EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

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1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS CONCEITOS BÁSICOS Definição: Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de ordem n é uma igualdade do tipo ( n) F(, y, y,, y ) 0 () n ( n dy Onde F é uma função de n+ variáveis e y ) ( ) ( ). n OBS: Quando se pode eplicitar a n-ésima derivada, seguinte EDO ( n) ( n ) y f(, y, y,, y ) () ( n) y, na equação acima obtem-se a A qual é denominada forma normal de (). OBS: O teorema da função implícita nos diz que a condição para que se possa reduzir ( n) uma EDO à sua forma normal é que se tenha F diferenciável com F / y não identicamente nula. OBS: Pode acontecer de se ter várias EDO s do tipo () associadas a apenas uma EDO do tipo (). Como mostra o seguinte Eemplo: Reduzir a EDO de ª ordem a forma normal. ( y) 0y 0 Tem-se que F( t, y, y) ( y) 0y é uma função diferenciável na variável y e F / y 4y0 só se anula em y 5/ logo não é identicamente nula. Portanto, pode ser reduzida e obtemos que ( ) ( )( ) y 0y y y 3 Ou seja, a EDO possui duas EDO s normais associadas a ela Eemplos: y e y 3 Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página

2 cos y y y e cos( e ) log 0, y tg( ), ay by cy 0, y p( ) y 0 y OBS: Uma pergunta que se pode fazer é porque estudar a teoria das EDO s?para respondermos de maneira convincente basta observar que qualquer lei postulada pelo ser humano só possui aplicabilidade científica quando pode ser matematizada,isto é, quando pode ser epressa através de equações!no caso das três leis fundamentais da Física Clássica, Newton necessitou criar o Cálculo Diferencial e Integral para poder epressar matematicamente suas leis, como é o caso da ª lei, que estabelece a coneão entre a aceleração de uma partícula e a força que produz seu movimento. m. a F resul tante No caso unidimensional obtemos my F resul tan te Utilizando a notação mais apropriada de Leibniz, obtemos que d y dy m f( t, y, ) dt dt Que é uma EDO de ª ordem facilmente normalizável. Definição: Uma solução de uma EDO de ordem n em um intervalo ] ab, [ da reta é uma função :] ab, [ tal que as derivadas ( k), k,..., neistem em ]a,b[ e satisfazem a equação Ou a equação ( n) F( t,,,..., ) 0, t ] a, b[ ( n) ( n ) f( t,,,..., ), t ] a, b[ Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página

3 Equações diferenciais de ª ordem Conforme já foi observado, uma grande parte de EDO s pode ser normalizada. Além disso, os fundadores da teoria; Leibniz, Newton e os irmãos Bernoulli logo perceberam que a maioria dos métodos de resolução por eles criados eigiam que a EDO fosse normal. Por isso nos restringiremos as EDO s de ª ordem normais: y f(, y) (3) Iniciaremos com a subclasse mais simples e profundamente ligada ao resultado central do Cálculo Diferencial e Integral: o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).. EDO Fundamental de ª ordem y f( ), a b (4) Neste tipo de EDO a mudança, dada por f(), depende apenas da variável independente.seu método de resolução é uma aplicação imediata do TFC, eigindo que f seja integrável em ], [ ab. F( ) f( t) dt a é derivável em ]a,b[, F( ) f( ), ] a, b[ e Fa () 0. TFC: Seja f :[ a, b] contínua. Seja F uma primitiva de f, então Aplicação do TFC a EDO Fundamental: F( ) F( a) f( t) dt, [ a, b]. a y f( ), a b y( ) y( ) f( t) dt, [ a, b] 0 (5) 0 Para qualquer 0 fio em [ ab., ] OBS: A EDO (4) possui uma infinidade de soluções! De fato, para cada valor da constante y ( 0), tem-se que ydado ( ) por (5) é uma solução. Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 3

4 Na teoria das Equações Diferenciais o problema mais importante é, sem dúvida, o eistencial, ou seja, saber quando pelo menos uma solução eiste antes de se aplicar qualquer método de resolução. Uma vez obtida a eistência de soluções surge o problema da unicidade da solução obtida, ou seja, saber se ela é única. No caso da EDO fundamental acima basta particularizarmos a constante y ( 0) para obtermos a unicidade da solução. Com isto somos levados, por A. Cauchy, a montarmos o protótipo de quase todo Modelo Matemático; um Problema de Valor Inicial (PVI) ou um Problema de Cauchy: y f( ), a b PVI : y( 0) y0 (6) Onde 0 foi tomado em [ abe, ] y 0 foi o valor escolhido para constante de integração y ( ), neste caso y 0 é denominado valor inicial. 0 De modo que, pelo o que foi visto, o PVI acima possui uma única solução dada por y( ) y f( ), a b 0 (7) 0 Definição: A solução y() dada por (7) denomina-se curva integral. Interpretação gráfica: Eemplo: Resolva o seguinte y sen PVI : y( ) Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 4

5 Resolver esse PVI é encontrar a única primitiva que satisfaz a condição inicial dada. Integrando a EDO obtem-se que ( cos ) sen sen ( ) sen ( ) t t t y tdt y dt 4 4. EDO AUTÔNOMA y f( y), a b (8) São EDO s que descrevem mudanças que dependem apenas da variável dependente. Se f(y) não se anula em um intervalo ] cd, [ utilizando a notação devida a Leibniz podemos reduzir (8) à uma EDO fundamental. De fato, tem-se que logo pelo TFC dy f( y), a b, c y d (9) dy f() y y ( y) ( y0) ds y0 fs () Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 5

6 Para algum y 0 tomado em ] cd, [. Mas agindo assim nós resolvemos o problema inverso! O que a EDO (8) está propondo é que se conheça como y depende de e não o contrario! Entretanto, como se tem 0, c y d dy f() y Então pelo Teorema da Função Inversa eiste a inversa da função (y) e sua derivada é o inverso da derivada de y(). OBS: Teorema da Função Inversa: Seja f :], [ uma função crescente (ou decrescente) em ], [. Se f for derivável em ], [ e f( ) 0, ], [,então a função inversa é derivável no intervalo f(], [) e f : f(], [) ], [ De modo que, a solução do df dy ( y), y f(] a, b[) df ( f ( y)) PVI : 0 dy f( y), a b f( 0) y0 Pode ser obtida através da inversão da solução do, c y d PVI : dy f( y) ( y0) 0 E vice-versa; a solução do problema inverso pode ser obtida através da inversão do problema direto. Eemplo: Seja a EDO y ky, com k 0.Tem-se que f( y) 0, y 0. De modo que, a EDO pode ser reduzida a uma EDO fundamental em 0 y ou y 0. Escolhendo o primeiro intervalo obtem-se que Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 6

7 y, 0 y ( y) ( y0) ds, y0 ] 0, [ dy ky y0 ks Ou seja, ( y) ( y0) (lny ln y0) k Como a solução obtida é inversível (e é fácil obter sua inversa) invertendo obtem-se que y y e ( 0 ) ( ) ( 0) k, onde ( y0) 0. OBS: Para aplicação desse método é necessário que o intervalo de definição da variável dependente, y(), não contenha pontos onde f(y) se anule. Os pontos y # onde f(y # )=0 (os zeros de f) são denominados pontos críticos ou pontos estacionários da EDO. O PVI associado a uma tal EDO, com condição inicial y( 0) y solução a função constante equilíbrio. y y # #, possui como denominada solução estacionária ou solução de.3 EDO SEPARADA y f ( ) f ( y), a b (0) Teorema: Seja f () contínua em a<<b e f (y) contínua e não nula em c<y<d. Então eiste uma única solução da EDO (0) passando por cada ponto do retângulo R:(, y) ] a, b[ ] c, d[. Prova: primeiro provaremos a unicidade. Supondo que y() satisfaz (0)e a condição inicial ( 0) y0. Então, tem-se que ou seja d ( ) f( ) f( ( )) d( ) f ( ) f ( ( )) Integrando ambos os lados entre 0 e obtem-se que Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 7

8 d ( ) ( ) y ( 0 ) y0 f 0 ( ( )) f ( ) d De modo que, F ( ( )) F ( y ) F ( ) F ( ) () 0 0 Entretanto, como F (y) é estritamente monótona, pois é a primitiva de / f( y ), então é inversível e podemos obter uma única ( ) dada por ( ) F [ F ( y ) F ( ) F ( )] () 0 0 Então, assumindo que (0) possui solução passando pelo ponto ( 0, y 0 ), concluímos que essa solução é dada por () de maneira única. Para provar a eistência de uma solução de (0) passando pelo ponto ( 0, y 0 ), basta provar que a função ( ) dada por () satisfaz a EDO (em uma vizinhança de 0 ) e passa pelo ponto ( 0, y 0 ). Derivando () em relação à obtem-se que ou seja ou seja df ( ( )) ( ) F ( ), a b d( ) ( ) f ( ), a b f ( ( )) d ( ) f( ( )) f( ), a b Por outro lado, fazendo = 0 em () obtem-se que ( ) F [ F ( y )] y OBS: Se f (y)=0 para algum y=y então pode-se perder a unicidade da solução, dependendo da convergência ou não da seguinte integral y d y ( ) (3) 0 f Quando y se aproima de y. Se a integral converge então um número infinito de curvas integrais passam através de certos pontos do retângulo R e elas são todas tangentes a solução estacionária y y. Por outro lado, se a integral (3) diverge quando y y então eiste sempre uma única curva integral passando através de cada ponto ( 0, y 0 ) de R. Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 8

9 Eemplo: Investigue o comportamento das curvas integrais das seguintes EDO s: sen sen y y y y y y seny sen y,, 3, 3..4 EDO HOMOGÊNEA y y f( ), a b (4) Definição: Uma função f(, y) é dita ser homogênea de grau n se n f( t, ty) t f(, y), t OBS: Se f(, y) é homogênea de grau zero então y y f( t, ty) f(, ) f( ) Definição: Uma EDO normal de ª ordem é homogênea se descreve uma mudança dada por uma função homogênea de grau zero, ou seja se pode ser posta na forma (4). Método de resolução: (Leibniz, 69) Fazendo a mudança y z na EDO obtem-se que dy dz dz f() z z z Que é uma EDO separada na variável z..4 EDO LINEAR DE ª ORDEM a( ) y b( ) y f( ), a b (5) As EDO s lineares de ª ordem constituem a subclasse mais importante de EDO s de ª ordem por dois motivos: aparecem com maior freqüência nas aplicações e deu origem a métodos e conceitos que acabaram constituindo uma das teorias mais Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 9

10 importantes na Matemática (a Teoria dos Operadores Lineares). Em (5) tem-se a()0,em algum intervalo ]a, b[, aonde se pode colocar a EDO na forma normalizável y p( ) y q( ) (6) onde p( ) b( ) / a( ), q( ) c( ) / a( ). O fato de se ter o termo independente q() cria um impedimento para se aplicar o método desenvolvido para EDO separada. Entretanto, Leibniz considerou a EDO mais simples, obtida quando se toma p()=p (constante), e observou que o lado esquerdo de (6) se transforma, após a multiplicação por uma determinada função, na derivada de um produto! De fato, temse que d ( ye ) y e pye ( y py ) e p p p p Com esta observação Leibniz descobriu a eistência de um multiplicador. ( ) e p (7) que torna a EDO (6) integrável nesse caso particular.a partir desse fato, Leibniz pode conjecturar se sempre eistiria uma tal multiplicador ()0 que transformasse o lado esquerdo de (6), com p() arbitrário, na derivada do produto ()y()? Supondo que isto acontece, e multiplicando ambos os lados da EDO (6) pelo multiplicador, Leibniz foi levado à seguinte equação ou seja d ( ( ) y) ( )[ y p( ) y] ( ) q( ) d ( ( ) y) ( ) q( ) (8) A EDO (8), sendo do tipo fundamental, pode ser integrada. Integrando, obtem-se que C y( ) ( ) q( ) ( ) ( ) (9) onde C é a constante de integração. De modo que, se eistir um tal multiplicador todas as soluções de (6) serão dadas por (9)! Por outro lado, para que eista o multiplicador é necessário que Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 0

11 d ( ( ) y) ( ) y ( ) p( ) y y y y p( ) y y p( ) y ( p( ) ) y 0 onde a possibilidade y = 0 é satisfeita se só se q()=0. Logo, d p ( ) que é uma EDO separada com () 0. Sendo assim d d p( ) p( ) C ln p( ) C e p( ) C ou seja ( ) C e,( C e ) ( ) C e p( ) C p( ) 0 Como ( ) é um multiplicador para a EDO podemos tomar ( ) e p( ) substituindo em (9) obtem-se que a solução geral da EDO é dada por p( ) p( ) p( ) y( ) e e q( ) Ce (0) Resumo: Método do Fator Integrante; Dada a EDO Linear a( ) y b( ) y f( ), a b Sua solução geral pode ser obtida através de ) ponha a EDO na forma ) calcule o fator integrante y p( ) y q( ) ( ) e p( ) 3) multiplique a EDO e calcule a integral 4) a solução geral é dada por ( ) q( ) y( ) ( ) q( ) C ( ) Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página

12 Eemplo: Obtenha a solução geral para ty 5y 3t ) 5 y y 3, t 0 ou 0 t t ) fator integrante 5 dt t 5lnt 5 5 ( t) e e t ( t) t, 0 t 3) t C ( t y) 3t t y t C y 5 t 4) solução geral: t C y, 0 t 5 t Gráfico: (C=) OBS: EDO s lineares possuem a propriedade de suas soluções serem globais, isto significa que elas eistem onde os coeficientes p(t) e q(t) são contínuos. Em particular se p(t) e q(t) forem contínuos em toda reta, então as soluções estarão definidas em toda reta. No eemplo acima as soluções eistem em todo intervalo que não contenha a origem. OBS: Dado um PVI associado a uma EDO linear de ª ordem, nós podemos obter sua solução através de uma integração definida. De fato, dado o Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página

13 a( t) y b( t) y c( t), t PVI : y( t0) y0, t0 ], [ repetimos as mesmas etapas do método obtido, mudando apenas as integrações indefinidas por integrações definidas que incorporarão a condição inicial, ou seja tomaremos () t e t p( s) ds t0 Multiplicando a EDO por () t e integrando de t0 a t obteremos que t ( t) y( t) ( t ) y( t ) ( s) q( s) ds 0 0 t0 ( sendo que t 0). De modo que, a solução do PVI será dada por t y( t) ( s) q( s) ds y 0 () t t0 Eemplo: Resolver o seguinte ty 5y 3t, 0 t PVI : y() 0.5 EDO de Bernoulli n a( ) y b( ) y c( ) y, () onde a(),b() e c() são contínuas em ], [ com a() 0 em ], [ e n 0. OBS: (i) Se 0 ], [ o PVI com condição inicial y( 0 )=y 0 possui uma única solução. (ii) Se n=0 ou, () é uma EDO linear de ª ordem. (iii) Se n=, y=0 é uma solução de () chamada solução trivial. Método de resolução: (Leibniz 696): Colocando () na forma normalizável y p( ) y q( ) y n Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 3

14 onde p( ) b( ) / a( ), q( ) c( ) / a( ) tem-se que a mudança na variável dependente z n y reduz () a uma EDO linear de ª ordem. De fato, descartando a solução trivial obtemos que y y p y q y p y q y y p z q y n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n Por outro lado, pela Regra da Cadeia, tem-se que z ( n) y y y y ( n) n n z Substituindo na EDO transformada somos levados a seguinte EDO linear de ª ordem z( n) p( ) z ( n) q( ) () cujo fator integrante é dado por ( ) e ( n) p( ) Multiplicando ambos os lados por e integrando obtem-se z n q C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Retornando a variável dependente original concluímos que y n q C ( ) n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) OBS: O epoente na EDO de Bernoulli () pode ser generalizado para qualquer valor real. Eemplo: Modelo Matemático para o crescimento de peies Modelo proposto por von Bertalanffy: Hipótese: O peso p(t) de cada espécie é regido pela seguinte equação obtida eperimentalmente dp p dt 3 / p (vb) a qual estabelece que o aumento do peso de um peie é proporcional a área de sua superfície. Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 4

15 Notação:. é a constante de anabolismo, representando a taa de crescimento de massa por unidade de superfície.. é a constante de catabolismo, representando a taa de diminuição da massa por unidade de superfície. A EDO (vb) é de Bernoulli com n=/3. De fato, tem-se que Resolução: Fazendo a mudança obtem-se a EDO linear De modo que, dp pp dt z p p z 3 / / 3 / 3 z 3 3 () t e e ( / 3) dt ( / 3) t Multiplicando ambos os lados da EDO por e integrando obtem-se que d ( e z ) e e z e C z Ce dt 3 t 3 t 3 t 3 t ( / 3) t 3 retornando a variável dependente original conclui-se que p( t) ( ) ( C e ) 3 ( / 3) 3 Condição inicial: na prática quando t=0 o valor de p é desprezível. Isso se traduz matematicamente como sendo p(0)=0. Com essa condição inicial se obtém que 0 ( ) ( C ) C 3 3 Portanto, 3 ( / 3) t 3 p( t) ( ) ( e ), 0 t esta é a Lei de Von Bertalanffy para o crescimento da massa de um peie. Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 5

16 .6 EDO de Riccati a( ) y b( ) c( ) y d( ) y (3) onde a( ), b( ), c( ), d( ) são contínuas em com a () 0. OBS: Se b = 0 então (3) é de Bernoulli com n =. Método de resolução: (±74). Colocando na forma normal y p( ) q( ) y r( ) y onde p( ) b( ) / a( ), q( ) c( ) / a( ), r( ) d( ) / a( ) tem-se que no caso particular em que p,q,r são constantes a EDO se reduz a y r( y r )( y r ) (4) onde r, r são raízes da equação do º grau dada pelo direito de (4). Neste caso, a EDO é autônoma sendo que sua solução é dada por dy t p qy ry Quando p,q,r não são constantes o caso é muito mais complicado e a única técnica que se conhece é parcial no sentido de que para se resolver (3) precisamos conhecer de antemão uma solução particular y p () de (3) para podermos obter a solução geral.neste caso, a solução geral será dada por C y( ) yp( ) v ( ) (5) De fato, substituindo (5) em (3) obtem-se que d y p p ( ) q ( ) y p r y p v v v dyp dv y p p( ) q( ) y ( ) ( ) ( ) ( ) p q r yp r r v v v v dv yp dv q( ) r( ) r( ) [ q( ) r( ) y ] ( ) p v r v v v v que é uma EDO linear de ª ordem em v com fator integrante ( ) e [ q( ) r( ) yp ( )] De modo que, multiplicando a EDO por e integrando obtem-se que Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 6

17 ( ) y( ) yp( ) C r( ) ( ).7 EDO Eata M(, y) N(, y) y 0 (6) De todas as EDO s de ª ordem as mais simples de se resolver são, sem dúvida, as da forma Sua solução é dada por d ( y, ) 0 (7) (, y) C onde algumas vezes é possível eplicitar y como função de. De modo que é muito importante sabermos quando uma EDO de ª ordem pode ser colocada na forma (7). Por outro lado, pela Regra da Cadeia, sabemos que d dy (, y) (, y) (, y) y (8) Portanto, uma primeira condição é que a EDO seja da forma M(, y) N(, y) dy 0 (9) Comparando (8) com (9) concluímos que uma segunda condição é que se tenha Com isso somos levados a seguinte (, y) M(, y) e (, y) N(, y) y (30) Definição: Dada uma EDO da forma (9) diz-se que ela é do tipo eata se eiste uma função (, y) satisfazendo (30). O seguinte resultado nos dá as condições (necessárias e suficientes) para que uma EDO seja eata. Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 7

18 Teorema: (Condição de Euler) Hipóteses: M(, y), N(, y) contínuas com derivadas parciais M y e N contínuas em uma região simplesmente conea do plano (um retângulo, um disco, etc.). Tese: Eiste uma função : tal que para todo ( y, ). (, y) M(, y) e (, y) N(, y) M(, y) N(, y) y y Prova: (): Supondo que eiste ( y, ) possuindo derivadas parciais de segunda ordem contínuas satisfazendo (30), então M N y y y (): Seja a função h N(, y) My (, y) Tem-se que h N M N M 0 y y Logo h=h(y), isto é h não depende de. Então, definindo a função (, y) M(, y) h( y) dy obtem-se que M(, y) 0 M(, y) e d M(, y) h( y) dy M(, y) h( y) N(, y) y y dy y Corolário: A solução geral de (9) é dada por (, y) C Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 8

19 onde (, y) M(, y) N(, y) M (, y) dy y Eemplo: Obtenha a solução geral da EDO Tem-se que t y 4 0 t y y M ( t, y) t y M( t, y) 3 t y, N( t, y) 4 t y M N, ( t, y) Então eiste (t, y) tal que y 3 y t Nt ( t, y) t y t y 4 3 ty () ty () Integrando () em relação a t, obtem-se que ( t, y) 3 t y dt h( y) t y h( y) (3) Por outro lado, derivando (3) em relação à y e utilizando () obtem-se que Retornando a (3) conclui-se que Portanto a solução geral é dada por t y t y hy hy h C ( ) ( ) 0 (, ) 3 4 t y t y C 3 4 t y C.7. Fator integrante Mesmo quando uma EDO não é eata, algumas vezes é possível torná-la eata através de um multiplicador (, y) que faz com que a EDO multiplicada (, y) M(, y) N(, y) y 0 (3) Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 9

20 seja eata. O caso importante é quando se tem 0. Neste caso, as soluções de (9) e (3) são as mesmas. Agora, pela condição de Euler, (3) é eata se só se ou seja y (, y) M(, y) (, y) N(, y) M N M N y y (3) OBS: A EDP (3) estabelece uma condição necessária e suficiente para que (, y) seja um fator integrante para a EDO (9). Infelizmente não eiste uma regra geral para se obter um fator integrante para uma determinada EDO. As duas situações mais importantes, nas quais se podem obter fatores integrantes simples, ocorrem quando se tem que (, y) é uma função apenas de uma das variáveis. Caso : (, y)=(); Neste caso (3) se torna M N d d My N N y N (33) Na verdade o que nos indica se estamos nesse caso é o quociente do lado direito de (33). Se (M y -N )/N for uma função apenas de então eistirá um multiplicador =(). De fato, neste caso integrando (33) obtemos que ( My N) log( ( )) N ou seja ( ) e ( MyN)/ N Caso : (, y)=(y); Neste caso, (3) se torna N M d d N My M y dy dy M (34) Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 0

21 Analogamente, o que nos indica a pertinência a esse caso é o lado direito de (34), se o quociente (N - M y )/M for uma função apenas de y então eistirá um multiplicador =(y) dado por Eemplo: Resolver Tem-se que Mas () y e ( NMy)/ M dy y y 0 y M(, y) y, N(, y) My N N. M M y N N Logo, d d ( ) e ( ) 0 ( ) Com isso, obtem-se que M Ny y y 0 é eata. Então, eiste (, y) tal que y (, y) ( y ) y ln h( y) y De modo que, dh dh N 0 h C y dy dy Assim, a solução geral é dada por y ln C Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página

22 .8 Método das Isóclinas Dada uma EDO normal de ª ordem y = f(,y) (35) Tem-se que (35) estabelece um campo de direções (inclinações) no plano. Resolver (35) pode ser interpretado como obter todas as curvas (curvas integrais) cuja tangente em cada ponto é dada por f (, y). Definição: O lugar geométrico dos pontos do plano onde cada reta tangente a curva integral preserva uma direção constante é denominado curva isóclina. OBS: Obtém-se as curvas isóclinas fazendo f(, y) k, k. A obtenção das curvas integrais, ou seja, dos gráficos das soluções de (35), pode se tornar impraticável devido ao fato de que muito poucas EDO s normais possuem algum método de resolução! Entretanto, com as curvas isóclinas e uma análise do sinal de y, pode-se obter uma informação qualitativa sobre as curvas integrais. Esta abordagem é o que se chama Método das Isóclinas. É um método geométrico! Eemplo: Determinar o campo de direções criado pela EDO Isóclinas: y y f(, y) c y c y c, c Análise do sinal de y : Análise gráfica: y 0 c 0 y y 0 c 0 y y 0 c 0 y Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página

23 OBS: Dada a EDO normal y f(, y) A isóclina f(,y)=0 fornece as curvas onde podem estar situados os pontos de máimo e mínimo das curvas integrais. O lugar geométrico dos pontos de infleão são obtidos impondo-se que y =0, o que só pode ser feito caso f seja derivável em relação em relação a e y. Neste caso, obtém-se pela regra da cadeia que y f f dy f f(, y) f y y OBS: No caso particular das EDO s autônomas, o método de Leibniz ecluía os possíveis zeros da mudança f(y). Com o método das isóclinas é possível perceber o papel estrutural que esses zeros possuem na representação da dinâmica gerada pela respectiva EDO autônoma. De fato, seja y # um tal zero de f(y), ou seja f(y # )=0. Tem-se que a função constante; y()=y # é uma solução inatingível pelo método de Leibniz! Essas soluções passaram a ser chamadas soluções de equilíbrio e os respectivos zeros passaram a ser chamados pontos de equilíbrio ou pontos críticos. Dada uma EDO autônoma que possua um ponto crítico y #, tem-se que o Possui como solução y()=y #. y f( y), a b PVI : # y( 0) y Eercício: Fazer um estudo qualitativo das soluções da família de EDO s Considerando as seguintes possibilidades; y ay by, a, b. Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 3

24 () ab > 0. () ab < 0..9 Teorema de Eistência e Unicidade para um PVI Dado um PVI para uma EDO normal de ª ordem, eiste um teorema conhecido como método das aproimações sucessivas ou método iterativo de Picard, que nos informa sobre a eistência e unicidade da solução de um PVI mesmo que não sejamos capazes de obtê-la eplicitamente. Teorema de Eistência e Unicidade: (Picard) Dado o Se as seguintes hipóteses são satisfeitas y f(, y) PVI : y( 0) y0 f(, y) é contínua no retângulo R : 0, y y0 (H) (H) f (, y ) é contínua em R y Então definindo M ma{ f(, y)} e =min{, } (, y) R M Tem-se que a sequência de funções :], [ : ( ) n 0 0 obtidas através do seguinte processo iterativo n ( ) T ( ) y f( s, ( s)) ds, y n n 0 n Converge uniformemente para uma função () que é a única solução local do PVI. Eemplo: Seja o y y, PVI : y() 0 Como f(,y) = y satisfaz as hipóteses do TEU em qualquer vizinhança (retângulo) do ponto (0,), então podemos aplicar o método recursivo de Picard para obtermos a seguinte sequência de funções; Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 4

25 ( ) s ( s) ds, n 0 n 0 Tem-se que ( ) T0( ) sds 0 4 s ( ) T( ) s( ) ds s s 3( ) T( ) s( ) ds De modo que, n n( ). 4 n n! Logo, n ( / ) / ( ) lim n( ) e n n! n0 Portanto, a solução do PVI é dada por / y( ) ( ) e, Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 5

26 Paulo Marcelo Dias de Magalhães - UFOP Página 6