MA 37 - Modelagem Matemática
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- Rafael Guimarães Prado
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1 MA 37 - Modelagem Matemática Márcio Antônio de Andrade Bortoloti Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas - DCET Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia - UESB Modelagem Matemática PROFMAT mbortoloti@uesb.edu.br Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
2 Sumário 1 Introdução e Definições Gerais 2 Modelagem de Variações Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
3 MA 37 - Modelagem Matemática - 60h EMENTA Aspectos conceituais de modelagem. Otimização em Modelagem Matemática. Equações diferenciais e de diferenças em Modelagem Matemática. Probabilidade e Estatística em Modelagem Matemática. Teoria dos Grafos em Modelagem Matemática. Modelagem Matemática no ensino. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
4 MA 37 - Modelagem Matemática - 60h METODOLOGIA O curso se baseará em aulas expositivas e atividades extra-sala de aula, propostas aos alunos. AVALIAÇÃO A avaliação consistirá de uma prova escrita e um trabalho. BIBLIOGRAFIA BÁSICA A First Course in Mathematical Modeling, Giordano, F. R.; Fox, W. P.; Horton, S. B.; Weir, M. D. Brooks Cole, Iniciação à Física Matemática: Modelagem de Processos e Métodos de Solução, IMPA, Mathematical Modeling, Meerschaert, M. M. Academic Press, Modelagem e Simulação, Claudio Garcia, EDUSP, Modeling and Applications in Mathematics Education â The 14th ICMI Study. Blum, W.; Galbraith, P. L.; Henn, H.-W.; Niss, M. Springer, Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
5 Modelagem Computacional E como está o nosso conhecimento sobre softwares? Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
6 Propaganda... Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
7 Propaganda... Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
8 Modelagem Matemática Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
9 Introdução e Definições Gerais Os modelos podem ser: Físicos Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
10 Introdução e Definições Gerais Os modelos podem ser: Físicos : protótipos e plantas-piloto. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
11 Introdução e Definições Gerais Os modelos podem ser: Físicos : protótipos e plantas-piloto. Matemáticos Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
12 Introdução e Definições Gerais Os modelos podem ser: Físicos : protótipos e plantas-piloto. Matemáticos : representação abstrata da realidade por equações. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
13 Introdução e Definições Gerais O que é um Modelo Matemático? É uma representação dos aspectos essenciais de um sistema, que apresenta conhecimento desse sistema em uma forma utilizável. (Eykhoff) 1 1 P. Eykhoff, System Identification: Parameter and State Estimation. London, John Wiley & Sons, M. M. Denn, Process Modeling. Harlow, Longman, D. E. Seborg, T. F. Edgar and D. A. Mellichamp. Process Dynamics and Control. 2 ed. New York, John Wiley & Sons, Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
14 Introdução e Definições Gerais O que é um Modelo Matemático? É uma representação dos aspectos essenciais de um sistema, que apresenta conhecimento desse sistema em uma forma utilizável. (Eykhoff) 1 É um sistema de equações, cuja solução, dado um conjunto de dados de entrada é representativa da resposta do processo. (Denn) 2 1 P. Eykhoff, System Identification: Parameter and State Estimation. London, John Wiley & Sons, M. M. Denn, Process Modeling. Harlow, Longman, D. E. Seborg, T. F. Edgar and D. A. Mellichamp. Process Dynamics and Control. 2 ed. New York, John Wiley & Sons, Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
15 Introdução e Definições Gerais O que é um Modelo Matemático? É uma representação dos aspectos essenciais de um sistema, que apresenta conhecimento desse sistema em uma forma utilizável. (Eykhoff) 1 É um sistema de equações, cuja solução, dado um conjunto de dados de entrada é representativa da resposta do processo. (Denn) 2 Um modelo nada mais é do que uma abstração matemática de um processo real.(seborg) 3 1 P. Eykhoff, System Identification: Parameter and State Estimation. London, John Wiley & Sons, M. M. Denn, Process Modeling. Harlow, Longman, D. E. Seborg, T. F. Edgar and D. A. Mellichamp. Process Dynamics and Control. 2 ed. New York, John Wiley & Sons, Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
16 Introdução e Definições Gerais A equação ou o sistema de equações que compõe o modelo é uma aproximação do processo real. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
17 Introdução e Definições Gerais A equação ou o sistema de equações que compõe o modelo é uma aproximação do processo real. Dessa forma o modelo não pode incorporar todas as características, tanto macroscópicas quanto microscópicas, do processo real. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
18 Introdução e Definições Gerais A equação ou o sistema de equações que compõe o modelo é uma aproximação do processo real. Dessa forma o modelo não pode incorporar todas as características, tanto macroscópicas quanto microscópicas, do processo real. Normalmente, busca-se um compromisso entre o custo de se ter o modelo, isto é, o tempo e o esforço requeridos para obtê-lo e verificá-lo, bem como os benefícios esperados de sua aplicação. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
19 Introdução e Definições Gerais O processo pode ser: Físico; Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
20 Introdução e Definições Gerais O processo pode ser: Físico; Químico; Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
21 Introdução e Definições Gerais O processo pode ser: Físico; Químico; Biológico; Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
22 Introdução e Definições Gerais O processo pode ser: Físico; Químico; Biológico; Social; Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
23 Introdução e Definições Gerais O processo pode ser: Físico; Químico; Biológico; Social; Econômico; Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
24 Introdução e Definições Gerais O processo pode ser: Físico; Químico; Biológico; Social; Econômico; etc. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
25 Introdução e Definições Gerais Modelos Matemáticos - Classificação Estático(Estacionário) ou Dinâmico Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
26 Introdução e Definições Gerais Modelos Matemáticos - Classificação Estático(Estacionário) ou Dinâmico Linear ou Não Linear Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
27 Introdução e Definições Gerais Modelos Matemáticos - Classificação Estático(Estacionário) ou Dinâmico Linear ou Não Linear Invariantes no Tempo ou Variantes no Tempo Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
28 Introdução e Definições Gerais Modelos Matemáticos - Classificação Estático(Estacionário) ou Dinâmico Linear ou Não Linear Invariantes no Tempo ou Variantes no Tempo Em tempo contínuo ou em Tempo Discreto Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
29 Introdução e Definições Gerais Modelos Matemáticos - Classificação Estático(Estacionário) ou Dinâmico Linear ou Não Linear Invariantes no Tempo ou Variantes no Tempo Em tempo contínuo ou em Tempo Discreto Determinísticos ou Estocásticos Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
30 Introdução e Definições Gerais Estático (Estacionário) Dinâmico Equação de Navier-Stokes Dados f C(Ω) contínua e ρ, µ R + constantes, determinar {u, p} C 2 (Ω) C(Ω) tal que ρ( u)u µ u + p = f u = 0 u = u Equação de Navier-Stokes Dados f C(Ω) contínua e ρ, µ R + constantes, determinar {u, p} C 2 (Ω) C(Ω) tal que u + ρ( u)u µ u + p t = f u = 0 u = u Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
31 Introdução e Definições Gerais Linear Não-Linear Modelo de Malthus dx dt = a(t)x Modelo de Verhulst dx (1 dt = a(t) x ) x k Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
32 Introdução e Definições Gerais Invariantes no Tempo Variantes no Tempo Transporte de Calor Dados f C(Ω) e k constante, determine θ C 2 (Ω) [0, T ] tal que k θ(x) = f(x) θ(x) = θ Transporte de Calor Dados f C(Ω) e k C[0, T ], determine θ C 2 (Ω) [0, T ] tal que θ(x, t) t (k(t) (θ(x, t))) = f(x, t) θ(x, t) = θ(t) Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
33 Introdução e Definições Gerais Tempo Contínuo Tempo Discreto Tempo Contínuo { ẋ = A(t)x + B(t)u ẏ = C(t)x + D(k)u Tempo Discreto Para k N, { x[k + 1] = A[k]x[k] + B[k]u[k] y[k] = C[k]x[k] + D[k]u[k] Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
34 Introdução e Definições Gerais Determinístico Estocástico Estocástico Determinístico u θ + µ θ = f onde θ C 2 (Ω), µ R e u R n. Equação com coeficientes estocásticos { dy = a( )y(t, ) dt y(0, ) = y 0 > 0 onde a( ) é uma variável aleatória com distribuição normal e média nula. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
35 Introdução e Definições Gerais Modelos Matemáticos podem ser obtidos das seguintes formas: Teórica: Aplica-se princípios básicos da Mecânica, do Eletromagnetismo, da Biologia, entre outros. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
36 Introdução e Definições Gerais Modelos Matemáticos podem ser obtidos das seguintes formas: Teórica: Aplica-se princípios básicos da Mecânica, do Eletromagnetismo, da Biologia, entre outros. Exemplo: Leis de Newton, Lei de Fourrier, etc. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
37 Introdução e Definições Gerais Modelos Matemáticos podem ser obtidos das seguintes formas: Teórica: Aplica-se princípios básicos da Mecânica, do Eletromagnetismo, da Biologia, entre outros. Exemplo: Leis de Newton, Lei de Fourrier, etc. Empírica: Usa observação direta dos dados operacionais do processo obtidos através de experimentação. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
38 Introdução e Definições Gerais Modelos Matemáticos podem ser obtidos das seguintes formas: Teórica: Aplica-se princípios básicos da Mecânica, do Eletromagnetismo, da Biologia, entre outros. Exemplo: Leis de Newton, Lei de Fourrier, etc. Empírica: Usa observação direta dos dados operacionais do processo obtidos através de experimentação. 1 Exemplo: η = η 0 onde η (1 H) = 1.22mP as. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
39 Introdução e Definições Gerais Modelos Matemáticos podem ser obtidos das seguintes formas: Teórica: Aplica-se princípios básicos da Mecânica, do Eletromagnetismo, da Biologia, entre outros. Exemplo: Leis de Newton, Lei de Fourrier, etc. Empírica: Usa observação direta dos dados operacionais do processo obtidos através de experimentação. 1 Exemplo: η = η 0 onde η (1 H) = 1.22mP as. Por analogia: Usa equações que descrevem um sistema análogo. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
40 Introdução e Definições Gerais Modelos Matemáticos podem ser obtidos das seguintes formas: Teórica: Aplica-se princípios básicos da Mecânica, do Eletromagnetismo, da Biologia, entre outros. Exemplo: Leis de Newton, Lei de Fourrier, etc. Empírica: Usa observação direta dos dados operacionais do processo obtidos através de experimentação. 1 Exemplo: η = η 0 onde η (1 H) = 1.22mP as. Por analogia: Usa equações que descrevem um sistema análogo. Modelo de Maxwell: Análogo mecânico para fluidos (associado a molas e amortecedores). Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
41 Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
42 Princípio Equação de Conservação Valor Futuro = Valor Atual + Variação Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
43 Princípio Equação de Conservação Definição Valor Futuro = Valor Atual + Variação Para uma sequência de números {a 0, a 1,, a n, } a n-ésima primeira diferença é a n = a n+1 a n. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
44 Uma Caderneta de Poupança Considere uma caderneta de poupança inicialmente com o valor $ que acumula juros de 1% ao mês. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
45 Uma Caderneta de Poupança Considere uma caderneta de poupança inicialmente com o valor $ que acumula juros de 1% ao mês. A seguinte sequência de números representa os valores da caderneta por mês A = (1000, 1010, , , ) Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
46 Uma Caderneta de Poupança Considere uma caderneta de poupança inicialmente com o valor $ que acumula juros de 1% ao mês. A seguinte sequência de números representa os valores da caderneta por mês Assim as primeiras diferenças são A = (1000, 1010, , , ) a 0 = a 1 a 0 = = 10 a 1 = a 2 a 1 = = a 2 = a 3 a 2 = = Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
47 Uma Caderneta de Poupança Considere uma caderneta de poupança inicialmente com o valor $ que acumula juros de 1% ao mês. A seguinte sequência de números representa os valores da caderneta por mês Assim as primeiras diferenças são A = (1000, 1010, , , ) a 0 = a 1 a 0 = = 10 a 1 = a 2 a 1 = = a 2 = a 3 a 2 = = Assim a n = a n+1 a n = 0.01a n Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
48 Uma Caderneta de Poupança Considere uma caderneta de poupança inicialmente com o valor $ que acumula juros de 1% ao mês. A seguinte sequência de números representa os valores da caderneta por mês Assim as primeiras diferenças são A = (1000, 1010, , , ) a 0 = a 1 a 0 = = 10 a 1 = a 2 a 1 = = a 2 = a 3 a 2 = = Assim a n = a n+1 a n = 0.01a n a n+1 = a n a n Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
49 Uma Caderneta de Poupança Assim, para um depósito inicial de $ teremos { an+1 = 1.01a n, para n = 0, 1, 2, a 0 = 1000 Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
50 Uma Caderneta de Poupança Assim, para um depósito inicial de $ teremos { an+1 = 1.01a n, para n = 0, 1, 2, a 0 = 1000 Se fizermos uma retirada de $50 todo mês, então { an+1 = 1.01a n 50, para n = 0, 1, 2, a 0 = 1000 Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
51 Crescimento de uma Cultura de Levedura Os dados abaixo, foram coletados de um experimento que mediu o crescimento de uma população de uma cultura de levedura. O gráfico representa a relação em que a variação da população é proporcional ao tamanho atual dela. Isto é, p n = p n+1 p n = kp n. Analisando o gráfico com os valores medidos, podemos estimar k = 0.5. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
52 Revendo o Crescimento de uma Cultura de Levedura Considere o gráfico abaixo, Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
53 Revendo o Crescimento de uma Cultura de Levedura Do gráfico, a população parece estar se aproximando de um limite. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
54 Revendo o Crescimento de uma Cultura de Levedura Do gráfico, a população parece estar se aproximando de um limite. Podemos estimar que esse limite é 665. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
55 Revendo o Crescimento de uma Cultura de Levedura Do gráfico, a população parece estar se aproximando de um limite. Podemos estimar que esse limite é 665. Podemos notar que essa variação torna-se menor a medida que a população se aproxima de 665. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
56 Revendo o Crescimento de uma Cultura de Levedura Do gráfico, a população parece estar se aproximando de um limite. Podemos estimar que esse limite é 665. Podemos notar que essa variação torna-se menor a medida que a população se aproxima de 665. Assim, podemos propor o seguinte modelo p n = p n+1 p n = k(665 p n )p n. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
57 Revendo o Crescimento de uma Cultura de Levedura Do gráfico, a população parece estar se aproximando de um limite. Podemos estimar que esse limite é 665. Podemos notar que essa variação torna-se menor a medida que a população se aproxima de 665. Assim, podemos propor o seguinte modelo Analisando o gráfico ao lado, podemos determianr uma reta que passa pela origem e que interpola os dados. Fazendo isso, via uma técnica de interpolação podemos ter uam reta com declividade k = Obtendo p n+1 p n = (665 p n )p n. p n = p n+1 p n = k(665 p n )p n. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
58 Revendo o Crescimento de uma Cultura de Levedura Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
59 Definição O problema { an+1 = Ψ(n) para n N é chamado sistema dinâmico. a 0 dado. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
60 Definição O problema { an+1 = Ψ(n) para n N é chamado sistema dinâmico. a 0 dado. Teorema A solução do sistema dinâmico linear a n+1 = ra n para qualquer r 0 constante é dada por onde a 0 é o valor inicial dado. a n = r n a 0 Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
61 Comportamento de a n+1 = ra n para r constante Se r = 0 então todos os valores da sequência são 0 (exceto a 0 ). Se r = 1 então a n+1 = a n a sequência torna-se constante. Se r > 1 então a sequência a n = a 0 r n cresce sem limite. Se 0 < r < 1 então a 0 r n 0. Se 1 < r < 0 então a 0 r n 0 mas oscilando. Se r < 1 então a sequência cresce absolutamente oscilando entre valores positivos e negativos. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
62 Comportamento de a n+1 = ra n para r constante Se r = 0 então todos os valores da sequência são 0 (exceto a 0 ). Se r = 1 então a n+1 = a n a sequência torna-se constante. Se r > 1 então a sequência a n = a 0 r n cresce sem limite. Se 0 < r < 1 então a 0 r n 0. Se 1 < r < 0 então a 0 r n 0 mas oscilando. Se r < 1 então a sequência cresce absolutamente oscilando entre valores positivos e negativos. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
63 Comportamento de a n+1 = ra n para r constante Se r = 0 então todos os valores da sequência são 0 (exceto a 0 ). Se r = 1 então a n+1 = a n a sequência torna-se constante. Se r > 1 então a sequência a n = a 0 r n cresce sem limite. Se 0 < r < 1 então a 0 r n 0. Se 1 < r < 0 então a 0 r n 0 mas oscilando. Se r < 1 então a sequência cresce absolutamente oscilando entre valores positivos e negativos. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
64 Comportamento de a n+1 = ra n para r constante Se r = 0 então todos os valores da sequência são 0 (exceto a 0 ). Se r = 1 então a n+1 = a n a sequência torna-se constante. Se r > 1 então a sequência a n = a 0 r n cresce sem limite. Se 0 < r < 1 então a 0 r n 0. Se 1 < r < 0 então a 0 r n 0 mas oscilando. Se r < 1 então a sequência cresce absolutamente oscilando entre valores positivos e negativos. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
65 Comportamento de a n+1 = ra n para r constante Se r = 0 então todos os valores da sequência são 0 (exceto a 0 ). Se r = 1 então a n+1 = a n a sequência torna-se constante. Se r > 1 então a sequência a n = a 0 r n cresce sem limite. Se 0 < r < 1 então a 0 r n 0. Se 1 < r < 0 então a 0 r n 0 mas oscilando. Se r < 1 então a sequência cresce absolutamente oscilando entre valores positivos e negativos. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
66 Comportamento de a n+1 = ra n para r constante Se r = 0 então todos os valores da sequência são 0 (exceto a 0 ). Se r = 1 então a n+1 = a n a sequência torna-se constante. Se r > 1 então a sequência a n = a 0 r n cresce sem limite. Se 0 < r < 1 então a 0 r n 0. Se 1 < r < 0 então a 0 r n 0 mas oscilando. Se r < 1 então a sequência cresce absolutamente oscilando entre valores positivos e negativos. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
67 Definição Um número a é chamado valor de equiĺıbrio ou ponto fixo de um sistema dinâmico a n+1 = f(a n ) se a n = a para todo n = 1, 2, 3, quando a 0 = a. Ou seja, a n = a é uma solução constante do sistema dinâmico. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
68 Prescrição de Digoxina A digoxina é usada no tratamento de determinadas doenças do coração. O objetivo do problema é considerar o decaimento da concentração de digoxina na corrente sanguinea para prescrever uma dosagem que mantém a concentração dentro de uma faixa de calores aceitáveis. Suponha que preescrevemos uma dose diária de 0.1 mg e sabemos que metade da droga permanece no sistema no fim de cada período de dosagem. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
69 Prescrição de Digoxina A digoxina é usada no tratamento de determinadas doenças do coração. O objetivo do problema é considerar o decaimento da concentração de digoxina na corrente sanguinea para prescrever uma dosagem que mantém a concentração dentro de uma faixa de calores aceitáveis. Suponha que preescrevemos uma dose diária de 0.1 mg e sabemos que metade da droga permanece no sistema no fim de cada período de dosagem. Isto resulta no sistema dinâmico a n+1 = 0.5a n Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
70 Prescrição de Digoxina A digoxina é usada no tratamento de determinadas doenças do coração. O objetivo do problema é considerar o decaimento da concentração de digoxina na corrente sanguinea para prescrever uma dosagem que mantém a concentração dentro de uma faixa de calores aceitáveis. Suponha que preescrevemos uma dose diária de 0.1 mg e sabemos que metade da droga permanece no sistema no fim de cada período de dosagem. Isto resulta no sistema dinâmico a n+1 = 0.5a n Considerando os valores iniciais A : a 0 = 0.1, B : a 0 = 0.2 e C : a 0 = 0.3 temos Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
71 Prescrição de Digoxina A digoxina é usada no tratamento de determinadas doenças do coração. O objetivo do problema é considerar o decaimento da concentração de digoxina na corrente sanguinea para prescrever uma dosagem que mantém a concentração dentro de uma faixa de calores aceitáveis. Suponha que preescrevemos uma dose diária de 0.1 mg e sabemos que metade da droga permanece no sistema no fim de cada período de dosagem. Isto resulta no sistema dinâmico a n+1 = 0.5a n Considerando os valores iniciais A : a 0 = 0.1, B : a 0 = 0.2 e C : a 0 = 0.3 temos Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
72 Fundo de Investimento Considere uma aplicação financeira que rende juros de 1% ao mês e desejamos fazer retiradas mensais de $ Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
73 Fundo de Investimento Considere uma aplicação financeira que rende juros de 1% ao mês e desejamos fazer retiradas mensais de $ Isto nos dá a n+1 = 1.01a n Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
74 Fundo de Investimento Considere uma aplicação financeira que rende juros de 1% ao mês e desejamos fazer retiradas mensais de $ Isto nos dá a n+1 = 1.01a n Agora considere os três casos de investimento inicial :A : a 0 = 90000, B : a 0 = e C : a 0 = Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
75 Fundo de Investimento Considere uma aplicação financeira que rende juros de 1% ao mês e desejamos fazer retiradas mensais de $ Isto nos dá a n+1 = 1.01a n Agora considere os três casos de investimento inicial :A : a 0 = 90000, B : a 0 = e C : a 0 = Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
76 A Conta Corrente Não há rendimentos e desejamos fazer retiradas de $300. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
77 A Conta Corrente Não há rendimentos e desejamos fazer retiradas de $300. Isto nos dá a n+1 = a n 300. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
78 A Conta Corrente Não há rendimentos e desejamos fazer retiradas de $300. Isto nos dá a n+1 = a n 300. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
79 Valores de Equiĺıbrio Teorema O valor de equiĺıbrio para um sistema dinâmico é a n+1 = ra n + b, r 1 a = b 1 r. Se r = 1 e b = 0 então todo número é valor de equiĺıbrio. Se r = 1 e b 0 não existem valores de equiĺıbrio. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
80 Valores de Equiĺıbrio Para o sistema dinâmico tem-se a seguinte classificação a n+1 = ra n + b, b 0 Valor de r r < 1 r > 1 r = 1 Comportamento observado Equiĺıbrio Estável Equiĺıbrio Instável Não há equiĺıbrio Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
81 Valores de Equiĺıbrio Teorema A solução de um sistema dinâmico a n+1 = ra n + b, r 1 é a n = cr n + b 1 r para alguma constante c que depende do valor inicial. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
82 Sistemas Não-lineares Voltando ao problema da Levedura O sistema dinâmico associado é p n+1 = p n (665 p n )p n Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
83 Sistemas Não-lineares Voltando ao problema da Levedura O sistema dinâmico associado é Após algumas manipulações temos p n+1 = p n (665 p n )p n a n+1 = r(1 a n )a n onde a n = p n e r = O comportamento da sequência a n é muito sensível ao valor do parâmetro r. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
84 O Problema da Levedura (a) r = (b) r = (c) r = (d) r = (e) r = (f) r = Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
85 Sistemas de Equações a Diferenças Exemplo Considere uma compania que aluga carros. Ela opera nas cidades de Orlando e Tampar. Nota-se, pelos registros que 60% dos carros alugados em Orlando são devolvidos em Orlando e 40% são devolvidos no escritório de Tampa. Dos carros alugados em Tampa, 70% são devolvidos em Tampa e 30% em Orlando. A compania deseja saber qual a melhor estratégia de distribuição de carros entre os dois escritórios considerando alugueis e devoluções nos mesmos escritórios e em escritórios diferentes. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
86 Sistemas de Equações a Diferenças Exemplo Considere uma compania que aluga carros. Ela opera nas cidades de Orlando e Tampar. Nota-se, pelos registros que 60% dos carros alugados em Orlando são devolvidos em Orlando e 40% são devolvidos no escritório de Tampa. Dos carros alugados em Tampa, 70% são devolvidos em Tampa e 30% em Orlando. A compania deseja saber qual a melhor estratégia de distribuição de carros entre os dois escritórios considerando alugueis e devoluções nos mesmos escritórios e em escritórios diferentes. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
87 Sistemas de Equações a Diferenças Considerando o esquema Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
88 Sistemas de Equações a Diferenças Considerando o esquema Temos O n = Número de carros em Orlando no dia n. T n = Número de carros em Tampa no dia n. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
89 Sistemas de Equações a Diferenças Considerando o esquema Temos O n = Número de carros em Orlando no dia n. T n = Número de carros em Tampa no dia n. Assim, O n+1 = 0.6O n + 0.3T n T n+1 = 0.4O n + 0.7T n Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
90 Sistemas de Equações a Diferenças Considerando o esquema Temos O n = Número de carros em Orlando no dia n. T n = Número de carros em Tampa no dia n. Assim, Valores de Equiĺıbrio O n+1 = 0.6O n + 0.3T n T n+1 = 0.4O n + 0.7T n O = 0.6O + 0.3T T = 0.4O + 0.7T Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
91 Sistemas de Equações a Diferenças Considerando o esquema Temos O n = Número de carros em Orlando no dia n. T n = Número de carros em Tampa no dia n. Assim, O n+1 = 0.6O n + 0.3T n T n+1 = 0.4O n + 0.7T n Valores de Equiĺıbrio Segue que O = 0.6O + 0.3T O = 3 T = 0.4O + 0.7T 4 T. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
92 Sistemas de Equações a Diferenças Vamos analisar os seguintes casos: Orlando Tampa Caso Caso Caso Caso Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
93 A Locadora de Veículos (g) Caso 1 (h) Caso 2 (i) Caso 3 (j) Caso 4 Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
94 A Batalha de Trafalgar Na batalha de Trafalgar, em 1805, uma força naval de franceses sob o comando de Napoleão lutou contra uma força naval britânica sob o comando do Almirante Nelson. Inicialmente, a for a francesa tinha 33 navios e a britânica tinha 27. Durante um encontro (combate) cada lado sofria uma perda de 10% do número de navios da força oposta. Assim B 0 = 27, F 0 = 33 B n+1 = B n 0.1F n F n+1 = F n 0.1B n onde B n quantidade de navios britânicos e F n a de franceses. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
95 A Batalha de Trafalgar (k) Tabela (l) Britanicos (m) Franceses Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
96 A Batalha de Trafalgar Estratégia Dividir-para-conquistar de Lord Nelson Suponha, agora, que a frota de Napoleão esteja configurada como na figura abaixo: Estratégia britânica: 1 Atacar a força A com 13 navios (preservando 14); 2 Atacar a força B com os 14, preservados anteriormente, mais aqueles que sobreviveram à batalha anterior. 3 Atacar a força C com o restante da frota. Vamos assumir que cada lado perca 5% do número de navios da força oposta nas três batalhas. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
97 A Batalha de Trafalgar Estratégia Dividir-para-conquistar de Lord Nelson Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
98 A Batalha de Trafalgar Estratégia Dividir-para-conquistar de Lord Nelson Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
99 A Batalha de Trafalgar Estratégia Dividir-para-conquistar de Lord Nelson Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
100 Exercício - Dinâmica da População do Escargot Vamos usar, na dinâmica do crescimento populacional de escargots, 3 estágios distintos: ovos, jovens e adultos, considerando que não há mortalidade em nenhum estágio. Todo escargot adulto desova e o faz a cada 4 meses. Seja c a quantidade de ovos viáveis em uma desova. Um escargot jovem torna-se adulto em 8 meses. Modele a dinâmica da população do escargot. Resolva o modelo. E se considerarmos que a taxa de mortalidade dos adultos seja 20% em cada estágio, como se reflete essa informação no modelo obtido anteriormente? Resolva o modelo. Márcio Bortoloti (DCET/UESB) Modelagem Matemática (PROFMAT) 17 de Agosto de / 48
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