1 Diagonalização de Matrizes 2 2. Sistemas de Equações Diferenciais Lineares

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1 Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Reginaldo J Santos Departamento de Matemática-ICE Universidade Federal de Minas Gerais 3 de setembro de Diagonalização de Matrizes Motivação Vamos considerar o problema de encontrar as funções que dão a evolução das populações de duas espécies, S e S, convivendo em um mesmo ecossistema no tempo t > Vamos denotar as populações das espécies S e S em um instante t por (t) e (t), respectivamente Inicialmente vamos supor que a taa de crescimento da população de uma espécie não depende do que ocorre com a outra espécie e que esta taa é proporcional a sua população eistente (ou equivalentemente que a taa de crescimento relativa é constante) Ou seja, vamos supor que (t) = a (t) (t) = d (t) em que a, d R Temos aqui um sistema de equações diferenciais, ou seja, um sistema de equações que envolvem derivadas das funções que são incógnitas Neste caso as duas equações são desacopladas, isto é, podem ser resolvidas independentemente A solução do sistema é (t) = c e at e (t) = c e dt

2 Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais 3 de setembro de DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES Vamos supor, agora, que as duas populações interagem de forma que a taa de crescimento da população de uma espécie depende de forma linear não somente da sua população eistente, mas também da população eistente da outra espécie Ou seja, vamos supor que (t) = a (t) + b (t) (t) = c (t) + d (t) Por eemplo, se os indivíduos de uma espécie competem com os da outra por alimento (a, d > e b, c < ), ou os indivíduos da espécie S são predadores dos da outra (a, b, d > e c < ) Neste caso a solução de uma equação depende da outra Podemos escrever este sistema na forma de uma equação diferencial matricial X (t) = AX(t), () em que X (t) = (t) (t) a b, A = c d Vamos supor que eistam matrizes P e D tais que e X(t) = (t) (t) λ em que D = λ A = P DP, () Substituindo-se () em () obtemos X (t) = P DP X(t) Multiplicando-se à esquerda por P, obtemos P X (t) = DP X(t) (3) Fazendo a mudança de variável Y (t) = P X(t), (4) a equação (3) pode ser escrita como Y (t) = DY (t), que pode ser escrita na forma de um sistema de equações desacopladas (t) = λ (t) (t) = λ (t)

3 3 de setembro de Reginaldo J Santos Motivação 3 que tem solução dada por (t) = c e λ t e (t) = c e λ t Assim, da mudança de variáveis (4), a solução da equação () é c e X(t) = P Y (t) = P λ t c e λ t Se P = W = ou w v w, ou seja, se as colunas da matriz P são os vetores V = v w, então a solução do sistema pode ser escrita como w (t) (t) = c e λ t v v (t) = c v e λ t + c w e λ t e + c e λ t w w (t) = c v e λ t + c w e λ t Vamos descobrir como podemos determinar matrizes P e D, quando elas eistem, tais que A = P DP, ou multiplicando à esquerda por P e à direita por P, D = P AP, com D sendo uma matriz diagonal Chamamos diagonalização ao processo de encontrar as matrizes P e D v v e Definição Dizemos que uma matriz A, é diagonalizável, se eistem matrizes P e D tais que D = P AP, ou equivalentemente, A = P DP, em que D é uma matriz diagonal Eemplo Toda matriz diagonal λ A = λ é diagonalizável, pois A = (I ) AI, em que I = é a matriz identidade

4 Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais 3 de setembro de 4 DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES Autovalores e Autovetores Vamos supor inicialmente que a matriz A seja diagonalizável Então eiste uma matriz P tal que P AP = D, (5) em que D é uma matriz diagonal Vamos procurar tirar conclusões sobre as matrizes P e D Multiplicando à esquerda por P ambos os membros da equação anterior, obtemos Sejam em que V = v v e por outro lado AP = P D (6) λ v w D = e P = = V W, λ v w w e W = são as colunas de P Por um lado w AP = A V W = AV AW v w P D = λ = λ v w λ V λ W Assim, (6) pode ser reescrita como AV AW = λ V λ W Logo, AV = λ V e AW = λ W Ou seja, as colunas de P, V e W, e os elementos da diagonal de D, λ e λ, satisfazem a equação AX = λx, em que λ e X são incógnitas Isto motiva a seguinte definição Definição Um número real λ é chamado autovalor de uma matriz A, se eiste um vetor não nulo X = tal que AX = λx (7) Um vetor não nulo que satisfaça (7), é chamado de autovetor de A

5 3 de setembro de Reginaldo J Santos Autovalores e Autovetores 5 AX = λx X O X AX = λx O X AX = λx O λ > < λ < Observe que a equação (7) pode ser escrita como λ < ou AX = λi X (A λi )X = (8) Como os autovetores são vetores não nulos, os autovalores são os valores de λ, para os quais o sistema (A λi )X = tem solução não trivial Mas, este sistema homogêneo tem solução não trivial se, e somente se, det(a λi ) = Assim temos um método para encontrar os autovalores e os autovetores de uma matriz A Proposição Seja A uma matriz (a) Os autovalores de A são as raízes do polinômio p(t) = det(a t I ) (9) (b) Para cada autovalor λ, os autovetores associados a λ são os vetores não nulos da solução do sistema (A λi )X = () Definição 3 Seja A uma matriz O polinômio é chamado polinômio característico de A p(t) = det(a t I ) () Assim, para determinarmos os autovalores de uma matriz A precisamos determinar as raízes do seu polinômio característico, que tem a forma p(t) = t + at + b

6 Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais 3 de setembro de 6 DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES Eemplo Vamos determinar os autovalores e autovetores da matriz A = 4 Para esta matriz o polinômio característico é t p(t) = det(a ti ) = det = ( t) 4 = t t 3 4 t Como os autovalores de A são as raízes de p(t), temos que os autovalores de A são λ = 3 e λ = Agora, vamos determinar os autovetores associados aos autovalores λ = 3 e λ = Para isto vamos resolver os sistemas (A λ I )X = e (A λ I )X = Como A λ I =, 4 então (A λ I )X = é 4 = ou { = 4 = cuja solução geral é W = {(α, α) α R} que é o conjunto de todos os autovetores associados a λ = 3 acrescentado o vetor nulo Agora, (A λ I )X = é cuja solução geral é 4 = W = {(α, α) α R}, que é o conjunto de todos os autovetores associados a λ = acrescentado o vetor nulo

7 3 de setembro de Reginaldo J Santos 3 Diagonalização W 4 W = (, ) AW V = (, ) 4 4 W AV Figura : Autovetores associados a λ = 3 e a λ = da matriz do Eemplo Um resultado interessante e que iremos usar mais adiante é o seguinte Proposição Sejam V e W autovetores de uma matriz A associados a λ e λ, respectivamente Se V = αw, para algum escalar α, então λ = λ Demonstração Se V = αw, então multiplicando-se à esquerda por A e usando o fato de que AV = λ V e AW = λ W, temos que Isto implica que λ V = A(αW ) = αaw = αλ W = λ αw = λ V (λ λ )V = Como V é um vetor não nulo, então λ = λ 3 Diagonalização Vamos enunciar e demonstrar o resultado principal Já vimos que se uma matriz A é diagonalizável, então as colunas da matriz P, que faz a diagonalização, são autovetores associados a autovalores, que por sua vez são elementos da matriz diagonal D Como a matriz P é invertível, estes autovetores são LI (um vetor não é múltiplo escalar do outro)

8 Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais 3 de setembro de 8 DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES Teorema 3 Seja A uma matriz que tem autovalores λ λ Sejam V = (v, v ) e W = (w, w ) autovetores associados a λ e λ, respectivamente Então, as matrizes v w P = V W = λ e D = são tais que v w λ D = P AP, ou seja, a matriz A é diagonalizável Demonstração Pela Proposição, V = (v, v ) e W = (w, w ) são LI são autovetores LI (um não é múltiplo escalar do outro) Vamos definir as matrizes v w P = λ = V W e D = v w λ Como AV = λ V e AW = λ W, então v w AP = A V W = AV AW = λ V λ W = v w λ λ = P D () Como V e W são LI, a matriz P é invertível Assim, multiplicando por P à esquerda em () obtemos D = P AP Ou seja, A matriz A é diagonalizável Assim, se uma matriz A é diagonalizável e D = P AP, então os autovalores de A formam a diagonal de D e os autovetores linearmente independentes associados aos autovalores formam as colunas de P Eemplo 3 Considere a matriz A = 4 Já vimos no Eemplo na página 6 que o seu polinômio característico é p(t) = det(a t I ) = t t 3, que os seus autovalores são λ = 3 e λ = e que os autoespaços correspondentes são W = {(α, α) α R} e W = {(α, α) α R}, respectivamante

9 3 de setembro de Reginaldo J Santos 3 Diagonalização 9 Para λ = 3, temos que V = (, ) é um autovetor de A associado a λ De forma análoga para λ =, W = (, ) é um autovetor associado a λ Como um vetor não é múltiplo escalar do outro, a matriz A é diagonalizável e as matrizes P = V W = λ e D = = λ 3 são tais que Eemplo 4 Considere a matriz D = P AP A = O seu polinômio característico é p(t) = det(a ti ) = t, assim A possui um único autovalor: λ = Agora, vamos determinar os autovetores associados ao autovalor λ = Para isto vamos resolver o sistema (A λ I )X = Como A λ I = A =, então é ou cuja solução geral é (A λ I )X = { = = = W = {(α, ) α R} que é o conjunto de todos os autovetores associados a λ = acrescentado o vetor nulo Portanto, não podemos ter autovetores LI associados a λ = e como só temos um autovalor não podemos ter mais autovetores LI Portanto, pelo Teorema 3 na página 8, a matriz A não é diagonalizável, ou seja, não eistem matrizes P e D tais que D = P AP

10 Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais 3 de setembro de DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES 4 Autovalores compleos Tudo que fizemos até agora é válido para matrizes com entradas que são números reais ou compleos e para autovalores reais ou compleos Um vetor de C pode ser escrito como Z = (z, z ) = (v + iw, v + iw ) = (v, v ) + i(w, w ) = V + iw, em que V e W são vetores de R O próimo resultado é válido eclusivamente para matrizes com entradas que são números reais Proposição 4 Seja A uma matriz com entradas que são números reais Se um vetor Z = V + iw C é um autovetor de A associado ao autovalor λ = α + iβ, então Z = V iw também é um autovetor de A, mas associado a λ = α iβ Além disso, se β então Z e Z são LI Demonstração Substituindo-se Z = V + iw e λ = α + iβ em AZ = λz obtemos que AV + iaw = α(v + iw ) + iβ(v + iw ) = (αv βw ) + i(αw + βv ) Isto implica que AV = αv βw e AW = αw + βv Agora, usando os valores de AV e AW obtidos temos que AZ = A(V iw ) = AV iaw = αv βw i(αw + βv ) = (α iβ)v (β + iα)w = (α iβ)v i(α iβ)w = (α iβ)(v iw ) = λ Z Se β, então λ e λ são diferentes Logo, pela Proposição na página 7, Z e Z são LI Assim, se uma matriz A,, com entradas reais tem autovalores compleos, então ela é diagonalizável Eemplo 5 Considere a matriz A = 3 4

11 3 de setembro de Reginaldo J Santos 5 Se a matriz A não é diagonalizável O seu polinômio característico é p(t) = det(a t I ) = ( 3 t)( t) + 8 = t + t + 5 cujas raízes são λ = +i e λ = λ = i Agora, vamos determinar os autovetores associados ao autovalor λ = +i Para isto vamos resolver o sistema (A λ I )X = Como i A λ I =, 4 i então (A λ I )X = é i 4 i = ou { ( i) + = 4 + ( i) = cuja solução geral é W = {(α, ( + i)α) α C} que é o conjunto de todos os autovetores associados a λ = + i acrescentado o vetor nulo Assim, Z = (, + i) é um autovetor associado a λ = + i Pela Proposição 4, Z = (, i) é um autovetor associado a λ = λ = i e além disso Z e Z são LI Assim, a matriz A é diagonalizável e as matrizes P = Z Z = + i i λ e D = = λ + i i são tais que D = P AP 5 Se a matriz A não é diagonalizável Se uma matriz A com entradas que são números reais,, não é diagonalizável é por que ela tem somente um autovalor real λ Neste caso apesar de não podermos diagonalizá-la é válido o seguinte resultado

12 Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais 3 de setembro de DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES Teorema 5 Seja A uma matriz não diagonal com entradas que são números reais e que possui um único autovalor λ Sejam W = (w, w ) um vetor que não é autovetor de A (AW λw ) (Por eemplo, E = (, ) ou E = (, ) satisfaz esta condição) v v w e V = = (A λi v )W Então, as matrizes P = V W = e v w λ J = são tais que λ J = P AP a b Demonstração Vamos escrever A = Neste caso, o polinômio característico c d de A é p(t) = det(a t I ) = (a t)(d t) bc = t (a + d)t + (ad bc) Como estamos supondo que A tem somente um autovalor, então = (a + d) 4(ad bc) = a ad + d + 4bc = (3) e o autovalor de A que é a única raiz de p(t) é λ = a + d Assim, para este valor λ e usando (3) obtemos que (A λi ) = A λa + λ I = a + bc λa + λ ab + bd λb ac + dc λc bc + d λd + λ = Seja W = (w, w ) um vetor que não é autovetor de A Portanto, ele não pertence ao espaço solução de (A λi )X = Seja V = (v, v ) = (A λi )W Então Logo, V é um autovetor de A, ou seja, (A λi )V = (A λi ) W = AV = λv Da definição de V segue que AW = V + λw

13 3 de setembro de Reginaldo J Santos 6 Resumo 3 v w Assim P = V W = λ e J = são tais que v w λ λv v AP = A V W = AV AW = λv V + λw = + λw λv v + λw = P J (4) Como V é autovetor de A, se W fosse um múltiplo escalar de V, então W também seria um autovetor de A Mas isto não ocorre pela definição do vetor W Assim a matriz P é invertível e multiplicando-se a equação (4) à esquerda por P obtemos o resultado Eemplo 6 Considere a matriz A = 3 O seu polinômio característico é p(t) = det(a t I ) = ( t)( 3 t) + = t + 4t + 4 cujas raízes são λ = λ = λ = O vetor E = (, ) é tal que (A λi )E = = Sejam W = E = (, ) e V = (A λi )W = (, ) Pelo Teorema 5, as matrizes λ P = V W = e J = = λ são tais que J = P AP 6 Resumo Para diagonalizar uma matriz não diagonal siga os seguintes passos: (a) Determine o polinômio característico p(t) = det(a t I ) (b) Se p(t) tem duas raízes reais (distintas) λ λ, então determine um autovetor V = (v, v ) associado a λ, isto é, uma solução não trivial de (A λ I )X = e um autovetor W = (w, w ) associado a λ, isto é, uma solução não trivial de (A λ I )X = Então v w P = V W = λ e D = v w λ são tais que A = P DP

14 Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais 3 de setembro de 4 DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES (c) Se p(t) tem duas raízes compleas λ = α + iβ e λ = λ = α iβ Encontre um autovetor compleo V + iw = (v + iw, v + iw ), isto é, uma solução não trivial de (A (α + iβ)i )X = Então v + iw P = V + iw V iw = v iw α + iβ e D = v + iw v iw α iβ são tais que A = P DP (d) Se p(t) tem somente uma raiz real λ Seja W = (w, w ) um vetor não nulo que não seja autovetor de A (AW λw ) Por eemplo, W = E = (, ) ou W = E = v (, ) Seja V = = (A λi )W Então v são tais que A = P JP v w P = V W = v w e J = λ λ 7 Eercícios (respostas na página 8) Ache para cada matriz A, se possível, uma matriz não-singular P tal que P AP seja λ diagonal Se não for possível, ache uma matriz P tal que P AP =, para λ R λ a a a 4a a

15 3 de setembro de Reginaldo J Santos 5 Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Considere o sistema de equações diferenciais lineares { (t) = a (t) (t) = d (t) em que a, d R Temos aqui um sistema de equações diferenciais, ou seja, um sistema de equações que envolvem derivadas das funções que são incógnitas Neste caso as duas equações são desacopladas, isto é, podem ser resolvidas independentemente A solução do sistema é (t) = c e at (t) = c e dt Considere, agora, o sistema de equações diferenciais lineares { (t) = a (t) + b (t) (t) = c (t) + d (t) em que a, b, c, d R com b ou c não nulos Neste caso a solução de uma equação depende da outra Podemos escrever este sistema na forma de uma equação diferencial matricial em que X (t) = (t) (t) X (t) = AX(t), (5) a b (t), A = e X(t) = c d (t) A Matriz A é diagonalizável em R v w Vamos supor que eistam matrizes P = λ e D =, com λ v w λ, λ R, tais que A = P DP (6) Substituindo-se (6) em (5) obtemos X (t) = P DP X(t) Multiplicando-se à esquerda por P, obtemos P X (t) = DP X(t) (7)

16 Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais 3 de setembro de 6 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES Fazendo a mudança de variável Y (t) = P X(t), (8) a equação (7) pode ser escrita como Y (t) = DY (t), que pode ser escrita na forma de um sistema de equações desacopladas (t) = λ (t) (t) = λ (t) que tem solução dada por (t) = c e λ t e (t) = c e λ t Assim, da mudança de variáveis (8), a solução da equação (5) é c e X(t) = P Y (t) = P λ t c e λ t v w Como P =, então as colunas da matriz P são os vetores V = v w w W =, assim a solução do sistema pode ser escrita como w (t) = c (t) e λ t v + c e λ t w v Se são dadas as condições iniciais () = () e () = (), então para determinarmos c e c substituimos t = na solução, ou seja, () () = c v v + c w w = que é equivalente ao sistema linear { v c + w c = () v c + w c = () Eemplo 7 Considere o sistema { (t) = (t) (t) (t) = 4 (t) + (t) w () () v v e

17 3 de setembro de Reginaldo J Santos A Matriz A é diagonalizável em R Figura : Trajetórias do sistema do Eemplo 7 Já vimos no Eemplo 3 na página 6 que a matriz A = 4 é diagonalizável e as matrizes P = V W = λ e D = λ = 3 são tais que Assim, a solução do sistema é dada por (t) = c (t) e 3t D = P AP + c e t Os gráficos de diversas soluções aparecem na Figura A disposição das trajetórias é típica de um sistema linear X = AX, em que os autovalores de A são reais não nulos com sinais contrários Neste caso, dizemos que a origem é um ponto de sela Eemplo 8 Considere o sistema { (t) = 3 (t) (t) (t) = (t) + (t)

18 Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais 3 de setembro de 8 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES Figura 3: Trajetórias do sistema do Eemplo 8 Vamos determinar os autovalores e autovetores da matriz 3 A = Para esta matriz o polinômio característico é 3 t p(t) = det(a t I ) = det = (3 t)( t) = t 5t + 4 t Como os autovalores de A são as raízes de p(t), temos que os autovalores de A são λ = e λ = 4 Agora, vamos determinar os autovetores associados aos autovalores λ = e λ = 4 Para isto vamos resolver os sistemas (A λ I )X = e (A λ I )X = Como então é A λ I = (A λ I )X = = ou { = + =,

19 3 de setembro de Reginaldo J Santos A Matriz A é diagonalizável em C 9 cuja solução geral é W = {(α, α) α R} = {α(, ) α R} = {αv α R}, em que V = (, ) Este é o conjunto de todos os autovetores associados a λ = acrescentado o vetor nulo Agora, (A λ I )X = é cuja solução geral é = W = {( α, α) α R} = {α(, ) α R} = {αw α R}, em que W = (, ) Este é o conjunto de todos os autovetores associados a λ = 4 acrescentado o vetor nulo Assim, a matriz A é diagonalizável e as matrizes λ P = V W = e D = = λ 4 são tais que D = P AP Assim, a solução do sistema é dada por (t) = c (t) e t + c e 4t Os gráficos de diversas soluções aparecem na Figura 3 A disposição das trajetórias é típica de um sistema linear X = AX, em que os autovalores de A são reais e positivos Neste caso, dizemos que a origem é um nó instável ou fonte No caso em que os autovalores de A reais e negativos as trajetórias são semelhantes, mas percorridas no sentido contrário às da Figura 3 Neste caso, dizemos que a origem é um nó atrator ou sumidouro A Matriz A é diagonalizável em C v + iw Vamos supor que eistam matrizes P = v iw λ e D =, com v + iw v iw λ λ, λ C, tais que A = P DP (9)

20 Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais 3 de setembro de SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES Substituindo-se (9) em (5) obtemos X (t) = P DP X(t) Multiplicando-se à esquerda por P, obtemos P X (t) = DP X(t) Fazendo novamente a mudança de variável Y (t) = P X(t), obtemos que pode ser escrito na forma Y (t) = DY (t), (t) = λ (t) (t) = λ (t) Estas equações estão desacopladas e têm soluções dadas por Assim a solução da equação (5) é (t) = C e λt (t) = C e λt C e λt X(t) = P Y (t) = P C e λt v + iw Como P = v iw, então as colunas da matriz P são os vetores V +iw = v + iw v iw v + iw v iw e V iw = Assim a solução geral nos compleos é dada por v + iw v iw X(t) = C e λt v + iw v + iw + C e λt v iw v iw As constantes C e C são compleas Estamos interessados em uma solução real Para isso, fazendo C = C, a segunda parcela em () se torna o conjugado da primeira e assim obtemos { } X(t) = Re C e λt v + iw v + iw ()

21 3 de setembro de Reginaldo J Santos A Matriz A é diagonalizável em C Escrevendo a constante complea em termos de constantes reais na forma C = c ic e escrevendo λ = α + iβ, obtemos { } { } (t) = Re(C (t) ) Re e (α+iβ)t v + iw Im(C v + iw ) Im e (α+iβ)t v + iw v + iw { } { } = c Re e (α+iβ)t v + iw + c v + iw Im e (α+iβ)t v + iw v + iw ) ( ) = c e (cos αt v w βt sen βt + c v w e αt w v cos βt + sen βt w v Se são dadas as condições iniciais () = () e () = (), então para determinarmos c e c substituimos t = na solução, ou seja, () () = c v v + c w w = que é equivalente ao sistema linear { v c + w c = () v c + w c = () () () Figura 4: Trajetórias do sistema do Eemplo 9

22 Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais 3 de setembro de SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES Eemplo 9 Considere o sistema { (t) = 3 (t) + (t) (t) = 4 (t) + (t) Já vimos no Eemplo 5 na página que a matriz 3 A = 4 é diagonalizável e as matrizes P = Z Z = + i i λ e D = λ = + i i são tais que Assim a solução do sistema é dada por } (t) = c (t) Re {e ( +i)t + i = c e (cos t t sen t D = P AP + c Im {e ( +i)t ) + c e t ( cos t } + i + sen t Os gráficos de diversas soluções aparecem na Figura 4 A disposição das trajetórias é típica de um sistema linear X = AX, em que os autovalores de A são compleos com a parte real negativa Neste caso, dizemos que a origem é um foco atrator ou sumidoro espiral No caso em que os autovalores de A são compleos com a parte real positiva as trajetórias são semelhantes, mas percorridas no sentido contrário às da Figura 4 Neste caso, dizemos que a origem é um foco instável ou fonte espiral ) Eemplo Considere o sistema { (t) = (t) + (t) (t) = (t) + (t) Este sistema pode ser escrito na forma X (t) = AX(t), em que A =

23 3 de setembro de Reginaldo J Santos A Matriz A é diagonalizável em C Figura 5: Trajetórias do sistema do Eemplo O polinômio característico da matriz A é p(t) = det(a t I ) = ( t)( t) + = t + cujas raízes são λ = i e λ = λ = i Agora, vamos determinar os autovetores associados ao autovalor λ = i Para isto vamos resolver o sistema (A λ I )X = Como i A λ I =, i então (A λ I )X = é i = i ou { ( i) + = + ( i) = cuja solução geral é W = {(( i)α, α) α C} = {α( i, ) α C} Este é o conjunto de todos os autovetores associados a λ = i acrescentado o vetor nulo Assim, Z = ( i, ) é um autovetor associado a λ = i Pela Proposição 4 na página, Z = ( + i, ) é um autovetor associado a λ = λ = i e além disso Z e Z são LI Assim, a matriz A =

24 Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais 3 de setembro de 4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES é diagonalizável e as matrizes i + i P = Z Z = λ e D = λ = i i são tais que Assim a solução do sistema é dada por { } (t) i = c (t) Re e it = c (cos t D = P AP { + c Im sen t } i e it ) ( + c cos t + sen t Os gráficos de diversas soluções aparecem na Figura 5 A disposição das trajetórias é típica de um sistema linear X = AX, em que os autovalores de A são compleos com a parte real igual a zero Neste caso, dizemos que a origem é um centro ) 3 A Matriz A não é diagonalizável em C v w Sejam P = e J = v w Substituindo-se (6) em () obtemos λ λ matrizes tais que A = P JP () X (t) = P JP X(t) Multiplicando-se à esquerda por P, obtemos P X (t) = JP X(t) Fazendo a mudança de variável Y (t) = P X(t), obtemos que pode ser escrito na forma Y (t) = JY (t), (t) = λ (t) + (t) (t) = λ (t)

25 3 de setembro de Reginaldo J Santos 3 A Matriz A não é diagonalizável em C 5 A segunda equação tem solução (t) = c e λt Substituindo (t) na primeira equação obtemos a equação (t) = λ (t) + c e λt que tem solução (t) = (c + c t)e λt Assim a solução da equação () é (c + c X(t) = P Y (t) = P t)e λt c e λt Se P = W = w v w, ou seja, se as colunas da matriz P são os vetores V = v w, então w (t) (t) = (c + c t)e λt v v + c e λt w w v v e Se são dadas as condições iniciais () = () e () = (), então para determinarmos c e c substituimos t = na solução, ou seja, () () = c v v + c w w = que é equivalente ao sistema linear { v c + w c = () v c + w c = () Eemplo Considere o sistema { (t) = (t) + (t) (t) = (t) 3 (t) () () Vimos no Eemplo 6 na página 3 que a matriz A = 3

26 Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais 3 de setembro de 6 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES não é diagonalizável, mas que as matrizes P = V W = e J = λ λ = são tais que J = P AP Assim a solução do sistema é dada por (t) = (c (t) + c t)e t + c e t Os gráficos de diversas soluções aparecem na Figura 6 A disposição das trajetórias é típica de um sistema linear X = AX, em que a matriz A não é diagonalizável em C e o único autovalor é negativo Neste caso, dizemos que a origem é um nó impróprio No caso em que o único autovalor de A é positivo as trajetórias são semelhantes, mas percorridas no sentido contrário às da Figura 6 Neste caso, dizemos também que a origem é um nó impróprio Figura 6: Trajetórias do sistema do Eemplo

27 3 de setembro de Reginaldo J Santos 4 Eercícios (respostas na página 3) 7 4 Eercícios (respostas na página 3) Ache a solução geral do sistema de equações dado { { (t) = (t) + (t) (t) = (t) (t) { (t) = (t) + (t) { (t) = (t) + 4(t) 3 (t) = 3(t) 4(t) 4 (t) = (t) (t) { (t) = (t) (t) { (t) = 5(t) + 3(t) 5 (t) = 4(t) (t) 6 (t) = (t) 4(t) { (t) = 8(t) 4(t) { (t) = (t) (t) 7 (t) = a(t) + (t) 8 (t) = a(t) { (t) = (t) { (t) = (t) (t) 9 (t) = a(t) + (t) (t) = (t) + (t) (t) = (t) + 4a(t) (t) = a(t) + (t) Faça um esboço das soluções de X (t) = AX(t) e diga se a origem define uma sela, um nó instável, um nó atrator, um foco instável, um foco atrator, um centro ou um nó impróprio 8 A = A = A = 4 A = A = 7 A = 3 6 A = 8 A = Comandos do MATLAB: >>P,D=eig(sm(A)) determina simbólicamente, se possível, matrizes P e D tais que D = P AP, sendo D uma matriz diagonal >>P,J=jordan(sm(A)) determina simbólicamente, se possível, matrizes P e J tais que J = P AP, sendo J = λ λ Comando do pacote GAAL: >>flulin(a) desenha algumas trajetórias que são soluções do sistema de equações diferenciais X (t) = AX(t)

28 Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais 3 de setembro de 8 3 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 3 Respostas dos Eercícios Diagonalização de Matrizes (página 4) A=sm(,;,); P,D=eig(A) P =, -, D =,, A=sm(,-;,4); P,D=eig(A) P = -,, - D =,, 3 3 A=sm(3,-4;,-); P,J=jordan(A) P =,, J =,, 4 A=sm(,-;5,3); P,D=eig(A) P = -/5+/5*i, -/5-/5*i, D = +*i,, -*i 5 A=sm(4,-;8,-4); P,J=jordan(A) P = 4, 8, J =,, 6 A=sm(-,-4;,-); P,D=eig(A)

29 3 de setembro de Reginaldo J Santos 9 P = *i, -*i, D = -+*i,, --*i 7 Se a > 4: P,D=eig(A) 4 4 P = a + a 6 a a 6 a+ a 6 D = a a 6 Se a < 4: 4 4 P = a + i 6 a a i 6 a a+i 6 a D = a i 6 a Se a = 4: P,J=jordan(subs(A,a,4)) P =, -, J =,, Se a = 4: P,J=jordan(subs(A,a,-4)) P = -, -, J = -,, - 8 Se a < /: P,D=eig(A)

30 Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais 3 de setembro de 3 3 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS + a a P = + a D = a Se a > /: + i a i a P = + i a D = i a Se a = /: P,J=jordan(subs(A,a,/)) P =, -, J = -,, - 9 P,D=eig(A) a + a + a a P = + 3 a + a + D = 3 a a + Se a > : P,D=eig(A) P = D = a a + a a Se a < : i P = a D = Se a = : i a + i a i a

31 3 de setembro de Reginaldo J Santos 3 A=subs(A,a,) P,J=jordan(A) P =,, J =,, Sistemas de Equações Diferenciais Lineares (página 7) (t) = c (t) e t + c (t) = c (t) e t + c e 3t (t) 3 = (c (t) + c t)e t + c e t ( ) (t) 4 = c (t) e t cos t sen t + 5 ) c e (cos t t + sen t 5 (t) 4 5 = (c (t) + c t) + c 8 ( (t) 6 = c (t) e t cos t c e (cos t t + sen t sen t ) ) + 7 Se a > 4: (t) (t) = c e ( a+ a 6 )t c e ( a a 6 )t Se a < 4: (t) (t) c e at = c e at ( cos( 6 a t) 4 a a 6 ( cos( 6 a 4 a + + a 6 4 t) a 6 a sen( 6 a t) + sen( 4 6 a t) a 6 a ) ) +

32 Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais 3 de setembro de 3 3 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS Se a = ±4: (t) ± = (c (t) + c t)e ±t + c e ±t 8 Se a < /: (t) = c (t) e ( + a)t + a + c e ( a)t a Se a > /: ( (t) = c (t) e t cos( a t) c e (cos( a t a t) + sen( a t) sen( a a t) ) ) + Se a = /: (t) = (c (t) + c t)e t + c e t (t) 9 = c (t) e (3a+ a +)t a + a + + c e (3a a +)t a a + Se a > : (t) a = c (t) e (+ a)t + c e ( a)t Se a < : ( (t) = c (t) e t cos( at) c (e t cos( at) a + e t sen( at) Se a = : (t) = (c (t) + c t)e t a e t sen( at) a + c e t ) ) +

33 3 de setembro de Reginaldo J Santos 33 A origem é um nó instável A origem é uma sela A origem é um foco atrator

34 Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais 3 de setembro de 34 3 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 4 A origem é um foco instável A origem é um nó impróprio A origem é um centro

35 3 de setembro de Reginaldo J Santos 35 7 A origem é uma sela A origem é um nó atrator

36 Diagonalização de Matrizes e Sistemas de Equações Diferenciais 3 de setembro de 36 REFERÊNCIAS Referências Howard Anton and Chris Rorres Álgebra Linear com Aplicações Bookman, São Paulo, 8a edição, William E Boce and Richard C DiPrima Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno Livros Técnicos e Científicos Editora SA, Rio de Janeiro, 6a edição, Morris W Hirsch and Stephen Smale Differential Equations, Dnamical Sstems and Linear Algebra Academic Press, Inc, New York, Bernard Kolman Introdução à Álgebra Linear com Aplicações Prentice Hall do Brasil, Rio de Janeiro, 6a edição, Erwin Kreiszig Matemática Superior Livros Técnicos e Científicos Editora SA, Rio de Janeiro, a edição, Steven J Leon Álgebra Linear com Aplicações Livros Técnicos e Científicos Editora SA, Rio de Janeiro, 5a edição, Reginaldo J Santos Um Curso de Geometria Analítica e Universitária da UFMG, Belo Horizonte, Álgebra Linear Imprensa 8 Jorge Sotomaor Lições de Equações Diferenciais Ordinárias IMPA, Rio de Janeiro, 979