Matemática. Disciplina: CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS. Varginha Minas Gerais

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1 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS Curso Pró-Técnico Disciplina: Matemática Texto Experimental 1 a Edição Antonio José Bento Bottion e Paulo Henrique Cruz Pereira Varginha Minas Gerais

2 Dezembro de 006 Álgebra Fonte: Geometria Fonte: ii

3 ... Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Campus VIII - Varginha MATEMÁTICA I Prof. Antônio José Bento Bottion ÍNDICE 1. TEORIA DOS CONJUNTOS SIMBOLOGIA CONCEITOS PRIMITIVOS REPRESENTAÇÕES DE UM CONJUNTO MAIS DOIS POSTULADOS DEFINIÇÃO DE SUBCONJUNTO TEOREMAS COMPLEMENTAR CONJUNTO UNIVERSO UNIÃO INTERSECÇÃO DIFERENÇA PAR ORDENADO PRODUTO CARTESIANO CONJUNTOS NUMÉRICOS NÚMEROS NATURAIS E NÚMEROS INTEIROS NÚMEROS RACIONAIS NÚMEROS IRRACIONAIS NÚMEROS REAIS TEOREMAS OUTRAS NOTAÇÕES INTERVALOS ARITMÉTICA DOS INTEIROS MÚLTIPLO E DIVISOR NÚMERO PAR TEOREMA NÚMERO PRIMO NÚMERO COMPOSTO TEOREMA FORMA FATORADA DIVISÃO EUCLIDIANA MÁXIMO DIVISOR COMUM... 5 Curso Pró-Técnico - Disciplina: Matemática Professores Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira iii

4 ... Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Campus VIII - Varginha.10. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM TEOREMA TÉCNICAS DE FATORAÇÃO EXPRESSÃO ALGÉBRICA VALOR NUMÉRICO FATORAR DESENVOLVER CASOS DE FATORAÇÃO POTENCIAÇÃO DEFINIÇÃO DEFINIÇÕES SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS EQUAÇÕES EXPONENCIAIS NOTAÇÃO CIENTÍFICA RESUMO RADICIAÇÃO INTRODUÇÃO GENERALIZAÇÃO DEFINIÇÃO PROPRIEDADES DOS RADICAIS REDUÇÃO DE RADICAIS AO MESMO ÍNDICE RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL RADICANDO NEGATIVO PROPRIEDADE EQUAÇÃO DO º GRAU DEFINIÇÃO RAIZ DA EQUAÇÃO CONJUNTO SOLUÇÃO FÓRMULA RESOLUTIVA OBSERVAÇÕES EQUAÇÕES INCOMPLETAS A FORMA FATORADA SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES EQUAÇÕES BIQUADRADAS TEORIA DAS FUNÇÕES FUNÇÃO DE A EM B Curso Pró-Técnico - Disciplina: Matemática Professores Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira iv

5 ... Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Campus VIII - Varginha 8.. UMA OUTRA NOTAÇÃO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL CONJUNTO IMAGEM GRÁFICO CRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO CONJUNTO SIMÉTRICO PARIDADE DE UMA FUNÇÃO A FUNÇÃO DO 1 GRAU FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU TEOREMA A FUNÇÃO DO GRAU FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU A PARÁBOLA CONSIDERAÇÕES Curso Pró-Técnico - Disciplina: Matemática Professores Antonio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira v

6 1. Teoria dos conjuntos 1.1. Simbologia Para termos uma linguagem precisa e concisa, serão utilizados os seguintes símbolos: Símbolo ( x) ( x) ( x) P Q P Q Leia-se para todo x existe x existe um único x se P, então Q P se, e somente se, Q Na implicação P Q, deve-se entender que, parindo da proposição P, deduz-se a proposição Q. Assim, por exemplo, sendo x um número real, a sentença ( x> 5) ( x> ) é VERDADEIRA, pois todo número maior que 5 é maior que, enquanto que a sentença ( x> ) ( x> 5) é FALSA, pois existem números maiores que, que não são maiores que 5. A bi-implicação P Q é equivalente à sentença ( P Q) ( Q P). Assim, por exemplo, x= 5 x+ 1= 6 é uma sentença verdadeira, pois as sentenças x= 5 x+ 1= 6 e x+ 1= 6 x= 5 são ambas verdadeiras. 1.. Conceitos primitivos O ponto de partida da teoria dos conjuntos consiste nos seguintes conceitos primitivos: conjunto elemento de um conjunto igualdade de conjuntos Para indicar que x é um elemento do conjunto A, escrevemos x A (leia-se também x pertence a A.) A notação x A significa que x não é elemento do conjunto A. É importante observar que acima não consta o conceito de elemento, e sim o conceito de elemento de um conjunto. Assim, não há sentido em discutir se x é elemento ou não. Discute-se apenas se x é ou não elemento de um dado conjunto. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 1

7 1.. Representações de um conjunto Além de se representar um conjunto por uma letra (na maioria das vezes maiúscula), são usadas as seguintes representações: {e 1, e,..., e n }, onde e 1, e,..., em é a lista dos elementos do referido conjunto dispostos numa ordem qualquer, com ou sem repetição. { } x A :S( x), onde S(x) é uma propriedade sobre a variável x, que tem por finalidade selecionar elementos de A; por exemplo, { x A :x> 5}. Adotaremos também o seguinte postulado: Se todo elemento de A é elemento de B e todo elemento de B é elemento de A, então os conjuntos A e B são iguais. Exemplo 1 { 1, } = {,1} e { 1,} = { 1,,1,, } Exemplo Sendo = { 0,1,,...,10,11,... } N o conjunto dos números naturais, quantos são os elementos do referido conjunto: { x :x+ 5 17} elementos. Tem-se então que x 6 N? x x 1 e x 1 x 6 e x { 0,1,,, 4,5,6}. Logo, os elementos do referido conjunto são 0, 1,,, 4, 5 e 6, e, portanto, este possui 7 Resposta: 7. Exemplo Quais são os elementos do conjunto N dos números naturais que satisfazem à condição S(x) :x+ 1? x+ 1 x 1 Repare que não há número natural que satisfaz tal condição. Resposta: Nenhum. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira

8 1.4. Mais dois postulados Para que possamos operar com conjuntos, sem correr o risco de ficar operando com o nada, como no último exemplo, vamos estabelecer que: Existe um conjunto sem elementos, que chamamos de conjunto vazio e que indicaremos, sem preferência por { } ou por (Postulado). Sendo assim, podemos voltar ao item e obter maior precisão, se ficar estabelecido que: Dados um conjunto A e uma sentença S(x), na qual a variável x ocorre pelo menos uma vez sem ser introduzida por existe x, nem por para todo x, existe sempre um conjunto B tal que { ( )} B= x A :S x (Postulado). Assim, { x :x+ 5 17} = { 0,1,,, 4,5, 6} N e { x N :x 1} { } + = = 1.5. Definição de subconjunto Dados os conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de A se, e somente se, todo elemento de B é elemento de A. Notação: B A (leia-se B está contido em A). ( )( ) B A x x B x A Obs: A representação gráfica usada aqui foi proposta pelo matemático Venn. Por outro lado, tem-se que B A se, e somente se, existir pelo menos um elemento de B que não é elemento de A. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira

9 Em símbolos: B A ( x)( x B e x A) Exemplo 4 { } Dado o conjunto A 1,,, {,4} das seguintes proposições: =, classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma a) A possui quatro elementos ( ) b) 1 A e A ( ) 1, A ( ) c) { } d) {, 4} A ( ) e) {,4} A { } ( ) O conjunto A possui 4 elementos, a saber, os números 1,, e o conjunto binário {, 4 } ; portanto, tem-se que 1 A, A, A e {, 4} A. { 1,} A, pois 1 e são elementos de A {, 4} A, pois 4 não é elemento de A {{,4} } A, pois { }, 4 é elemento de A Sendo assim, a única afirmação falsa é a (d) Teoremas Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que o conjunto vazio é subconjunto de A. Pois, se não o fosse, deveria existir pelo menos um elemento do conjunto vazio que não pertencesse a A (o que é absurdo). Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que A é subconjunto de A. Pois todo elemento de A é elemento de A. Tem-se então que ( A)( A A), mesmo com A = { }. Repare ainda que a expressão todo elemento de A não implica que o conjunto A tenha elementos. Assim, por exemplo, a afirmação Toda tarefa deve ser cumprida. não implica que haja tarefa. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 4

10 Sendo A e B conjuntos, tem-se que: A B e B A se, e somente se, A = B. Sendo A um conjunto finito com n elementos, prova-se que o número de subconjuntos de A é n. O conjunto de todos os subconjuntos de A é chamado o conjunto das partes de A e será indicado por P(A). Exemplo 5 Dado o conjunto A= { 1,,}, obter o conjunto das partes de A. Como o número de elementos de A é, conclui-se que o número de seus subconjuntos é = 8. Os subconjuntos de A são: { } {1} {} {} {1,} {1,} {,} A Resposta: O conjunto das partes de A é P(A)= {{ }, {1}, {}, {}, {1,}, {1,}, {,}, A} 1.7. Complementar Dados os conjuntos A e B, com B A, chama-se de complementar de B em relação a A ao conjunto: A { } CB = x A :x B 1.8. Conjunto universo Em qualquer discussão na teoria dos conjuntos devemos fixar sempre um conjunto U, que contém todos os conjuntos que possam ser envolvidos. O conjunto U será chamado de conjunto universo. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 5

11 conjunto: Sendo u o conjunto universo e A um conjunto qualquer, chama-se complementar de A ao Exemplo 6 U { } A= CA = x U :x A Considerando como universo o conjunto U= { 0,1,,,4,5,6}, e dados os conjuntos A= { 1,,,4} e B {,4} =, tem-se que: O complementar de B em relação a A é CB { 1,} A =. O complementar de A em relação a A é CA A = { }. O complementar de B é B= { 0,1,,5,6}. O complementar de A é A= { 0,5, 6} União Dados os conjuntos A e B num Universo U, chama-se de união (ou reunião) de A com B ao conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B. A B= { x U :x A ou x B} Exemplo 7 a) { 1,,, 4} {,4,5} = { 1,,, 4,5} b) {, 4,5} { 1,,,4} = { 1,,, 4,5} Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 6

12 c) { 1,,, 4} {,4} = { 1,,, 4} d) { 1,,, 4} { } = { 1,,,4} Propriedades: A B= B A B A A B= A { } A = A ( A B) C= A ( B C) = A B C Intersecção Dados os conjuntos A e B num universo U, chama-se de intersecção de A com B ao conjunto dos elementos comuns a A e B. A B= { x U :x A e x B} Exemplo 8 a) { 1,,, 4} {,4,5} = {,4} b) {, 4,5} { 1,,, 4} = {,4} c) { 1,,, 4} {,4} = {,4} d) { 1,,, 4} { } = { } Propriedades: A B= B A B A A B= B A { } = { } ( A B) C= A ( B C) = A B C( A B) ( A B) Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 7

13 1.11. Diferença Dados os conjuntos A e B num universo U, chama-se de diferença entre A e B, nesta ordem, ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B. A B= { x U :x A e x B} Observe que aqui, ao contrário do que ocorreu na definição de complementar de B em relação a A, não é exigido que B seja subconjunto de A. Exemplo 9 a) { 1,,, 4} {, 4,5} = { 1,} b) {, 4,5} { 1,,, 4} = { 5} c) { 1,} { } = { 1,} d) { } { 1,} = { } Propriedades: ( A B) A { } A = A { } A= { } B A A B= CB A A ( A B) = A B Exemplo 10 Dados os conjuntos A= { 1,,,4} e B {, 4,5,6,7} A B, A B e B A. A B= {,4} A B= { 1,,, 4,5,6,7} A B= { 1,} B A= { 5,6,7} =, obter os conjuntos A B, Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 8

14 Exemplo 11 Sejam A e B conjuntos num universo U tais que: o complementar de A é A= { e,f,g, h,i} A B= { a,b,c,d,e,f,g} A B= { c,d} Obter os conjuntos A e B. A B= { c,d} a A a A c e d são os únicos elementos que A e B têm em comum. e a ( A B) Logo, a ( A B). Analogamente, conclui-se que b ( A B). e A e A e e ( A B) Logo, e ( B A). Analogamente para f, g. Repare que h e i não pertencem a A nem a B, pois não pertencem a A B. Resposta: A= { a, b,c,d} e B= { c,d,e,f,g} Exemplo 1 Numa prova de Matemática caíram apenas dois problemas. Terminada a sua correção, constatou-se que: 00 alunos acertaram somente um dos problemas 60 acertaram o segundo 100 acertaram os dois 10 erraram o primeiro Quantos alunos fizeram esta prova? Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 9

15 Resolução: Sendo x, y, z e w o número de elementos de cada partição indicada no diagrama acima, segue que: ( ) ( ) ( ) ( ) x+ z= 00 1 y + z = 60 y= 100 z+ w= 10 4 Das equações () e () tem-se que z = 160. Substituindo z por 160 nas equações (1) e (4), obtêm-se respectivamente, os valores de x e w; x = 140 e w = 50. O número total de alunos que fizeram esta prova é x+y+z+w = Par ordenado Sabemos que { a,b } representam o mesmo conjunto. No entanto há situações em que é conveniente que haja uma ordem entre a e b. Para isto existe o conceito de par ordenado. { } Definição: ( a, b) = { a },{ a, b} Observe aí a maneira sutil com que foi introduzida a noção de ordem, pois pela definição, é fácil concluir que, se a de {{ a },{ a, b }}. b, então ( a, b) ( b,a) { }, pois ( b,a) { b },{ b,a} =, que é diferente 1.1. Produto cartesiano Dados os conjuntos A e B, chama-se de produto cartesiano de A por B, nesta ordem, ao conjunto de todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B. {( ) } A B= x, y : x A e y B Exemplo 1 Dados os conjuntos A= { 1,,} e B { 4,5} BXA e B =BXB. =, obtenha os produtos cartesianos AXB, Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 10

16 {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} A B= 1, 4, 1,5,,4,,5,,4,,5 {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} B A= 4,1, 4,, 4,, 5,1, 5,, 5, {( ) ( ) ( ) ( )} B = 4,4, 4,5, 5, 4, 5,5 Repare que o produto cartesiano é uma operação não comutativa, isto é, AXB pode não ser igual a BXA.. Conjuntos numéricos.1. Números naturais e números inteiros O conjunto dos números naturais { 0,1,,...,n,...} será representado por N, e o conjunto dos números inteiros {...,, 1,0,1,,...}, por Z. Repare que todo natural é inteiro, isto é, N éum subconjunto de Z... Números racionais Chamamos de número racional a todo número que pode ser expresso na forma a b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b 0. Assim, os números 5 5 = 1 e -0,... 1 = racionais. O conjunto dos números racionais é expresso por Q. são dois exemplos de números Como todo inteiro é racional, podemos afirmar que Z Q. N Z Q Exemplo 1 Obter uma representação decimal para os números: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 11

17 a) 16 b) 9 7 Resolução: a), , b) 9, 7 0 1, Uma vez entendido o exemplo acima, é fácil concluir que todo número racional pode ser expresso por uma dízima exata (existe um último algarismo à direita) ou por uma dízima periódica infinita (não existe um último algarismo à direita, mas, sim, uma repetição indefinida de uma seqüência de algarismos). Exemplo Representar as seguintes dízimas por frações de inteiros (frações geratrizes): a) -1,456 b) 5, c) 5, Resolução: a) 1, f = = b) Seja f = 5, (I); então, multiplicando por 10, segue que 10f = 56, (II). Calculando a diferença (II) (I): 10f = 56, f = 5, f = 50,8 e, portanto, 50,8 508 f = = 9 90 c) Seja f = 5, (I); então, multiplicando por 100, segue que 100f=564, (II). Calculando a diferença (II) (I): 100f= 564, f= 5, f= 558,9 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 1

18 e, portanto, f 558, = = Resposta: a) b) c) Com estes exemplos, podemos perceber que toda dízima periódica é um número racional. Outro fato que pode chamar atenção é que a dízima periódica 0, é uma outra representação do número 1 (um)... Números irracionais Existem dízimas infinitas e não periódicas; são os números irracionais. Como exemplos de números irracionais, podemos citar: b 0. π=, = 1, = 1, Os números irracionais não podem ser expressos na forma a b, com a e b inteiros e.4. Números reais A reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais é o conjunto dos números reais (R ). Dada uma reta, podemos estabelecer uma relação entre seus pontos e os números reais, de tal modo que a todo ponto corresponda um único real e a todo real corresponda um único ponto. Desta maneira podemos identificar todos os números reais por pontos da reta dada. A idéia é construir uma espécie de régua em que constam também os números negativos. Chamamos esta régua de reta (ou eixo) real. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 1

19 .5. Teoremas Sendo m e n naturais quaisquer, tem-se que m+n, m n e m n são todos naturais. (Lembre-se de que 0 0 = 1.) Sendo h e k inteiros quaisquer, tem-se que h + k, h - k, h k são todos inteiros. Sendo r e s racionais quaisquer, r + s, r s, r s e r s são todos racionais. (Em r s s 0.) Sendo r um número racional e x um número irracional, tem-se que r + x é irracional. Sendo r, r 0, um racional e x um número irracional, tem-se que r x é irracional. Sendo x um irracional qualquer não nulo, tem-se que 1 x é irracional., devemos ter Entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais e infinitos números irracionais. Entre dois números irracionais existem infinitos outros números irracionais e infinitos números racionais. Exemplo Resolução: N? Quantos são os elementos do conjunto { x /10 < x< 10 } = 1, = 14,1... e = 1, = 17,... Entre 14,1... e 17,... existem números naturais, a saber 15, 16 e 17. Resposta: Exemplo 4 (G. V.) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que: a) x y é irracional b) y y é irracional c) x + y é racional d) x y+ é irracional e) x + y é irracional Resolução: Vejamos cada uma das alternativas: a) (FALSA) Se x for igual a zero, x y = 0, que é racional. b) (FALSA) Se considerarmos, por exemplo, y=, segue que y y = que é racional. c) (FALSA) Para qualquer x racional e para qualquer y irracional, x + y é irracional. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 14

20 d) (FALSA) Se y=, x y+ = x, que é racional. e) (VERDADEIRA) Para qualquer irracional y, tem-se que y é irracional. Logo, x + y é irracional. Resposta: e Exemplo 5 Mostre que o número + + é irracional. Resolução: Seja x= + +. Observe que x é um número real positivo. Segue que: ( )( ) x = ( )( ) x = 6+ + x = x = 8 E como x > 0, tem-se que x=, que é irracional..6. Outras notações Sendo A um dos conjuntos Z, Q ou R, usaremos ainda as seguintes notações: A para indicar { x A / x 0} A + para indicar { x A / x 0} A + para indicar { x A / x 0 } A para indicar { x A / x 0} A para indicar { x A / x 0 } (os não negativos) > (os positivos) (os não positivos) < (os negativos) Assim, por exemplo, R + é o conjunto de todos os números reais não negativos, isto é, o conjunto { x / x 0} R. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 15

21 .7. Intervalos Sendo a e b (a<b) números reais quaisquer, temos os seguintes subconjuntos de R, chamados de intervalos: [ a, b] = { x a x b} R (intervalo fechado) ] a, b[ = { x a< x< b} R (intervalo aberto) [ a, b[ = { x a x< b} R (intervalo fechado só à esquerda) ] a, b] = { x R a< x b} [ a, + [ = { x R x a} ] a, + [ = { x R x> a} ],a] = { x R x a} ],a[ = { x R x< a} Exemplo 6 Obter [,10] ] 5,1[. Resolução: [,10 ]: ] 5,1 [ : [,10] ] 5,1[ Resposta: ] 5,10 ]. Aritmética dos inteiros.1. Múltiplo e divisor Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 16

22 Dados dois números m e d, dizemos que m é um múltiplo de d se, e somente se, existir um inteiro k tal que m = k d. Nestas condições, também se diz que d é um fator (ou divisor) de m... Número par Um número inteiro a é dito par se, e somente se, ele for múltiplo de. Todo número inteiro que não é par é dito número ímpar. Exemplo 1 Determinar quantos são os múltiplos de 7 compreendidos entre os números -50 e Resolução: Se considerarmos estes números em ordem crescente, temos a P.A. (-49, -4, -5,..., a n ), cujo primeiro termo é a 1 = -49, cuja razão é r = 7 e cujo último termo é a n. Precisamos obter o maior valor possível de n tal que seja satisfeita a condição na < 500. a = a + n 1 r, segue que: Como ( ) n (n 1) 7 < n < 556 O maior valor possível de n que satisfaz tal condição é 79. Resposta: 79 Exemplo Decompor o inteiro 1995 numa soma de cinco ímpares consecutivos. Resolução: Considere a seqüência destes ímpares em ordem crescente e seja x o termo médio. Deste modo, tem-se que ( x 4) + ( x ) + x+ ( x+ ) + ( x+ 4) = x= 1995, ou ainda, x = 99. Resposta: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 17

23 Exemplo Seja um inteiro tal que a é ímpar. Prove que a é ímpar. Demosntração: (Método indireto) Suponhamos que a seja um número par, isto é, a = k, com k inteiro. Segue que a = 4n, ou seja, a é par, o que é ABSURDO, pois contraria a hipótese. Observações importantes: Todo número ímpar, isto é, um inteiro não múltiplo de, pode ser representado, indiferentemente, pela expressão k + 1, ou por k 1, com k inteiro, pois sempre existem dois números pares tais que ele seja o sucessor de um deles e o antecessor do outro. Assim, por exemplo, o número ímpar 17 é o sucessor de 16 e o antecessor de 18. Consideremos, agora, um inteiro x, não múltiplo de. Repare que há uma diferença entre afirmar que x é da forma k + 1 e afirmar que x é da forma k 1, onde k é um inteiro. Assim, por exemplo, o número 4 é da forma k + 1 e não da forma k 1, enquanto o número 5 é da forma k 1, sempre considerando k inteiro. Observe que todo inteiro não múltiplo de, ou é da forma k + 1, ou é da forma k 1. Verifique a seguinte afirmação, com k inteiro: - Todo inteiro não múltiplo de 5 é de uma e apenas uma, das seguintes formas: 5k + 1, 5k 1, 5k +, 5k - Exemplo 4 Sendo a um inteiro, não múltiplo de 5, mostre que o antecessor de a ou o sucessor de a é um múltiplo de 5. Demosntração: Tem-se que a é da forma 5k + 1 ou da forma 5k +. No primeiro caso, tem-se que: a 5k 10k 4 = + +, isto é, a 1= 5( 5k + k) No segundo caso, tem-se que: a = 5k + 10k+ 4 e, portanto: ( ) a + 1= 5k + 10k+ 5= 5 5k + k+ 1 (c.q.d.) Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 18

24 .. Teorema Sejam x, y e d inteiros. Se d é divisor de x, e d é divisor de (x + y), então d é divisor de y. Justificativa: Existe um inteiro k 1 tal que x = d k 1 Existe um inteiro k tal que x + y = d k Logo, d k 1 + y = d k y = d k - d k 1 y = d (k k 1 ) Como k k 1 é inteiro, tem-se que d é divisor de y. (c.q.d.) Exemplo 5 Obter os valores inteiros de n de modo que n + seja um divisor de n + 1. Resolução: n + é divisor de n + 11 n + é divisor de n (*) n + é divisor de n + (**) De (*) e (**) segue que: n + é divisor de 8 Portanto, n+ { 1,, 4,8, 1,, 4, 8} { } n, 1,1,5, 4, 5, 7, 11 Resposta: -, -1, 1, 5, -4, -5, -7 e -11. Exemplo 6 Mostre que um inteiro N com quatro algarismos é múltiplo de se, e somente se, a soma dos algarismos for múltiplo de. Demosntração: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 19

25 Seja N = ( a, b,c,d) dezenas e d o das unidades. N = 1000a+ 100b+ 10c+ d N = 999a+ 99b+ 9c+ a+ b+ c+ d N = ( a+ b+ c) + a+ b+ c+ d, isto é, a é o algarismo dos milhares, b o das centenas, c o das 1a parte: se a + b + c + d = m, então N é obviamente múltiplo de. a parte: se N for um múltiplo de, isto é, N = h, então h= ( a+ b+ c) + a+ b+ c+ d h ( a+ b+ c) = a+ b+ c+ d Logo, a + b + c + d é múltiplo de. (c.q.d.) Observação: Esta regra de divisibilidade por vale para todos os inteiros, independentemente do número de algarismos. A mesma regra vale para a divisibilidade por Número primo Um inteiro p é dito número primo, ou simplesmente primo, se, e somente se, ele possuir quatro e apenas quatro divisores distintos. (Os quatro divisores em questão são 1, -1, p e p.).5. Número composto Os números inteiros não nulos que têm mais do que 4 divisores distintos são chamados de números compostos. Observações: Os números 1, -1 e 0 não são primos nem compostos. Os números e - são os únicos números primos e pares. Todo inteiro k positivo e diferente de 1 admite pelo menos um divisor primo positivo..6. Teorema Existem infinitos números primos. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 0

26 Demosntração: Suponhamos que exista só um número finito de primos positivos p 1, p, p,..., p n e consideremos o número p = p 1 p p... p n + 1. Como p é maior que qualquer um dos números primos enumerados, segue que p é um número composto e, portanto, um destes primos deve ser o divisor de p. Seja p k, com 1<k<n, este divisor. Como p k é divisor de p 1 p p... p n e p k é divisor de p, conclui-se que p k é divisor de 1, o que é absurdo, pois os únicos divisores de 1 são os números 1 e -1. (c.q.d.) Exemplo 7 Verificar se 51 é primo. Resolução: O seguinte procedimento de verificar a primalidade de um número é conhecido como o crivo de Erastótenes. Constrói-se uma tabela de todos os inteiros maiores que 1 cujos quadrados não superem o número (Note que 16 > 51) O próximo passo consiste em verificar se um dos números desta tabela é um divisor do número 51. Isto pode ser feito de maneira relativamente rápida, pois se um dado número não for divisor, então seus números também não o serão. Note que não é divisor de 51 e, portanto, os números 4, 6, 8, 10, 1 e 14 também não serão. Vamos eliminar o número e todos os seus múltiplos Note que não é divisor de 51 e, portanto, também podemos eliminar todos os múltiplos de. Prosseguimos desta maneira até encontrar um divisor, ou então até eliminar todos os números da tabela. Se for encontrado um divisor, então o número em questão é composto; caso contrário, o número é primo Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 1

27 Resposta: 51 é primo Observação: A elegância deste procedimento chama a atenção pelo seguinte: Consideremos o produto d 1 d. Se d 1 > 15 e d > 15, então d 1 d > 51. Logo, se 51 admitisse um divisor d 1, d 1 > 15, deveríamos ter um inteiro d, d < 15, de modo que d 1 d = 51, isto é, 51 teria um divisor menor ou igual a 15. Porém, isto é absurdo, pois, como foi verificado na tabela, 51 não admite divisor menor ou igual a 15. Exemplo 8 Obter todos os inteiros a tais que a 4 + a + 1 seja um número primo. Resolução: a + a + 1= a + a + 1 a 4 4 ( a 1) a ( a 1 a)( a 1 a) = + = Repare que para este produto ser um número primo é necessário (mas não sufuciente) que um dos seus fatores seja igual a 1 ou igual a -1. Vejamos: a + 1 a= 1 a= 1 ou a= 0 + = a 1 a 1 a não é int eiro a + 1+ a= 1 a= 1 ou a= 0 a + 1+ a= 1 a não é int eiro Os valores encontrados foram 1, -1 e 0. Substituindo, conclui-se que a 4 + a + 1 é primo somente para a = 1 ou a = -1. Resposta: 1 e Forma fatorada Todo inteiro a, não nulo, diferente de 1 e diferente de -1, pode ser expresso na forma: a=+ p p p...p, se a> 0, ou α1 α α α 1 n n a= p p p...p, se a< 0 α1 α α α 1 n n Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira

28 onde p 1, p,... e p n são primos positivos e dois a dois distintos, e os expoentes α 1, α,..., α n são números naturais não nulos. Exemplo 9 Qual a forma fatorada de 58? Resolução: Resposta: 4 11 Exemplo 10 Quantos divisores possui o número ? Resolução: Consideremos os conjuntos: { } D 5,5,5,5 = e { } D = 11,11,11,11,11 d Repare que todo produto do tipo d 1 d com 1 1, e apenas estes produtos são divisores positivos de Para d 1, temos (1 + ) opções, e para d há (1 + 4) opções. Logo, existem (1 + )(1 + 4) = 0 divisores positivos. Consequentemente há 0 divisores negativos. Há, portanto, 40 divisores de D d D Resposta: 40 Observação: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira

29 p p p...p α1 α α αn 1 n Sendo a forma fatorada de um número natural n, pode-se concluir que o número de divisores positivos de n é ( 1)( 1 )... ( 1) α + α + α +. 1 n.8. Divisão euclidiana Dados dois inteiros n e d, com d 0, efetuar a divisão de n por d significa obter dois inteiros q e r tais que n = d q + r e 0 r< d. Os números n, d, q e r são, nesta ordem, chamados de dividendo, divisor, quociente e resto. Pode-se provar que para cada par (n,d), o quociente e o resto são únicos. Exemplo 11 a) 9 por 4 b) 9 por -4 c) -9 por 4 Efetuar a divisão de: Resolução: a) 9 4 b) 9 4 c) Observe que, em cada caso, o resto é não negativo e é menor que o módulo do divisor! Resposta: a) quociente 7, resto 1 b) quociente -7, resto 1 c) quociente -8, resto Exemplo 1 Seja d um divisor comum dos inteiros não nulos x e y. Mostre que d é um divisor do resto da divisão de x por y. Demonstração: x= y q+ r Sendo x Sejam q e r, respectivamente, o quociente e o resto da divisão de x por y. Então: = a d e y= b d, segue que: r= x y= a d b d= d( a b) (c.q.d.) Exemplo 1 Obter o conjunto dos inteiros positivos menores que 180 e que, quando divididos por 7, deixam um resto igual ao quociente. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 4

30 Resolução: x= 7r+ r com 0 r 7 e x< 180 x= 8r r { 1,,, 4,...,6} x { 8,56,84,11,140,168,196,... } Como devemos ter x < 180, tem-se que o conjunto pedido é: { 8,56,84,11,140,168 }. Resposta: { 8,56,84,11,140,168 }.9. Máximo divisor comum Sendo a e b inteiros, não ambos nulos, chama-se de máximo divisor comum de a e b ao maior dos divisores que eles têm em comum. Notação: mdc(a,b) Exemplo 14 Calcular mdc(1750,1400). Resolução: 1a maneira: = 5 7 e 1400= 5 7 O maior divisor (ou fator) comum é = 50. a maneira (por divisões sucessivas): Efetua-se a divisão de um número pelo outro e, daí em diante, divide-se sucessivamente o último divisor obtido pelo resto, até obter um resto nulo. (Os quocientes são abandonados.) restos: (O exemplo 1 justifica a validade deste processo.) Resposta: 50 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 5

31 Exemplo 15 Calcular mdc(048,195). Resolução: restos: Resposta: Números primos entre si Dois inteiros quais quer são ditos primos entre si se, e somente se, o seu mdc for 1. Exemplo 16 Os números 048 e195 são primos entre si. Exemplo 17 Verificar se existe um inteiro k tal que k + 1 e k + 1 não sejam primos entre si. Resolução: Seja d, d > 0 um divisor comum; então tem-se que: k+ 1= a d ( ) k+ 1= b d () 6k = a d 6k+ = b d + ( ) 1= b a d Como d=1, conclui-se que os números k + 1 e k + 1 são primos para todo inteiro k. (Tente resolver este exercício pelo método das divisões sucessivas.) Resposta: não.11. Mínimo múltiplo comum Sendo a e b inteiros, não ambos nulos, chama-se de mínimo múltiplo comum de a e b ao menor dos múltipos positivos que eles têm em comum. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 6

32 Notação: mmc(a,b) Exemplo 18 Calcular mmc(1750,1400). Resolução: = 5 7 e 1400= 5 7 O menor dos múltiplos positivos que estes números têm em comum é Resposta: Teorema Sendo a e b inteiros, não ambos nulos, tem-se que: mdc( a,b) mmc( a, b) = a b. Exemplo 19 Obter k, dado que o mdc e o mmc de k e 0 são, nesta ordem, iguais a 4 e 160. Resolução: 1 0 k = k = e 1400= 5 7 Resposta: e - Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 7

33 4. Técnicas de fatoração 4.1. Expressão algébrica Para estabelecer conceitos, definições, axiomas, teorema, etc., na Álgebra, usaremos, quase sempre, seqüências de caracteres, que podem ser letras, algarismos, sinais de operação, parênteses, colchetes ou chaves, dispostos numa ordem determinada. Seqüências desse tipo, em que pelo menos um dos caracteres é uma letra, são chamadas expressões algébricas. O uso de expressões algébricas traz várias conveniências, entre elas a precisão e a concisão de linguagem. Observe o quadro abaixo: Exemplo: Expressão Algébrica: O dobro de um número x O quadrado da soma de dois números (a + b) A soma dos quadrados de dois números a + b A soma do quadrado de um número com o n + n seu dobro 4.. Valor numérico Quando, numa expressão algébrica, cada letra for substituída por um número e as eventuais operações puderem ser efetuadas, obter-se-á um resultado chamado de valor numérico da expressão algébrica. Exemplo 1 Obter o valor numérico de a b + ab para: a) a = 1 e b = b) a = e b = 1 Solução: a) Substituindo a por 1 e b por, obtemos: ( )( ) = + =. b) Substituindo a por e b por 1, obtemos: ( )( ) = + =. Exemplo Sendo a = e b = 4, obter o valor numérico de ( a+ )( ab+ 1) a( ab+ b+ 1) Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 8

34 Solução: Substituindo a por e b por 4, obtemos: ( + )( 1+ 1) ( ) = ( 5)( 1) ( )( 1) =. Exemplo de a e b. Mostrar que o valor numérico de ( a+ )( ab+ 1) a( ab+ b+ 1) independe dos valores Solução: Efetuando os produtos indicados, obtemos: a b+ a+ ab+ a b ab a=. Portanto para quaisquer valores de a e b a expressão terá valor numérico. EXERCÍCIOS Sendo a = 5 e b =, obter os valores numéricos de: a+ b 1) ( ) ) a + b a b ) ( ) b a 4) ( ) a b 5) 6) Mostrar que o valor numérico da expressão abaixo não depende do valor de b. ( a b)( ab 1) b( a ab 1) Fatorar Desenvolver Consideremos as expressões: F= ( x+ y)( x+ y) e Repare que: D= x + 7xy+ 6y ( x+ y)( x+ y) = x + xy+ 4xy+ 6y = x + 7xy+ 6y Denomina-se: ( x+ y)( x+ y) de FORMA FATORADA x + 7xy+ 6y de FORMA DESENVOLVIDA Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 9

35 Repare que, em geral, desenvolver um produto requer apenas mão-de-obra e, portanto, não oferece maiores dificuldades. O que pode dar problemas é a passagem no sentido contrário. Como fatorar? Isto é, como passar da forma desenvolvida para a forma fatorada? A seguir veremos algumas identidades fundamentais, que serão ferramentas indispensáveis para a técnica de fatoração Casos de fatoração 1 caso: o fator comum Pela propriedade distributiva, temos que a( b+ c) = ab+ ac e portanto: a b+ a c= a( b+ c) Observe que no membro esquerdo da igualdade acima h uma soma (adição ou subtração) de produtos que, neles, a é um fator comum. No membro direito diremos que o fator comum a foi colocado em evidência. A igualdade acima pode ser ilustrada da seguinte maneira: Exemplo 4 A área da região hachurada é igual a a( b+ c) = ab+ ac. Fatorar x+ xy ax. Solução: Como x é fator comum, segue que: x+ xy ax= x( + y a) Exemplo 5 Fatorar 8x 4x. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 0

36 Solução: Observe que 4x é fator comum! 8x 4x= = 4x x 4x 1 ( ) = 4x x 1 Exemplo 6 Fatorar 6 5 x y x y + x y. Solução: O fator comum é x y : 6 5 x y x y + x y = = xx y x y y+ x x y y 4 ( ) = x y x y+ x y 4 EXERCÍCIOS 7) Fatorar as seguintes expressões: a + ab a 8) a( x+ y) + b( x+ y) 9) a( x ) b( x ) 10) x( a b) + y( a b) 11) x( a b) + b a OBSERVAÇÃO Pode haver aplicações repetidas deste caso. Vejamos um exemplo básico. ax+ ay+ bx+ by= ( ax ay) ( bx by) a( x y) b( x y) ( a b)( x y) = = = + + Exemplo 7 Fatorar ax+ ay bx by. Solução: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 1

37 ax+ ay bx by= ( ax ay) ( bx by) a( x y) b( x y) ( a b)( x y) = + + = + + = + Exemplo 8 Fatorar ax ay bx+ by. Solução: ax ay bx+ by= ( ax ay) ( bx by) a( x y) b( x y) ( x y)( a b) = = = EXERCÍCIOS Fatorar: 1) 1) ab a b a+ b x x+ bx b 14) ap by+ bp ay 15) x + ax+ bx+ ab x + a b x ab 16) ( ) caso: diferença de dois quadrados ( )( ) a b = a+ b a b Assim, por exemplo, 5 é igual a ( 5+ )( 5 ) (verifique!). É claro que podemos justificar essa identidade partindo do membro direito e, desenvolvendo o produto, chegar ao membro esquerdo. Como ficaria se quiséssemos partir do membro esquerdo e, fatorando, chegar no direito? Repare que em a b = a a b b não há fator comum! Observe então a seguinte seqüência em que é usado um pequeno artifício: somando e subtraindo ab, obtemos fatores comuns sem alterar o valor da expressão. a b = a + ab ab b a( a b) b( a b) ( a b)( a b) = + + = + Veja na seguinte ilustração como podemos verificar a identidade em questão. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira

38 a a b a b b a b ( a+ b)( a b) a - b As regiões hachuradas têm áreas iguais e ilustram o fato de que ( )( ) a b a b a b = +. Exemplo 9 Fatorar x 5. Solução: x 5 = = x 5 ( x 5)( x 5) = + Exemplo 10 Fatorar a b. 4 4 Solução: a b = 4 4 ( a ) ( b ) ( a b )( a b ) = = + ( a b )( a b)( a b) = + + (Observação: No conjunto dos números reais, a expressão a + b não é fatorável!) Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira

39 EXERCÍCIOS 17) 18) 19) 0) 1) ) ) x 1 4 Fatorar as seguintes expressões em R : x 1 a b + ax+ bx a+ b+ b a a b + a ab a b + b a x x 4x+ 1 caso: trinômio quadrado perfeito ( ) a + ab+ b = a+ b ( ) a ab b a b + = Veja: a + ab+ b = a ab+ b = = a + ab+ ab+ b ( a ab) ( ab b ) = a( a b) b( a b) ( a b)( a b) = = + + ( a b) = + = a ab ab+ b ( a ab) ( ab b ) = a( a b) b( a b) ( a b)( a b) = = ( a b) = Ilustrando: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 4

40 a b a a ab b ab b a + b a + b ( a+ b) Exemplo 11 x+ y. Desenvolver ( ) Solução: ( x y ) + = ( x) ( x)( y ) ( y ) = + + = 4x + 1xy + 9y 4 Exemplo 1 Desenvolver 1 x x. Solução: 1 x = x 1 1 = x ( x) + x x 1 = + + x x Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 5

41 Exemplo 1 Fatorar 4 4a + 0ab + 5b. Solução: 4 4a + 0ab + 5b = ( a) ( a)( 5b ) ( 5b ) ( a 5b ) = + + = + EXERCÍCIOS 4) Desenvolver: 1 x+ x 5) 6) 7) 8) 9) 0) 1) ) Fatorar as seguintes expressões em R : x + 6x+ 9 x 10x+ 5 x 16x + 64x x + 0x 100 x 1 x a + a + 4 a + ab+ b c x + x+ 1 y 4 1 x y 1 ) ( ) 4 caso: soma e diferença de cubos Justificativa: ( )( ) ( )( ) a + b = a+ b a ab+ b a b = a b a + ab+ b ( a b)( a ab b ) + + = = a a b+ ab + a b ab + b = a + b ( a b)( a ab b ) + + = = a + a b+ ab a b ab b = a b Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 6

42 Exemplo 14 Solução: Fatorar x 8 + = x + 8. = x + ( x )( x x ) ( x )( x x 4) = + + = + + Exemplo 15 Solução: Fatorar Exemplo 16 Solução: 7x 1 Fatorar 7x 1. = ( ) = x 1 ( ) ( ) ( )( ) = x 1 x + x ( x 1)( 9x x 1) = + + a b + a b + a b. a b a b a b + + = ( a b ) ( a b ) ( a b) ( a b)( a ab b ) ( a b)( a b) 1( a b) = + + = ( ) ( ) ( ) ( a b)( a ab b a b 1) = a b a + ab+ b + a+ b + 1 = EXERCÍCIOS 4) a) Fatorar x - 1 b) Sendo x = 0,1, obter o valor numérico de x 1 x 1 5) Fatorar: a) b) x x + y 9 9 y 9 9 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 7

43 5 caso: cubo da soma e cubo da diferença ( ) a + a b+ ab + b = a+ b ( ) a a b ab b a b + = Justificativa: ( a+ b) = ( a+ b) ( a+ b) = ( a + ab+ b )( a+ b) = a + a b+ a b+ ab + ab + b = a + a b+ ab + b ( a b) = ( a b) ( a b) = ( a ab+ b )( a b) = a a b a b+ ab + ab b = a a b+ ab b Exemplo 17 Solução: Exemplo 18 Solução: Exemplo 19 Desenvolver ( x+ 5). ( x 5) + = ( ) ( ) ( ) ( )( ) = x + x 5 + x = x 60x 150x 15 x y. Desenvolver ( ) ( x y) = Fatorar ( ) ( ) ( ) x x y x y y = + = x 6x y+ 1xy 8y x + x + x+ 1. Solução: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 8

44 EXERCÍCIOS x x x = = x + x 1+ x ( x 1) = + 6) Desenvolver as expressões: x+ yz b) ( x 1) a) ( ) Fatorar as expressões: 7) 8) 9) 40) x + x y+ xy + y 4 6 x + 6x y + 1xy + 8y x 9x + 7x 7 a + a b+ ab + b + c RESUMO 1. ab+ ac ad= a( b+ c+ d). a b = ( a+ b)( a b). a + ab+ b = ( a+ b) 4. a ab+ b = ( a b) 5. a + b = ( a+ b)( a ab+ b ) 6. a b = ( a b)( a + ab+ b ) 7. a + a b+ ab + b = ( a+ b) 8. a a b+ ab b = ( a b) Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 9

45 5. Potenciação 5.1. Definição Dado um número a, a R, e um número inteiro n, n > 1, chama-se potência enésima de a, que se indica por a n, ao produto de n fatores iguais a a. Assim: Exemplo 1 n a = a a a... a n fatores O número a é chamado de base e n, de expoente. a) = = 8 = = 8 b) ( ) ( ) ( ) ( ) Exemplo Solução: Obter o valor de cada expressão: b) a) ( ) a) ( ) ( ) ( ) b) c) 4 + = 4 4+ = 16+ 9= 5 = c) 1 = ^ 10 = = OBSERVAÇÕES 1) ( ) pois: ( ) = ( ) ( ) = 4 e ( ) ) ( 1) n = 1, se n é par ( 1) n = 1, se n é ímpar = = 4 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 40

46 EXERCÍCIOS 1) Calcular: a) 1 4 d) 4 g) b) 4 0 e)( 4) h) 4 c) 4 f) ( 4) i) ) Calcular: a) ( ) 4 b) c) Definições Considere, por exemplo, a potência 5, que é. Observe que, ao diminuirmos de 1(uma) unidade o expoente, o valor da potência fica dividido por, que é o valor da base. Veja: 5 =, 4 = 16, = 8, = 4 Continuando-se o raciocínio anterior, vem: 1 =, 0 = 1, 1 1 =, 1 = e assim por diante. 4 Tais resultados sugerem as definições: 1 a = a 0 a = 1 n n 1 1 a = =,a 0 n a a Exemplo Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 41

47 a) 1 = e) b) ( ) 1 = f) c) 0 = = = = = 1 1 = = 9 g) ( ) d) ( ) 0 = 1 h) ( ) ( ) 1 1 = = 7 ( ) Exemplo 4 Calcular: a) 4 1 b) c) d) Solução: a) b) c) d) = = = = 4 9 = = 4 1 = = 1 EXERCÍCIOS ) Calcular: a) 1 5 d) ( 5) 1 g) j) 4 b) 0 5 e) ( 5) 0 h) k) 4 c) 1 5 f) ( 5) 1 i) l) 4 4) Calcular: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 4

48 a) b) 1 1 5) Calcular o valor de ( 1 x y 1 ) 1 +, sabendo que x = 0,1 e y = 0, Simplificação de expressões Numa expressão numérica com parêntesis ( ), colchetes [ ] e chaves { }, efetuamos inicialmente as operações que estão entre parênteses, depois as que estão entre colchetes e por fim aquelas que estão entre chaves, obedecendo à seguinte ordem de cáculo: Exemplo 5 1) as potenciações; ) as multiplicações ou divisões na ordem em que aparecem; ) as adições ou subtrações na ordem em que aparecem. Simplificar a expressão: { ( ) } x : Solução: Efetuando as operações entre parênteses na ordem dada: { ( ) } = { + ( ) } + x : x { } = x Efetuando as operações entre colchetes na ordem dada: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 4

49 { [ ]} x { } = x1 + Efetuando as operações entre chaves na ordem dada: { 9x1} + = 108+ = = 117 EXERCÍCIOS 6) Calcular: { + + } { } { + } a) 0 : 0 ( :8) b) + 1 ( ) : 1 0 c) 10 x 10 : ( 6 : : ) 5.4. Propriedades das potências Observe os cálculos: ( ) ( )( ) ( 4+ ) fatores ( ) ( ) ( 4 ) ( ) 4 4+ A = = B 4 A = ( ) = = 4 ( B) fatores ( ) ( ) ( )( ) ( 4.) fatores ( ) 4 4. A B = = = = = ( A) ( B) ( A) ( ) = ( )( ) = = ( B) Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 44

50 Imprimiremos maior rapidez aos cálculos se passarmos diretamente do estágio (A) para o estágio (B) e vice-versa. Tal passagem é garantida pelas chamadas propriedades das potências. Para todo a R, b R, m e n inteiros, prova-se: P1. a a = a m n m+ n a a m m n P. = a, a 0 n m ( ) P. a = a n m ( ) m n m a a P4. =, b 0 m b b m m m P5. a b = a b Exemplo 6 a) b) c) = = (P1) 7+ + ( ) = : = = (P) d) ( ) e) 7 8 = (P) = 4 (P4) f) ( ) 5 = 5 (P5) Exemplo 7 = (P1) 1. Calcular: a) ( ) 5 18 b) c) ( ) Solução: a) b) c) ( ) ( ) = = = = = 5 = = ( 1 10 ) ( ) = = = = = Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 45

51 . Calcular: a) ( 0,01) 1 b) c) Solução: , 01 = = = 10 = 10 = a) ( ) ( ) b) ( ) c) = = = = = 79 9 ( ) 8 = = = 6561 OBSERVAÇÕES 4 4 1) ( ), pois ( 4 ) = = e ( ) 4 16 ) ( ) + +, pois ( ) = = 5 = 5 e + = 4+ 9= 1 EXERCÍCIOS 7) Transformar cada expressão abaixo numa única potência de base. a) b) 5 4 d) 6 e) c) ( ) 4 f) : 8 : 1 8) Transformar cada expressão abaixo em uma única potência de base 10. a) c) b) ( ) 100 :10 d) ) Calcular o valor de cada expressão. Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 46

52 a) ( ) 0, , , 001 b) ( ) 00 10) A expressão 5 ( 0,) 199 é equivalente a: a) 5 d) 1 10 b) 10 e) 100 c) ) Assinalar V (verdadeira) ou F (falsa) a) b) c) 4 1 = 4 ( ) = 5 ( ) :10 = 10 ( ) d) ( ) = ( ) 6 8 e) 10 = 10 ( ) 1) Assinalar V (verdadeira) ou F (falsa) a) b) x x 8 x 1 x + = ( ) = ( ) x c) ( ) = 8x ( ) 1) Se 6, 4 = a e 7, 4 = b, então 1,4 é igual a: a) a + b d) a b b) a b e) 4 c) 6a + 7b 5.5. Equações exponenciais Sendo b > 0 e b 1 x1 x, tem-se b = b x = x 1 Exemplo 8 x 5 = x= 5 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 47

53 Exemplo 9 Resolver em R a) x 1 7 = Solução: Sendo > 0 e 1, temos que: x 1= 7 x= 8 x= 4 Logo: S = {4} b) x = Solução: x = Sendo 1 0 > e 1 1 Logo: S = {5}, temos que x = 5. c) Solução: x 9 9 = 7 ( ) 1 + x 9 = 7 = = + x= x= 1+ x + x 1 Logo: S = 1 d) Solução: 1 x 1 x = = = x Sendo > 0 e 1, temos que: x= x= Logo: S = { } Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 48

54 OBSERVAÇÃO Se a base for zero, um ou negativa, não se poderá concluir a igualdade entre os expoentes. De fato: 1) ) = 1 e no entanto = 0 e no entanto 5 4 ) ( 1) ( 1) = e no entanto 4 EXERCÍCIOS 14) Resolver em R a) b) c) d) x 5 = 5 f) 5 5 = g) x x 5 = 5 h) x 5 = 15 i) 9 = x 1 x = 7 x 8 8 = 4 x 1 x = 7 e) 1 5 x = 5 j) x x = Notação científica Todo número N, não nulo, pode ser representado numa das formas: m N= a 10 ou m N= a 10 ( 1 a 10) e ( m Z ) conforme N seja positivo ou negativo, respectivamente. Essa forma de se escrever um número é chamada de notação científica e é bastante utilizada na Química, Física, Matemática, etc. propriedades: Por exemplo, os números 10 7 e estão em notação científica. Para se escrever um número em notação científica, devem-se observar as seguintes 1) Multiplicar um número por casas decimais. Se p é negativo, desloca-se a vírgula para a esquerda. Assim: a) b) 4 0, =, =,5 p 10, p > 0, é o mesmo que deslocar a vírgula para a direita de p ) O valor de um número não se altera ao ser multiplicado por p p = =. p p De fato: Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 49

55 As duas propriedades acima permitem escrever um número em sua notação científica. Exemplo 10 a) b) c) d) = = = = 1, = = 6, ,000= 0, =, EXERCÍCIOS 15) Escrever em notação científica os números a) 0 e) 8000 b) f) 87 c) g) -54, d) 0, h) 0,01 16) A carga de um elétron é 0, C. Escreva este número em notação científica. 17) A vida na terra existe há aproximadamente 10 bilhões de anos. Escreva este número em notação científica Resumo DEFINIÇÕES b R, n N 1) ) ) 4) n b = b b b... b, n b 1 = b 0 b = 1 n fatores n n 1 1 b = =, b 0 n b b OBSERVAÇÕES 1) ( ) = 4 ) = 4 ) a) ( 1) n = 1, se n é par b) ( 1) n = 1, se n é ímpar PROPRIEDADES A R, b R, m e n int eiros OBSERVAÇÕES 1) + = 1 ) ( + ) = 5 = ) ( ) 5 10 Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 50

56 P1. a a = a m n m+ n a a m m n P. = a, a 0 n m ( ) P. a = a n m ( ) m n m a a P4. =, b 0 m b b m m m P5. a b = a b 4) 5 5 = EQUAÇÃO EXPONENCIAL b> 0, b 1 x 1 x b = b x1= x OBSERVAÇÃO Se a base for zero, um ou negativa, nada se poderá concluir. NOTAÇÃO CIENTÍFICA m N= a 10 ou m N= a 10 ( 1 a< 10) e ( m Z ) Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 51

57 6. Radiciação 6.1. Introdução (x>0). Consideremos o seguinte problema: Qual é a medida do lado de um quadrado com 5 cm de área? Para resolvermos esse problema, vamos supor que a medida do lado do quadrado seja x A área desse quadrado é dada por x, e pelo enunciado devemos ter: x = 5 Nessas condições, o problema estará resolvido somente quando determinarmos o valor positivo de x que torne verdadeira a sentença x = 5. O número x, não negativo, cujo quadrado é igual a 5, será indicado por 5, que deve ser lido: raiz quadrada de cinco. Assim, x= 5 Portanto, o lado do quadrado mede 5 cm. 6.. Generalização Suponhamos a sentença x n =a onde n N e a 0. O valor não negativo que satisfaz tal igualdade será indicado por n a e deve ser lido: raiz enésima de a. Adotaremos a seguinte nomenclatura para o novo símbolo apresentado: n a é o radical n é o índice do radical a é o radicando Curso Pro-Técnico - Disciplina: Matemática - Professores Antônio José B. Bottion e Paulo Henrique C. Pereira 5