pior, exige manter o arquivo de índice ordenado... 3 Arquivos Paginados A busca (seek) por uma posição específica do disco é lenta Mas uma vez encontrada a posição, pode-se ler seqüencialmente uma grande quantidade de itens do arq. de índice a um custo relativamente baixo Esta combinação de busca lenta e transferência rápida sugere a noção de página 4 2

3 Arquivos Paginados Página: Um conjunto de itens fisicamente contíguos passíveis de serem recuperados em um único acesso p. ex. ocupando um setor ou cluster se o próximo item a ser recuperado estiver na mesma página do anterior, evita-se um novo acesso ao disco página acessada pode ser mantidas em RAM Pode conter um número grande de itens 5 Árvores Binárias Paginadas 6 3

4 Árvores Binárias Paginadas Na ABB da figura anterior: qq. dos 63 itens é recuperado em, no máximo, 2 acessos! Com um nível adicional: ter-se-ão 64 novas páginas o que representa 64 x 7 = 448 itens adicionais qq. dos 511 itens é recuperado em, no máximo, 3 acessos! Com outro nível adicional: qualquer dos 4095 itens pode ser recuperado em no máx. 4 acessos! busca binária de 4095 itens pode demandar até 12 acessos 7 Árvores Binárias Paginadas Outro Exemplo: páginas com 511 itens cada página contém uma árvore completamente balanceada = 511 itens ABB com 3 níveis pode armazenar itens * *511 = qq. item é recuperado em, no máximo, 3 acessos!!! 8 4

5 Árvores Binárias Paginadas Desempenho de Pior Caso: ABB paginada: log k+1 (n+1) acessos k = no. de itens por página (k=1 para a versão não paginada) n = no. de itens na árvore Exemplo anterior: k = 511: log ( ) = 3 acessos ABB não paginada (k=1): log 2 ( ) = 27 acessos 9 Árvores Binárias Paginadas É simples construir uma árvore paginada se todo o conjunto de chaves é conhecido antes de iniciar a construção Toma-se a chave mediana para obter uma divisão balanceada, de forma recursiva Porém, é complicado se as chaves são recebidas em uma seqüência aleatória 10 5

6 Árvores Binárias Paginadas Exemplo: C S D T A M P I B W N G U R K E H O L J Y Q Z F X V 11 Árvores Binárias Paginadas No exemplo anterior: Construção top-down, a partir da raiz Sempre que uma chave é inserida, a árvore dentro da página é reajustada para manter o balanceamento interno Problema: Chaves pequenas no topo, como C e D, podem acabar desbalanceando a árvore de forma definitiva A árvore do exemplo não está tão ruim, mas o que aconteceria se as chaves fossem fornecidas em ordem alfabética? 12 6

7 Árvores Binárias Paginadas Problema: É necessário manter o balanceamento após inserções e remoções com a restrição dos itens estarem agrupados em páginas... Questões : como garantir que as páginas formem uma árvore balanceada? p. ex., como impedir o agrupamento de chaves como C, D e S no exemplo anterior? como garantir que cada página contenha um no. mínimo de chaves? para evitar fragmentação do arquivo / disco 13 Árvores Binárias Paginadas Em resumo, como garantir: que as páginas formem uma árvore balanceada? que cada página contenha um no. mínimo de chaves? Rotações AVL não satisfazem as necessidades acima não se pode rotar páginas inteiras como se fossem itens individuais páginas contêm múltiplas chaves e múltiplos descendentes rotações tradicionais implicariam a modificação de várias páginas não possuem apenas efeitos locais Solução: Árvores B! 14 7

8 Árvores B Características paginadas balanceadas bottom-up para a criação nós folhas nó raiz Inovação não é necessário construir a árvore a partir da raiz, como é feito para ABBs e AVLs 15 Construção Bottom-Up Conseqüências não mais se aloca chaves inadequadas na raiz chaves na raiz da árvore emergem naturalmente não é mais necessário tratar o problema de desbalanceamento após este ocorrer como rebalancear uma árvore paginada não é mais uma questão a resolver a posteriori balanceamento ocorre naturalmente 16 8

9 Características Nó = Página em Disco: Contém uma seqüência de itens ordenados por chave item = (chave, endereço) endereço = localização do registro no arquivo principal itens de tamanho fixo páginas com no. fixo de itens Contém um conjunto de ponteiros número de ponteiros = número de chaves Estrutura Lógica de um Nó chave de busca endereço chave 1 chave 2 chave 3... chave q-1 chave q < chave 1 > chave 1 < chave 2 > chave 2 < chave 3 > chave q-1 < chave q > chave q 18 9

10 Características Ordem: No. máx. de ponteiros que podem ser armazenados em um nó Exemplo: árvore B de ordem 8 máximo de 7 chaves e 8 ponteiros * A * B * C * D * E * F * G * Observações no. máx. de ponteiros = no. máx. de descendentes de um nó nós folhas não possuem filhos, e seus ponteiros são nulos 19 Exemplo de Árvore B (ordem 4) D H K * A * B * C * * E * G * * * I * J * * * L * M * * Por simplicidade, ao longo das discussões subseqüentes destacaremos apenas as chaves dos itens, assim como no exemplo acima 20 10

11 Exemplo de Árvore B (ordem 4) D H K * A * B * C * * E * G * * * I * J * * * L * M * * Ponteiros: Em nós folha: sempre nulos (*) Em nós internos: localização do nó descendente ou nulo (*) se este não existe 21 Inserção de Itens Característica: sempre realizada nos nós folha Situações a Serem Analisadas: árvore vazia (situação inicial) inserção nos nós folhas sem overflow com overflow com overflow no nó raiz 22 11

12 Inserção: Situação Inicial Criação e Preenchimento do 1º Nó: 1ª chave (árvore vazia): criação do nó raiz demais chaves: inserção até capacidade do nó raiz como nó folha Exemplo: nó com capacidade para 7 chaves chaves: letras do alfabeto 23 Inserção: Situação Inicial Exemplo (cont.): Chaves B C G E F D A inseridas desordenadamente mantidas ordenadas internamente ao nó a cada chave, página é lida, reordenada em RAM e rescrita * A * B * C * D * E * F * G * 24 12

13 Inserção: Overflow Na Raiz Passo 1 Particionamento do Nó (Split) nó original nó original + novo nó split 1-to-2 ou two-way chaves são distribuídas uniformemente nos nós chaves do nó original + nova chave Exemplo: Inserção de J * A * B * C * D * * * * * E * F * G * J * * * * 25 Inserção: Overflow Na Raiz Passo 2 Criação de uma Nova Raiz existência de um nível mais alto na árvore permite a escolha da chave separadora Exemplo: qual deve ser a chave separadora? * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 26 13

14 Inserção: Overflow Na Raiz Passo 3 Promoção de Chave primeira chave do novo nó resultante do split é promovida para o nó raiz Exemplo: E * * * * * * * A * B * C * D * * * * * F * G * J * * * * * 27 Inserção: Nós Folhas Passo 1 Pesquisa árvore é percorrida até encontrar o nó folha no qual a nova chave será inserida página correspondente é lida em RAM Passo 2 Inserção em Nó com Espaço chave é inserida página é reordenada e rescrita 28 14

15 Inserção: Nós Folhas Inserção em Nó com Espaço (Exemplo): Inserção da chave H Antes e Depois: E * * * * * * * A * B * C * D * * * * * F * G * J * * * * * E * * * * * * * A * B * C * D * * * * * F * G * H * J * * * * 29 Inserção: Nós Folhas Passo 2 Inserção em Nó Cheio (Overflow) Particionamento (split): criação de um novo nó folha nó original nó original + novo nó distribuição uniforme das chaves nos dois nós Promoção: 1a chave do novo nó promovida a chave separadora no nó pai reordenação e ajuste do nó pai para apontar para o novo nó eventual propagação de overflow 30 15

16 Exemplo Insira as seguintes chaves em um árvore B: C S D T A M P I B W N G U R K E H O L J Y Q Z F X V Ordem da árvore B: 4 em cada nó (página) número de chaves: 3 número de ponteiros: 4 31 C S D T A M... 1 Inserção de C, S, D criação do nó raiz C C S C D S 0 C D S

17 C S D T A M... 2 Inserção de T nó raiz cheio 2 split do nó criação de uma nova raiz promoção de S S 0 C D 1 T S T 33 C S D T A M... 3 Inserção de A nó folha com espaço 2 S 0 1 A C D T 34 17

18 C S D T A M... 4 Inserção de M nó folha 0 cheio split do nó promoção de D 2 S D S 0 3 A C M D M 1 T P I B W N G U R K... 5 Inserção de P, I, B, W nós folhas com espaço 2 D S A B C I M P T W A C M M P T 36 18

19 ... P I B W N G U R K... 6 Inserção de N nó folha 3 cheio split do nó promoção de N 2 D S D N S A B C I M P T W I M P N P G U R K... 7 Inserção de G, U, R nós folhas com espaço 2 D N S 0 3 A B C G I 4 1 M P R T U W I M P T W 38 19

20 ... G U R K... 8 Inserção de K nó folha 3 cheio 7 N split do nó 3 promoção de K split do nó 2 criação de uma nova raiz promoção de N 2 D N S 6 N S D K S A B C G I M P R T U W G I M K M E H O L J Y Q Z F X V Exercício: Finalizar a construção da árvore

21 Exercícios Estime a quantidade de acessos no pior caso de busca por um item em um arquivo com itens organizado como uma ABB completamente balanceada não paginada Repita o exercício 3 assumindo uma paginação com k = 63 itens por página 41 Exercícios Na árvore B do exemplo em aula (slides anteriores), insira a chave $, sendo que $ < A Insira as seguintes chaves em uma árvore B vazia: C S D T A M P I B W N G U R K E H O L J Y Q Z F X V diferentemente do exemplo em aula, escolha o último elemento do 1º nó para promoção após split por overflow Outros Exercícios: Capítulo 9 (Folk & Zoellick, 1987) 42 21

22 Bibliografia M. J. Folk and B. Zoellick, File Structures: A Conceptual Toolkit, Addison Wesley, Apêndice (Exemplo de Inserções) 44 22