3 Equacões de Bernoulli e Riccati Equação de Bernoulli Equação de Riccati Exercícios... 24

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1 Conteúdo 3 Equacões de Bernoulli e Riccati Equação de Bernoulli Equação de Riccati Exercícios

2 Equações de Bernoulli & Riccati Aula 2 Aula 3 EQUAÇÕES DE BERNOULLI & DE RICCATI Objetivos Apresentar duas equações não-lineares de grande importância histórica e cujas generalizações são - ainda hoje - objeto de estudos relevantes tanto para a teoria quanto para ass aplicações Resolver as equações diferenciais de Bernoulli e de Riccati reduzindo-as a equações diferenciais lineares não-homogêneas de primeira ordem. 17 GMA-UFF

3 Capítulo 3 Equacões de Bernoulli e Riccati Equação de Bernoulli Vamos chamar de equação diferencial de Bernoulli no intervalo I qualquer equação que pode ser posta na forma +p(x)y = q(x)yn dx onde pe q são funções contínuas, conhecidas, definidas no intervalo I; e n é um número real. Obtenção de soluções da equação de Bernoulli Dada y +p(x)y = q(x)y n observamos que a função nula y 0 é sempre uma solução da equação de 18

4 Equações de Bernoulli & Riccati Aula 3 Bernoulli. Ess solução é chamada de solução trivial. Procuremos soluções não triviais: Vamos assumir que a solução y não se anula. Dividimos então toda a equação por y n : y y n +p(x)y 1 n = q(x) E agora está claro o que devemos fazer. Devemos efetuar a mudança de variáveis z = y 1 n porque aí z = (1 n)y n y e obtemos a seguinte equação na variável z: z +p(x)z = q(x) 1 n que é linear de primeira ordem. Resolvemos essa equação para z e recuperamos a solução y pela substituição inversa y = z 1/(1 n) Exercício 3.1 Dar as soluções gerais de: a) x dx +y = x3 y 3 R : 2x 3 y 2 +Cx 2 y 2 = 1 b) dx = 4 x y +x y R : y = x 4 ( 1 2 ln x+c ) 2 c) 2xy ( c dx y2 +x = 0 R :y 2 = x ln x) d) (1 x 2 ) dx = xy +xy2 R :y = 1 1+c 1 x 2 19 GMA-UFF

5 EDA Equações de Bernoulli & Riccati Equação de Riccati Definição: Uma equação diferencial de primeira ordem da forma dx = a 2(x)y 2 +a 1 (x)y +a 0 (x) em que a 0 (x), a 1 (x), a 2 (x) são contínuas num intervalo I e a 2 (x) 0 em I, é chamada equação de Riccati. Obtenção de soluções da equação de Riccati Afimde resolveruma equaçãodericcati éprecisoconheceruma solução particular. Se não conhecermos pelo menos uma solução particular, não teremos absolutamente nenhuma chance de resolver uma tal equação. Exemplo 3.1 Mostre que se y 1 (x) e y 2 (x) são duas soluções da equação dx = a 2(x)y 2 +a 1 (x)y+a 0 (x) então a função z(x) = y 2 (x) y 1 (x) é solução de uma equação de Bernoulli Solução: y 1 é solução y 1 = a 2(x)y 2 1 +a 1(x)y 1 +a 0 (x) y 2 é solução y 2 = a 2 (x)y 2 2 +a 1 (x)y 2 +a 0 (x) (A) (B) (B) (A) : (y 2 y 1 ) = a 2 (x)(y 2 2 y 2 1)+a 1 (x)(y 2 y 1 ) isto é (y 2 y 1 ) = a 2 (x)[(y 2 y 1 )(y 2 +y 1 )]+a 1 (x)(y 2 y 1 ) Fazendo z = y 2 y 1, de onde y 2 +y 1 = y 2 y 1 +2y 1 = z +2y 1, a igualdade P Nobrega 20

6 Equações de Bernoulli & Riccati Aula 3 fica ou seja z = a 1 (x)z +a 2 (x)[z(z +2y 1 )] z [a 1 (x)+2y 1 a 2 (x)]z = a 2 (x)z 2 que é uma equação de Bernoulli na variável z. Seja agora y 1 uma solução particular de dx = a 2(x)y 2 +a 1 (x)y+a 0 (x). Conforme o último exercício, para qualquer solução y da eq. de Riccati tem-se que z = y y 1 é solução da eq. de Bernoulli z = p(x)z +q(x)z 2, p(x) = a 1 (x)+2y 1 a 2 (x), q(x) = a 2 (x) A mudança de variáveis v = 1/z transforma essa eq. de Bernoulli numa linear de 1 a ordem, para a qual sabemos calcular a solução geral. Portanto a solução geral da eq. de Bernoulli associada é z = 1 v Conseqüentemente a solução geral d eq. de Riccati é y = y z Exemplo 3.2 Resolva o problema de valor inicial y = (x y) 2 y(0) = 1. Obs: y p (x) = x?1 é uma solução particular da equação diferencial acima. Solução: A equação diferencial do problema é uma equação de Riccati, a saber, y? = y2 2xy +x2, e o enunciado informa que y p (x) = x 1 é uma solução particular. 21 GMA-UFF

7 EDA Equações de Bernoulli & Riccati Fazendo a mudança de variáveis y = x 1+ 1 x, temosy = 1 z z 2. Substituindo na equação Simplificando, 1 z z 2 = (x 1)2 + 1 z 2 +2(x 1)1 z } {{ } y 2 z = 1 2z ( 2x x 1+ 1 ) +x 2 z }{{} y Resolvendo a linear em z: [ ] ( ) 1 z = e 2x e 2x ( dx)+c = e 2x 2 e 2x +c = 1 2 +ce2x. Daí E como x = 0 y = 1, então y = x 1+ 1 = /2+ce 2x. 1 1/2+c ; o que nos fornece c = 0; e então a solução procurada é i.é, Exemplo 3.3 Comentário: y = /2+0, y = x+1. O próximo exemplo estabelece uma relação entre equações diferenciais lineares de segunda ordem e um par de equações diferencias de primeira ordem, uma delas sendo uma equação de Riccati. Vamos explorar bem mais este tipo de ligação na Aula 16. O papel deste exercício éapenas o de chamar a nossa atenção para um aspecto muito interessante das equações de Riccati. d 2 y dx +Q(x) +P(x)y = 0 (3.1) 2 dx é dita uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. As funções P e Q são contínuas em um intervalo I. P Nobrega 22

8 Equações de Bernoulli & Riccati Aula 3 a) Mostre que a substituição u = 1 y dx transforma a Equação (1) na equação de Riccati, (3.2) du dx = P(x) Q(x)u u2. (3.3) b) Reciprocamente, mostre que toda equação de Riccati pode ser transformada em uma equação linear homogênea de segunda ordem. Solução: a)note que u = 1 y Temos dx y = uy = y = e u(x)dx. dx = e u(x)dx u(x) d2 y dx = 2 e u(x)dx [ u 2 (x)+ du ]. dx Substituindo as expressões de y, /dx e d 2 y/dx 2 em (1) segue que ( 0 = e u(x)dx u 2 (x)+ du ) ( +Q(x) e ) u(x)dx u(x) dx [ = e u(x)dx u 2 (x)+ du ] dx +Q(x)u(x)+P(x) = du dx +u2 (x)+q(x)u(x)+p(x). Da última igualdade acima, segue que du dx = P(x) Q(x)u u2. +P(x)e u(x)dx Conclusão : Um método de obter soluções da equação d2 y dx 2 + Q(x) dx + P(x)y = 0 é primeiro resolver a equacão de Riccati du dx +u2 (x)+q(x)u(x)+ P(x) = 0 e depois calcular y, resolvendo y = uy. Ou seja transformamos a equação (1) no sistema de equações u +u 2 (x)+q(x)u(x)+p(x) = 0 y = uy b) Tem-se y = e u(x)dx u(x)dx = lny u(x) = 1 y dx du dx = 1 y 2 ( ) d 2 y dx ydx GMA-UFF

9 EDA Equações de Bernoulli & Riccati Substituindo as expressões de u(x) e em (3), temos dx 1 ( ) d 2 y y 2 dx ydx = P(x) Q(x) 1 2 ydx 1 ( ) 2 y 2 dx Daí, Logo, d 2 y = P(x)y Q(x) dx2 dx. d 2 y dx +Q(x) +P(x)y = 0. 2 dx Exercícios Exercício 3.2 Resolva as seguintes equações: (a) y +xy 2 2x 2 y +x 3 = x+1; solução particular y 1 = x 1 (b) 2y (y/x) 2 1 = 0; solução particular y 1 = x (c) y +y 2 (1+2e x )y +e 2x = 0; solução particular y 1 = e x (d) y (sen 2 x)y senx cosx y+cos2 x = 0; soluçãoparticulary 1 = cosx senx Respostas: (b) y = x+ Exercício 3.3 2x cos x, (d) y = c ln x sen x [1+(ce sen2x 1/2)] 1 (a) Mostre que uma equação de Riccati com coeficientes constantes dx +ay2 +by +c = 0 tem uma solução da forma y = m, sendo m uma constante se, e somente se, m é uma raiz da equação do segundo grau am 2 +bm+c = 0 (b) Empregue este resultado para encontrar a solução geral de cada uma das seguintes equações de Riccati (i) y +y 2 +3y +2 = 0 (ii) y +4y 2 9 = 0 P Nobrega 24

10 Equações de Bernoulli & Riccati Aula 3 (iii) y +y 2 2y +1 = 0 (iv) 6y +6y 2 +y 1 = 0 Respostas: Exercício 3.4 Encontre a equação de Riccati associada a y y = 0. Resolva-a e, a seguir,encontre a solução geral de y y = GMA-UFF