Algumas Aplicações de Equações Diferenciais de 1 a Ordem

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1 Algumas Aplicações de Equações Diferenciais de 1 a Ordem Márcio Antônio de Andrade Bortoloti Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas - DCET Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia Equações Diferenciais Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Aplicações de ED s de 1 a Ordem (Junho de 2016) 1 / 12

2 Sumário 1 Decaimento Exponencial 2 Lei de Newton para o Resfriamento 3 O Problema do Tanque de Água com Sal Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Aplicações de ED s de 1 a Ordem (Junho de 2016) 2 / 12

3 Decaimento Exponencial Definição A equação de decaimento exponencial para uma função N : I R, N C 1 (I), com constante de decaimento k > 0 é dada por N = kn. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Aplicações de ED s de 1 a Ordem (Junho de 2016) 3 / 12

4 Decaimento Exponencial Definição A equação de decaimento exponencial para uma função N : I R, N C 1 (I), com constante de decaimento k > 0 é dada por N = kn. Teorema A solução geral para o decaimento exponencial com constante k e condição inicial N(0) = N 0 é N(t) = N 0 e kt. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Aplicações de ED s de 1 a Ordem (Junho de 2016) 3 / 12

5 Decaimento Exponencial Materiais radioativos não são caracterizados pela constante de decaimento, mas sim por sua meia-vida. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Aplicações de ED s de 1 a Ordem (Junho de 2016) 4 / 12

6 Decaimento Exponencial Materiais radioativos não são caracterizados pela constante de decaimento, mas sim por sua meia-vida. Definição A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo τ tal que N(τ) = N 0 2, onde N 0 é a quantidade inicial da substância radioativa. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Aplicações de ED s de 1 a Ordem (Junho de 2016) 4 / 12

7 Decaimento Exponencial Teorema A constante de decaimento k e a meia-vida τ estão relacionadas pela equação kτ = ln(2). Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Aplicações de ED s de 1 a Ordem (Junho de 2016) 5 / 12

8 Decaimento Exponencial Exemplo O Carbono-14 é um isótopo radioativo do Carbono-12, com uma meia-vida de τ = 5730 anos. O Carbono-14 está constantemente sendo criado na atmosfera e é acumulado por organismos vivos. Enquanto o organismo vive, a quantidade de Carbono-14 no organismo se maném constante. O decaimento do Carbono-14 é compensado quando o organismo respira ou se alimenta. Quando o organismo morre, a quantidade de Carbono-14 em seu organismo decai. Problema: Se em certa amostra de um organismo, são encontrados uma quantidade residual de 14% da quantidade original de Carbono-14, determine a data da morte do organismo. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Aplicações de ED s de 1 a Ordem (Junho de 2016) 6 / 12

9 Lei de Newton para o Resfriamento Definição A Lei de Newton para o resfriamento diz que a temperatura θ em um tempo t de um material localizado em um ambiente a temperatura constante θ s safisfaz a equação ( θ) = k( θ), onde θ = θ(t) θ s e k > 0, uma constante que caracteriza as propriedades térmicas do material. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Aplicações de ED s de 1 a Ordem (Junho de 2016) 7 / 12

10 Lei de Newton para o Resfriamento Problema: Um copo com água a uma termperatura de 45 o C é colocado em um refrigerador com temperatura de 5 o C. Se após 2 minutos a água estava com uma temperatura de 25 o C, quando a água atingirá a temperatura de 15 0 C? Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Aplicações de ED s de 1 a Ordem (Junho de 2016) 8 / 12

11 O Problema do Tanque de Água com Sal Considere um tanque com: 1 Q(t) a quantidade de sal (unidade de massa) no tanque no tempo t; 2 V (t) o volume de água no tempo t; 3 A água está escoando para o tanque a uma taxa r i (t) com uma concentração de sal q i (t); 4 A água está deixando o tanque a uma taxa de r o (t) com concentração de sal q o (t); 5 Assuma que a mistura (sal e água) entra no tanque instantaneamente homogênea e se mantém assim no tanque; Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Aplicações de ED s de 1 a Ordem (Junho de 2016) 9 / 12

12 O Problema do Tanque de Água com Sal Observando o fenômeno, podemos notar que V (t) = r i (t) r o (t) Q (t) = r i (t)q i (t) r o (t)q o (t) q o (t) = Q(t) V (t) r i(t) = r o(t) = 0 Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Aplicações de ED s de 1 a Ordem (Junho de 2016) 10 / 12

13 O Problema do Tanque de Água com Sal Teorema A quantidade de sal Q em um tanque satisfaz a equação diferencial Q (t) = a(t)q(t) + b(t) onde r o a(t) =, b(t) = r i (t)q i (t). (r i r o )t + V o Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Aplicações de ED s de 1 a Ordem (Junho de 2016) 11 / 12

14 O Problema do Tanque de Água com Sal Problema: Considere o problema do tanque de água e sal, com taxas de entrada e saída constantes iguais a r e água fresca sendo bombeada para o tanque. Determine o tempo tal que a concentração de sal no tanque seja 1% da concentração inicial. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Aplicações de ED s de 1 a Ordem (Junho de 2016) 12 / 12