Equações Diferenciais Ordinárias

Transcrição

1 Universidade Estadual Paulista Instituto de Química de Araraquara Equações Diferenciais Ordinárias Jorge Manuel Vieira Capela Marisa Veiga Capela Material de apoio à disciplina Equações Diferenciais Ordinárias Curso Licenciatura em Química 2017

2 Sumário 1 Equações Diferenciais de Primeira Ordem Exemplos de Equações Diferenciais Ordinárias Equações Separáveis Equações Lineares de Primeira Ordem Equações Diferenciais Exatas Trajetórias Ortogonais Equações Diferenciais de Segunda Ordem Existência e Unicidade da Solução Equações Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes Raízes reais distintas de a 2 m 2 + a 1 m + a 0 = Raízes reais repetidas (raiz dupla) de a 2 m 2 + a 1 m + a 0 = Raízes complexas (conjugadas) de a 2 m 2 + a 1 m + a 0 = Método da Variação dos Parâmetros Redução de Ordem Solução em série de potências A Números Complexos B Série de Taylor i

3 ii

4 Prefácio Trata-se de uma disciplina que aborda os conceitos e procedimentos matemáticos utilizados para modelar os mais diversos fenômenos por meio da aplicação de equações cujas incógnitas são taxas de variação. As equações diferenciais estão presentes no estudo de problemas da Física, Química, Biologia, Economia, Engenharia, etc. Podemos ter, por exemplo, problemas envolvendo variações no tempo tais como a posição de um objeto, a temperatura de um material, a concentração de um agente químico, a concentração de um poluente ou nutriente em um meio, a umidade do ar, o número de habitantes de uma cidade, a densidade de bactérias de uma cultura, o valor de uma mercadoria, o câmbio entre moedas, o produto interno bruto de um país, etc. O estudo de tais equações, além de ser necessário no aprendizado de outras disciplinas, também desenvolve no estudante a habilidade de compreender a modelagem matemática e suas múltiplas aplicações, colaborando de forma especial na formação dos futuros professores de Química. A disciplina é dividida nos seguintes tópicos: 1) Equações diferenciais ordinárias: definição e classificação. Soluções. Problema de valor inicial. 2) Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem separáveis e lineares: definição, métodos de resolução. Aplicações. 3) Equações diferenciais ordinárias de segunda ordem: equações diferenciais de segunda ordem redutíveis à primeira ordem; equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes; equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes variáveis: solução por séries de potências. Aplicações. Para a bibliografia da disciplina temos os seguintes livros: 1) BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, iii

5 iv 2) BASSANEZI, Rodney C.; FERREIRA JR., Wilson C. Equações Diferenciais com Aplicações. 1.ed. São Paulo: Harbra, ) ZILL, Denis G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. 2.ed. São Paulo: Cengage Learning, ) SANTOS, Reginaldo de Jesus. Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias. Livro em arquivo pdf disponível em: regi. Último acesso em 20/01/ ) SANTOS, Reginaldo de Jesus. Tópicos de Equações Diferenciais. Arquivo pdf disponível em: regi. Último acesso em 20/01/ ) LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica - volume 2, 3.ed. São Paulo: Harbra, ) STEWART, James. Cálculo - Volume ed. São Paulo: Cengage Learning, ) SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. Volume ed. São Paulo: Makron Books, 1994.

6 Capítulo 1 Equações Diferenciais de Primeira Ordem Uma equação diferencial ordinária (edo) é uma equação que envolve uma função desconhecida e as suas derivadas ordinárias. As equações diferenciais são de grande interesse em diversas áreas do conhecimento e são frequentemente usadas para descrever processos nos quais a taxa de variação da medida de uma propriedade é causada pelo próprio processo. Neste texto abordaremos especificamente as equações diferenciais ordinárias, isto é equações que só apresentam derivadas ordinárias em relação a uma única variável. À equação diferencial junto com uma condição inicial, daremos o nome de problema de valor inicial (pvi). 1.1 Exemplos de Equações Diferenciais Ordinárias Exemplo Problemas de crescimento ou decrescimento Seja y = f(t) uma função que descreve a quantidade de uma substância, em processo de decrescimento radioativo, sendo a variável t o tempo. Uma das leis que descreve o decrescimento de uma substância radioativa é aquela que diz que a taxa de variação da quantidade da substância em um dado instante t é proporcional à substância presente nesse instante. Em termos matemáticos esta situação é dada por: dt = ky (ou y = ky) y 0 = f(0), sendo k uma constante e y 0 o valor inicial de y. 1

7 2 Exemplo Variação da temperatura A lei de variação da temperatura de Newton estabelece que a taxa de variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente. Denotando por T a temperatura do corpo e por α a temperatura do ambiente, temos a seguinte equação diferencial: dt dt = k (T α), k > 0, no caso de um processo de resfriamento. Observe que T > α e o sinal negativo justifica-se pelo fato de dt < 0 (Temperatura decrescente até à temperatura ambiente). dt No caso de um processo de aquecimento tem-se sendo T < α e então dt dt > 0. dt dt = k (α T ), k > 0, Exemplo Um problema de mistura Seja V 0 a quantidade (volume) inicial de salmoura dentro de um tanque que contém Q 0 gramas de sal. Despejamos no tanque outra solução de salmoura, com Q 1 gramas de sal por litro, à razão de v litros por minuto. A mistura é mantida uniforme por meio de um agitador, enquanto ela escoa à razão w litros por minuto. Sejam Q(t) a quantidade de sal presente na mistura no instante t e V (t) a quantidade de salmoura no mesmo instante t. Então Q(t) representa a concentração V (t) de sal na mistura no instante t e dq dt = }{{} Q 1v Q(t) V (t) w, Entrada }{{} Saida Q(0) = Q 0 Observando que V (t) = V 0 + tv tw, obtemos o seguinte modelo matemático: dq dt + Q(0) = Q 0 w V 0 + (v w)t Q = Q 1v,

8 3 Exemplo Um problema de queda vertical Seja um corpo de massa m em queda vertical, influenciada pela ação da gravidade g e pela resitência do ar. De acordo com a segunda lei de Newton F = m d v dt, onde v representa a velocidade e F a resultante das forças que atuam no corpo. Essas forças são o peso F 1 = mg e a resistência do ar F 2 = k v, k > 0. Figura 1.1: Queda de um corpo de massa m, sob influência da gravidade e da resistência do ar. Então mg kv = m dv dt ou v + k m v = g, que é a equação do movimento. 1.2 Equações Separáveis São equações diferenciais de primeira ordem dadas que podem ser escritas da seguinte forma: dx = f(x) g(y) g(y) = f(x)dx, (1.1) ou = f(x)g(y) = f(x)dx. (1.2) dx g(y) sendo a solução obtida por integração direta de ambos os lados da igualdade: g(y) = f(x) dx ou 1 g(y) = f(x) dx.

9 4 Exemplo Encontre a solução geral de dx = 2y Solução: Escrevemos a equação na forma: 1 = dx 2y 1 2y = dx e integramos para obter: 1 2 ln y = x + C 1 y = e 2C1 e 2x y = Ce 2x Exemplo Encontre a solução da equação y = 4x 9y, y 0 Solução: Escrevemos a equação na forma: 9y = 4xdx e integramos para obter: Exercício Resolva o problema de valor inicial: 9y 2 2 = 4x2 2 + C 2x2 + 9y2 2 = C dx = 2xy y 0 = 1 Exercício Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em cada instante. Após 1 hora observam-se fileiras de bactérias na cultura e após 4 horas observam-se fileiras. Determine

10 5 a) A expressão do número de fileiras de bactérias presentes na cultura no instante t. b) O número aproximado de fileiras de bactérias no início da cultura. Exercício Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se inicialmente há 100 miligramas e se após 2 anos 5% do material decaiu, determine a) A expressão para a massa em um instante t b) O tempo necessário para o decaimento de 10% do material. Exercício Sabe-se que o Cs 137 (Césio 137) se desintegra a uma taxa proporcional à massa existente em cada instante. Sua meia-vida é da ordem de 30 anos. Qual a porcentagem de Césio 137 que se desintegra em 1 ano? Exercício Um corpo à temperatura de 50 o F é colocado em um forno cuja temperatura é mantida em 150 o F. Se após 10 minutos a temperatura do corpo é de 75 o F, determine o tempo necessário para que o corpo atinja a temperatura de 100 o F. Exercício Suponha que a taxa segundo a qual uma inovação tecnológica se espalha em uma comunidade com uma população fixa de n indivíduos é conjuntamente proporcional ao número de pessoas que a adotaram e ao número de pessoas que não a adotaram. Se y(t) for o número de pessoas que adotaram a inovação no instante t, determine a equação diferencial que descreve a situação. Exercício Um corpo à temperatura de 50 o F é colocado ao ar livre, onde a temperatura é de 100 o F. Se após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60 o F, determine a) O tempo necessário para que o corpo atinja a temperatura de 75 o F b) A temperatura do corpo após 20 minutos.

11 6 Exercício Resolva o problema de valor inicial: dx = y sen x y 0 = Equações Lineares de Primeira Ordem Cada uma das situações dos exemplos da seção anterior foi modelada matematicamente por uma equação diferencial do tipo y + a(x)y = b(x) (1.3) onde as funções são supostas contínuas. Essa equação é denominada de equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver a equação (1.3) multiplicamos ambos os lados da equação pelo fator integrante e a(x) dx (1.4) transformando-a em d [ ye ] a(x) dx = b(x)e a(x) dx. (1.5) dx Integrando a equação (1.5), obtemos a seguinte solução geral para a equação diferencial linear de primeira ordem (1.3). Exemplo Resolver o seguinte problema de valor inicial: ( sen x) + (cos x) y = cos 2x, dx 0 y( π 2 ) = 1 < x < π Solução: Escrevendo a equação na forma (1.3) temos: sendo o fator integrante dado por dx + cos(x) y = cos(2x) sen (x) sen (x) }{{}}{{} a(x) b(x) ( ) e cos(x) a(x)dx = exp sen (x) dx = exp [ln ( sen (x))] = sen x

12 7 d sen x + y cos x = cos 2x (y sen x) = cos 2x dx dx Portanto a solução da EDO é dada por y = [ 1 C + sen (x) ] sen (2x) 2 Impondo a condição inicial encontramos C = 1. Então a solução particular é dada por: y = [ sen (x) ] sen (2x) 2 Exemplo Um tanque contém inicialmente 350 litros de salmoura com 10 kg de sal. A partir de um dado momento, água pura começa a entrar no tanque à razão de 20 litros por minuto, enquanto a mistura bem homogeneizada sai do tanque à mesma razão. Qual a quantidade de sal no tanque após t minutos? O que acontece com a quantidade de sal no tanque à medida que o tempo passa? Solução: V 0 = 350 L, Q 0 = 10 kg de sal, v = w = 2 L/min, Q 1 = 0 kg (água pura) dq dt = 0 Q (2 2)t 2, Q(0) = Q 0 = 10 Portanto dq dt + Q 175 = 0 Q(0) = Q 0 = 10 é um PVI envolvendo uma equação linear. Então ( Q(t) = 10 exp t ), lim Q(t) = t Exemplo Deixa-se cair de uma altura de 30 m um corpo de 30 kg, com uma velocidade inicial de 3 m/s. Admitindo que a resistência do ar seja proporcional à velocidade e que a velocidade limite é de 43 m/s, determine a expressão da velocidade v(t) e da posição do corpo y(t) em um instante t.

13 8 Solução mg = kv (30)(9.8) = k(43) k = 6.84 mv = mg kv v + k m v = g v v = 9.8 y(t) = v v = 9.8 v = e 0.23 t y(0)=0 v(t) dt = e 0.23t {}}{ t + C = e 0.23t t Equações Diferenciais Exatas Suponha que F (x, y) = C, com y dependente de x, seja a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem Diferenciando esta solução obtemos a seguinte diferencial: M(x, y) + N(x, y) = 0. (1.6) dx df dx = F x + F = 0. (1.7) y dx Comparando as equações (1.6) e (1.7) observamos que, se existir uma função F (x, y) com derivadas parciais tais que F x = M(x, y) e F y = N(x, y), então o lado esquerdo da equação (1.6) corresponde à diferencial da função F (x, y). Exemplo O lado esquerdo da equação 2x + 2y dx = 0 corresponde à diferencial da função F (x, y) = x 2 + y 2. Definição Equação Diferencial Exata A equação diferencial (1.6) é uma diferencial exata em uma região R do plano-xy se a expressão à esquerda corresponde à diferencial de alguma função F (x, y) definida em R.

14 9 Exemplo A equação diferencial 2x + 2y = 0 do Exemplo é uma equação diferencial exata. dx Teorema Critério para equação diferencial exata Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas e com derivadas parciais contínuas em uma região R. É possível mostrar que a condição necessária e suficiente para que a equação diferencial (1.6) seja exata (isto é, para que exista a função F (x, y)), é que Método de resolução de uma equação diferencial exata: Suponhamos que, dada a equação diferencial na forma M y = N x. (1.8) M(x, y) + N(x, y) dx = 0, a igualdade dada em (1.8) seja verdadeira. Então, integrando a função M(x, y) em relação a x e mantendo y constante obtemos uma função F (x, y) definida por F (x, y) = M(x, y)dx + g(y), (1.9) onde a função g(y) é a constante de integração em x (pode ser constante ou não em y). Diferenciando a equação (1.9) em relação a y temos: F y = y M(x, y)dx + g (y) = N(x, y), resultando a seguinte expressão para g (y): g (y) = N(x, y) y M(x, y)dx. (1.10) Integramos (1.10) em relação a y e substituímos g(y) em (1.9) para obter a solução implícita F (x, y) = C. Exemplo Resolva a equação diferencial ( 3x 2 + y 2) dx + 2xy = 0 Solução:

15 10 M(x, y) = 3x 2 + y 2 e N(x, y) = 2xy M y = N x = 2y F (x, y) = (3x 2 + y 2 )dx + g(y) = x 3 + xy 2 + g(y) F y = 2xy + g (y) Sendo F y = N(x, y) = 2xy, temos g (y) = 0 g(y) = C (Constante). Portanto a solução da equação diferencial é F (x, y) = x 3 + xy 2 + C Exercício Se y 0 (x) é uma solução da equação diferencial ordinária linear y + a(x)y = b(x), verifique que y 1 (x) = y 0 (x) + Ce a(x) dx também é solução, para qualquer valor da constante C. Exercício Verifique que as equações diferenciais dadas abaixo são exatas, resolvendo-as em seguida: a) 3x 2 ydx + x 3 = 0 b) ( x + Exercício ) ( y x 2 + y 2 dx + y ) x x 2 + y 2 = 0 Resolva o PVI dx 2xy = 1 π 2, y(0) = 1.5 Trajetórias Ortogonais Consideremos no plano xy uma família de curvas dada por: F (x, y, λ) = 0, (1.11)

16 11 onde λ é um parâmetro real. Por exemplo, a equação x 2 + y 2 λ = 0, λ > 0 representa uma família de circunferências de centro na origem do plano xy. Supondo que F seja uma função diferenciável em alguma região do espaço tridimencional R 3, diferencimos a equação (1.11) para encontrar F x + F y dx = 0, isto é, dx = F x F y representa a declividade das curvas descritas por F (x, y, λ) = 0. Assim a declividade das curvas (ou trajetórias) ortogonais é dada por dx = F y F x de onde obtemos a seguinte equação diferencial F x F y dx = 0. (1.12) A solução geral da equação diferencial (1.12) gera a família de tragetórias ortogonais às curvas dadas por F (x, y, λ) = 0. Exemplo Considere a família de circunferências descritas pela equação x 2 + y 2 = λ, λ > 0. Mostre que as trajetórias ortogonais são constituídas por retas passando pela origem. Solução: F = x 2 + y 2 λ = 0 F x = 2x e F y = 2y 2x 2y = 0 dx = y x, cuja solução é y = Cx.

17 12 Figura 1.2: Família de trajetórias ortogonais para a família de funções x 2 + y 2 λ=0 Exemplo Para a família de parábolas y = λx 2 as trajetórias ortogonais são dadas pelas curvas x2 2 + y2 = C. De fato: F (x, y, λ) = y λx 2 = 0 2λx = 0 dx dx = 2λx Resulta a equação diferencial das tragetórias ortogonais dx = 1 2λx dx = x 2y e cuja solução é dada por : y 2 = 1 2 x2 + C. Veja a figura 1.3. Exercício Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas. Faça um esboço a família de curvas e das tragetórias ortogonais. a) y = kx 2 b) y = (x + k) 1

18 13 Figura 1.3: Família de trajetórias ortogonais para a família de curvas y = λx 2 Exercício Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 6 anos, quando ela triplicará? Exercício O isótopo de chumbo, PB-209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida é 3.3 horas. Se 1 grama de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará para 90% de chumbo desaparecer? Exercício Inicialmente havia 100 miligramas de uma substância radioativa. Após seis horas a massa decresceu 10%. Supondo que a taxa de decaimento é proporcional à quantidade de substância no instante t, escreva a equação que descreve o problema. Determine a quantidade remanescente após 24 horas. Determine também o tempo de meia-vida da substância. Exercício Resolva a equação diferencial dx dt = ex 1

19 14 Exercício Resolva a equação dx + 1 x y = 1 xy 2. Sugestão: faça u = y 3 para transformá-la em uma equação linear de primeira ordem. Exercício Uma bateria de 10 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é 0.25 henry e a resistência é 5 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial for 0. A equação diferencial é dada por: 0.25 di + 5i = 10 dt Exercício Uma pequena barra de metal, cuja temperatura inicial é de 20 o C é colocada em um grande recipiente com água fervendo. Sabendo que sua temperatura aumenta 2 o C em 1 segundo, quanto tempo levará para a barra atingir 90 o C? quanto tempo levará para a barra atingir 98 o C? Exercício Em um modelo de variação populacional de uma comunidade supõe-se dp dt = k 1P k 2 P, onde k 1 P é a taxa de natalidade e k 2 P é a taxa de mortalidade. Determine a função P (t) e analise o comportamento do crescimento da população nos casos de k 1 > k 2, k 1 = k 2 e k 1 < k 2. Resp.: P (t) = P 0 e (k 1 k 2 )t ; crescente; constante; decrescente

20 Capítulo 2 Equações Diferenciais de Segunda Ordem São equações diferenciais com derivadas de ordem 2: a 2 (x)y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x), (2.1) onde as funções a 2 (x), a 1 (x), a 0 (x) são os coeficientes, as quais iremos supor serem contínuas em um intervalo da reta real. 2.1 Existência e Unicidade da Solução É possível provar que existe uma única solução do problema de valor inicial definido pela equação (2.1) sujeita a duas condições iniciais, isto é quando se conhece o valor da função de da derivada em um dado ponto. Teorema Existência e Unicidade Sejam a 2 (x), a 1 (x), a 0 (x) e f(x) funções contínuas em um intervalo I e seja x 0 um ponto (número real) nesse intervalo. Então existe uma única solução y(x) da equação (2.1) definida em I tal que y (x 0 ) = y 1 e y(x 0 ) = y 0, sendo y 0 e y 1 números reais. Definição Equação homogênea Se na equação (2.1) a função f(x) for identicamente nula então diz-se que a equação diferencial é homogênea: a 2 (x)y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = 0 (2.2) 15

21 16 Utilizando a propriedade de linearidade da derivada não é difícil provar os teoremas enunciados a seguir. Esses teoremas serão fundamentais para a construção dos métodos de resolução de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Teorema Se y 1 e y 2 são soluções da equação diferencial homogênea (2.2), então a combinação linear C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) também é solução, quaisquer que sejam os valores das constantes C 1 e C 2. Teorema Se y P (x) for uma solução particular da equação não homogênea (2.1) e y H (x) for a solução geral da equação homogênea então a solução geral da equação não homogênea (2.1) é dada por y(x) = y H (x) + y P (x). 2.2 Equações Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes Neste caso os coeficientes a 2 (x) = a 2, a 1 (x) = a 1 a 0 (x) = a 0 da equação (2.1) são funções constantes e a função f(x) é identicamente nula: y + a 1 y + a 0 y = 0. (2.3) Observe que para a equação linear de primeira ordem a 1 y + a 0 y = 0 tem-se: y = a 0 y y = e a 0 a 1 a 1 x, o que nos motiva a procurar uma solução para a equação homogênea (2.3) da forma y = e mx. (2.4) Substituindo a função y = e mx sugerida em (2.4) e as suas derivadas y = me mx e y = m 2 e mx

22 17 em (2.3) obtém-se e mx (a 2 m 2 + a 1 m + a 0 ) = 0 a 2 m 2 + a 1 m + a 0 = 0 (2.5) As soluções y = e mx serão então obtidas como sendo as raízes da equação característica (2.5), a 2 m 2 + a 1 m + a 0 = 0. Temos três casos possíveis, raízes reais distintas, raízes reais iguais (raiz dupla) ou raízes complexas Raízes reais distintas de a 2 m 2 + a 1 m + a 0 = 0 Se m 1 e m 2 forem as raízes, então a equação homogênea (2.3) possui as seguintes soluções linearmente independentes (uma não é combinação linear da outra): y 1 (x) = e m1x e y 2 (x) = e m2x. Neste caso a solução geral é y h (x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) = C 1 e m1x + C 2 e m2x (2.6) Raízes reais repetidas (raiz dupla) de a 2 m 2 + a 1 m + a 0 = 0 Se m 1 = m 2 = m, então uma solução da equação homogênea (2.3) será y 1 (x) = e mx. Mostraremos que a outra solução será a função y 2 (x) = xe mx. De fato: y 2(x) = e mx + mxe mx e y 2 (x) = 2me mx + m 2 xe mx. Portanto a 2 y 2 (x) + a 1 y 2(x) + a 0 y 2 (x) = a 2 (2me mx + m 2 xe mx ) + a 1 (e mx + mxe mx ) + a 0 xe mx = ( a 2 m 2 + a 1 m + a 0 }{{} 0 )xe mx + ( 2a 2 m + a }{{} 1 )e mx = 0 0 O primeiro termo é igual a zero porque m é uma raiz da equação quadrática e o segundo termo porque é raiz dupla, isto é m = a 1 /2a 2. Neste caso a solução geral é y h (x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) = C 1 e m1x + C 2 xe m2x (2.7)

23 Raízes complexas (conjugadas) de a 2 m 2 + a 1 m + a 0 = 0 Sejam m 1 = α + iβ e m 2 = α iβ as raízes complexas conjugadas. Então as seguintes funções complexas são soluções: y 1(x) = e m1x = e (α+iβ)x e y 2(x) = e m2x = e (α iβ)x Usando as fórmulas (A.3) e (A.4) temos: y 1(x) = e αx e iβx = e αx (cos βx + i sen βx) e y 2(x) = e αx e iβx = e αx (cos βx i sen βx) Como consequência do resultado do Teorema temos que y 1 (x) = 1 2 y 1(x) y 2(x) = e αx cos βx, (2.8) y 2 (x) = i 2 [y 2(x) y 1(x)] = e αx sen βx, (2.9) também são soluções independentes da equação homogênea. Portanto a solução geral real é dada por y h (x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) = e αx (C 1 cos βx + C 2 sen βx) (2.10) Exemplo Resolver a equação diferencial ordinária y + 2y 3y = 0. Solução: m 2 + 2m 3 = 0 possui duas raízes reais e distintas m 1 = 3 e m 2 = 1. Portanto a solução é dada por: y h = C 1 e 3x + C 2 e x. Exemplo Resolver a equação diferencial y 2y + y = 0 Solução: m 2 ms + 1 = 0 possui duas raízes reais e iguais m 1 = m 2 = 1. A solução é : y h = C 1 xe x + C 2 e x.

24 19 Exemplo Resolver a equação diferencial y 2y + 2y = 0 Solução: m 2 2m + 2 = 0 possui duas raízes complexas conjugadas m 1 = 1 + i e m 2 = 1 i A solução é dada por: y h = e x (C 1 cos x + C 2 sen x). 2.3 Método da Variação dos Parâmetros Este método parte da hipótese que sejam conhecidas duas soluções linearmente independentes (uma não é obtida como combinação linear da outra) da equação homogênea associada à equação (2.1), as quais podem ser obtidas pelo método discutido na seção anterior. Supondo que tais soluções sejam y 1 e y 2, propõe-se que uma solução particular y P da equação (2.1) seja da forma y P (x) = u 1 (x)y 1 (x) + u 2 (x)y 2 (x), (2.11) sendo u 1 e u 2 funções a serem determinadas sob algumas condições. Substituindo y P dada em (2.11) e as suas derivadas y P e y P u 1y 1 + u 2y 2 = 0 encontramos: na equação (2.1), sob a condição u 1 [y 1 + a 1 y 1 + a 0 y 1 ] + u 2 [y 2 + a 1 y 2 + a 0 y 2 ] + u 1y 1 + u 2y 2 = f(x) Como y 1 e y 2 são soluções da equação homogênea, as expressões entre colchetes são iguais a zero e a expressão anterior torna-se u 1y 1 + u 2y 2 = f(x) (2.12) Reunindo as equações u 1y 1 + u 2y 2 = 0 e (2.12) obtemos um sistema linear nas variáveis u 1 e u 2: u 1y 1 + u 2y 2 = 0 u 1y 1 + u 2y 2 = f(x) (2.13)

25 20 cuja solução é 0 y 2 (x) f(x) y 2(x) u 1 = y 1 (x) y 2 (x) y 1(x) y 2(x) y 1 (x) 0 y 1(x) f(x) e u 2 = y 1 (x) y 2 (x) y 1(x) y 2(x) (2.14) Seja w(x) = y 1 (x) y 2 (x) y 1(x) y 2(x) = y 1 (x)y 2(x) y 1(x)y 2 (x). (2.15) Portanto u 1(x) = y 2(x)f(x) w(x) e u 2(x) = y 1(x)f(x). (2.16) w(x) O método de Variação dos Parâmetros pode ser aplicado a qualquer equação diferencial linear de ordem n, desde que sejam conhecidas n soluções linearmente independentes da equação homogênea correspondente. Se os coeficientes não forem constantes o método de resolução da equação homogênea discutido na seção anterior não é válido, sendo necessário pensar em outras estratégias de resolução. Exemplo Resolver a equação y 4y + 4y = (x + 1)e 2x. Solução: As raízes da equação auxiliar característica m 2 4m+4 = 0 são m 1 = m 2 = 2. Portanto obtemos a seguinte solução geral da equação homogênea correspondente y H = C 1 e 2x + C 2 xe 2x. Assim as funções y 1 e y 2 do método da variação dos parâmetros são y 1 (x) = e 2x e y 2 (x) = xe 2x w(x) = e 2x xe 2x 2e 2x 2xe 2x + e 2x = e 4x Assim, u (x + 1)xe4x 1 = e 4x = x 2 x u 1 = x3 3 x2 2 u 2 = (x + 1)e4x e 4x = x + 1 u 2 = x2 2 + x

26 21 Portanto y P = ) ( ) ( x3 3 x2 x e 2x x xe 2x e a solução é dada por y = y P + y H = ) ( ) ( x3 3 x2 x e 2x x xe 2x + C 1 e 2x + C 2 xe 2x 2.4 Redução de Ordem Algumas equações diferenciais ordinárias de segunda ordem podem ser resolvidas por redução da ordem e aplicação dos métodos de resolução estudados para as equações de primeira ordem. Exemplo Consideremos a equação diferencial de segunda ordem: xy + y = x 2, x > 0. Fazendo a substituição z = y obtemos a equação linear de primeira ordem xz + z = x 2 z + 1 x z = x 2 x Exemplo z = C x + x 2 2 y = C ln x + x2 4 2x + C 1 Consideremos a equação diferencial de segunda ordem: xy + y = 0. Fazendo a substituição z = y obtemos: xz + z = 0 z + 1 x z = 0 z = C x y = C x y = C ln x + C 1 y = C(xln x x) + C 1 x + C 2 Observação: ln x dx = xln x x (integração por partes)

27 22 Exercício Resolver a equação diferencial ordinária y + 2y 3y = x Exercício Resolver a equação diferencial y 2y + y = x. Exercício Resolver a equação diferencial y 2y + 2y = sen x Exercício Resolver o seguinte problema de valor inicial: y + 2y + y = 4e x (x + 1), y(0) = 0 e y (0) = 1 Exercício A aceleração de uma partícula, como função do tempo é x = 3x 5x. No instante t = 0, a partícula parte do repouso no ponto x = 1. Calcule a posição e a velocidade da partícula como função do tempo, para t > 0. Exercício A aceleração de uma partícula em função do tempo é x = 3x. No instante t = 0 a partícula parte do repouso em x = 1. calcule a posição e a velocidade da partícula em função do tempo, para t > 0. Exercício Determine a solução geral da equação y y = 3e 2x. Exercício Determine a solução geral da equação xy 2y = 0. Sugestão: reduza à primeira ordem. Exercício Dado que y 1 = x 1 é solução de 2x 2 y + 3xy y = 0, x > 0, encontre uma segunda solução linearmente independente do tipo y 2 = uy 1 tal que y 2 (1) = 0 e y 2(1) = 1.

28 Solução em série de potências Neste método supõe-se que a solução da equação diferencial é uma função contínua que pode ser representada por sua série de Taylor (Apêndice B) em torno do ponto inicial x 0 = a. O método também se aplica no caso em que a EDO não é linear. Consideramos os seguintes exemplos: Exemplo Resolver o seguinte problema de valor inicial: y + xy + (2x 1)y = 0, y( 1) = 2 e y ( 1) = 2 Solução Ponto inicial: a = 1. Hipótese: as derivadas y (n) ( 1) existem para todo n. y = xy (2x 1)y y ( 1) = 4 y = xy 2xy 2y y ( 1) = 4 y iv = xy (2x + 1)y 4y y iv ( 1) = 8 Portanto, a solução em série de potências é y(x) = 2 2(x + 1) + 4 2! (x + 1)2 4 3! (x + 1) ! (x + 1) Observe que esta solução é válida em um intervalo pequeno contendo o -1. Exemplo y + 1 x y 4 x 2 y = 0, y(1) = 0 e y (1) = 4 Solução Ponto inicial: a = 1. y = 1 x y + 4 x 2 y y (1) = 4 y = 1 x y + 5 x 2 y 8 x 3 y y (1) = 24

29 24 y iv = 1 x y + 6 x 2 y 18 x 3 y + 24 x 4 y y iv (1) = 120 Portanto, a solução em série de potências é Exercício y(x) = 4(x 1) + 4 2! (x 1)2 4! 3! (x 1)3 + 5! 4! (x 1)4 + 6! 5! (x 1) Calcule a solução em série de potências do seguinte problema de valor inicial: y + y = 0, y(0) = 1 e y (0) = 1 Exercício Calcule a solução em série de potências do seguinte problema de valor inicial: y = x 2 y 2, y(0) = 1 e y (0) = 0 Exercício Calcule a solução em série de potências do seguinte problema de valor inicial: y 2xy + 6y = 0, y(0) = 1 e y (0) = 0 Exercício Calcule a solução em série de potências do seguinte problema de valor inicial: y + y sen x = x, y(π) = 1 e y (π) = 0

30 Apêndice A Números Complexos Um número complexo é um número da forma z = a + ib, sendo i 2 = 1 denominada unidade imaginária e a e b números reais. A representação desse número no plano complexo é dada na figura A.1: Figura A.1: Representação do número z = a + ib no plano complexo. Considerando a expansão de e x, sen (x) e cos(x) em séries de potências, dadas por: e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! +... sen (x) = x x3 3! + x5 5!... cos(x) = 1 x2 2! + x4 4!... 25

31 26 é possível mostrar as seguintes fórmulas para sen (x) e cos(x): sen (x) = eix e ix ; (A.1) 2i Como consequência das equações (A.1) e (A.2), temos cos(x) = eix + e ix. (A.2) 2 e ix = cos(x) + i sen (x) (A.3) e e ix = cos(x) i sen (x) (A.4) Seja o número complexo z = a + ib, representado pela figura A.1. Então: cos(α) = a z e sen (α) = b z, e z = z (cos α + i sen α) = z e iα. (A.5)

32 Apêndice B Série de Taylor Se f(x) for uma função que possui a seguinte representação em série de potências f(x) = c k (x a) k, x a < R, k=0 então os coeficientes c k podem ser obtidos da seguinte forma: f(a) = c 0 c 0 = f(a) f (x) = f (x) = f (x) = k=1 k=2 k=3 kc k (x a) k 1 c 1 = f (a) 1! k(k 1)c k (x a) k 2 c 2 = f (a) 2! k(k 1)(k 2)c k (x a) k 3 c 3 = f (a) 3!. Por indução podemos concluir que os coeficientes c k, k = 0, 1, 2,... são dados por: c k = f k (a) k! Definição B.0.1 Série de Taylor e Série de Maclaurin A série de potências k=0 f (k) (a) (x a) k (B.1) k! é chamada série de Taylor da função f(x) em x = a. Para o caso especial de a = 0 a série é chamada de série de Maclaurin. 27