CÁLCULO I. Calcular integrais envolvendo funções trigonométricas; Apresentar a substituição trigonométrica. Iniciaremos com o seguinte exemplo:

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "CÁLCULO I. Calcular integrais envolvendo funções trigonométricas; Apresentar a substituição trigonométrica. Iniciaremos com o seguinte exemplo:"

Transcrição

1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho Aula n o 8: Integrais Trigonométricas. Substituição Trigonométrica. Objetivos da Aula Calcular integrais envolvendo funções trigonométricas; Apresentar a substituição trigonométrica. 1 Integrais Trigonométricas Iniciaremos com o seguinte exemplo: Exemplo 1. Calcule a integral indenida sen x dx. não podemos fazer a substituição u sen x, pois teríamos de obter que du cos x dx, isto é, precisaríamos ter uma função extra cos x. Com isso, uma forma de contornar esse problema é utilizar as relações trigonométricas do tipo sen x + cos x 1, porque assim podemos isolar o termo sen x: sen x 1 cos x Dessa forma, podemos escrever a integral do nosso exemplo como sen x dx sen xsen x dx sen x(1 cos x) dx sen x dx sen x cos x dx cos x sen x cos x dx Fazendo a substituição u cos x, temos que du sen x dx. sen x dx cosx + u du cos x + u cos x cos x Dessa forma, podemos estabelecer algumas regras para calcular as primitivas de potências de seno e cosseno. Seja n um número natural. Então cos n x dx { Se n for ímpar faça u sen x e cos x 1 sen x Se n for par faça cos x cos(x) sen n x dx { Se n for ímpar faça u cos x e sen x 1 cos x Se n for par faça sen x 1 1 cos(x) Vejamos alguns exemplos: 1

2 Cálculo I Aula n o 8 Exemplo. Calcule cos 5 x dx. cos 5 x dx cos x cos x dx (cos x) cos dx (1 sen x ) cos x dx (1 sen x + sen x ) cos x dx Fazendo u sen x, temos que du cos x dx. Sendo assim, cos 5 x dx sen x u dx + Exemplo. Calcule sen x dx. (cos x sen x cos x + sen x cos x ) dx cos x dx sen x cos x dx + sen x cosx dx sen x sen x cos x dx + sen x cosx dx u du senx u + u5 5 sen x sen x + sen5 x 5 ( 1 (sen x) dx 1 ) cos(x) dx ( 1 1 cos(x) + 1 ) cos (x) dx 1 (1 cos(x) + cos (x)), dx Como cos (x) cos(x), então sen x dx x Exemplo. Calcule sen (x) cos x dx. + 1 ( ) cos(x) dx x 8 sen (x) + sen (x) ( 1 cos x dx (cos x) dx + 1 ) cos(x) dx ( cos(x) + 1 ) cos (x) dx x sen (x) cos (x) dx x sen (x) ( ) cos(x) dx x sen (x) sen (x) Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho

3 Cálculo I Aula n o 8 Em busca de uma generalização para a integral das potências de seno e cosseno temos as seguintes fórmulas de recorrência que podem ser provadas utilizando integral por partes. Sendo n, temos que sen n x dx 1 n senn 1 x cos x + n 1 sen n x dx n cos n x dx 1 n cosn 1 x senx + n 1 cos n x dx n Exemplo 5. Calcule cos 5 x dx. Usando a fórmula de recorrência, temos que cos 5 x dx cos x sen x Usando mais uma vez, temos que cos x dx cos x sen x + cos 5 x dx cos x sen x 5 cos x dx cos x dx cos x sen x + cos x sen x sen x 15 + sen x Agora, vamos determinar regras para calcular a integral de produtos de potências de seno e cosseno. Sejam m e n números naturais e considere a seguinte integral sen n x cos m x dx (i) Se n for ímpar, faça u cos x; (ii) Se m for ímpar, faça u sen x; (iii) Se n e m forem pares não nulos, faça sen x 1 cos x ou cos x 1 sen x. Ou então, faça cos x cos(x) e sen x 1 1 cos(x). Vejamos os seguintes exemplos: Exemplo 6. Determine sen (x) cos (x) dx. Faremos a substituição v x, com dv dx. sen (x) cos (x) dx 1 sen v cos v dv Como ambos os expoentes são ímpares, podemos escolher fazer u cos v ou u sen v. u sen v e, assim, du cos v dv. sen v cos v dv sen v cos v cos v dv sen v(1 sen v) cos v dv sen v cos v dv sen 5 v cos v dv u du u 5 du Escolhemos u u6 6 sen v sen (x) sen6 v 6 sen6 (x) 6 Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho

4 Cálculo I Aula n o 8 Exemplo 7. Calcule sen (x) cos (x) dx sen (x) 1 sen x cos x dx. sen6 (x) 18 [ 1 sen x cos x dx 1 ] [ 1 cos(x) + 1 ] cos(x) dx [ 1 1 ] cos (x) dx 1 (1 cos (x)) dx 1 sen (x) dx 1 ( 1 1 ) cos(x) dx x 8 sen(x) Existem outras formas de resolver essa questão? Verique!!! Exemplo 8. Determine sen 5 x cos x dx. Observe que sen 5 x cos x dx (sen x) sen x cos x dx (1 cos x) cos xsen x dx Fazendo a substituição u cos x, temos que du sen x dx. sen 5 x cos x dx (1 u ) u du (1 u + u )u du ( u + u u 6 ) du u + u5 5 u7 7 cos x + cos5 x 5 cos7 x 7 Em alguns casos, podemos calcular integrais de produto de senos e cossenos da forma sen(mx) cos(nx) dx sen(mx)sen(nx) dx cos(mx) cos(nx) dx Para isso, utilize as identidades (i) sen(mx) cos(nx) 1 [sen(m n)x + sen(m + n)x] (ii) sen(mx)sen(nx) 1 [cos(m n)x cos(m + n)x] (iii) cos(mx) cos(nx) 1 [cos(m n)x + cos(m + n)x] Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho

5 Cálculo I Aula n o 8 Exemplo 9. Calcule sen (x) cos(5x) dx. Observe que sen(x) cos(5x) 1 [sen( 5)x + sen( + 5)x] 1 [sen( x) + sen(9x)] 1 (sen(9x) sen(x)) sen (x) cos(5x) dx 1 (sen(9x) sen(x)) dx 1 sen 9x dx 1 sen x dx cos x cos(9x) 18 Exemplo 1. Calcule sen (x)sen (6x) dx. Como sen x cos 6x 1 [cos( 6) x cos( + 6) x] 1 [cos( x) cos(9x)] 1 (cos(x) cos(9x)) Então, Exemplo 11. Calcule sen (x)sen (6x) dx 1 (cos(x) cos(9x)) dx sen x sen 9x 6 18 cos(π x) cos(π x) dx. cos(π x) cos(π x) 1 (cos(π π)x + cos(π + π)x) 1 (cos(π x) + cos(5π x)) cos(π x) cos(π x) dx 1 (cos(π x) + cos(5π x)) dx 1 sen π x ( π sen π x 6π + sen 5π x + ) 5π sen 5π x 1π Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 5

6 Cálculo I Aula n o 8 Agora, vamos vericar técnicas para calcular as integrais de potências de secante e tangente. Considere as integrais da forma: Então, sec m x tg n x dx (i) Se m é par, então mantenha um fator sec x e use a relação sec x 1 + tg x para expressar os fatores restantes. Em seguida, faça u tg x. (ii) Se n é ímpar, mantenha um fator sec x tg x e utilize a relação tg x sec x 1 para expressar os outros fatores. Em seguida faça a substituição u sec x. (iii) Os outros casos não possuem regras tão simples e talvez seja necessário utilizar as integrais indenidas de tangente e secante. Vejamos alguns exemplos Exemplo 1. Calcule 5 tg x sec x dx. Fazendo u tg x, temos que du sec x dx, temos que tg 5 x sec x dx u 5 du u6 6 tg 6 6 x Exemplo 1. Calcule sec 5 x tg x dx. sec 5 x tg x dx sec x sec x tg x dx fazendo u sec x, temos que du sec x tg x dx, temos que sec 5 x tg x dx u du u5 5 sec5 x 5 Exemplo 1. Calcule tg x dx. tg x tg xtg x (sec x 1)tg x sec xtg x tg x tg x dx (sec xtg x tg x) dx sec xtg x dx + ln cos x Fazendo u tg x, temos que du sec x dx. Então tg x dx u du ln cos x u tg x ln cos x + ln cos x Exemplo 15. Determine sec x dx. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 6

7 Cálculo I Aula n o 8 Observe que sec x (sec x) sec x (1 + tg x) sec x sec x + tg x sec x sec x dx sec x dx + tg x sec x dx tg x + tg x sec x dx Fazendo a mudança u tg x, temos que du sec x dx. sec x dx tg x + u du tg x + u tg x tg x + Para calcular as integrais de potências de tangente e secante, utilizamos as seguintes fórmulas de recorrência para n : sec n x dx secn x tg x + n n 1 n 1 tg n x dx tgn 1 x n 1 tg n x dx sec n x dx Vejamos alguns exemplos: Exemplo 16. Calcule tg x dx. Utilizando a fórmula de recorrência, temos que tg x dx tg x tg x dx tg x + ln cos x Exemplo 17. Calcule sec x dx. Utilizando a fórmula de recorrência, temos que sec x dx sec x tg x + 1 sec x dx sec x tg x + 1 ln sec x + tg x Exemplo 18. Calcule tg x sec x dx. tg x sec x (sec x 1) sec x sec x sec x tg x sec x dx sec x dx sec x dx sec x tg x 1 ln sec x + tg x Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 7

8 Cálculo I Aula n o 8 Substituição Trigonométrica Ao resolver certas integrais f(x) dx não conseguiremos fazer uma substituição comum, como zemos em aulas passadas. Sendo assim, se faz necessário escrever a variável x como uma função inversível e derivável ϕ em função de uma variável u, com inversa derivável. fazendo a mudança x ϕ(u), então du ϕ (u) du e assim: f(x) dx f(ϕ(u))ϕ (u) du Após calcular a integral indenida no o membro, deve-se voltar à variável x, através da inversa de ϕ. Essa técnica é chamada também de substituição inversa. Nesta seção, estamos interessados nos casos em que a função ϕ é trigonométrica, chamando essa técnica de substituição trigonométrica. As principais substituições trigonométricas são as exibidas nos seguintes exemplos. Exemplo 19. Calcule 1 x dx. assim, obtemos que Como 1 sen u cos u, então podemos fazer a substituição trigonométrica x sen u e x sen u ( π < u < π ), dx cos u du Então, 1 1 cos x dx sen x cos u du u cos u du Como cos u cos u cos u pois u ( π, π ). Desse modo, 1 x dx cos u du ( ) cos(u) du 1 u + 1 sen(u) 1 u + 1 sen u cos u Agora, devemos retornar à variável x, logo, vamos utilizar o fato de que se x sen u então u arcsen x e também que sen u sen (arcsen x) x cos u 1 sen u 1 x Portanto, 1 x dx 1 arcsen x + 1 x 1 x 1 < x < 1 Exemplo. Calcule 1 + x dx Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 8

9 a x, a > x a sen u π u π a + x, a > x a tg u π < u < π x a, a > x a sec u u < π ou π u < π Cálculo I Aula n o 8 Fazendo x tg u, temos que du sec u du, com π < x < π. Então, x dx + tg u sec u du Agora, se x tg u então u arctg u, e também, sec u sec u du sec u du sec u tg u + 1 ln sec u + tg u tg u tg(arctg x) x sec u sec(arctg x) 1 + tg (arctg x) 1 + x Então, 1 + x dx 1 x 1 + x + 1 ln x x Exemplo 1. Calcule x 1 dx. Fazendo u sec u, onde < u < π ou π < u < π Dessa forma x sec 1 dx u 1 sec u tg u du. temos que du sec u tg u du. Como x sec u, então u arcsec x, logo, tg utg u sec u du tg u sec u du sec u tg u 1 ln sec u + tg u sec u sec(arcsec x) x tg u tg(arcsec x) sec (arcsec x) 1 x 1 x 1 dx 1 x x 1 1 ln x + x 1 Generalizando, podemos adotar: Expressão Substituição Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 9

10 Cálculo I Aula n o 8 Vejamos mais alguns exemplos: Exemplo. Calcule a área do círculo de raio r e centro na origem. Pela simetria do círculo podemos armar que Área r r x dx r r x dx r ( ( x ) ) r ( x ) r 1 dx r 1 dx r r Agora, fazendo a mudança E assim, x r sen u x r sen u dx r cos u du, x r u π, x u r r x dx r π 1 sen ur cos u du r π r π cos u du ( ) cos(u) du r [ 1 u + 1 sen(u) ] π πr Portanto, r Área r x dx πr πr Exemplo. Encontre x (x + 9) dx. Inicialmente faremos a mudança v x e obteremos que dv dx e também, x v x v podemos reescrever a integral como x (x + 9) dx 1 16 v (v + 9) dv Utilizando a tabela apresentada acima, fazemos v tg u. dv sec u du e v u π v u Assim: x (x + 9) dx π tg u sec u sec u du π 16 sen u cos u du Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 1

11 Cálculo I Aula n o 8 Logo: x (x + 9) dx 16 π 1 cos u cos sen u du u Fazendo a substituição w cos u, temos que dw sen u du e os novos limites de integração inferior e superior são 1 e 1, respectivamente. Então, x (x + 9) dx u u du 16 [ u + 1 ] 1 u 1 Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as denições dadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das páginas 5 na seção de apêndices do livro texto. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho 11

CÁLCULO I. Iniciaremos com o seguinte exemplo: u 2 du = cos x + u3 3 + C = cos3 x

CÁLCULO I. Iniciaremos com o seguinte exemplo: u 2 du = cos x + u3 3 + C = cos3 x CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aulas n o 9: Técnicas de Integração II - Integrais Trigonométricas e Substituição Trigonométrica Objetivos da Aula Calcular integrais de potências

Leia mais

Aula n o 29:Técnicas de Integração: Integrais Trigonométricas - Substituição Trigonométrica

Aula n o 29:Técnicas de Integração: Integrais Trigonométricas - Substituição Trigonométrica CÁLCULO I Aula n o 29:Técnicas de Integração: Integrais Trigonométricas - Substituição Trigonométrica Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida 1 Integrais Trigonométricas Iniciaremos com o seguinte

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Construção de Grácos. Objetivo da Aula. Aula n o 20: Grácos. Utilizar o Cálculo Diferencial para esboçar o gráco de uma função.

CÁLCULO I. 1 Construção de Grácos. Objetivo da Aula. Aula n o 20: Grácos. Utilizar o Cálculo Diferencial para esboçar o gráco de uma função. CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho Aula n o 0: Grácos. Objetivo da Aula Utilizar o Cálculo Diferencial para esboçar o gráco

Leia mais

de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas

de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas MÓDULO - AULA 1 Aula 1 Técnicas de Integração Integração de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas Objetivo Aprender a integrar potências e produtos de funções trigonométricas. Na aula anterior,

Leia mais

MAT146 - Cálculo I - Integração de Funções Trigonométricas

MAT146 - Cálculo I - Integração de Funções Trigonométricas MAT146 - Cálculo I - Integração de Funções Trigonométricas Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Até o momento, somos capazes de resolver algumas integrais trigonométricas

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Aproximações Lineares. Objetivos da Aula. Aula n o 16: Aproximações Lineares e Diferenciais. Regra de L'Hôspital.

CÁLCULO I. 1 Aproximações Lineares. Objetivos da Aula. Aula n o 16: Aproximações Lineares e Diferenciais. Regra de L'Hôspital. CÁLCULO I Prof Marcos Diniz Prof André Almeida Prof Edilson Neri Júnior Prof Emerson Veiga Prof Tiago Coelho Aula n o 6: Aproimações Lineares e Diferenciais Regra de L'Hôspital Objetivos da Aula Denir

Leia mais

Técnicas de Integração II. Algumas Integrais Trigonométricas

Técnicas de Integração II. Algumas Integrais Trigonométricas Técnicas de Integração II Algumas Integrais Trigonométricas Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni UNESP, FEG, Depto de Matemática Guaratinguetá, agosto de 2017 Direitos reservados. Reprodução autorizada

Leia mais

Aula 33. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil

Aula 33. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil Aplicações da Integral - Continuação e Técnicas de Integração Aula 33 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 30 de Maio de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Derivada de Funções Elementares

CÁLCULO I. 1 Derivada de Funções Elementares CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida Aula n o : Derivada das Funções Elementares. Regras de Derivação. Objetivos da Aula Apresentar a derivada das funções elementares; Apresentar

Leia mais

Derivadas. Slides de apoio sobre Derivadas. Prof. Ronaldo Carlotto Batista. 21 de outubro de 2013

Derivadas. Slides de apoio sobre Derivadas. Prof. Ronaldo Carlotto Batista. 21 de outubro de 2013 Cálculo 1 ECT1113 Slides de apoio sobre Derivadas Prof. Ronaldo Carlotto Batista 21 de outubro de 2013 AVISO IMPORTANTE Estes slides foram criados como material de apoio às aulas e não devem ser utilizados

Leia mais

CÁLCULO I. 1 A Função Logarítmica Natural. Objetivos da Aula. Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural. Denir a função f(x) = ln x;

CÁLCULO I. 1 A Função Logarítmica Natural. Objetivos da Aula. Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural. Denir a função f(x) = ln x; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural Objetivos da Aula Denir a função f(x) = ln x; Calcular limites, derivadas e integral envolvendo a função

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Denir concavidade de uma função;

CÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Denir concavidade de uma função; CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 19: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Objetivos da Aula Denir concavidade de uma função; Denir ponto de inexão;

Leia mais

Índice. AULA 6 Integrais trigonométricas 3. AULA 7 Substituição trigonométrica 6. AULA 8 Frações parciais 8. AULA 9 Área entre curvas 11

Índice. AULA 6 Integrais trigonométricas 3. AULA 7 Substituição trigonométrica 6. AULA 8 Frações parciais 8. AULA 9 Área entre curvas 11 www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume ) Índice AULA 6 Integrais trigonométricas 3 AULA 7 Substituição trigonométrica 6 AULA 8 Frações parciais 8 AULA 9 Área entre curvas AULA Volumes 3 www.matematicaemexercicios.com

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Regra de l'hôspital. Objetivos da Aula. Aula n o 14: Regra de L'Hospital. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.

CÁLCULO I. 1 Regra de l'hôspital. Objetivos da Aula. Aula n o 14: Regra de L'Hospital. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital. CÁLCULO I Prof Marcos Diniz Prof Edilson Neri Júnior Prof André Almeida Aula n o 4: Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital Regra de l'hôspital A regra de l'hôspital,

Leia mais

CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior

CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Objetivos da Aula CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 4: Aproximações Lineares e Diferenciais. Regra de L Hôspital. Definir e calcular a aproximação linear

Leia mais

de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas

de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas MÓDULO - AULA 0 Aula 0 Técnicas de Integração Integração de Potências e Produtos de Funções Trigonométricas Objetivo Aprender a integrar potências e produtos de funções trigonométricas. Introdução Apesar

Leia mais

CÁLCULO I. Apresentar a técnica de integração por substituição; Utilizar técnicas apresentadas no cálculo integral.

CÁLCULO I. Apresentar a técnica de integração por substituição; Utilizar técnicas apresentadas no cálculo integral. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Auls n o 8: Técnics de Integrção I - Método d Substituição Objetivos d Aul Apresentr técnic de integrção por substituição; Utilizr técnics presentds

Leia mais

CÁLCULO I. Extremos Relativos e Absolutos. Objetivos da Aula. Aula n o 17: Extremos Relativos e Absolutos. Método do Intervalo Fechado.

CÁLCULO I. Extremos Relativos e Absolutos. Objetivos da Aula. Aula n o 17: Extremos Relativos e Absolutos. Método do Intervalo Fechado. CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho Aula n o 17: Extremos Relativos e Absolutos. Método do Intervalo Fechado. Objetivos da

Leia mais

Exercícios de Coordenadas Polares Aula 41

Exercícios de Coordenadas Polares Aula 41 Revisão - Métodos de Integração e Exercícios de Coordenadas Polares Aula 41 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 24 de Junho de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma

Leia mais

MAT146 - Cálculo I - Derivada das Inversas Trigonométricas

MAT146 - Cálculo I - Derivada das Inversas Trigonométricas MAT46 - Cálculo I - Derivada das Inversas Trigonométricas Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Vimos anteriormente que as funções trigonométricas não são inversíveis, mas

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 18: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Denir concavidade do gráco de uma função;

CÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 18: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Denir concavidade do gráco de uma função; CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 18: Concavidade. Teste da Segunda Derivada. Objetivos da Aula Denir concavidade do gráco de uma função; Denir ponto de

Leia mais

CÁLCULO I. Extremos Relativos e Absolutos. Objetivos da Aula. Aula n o 16: Extremos Relativos e Absolutos. Método do Intervalo Fechado.

CÁLCULO I. Extremos Relativos e Absolutos. Objetivos da Aula. Aula n o 16: Extremos Relativos e Absolutos. Método do Intervalo Fechado. CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho Aula n o 16: Extremos Relativos e Absolutos. Método do Intervalo Fechado. Objetivos da

Leia mais

CÁLCULO I. Estabelecer a relação entre continuidade e derivabilidade; Apresentar a derivada das funções elementares. f f(x + h) f(x) c c

CÁLCULO I. Estabelecer a relação entre continuidade e derivabilidade; Apresentar a derivada das funções elementares. f f(x + h) f(x) c c CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 11: Derivada de uma função. Continuidade e Derivabilidade. Derivada das Funções Elementares. Objetivos da Aula Denir

Leia mais

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 2: Aproximações Lineares e Diferenciais Objetivos da Aula Definir e calcular a aproximação linear de uma função derivável; Conhecer e determinar

Leia mais

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 06: Continuidade de Funções Objetivos da Aula Definir função contínua; Reconhecer uma função contínua através do seu gráfico; Utilizar as

Leia mais

CÁLCULO I. Figura 1: Círculo unitário x2 + y 2 = 1

CÁLCULO I. Figura 1: Círculo unitário x2 + y 2 = 1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho Aula no 04: Funções Trigonométricas, Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas. Objetivos

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 28: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas;

CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 28: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas; CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 8: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho Objetivos da Aula Calcular área entre curvas; Calcular o comprimento

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes

CÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 17: Crescimento e Decrescimento de funções. Teste da Primeira Derivada. Objetivos da Aula Denir funções crescentes e

Leia mais

CÁLCULO I. Efetuar transformações no gráco de uma função. Aplicando esse teste às seguintes funções, notamos que

CÁLCULO I. Efetuar transformações no gráco de uma função. Aplicando esse teste às seguintes funções, notamos que CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 03: Funções Inversas e Compostas.Transformações no Gráco de uma Função. Objetivos da Aula Denir função bijetora e função

Leia mais

Seno e cosseno de arcos em todos os. quadrantes

Seno e cosseno de arcos em todos os. quadrantes Trigonometria Seno e cosseno de arcos em todos os quadrantes Seno e cosseno de arcos em todos os quadrantes Exemplo: Vamos determinar X, com 0 x < 2π tal que sen x = - 1 2. Seno e cosseno de arcos em todos

Leia mais

CÁLCULO I. Conhecer a interpretação geométrica da derivada em um ponto. y = f(x 2 ) f(x 1 ). y x = f(x 2) f(x 1 )

CÁLCULO I. Conhecer a interpretação geométrica da derivada em um ponto. y = f(x 2 ) f(x 1 ). y x = f(x 2) f(x 1 ) CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 0: Taxa de Variação. Derivadas. Reta Tangente. Objetivos da Aula Denir taxa de variação média e a derivada como a taxa

Leia mais

Resolvendo Integrais pelo Método de

Resolvendo Integrais pelo Método de Capítulo Resolvendo Integrais pelo Método de Substituição. Métodos da substituição em integrais indefinidas O teorema fundamental do cálculo permite que se resolva rapidamente a integral b a f(x) dx, desde

Leia mais

Aula 34. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil

Aula 34. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil Técnicas de Integração - Continuação Aula 34 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 03 de Junho de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica

Leia mais

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 09: Regras de Derivação Objetivos da Aula Apresentar e aplicar as regras operacionais de derivação; Derivar funções utilizando diferentes

Leia mais

Substituição Trigonométrica

Substituição Trigonométrica Universidade Federal do ABC Aula 18 Substituição Trigonométrica BCN0402-15 FUV SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA Substituição Trigonométrica Introdução: Um exemplo A área de um círculo ou uma elipse é dada por

Leia mais

CÁLCULO I. Reconhecer, através do gráco, a função que ele representa; (f + g)(x) = f(x) + g(x). (fg)(x) = f(x) g(x). f g

CÁLCULO I. Reconhecer, através do gráco, a função que ele representa; (f + g)(x) = f(x) + g(x). (fg)(x) = f(x) g(x). f g CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 03: Operações com funções. Funções Polinominais, Racionais e Trigonométricas Objetivos da Aula Denir operações com funções; Apresentar algumas

Leia mais

CÁLCULO I. Figura 1: Círculo unitário x2 + y 2 = 1

CÁLCULO I. Figura 1: Círculo unitário x2 + y 2 = 1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula no 05: Funções Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas. Objetivos da Aula De nir as funções trigonométricas, trigonométricas

Leia mais

Objetivos. Exemplo 18.1 Para integrar. u = 1 + x 2 du = 2x dx. Esta substituição nos leva à integral simples. 2x dx fazemos

Objetivos. Exemplo 18.1 Para integrar. u = 1 + x 2 du = 2x dx. Esta substituição nos leva à integral simples. 2x dx fazemos MÓDULO - AULA 8 Aula 8 Técnicas de Integração Substituição Simples - Continuação Objetivos Nesta aula você aprenderá a usar a substituição simples em alguns casos especiais; Aprenderá a fazer mudança de

Leia mais

CÁLCULO I Aula 08: Regra da Cadeia. Derivação Implícita. Derivada da Função Inversa.

CÁLCULO I Aula 08: Regra da Cadeia. Derivação Implícita. Derivada da Função Inversa. CÁLCULO I Aula 08: Regra da Cadeia.. Função Inversa. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará 1 2 3 Teorema (Regra da Cadeia) Sejam g(y) e y = f (x) duas funções deriváveis,

Leia mais

MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari

MATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari MATEMÁTICA II Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari amanda.perticarrari@unesp.br Generalidades Aplicação: integrais cujos integrandos são compostos de: produtos; funções trigonométricas;

Leia mais

A derivada da função inversa

A derivada da função inversa A derivada da função inversa Sumário. Derivada da função inversa............... Funções trigonométricas inversas........... 0.3 Exercícios........................ 7.4 Textos Complementares................

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Assíntotas Oblíquas. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Grácos.

CÁLCULO I. 1 Assíntotas Oblíquas. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Grácos. CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 9: Grácos. Objetivos da Aula Denir e determinar as assíntotas oblíquas ao gráco de uma função, Utilizar o Cálculo Diferencial

Leia mais

CÁLCULO I. Calcular o limite de uma função composta;

CÁLCULO I. Calcular o limite de uma função composta; CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 06: Limites Laterais. Limite da Função Composta. Objetivos da Aula Denir ites laterais de uma função em um ponto de seu

Leia mais

II-2. Integração de Funções Trigonométricas Integração de Funções Trigonométricas

II-2. Integração de Funções Trigonométricas Integração de Funções Trigonométricas II-2. Integração de Funções Trigonométricas Integração de Funções Trigonométricas Nesta aula são apresentadas as integrais de funções trigonométricas que se resolve através das relações trigonométricas

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Regras de Derivação. Objetivos da Aula. Aula n o 12: Regras de Derivação. Apresentar e aplicar as regras operacionais de derivação;

CÁLCULO I. 1 Regras de Derivação. Objetivos da Aula. Aula n o 12: Regras de Derivação. Apresentar e aplicar as regras operacionais de derivação; CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Anré Almeia Prof. Eilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho Aula n o : Regras e Derivação Objetivos a Aula Apresentar e aplicar as regras operacionais

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 16: Máximos e Mínimos - 2 a Parte

CÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 16: Máximos e Mínimos - 2 a Parte CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 16: Máximos e Mínimos - 2 a Parte Objetivos da Aula Denir e discutir a concavidade de uma função em um intervalo do domínio; Denir e calcular

Leia mais

Aula 5 - Soluções dos Exercícios Propostos

Aula 5 - Soluções dos Exercícios Propostos Aula 5 - Soluções dos Exercícios Propostos Trigonometria I Solução. : (a A cada um minuto completado, o ponteiro dos segundos percorre uma volta completa de π radianos. Isso se o ponteiro dos segundos

Leia mais

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o : Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Denir ite no innito e ites innitos; Apresentar alguns tipos

Leia mais

Integrais indefinidas

Integrais indefinidas Integrais indefinidas que: Sendo f(x) e F(x) definidas em um intervalo I R, para todo x I, dizemos F é uma antiderivada ou uma primitiva de f, em I, se F (x) = f(x) Exemplos: F(x) = x é uma antiderivada

Leia mais

Limites, continuidade e diferenciação de funções

Limites, continuidade e diferenciação de funções Matemática 1 Semanas 9, 10 e 11 Professor Luiz Claudio Pereira Faculdade de Planaltina Universidade de Brasília Material Previsto para três semanas 113018 (UNB) Luiz Claudio Pereira 2017 1 / 100 Limites,

Leia mais

Aula 12 Regras de Substituição. Integração por partes.

Aula 12 Regras de Substituição. Integração por partes. Universidade Federal do ABC Aula 12 Regras de Substituição. Integração por partes. BCN0402-15 FUV Suporte ao aluno Site da disciplina: http://gradmat.ufabc.edu.br/disciplinas/fuv/ Site do prof. Annibal:

Leia mais

MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas

MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Vimos que uma função

Leia mais

MAT Aula 24/ Quarta 04/06/2014. Sylvain Bonnot (IME-USP)

MAT Aula 24/ Quarta 04/06/2014. Sylvain Bonnot (IME-USP) MAT 0143 Aula 24/ Quarta 04/06/2014 Sylvain Bonnot (IME-USP) 2014 1 Volumes Ideia: cortar o objeto em cilindros de base A(x) e altura dx, e depois fazer a soma b A(x)dx, onde A(x) é a área da secção transversal.

Leia mais

Aula 25 Técnicas de integração Aula de exercícios

Aula 25 Técnicas de integração Aula de exercícios MÓDULO - AULA 5 Aula 5 Técnicas de integração Aula de exercícios Objetivo Conhecer uma nova série de exemplos nos quais diferentes técnicas de integração são utilizadas. Nesta aula, você verá uma série

Leia mais

CÁLCULO I. Apresentar a técnica de derivação implícita; Resolver problemas envolvendo taxas relacionadas.

CÁLCULO I. Apresentar a técnica de derivação implícita; Resolver problemas envolvendo taxas relacionadas. CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Anré Almeia Prof. Eilson Neri Júnior Aula no 3: Derivação Implícita. Derivaa a Função Inversa. Taxas Relacionaas. Objetivos a Aula Apresentar a técnica e erivação implícita;

Leia mais

A inversa da função seno

A inversa da função seno UFF/GMA Notas de aula de MB-I Maria Lúcia/Marlene 015-1 PARTE III FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Funções inversas. O que isso significa? A cada valor da imagem corresponde um e só um valor do domínio

Leia mais

AT4-1 - Unidade 4. Integrais 1. Cálculo Diferencial e Integral. UAB - UFSCar. Bacharelado em Sistemas de Informação. 1 Versão com 14 páginas

AT4-1 - Unidade 4. Integrais 1. Cálculo Diferencial e Integral. UAB - UFSCar. Bacharelado em Sistemas de Informação. 1 Versão com 14 páginas AT4-1 - Unidade 4 1 Cálculo Diferencial e Integral Bacharelado em Sistemas de Informação UAB - UFSCar 1 Versão com 14 páginas 1 / 14 Tópicos de AT4-1 1 2 / 14 Tópicos de AT4-1 1 3 / 14 Relação entre funções

Leia mais

Derivada - Parte 2 - Regras de derivação

Derivada - Parte 2 - Regras de derivação Derivada - Parte 2 - Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br http://paginapessoal.utfpr.edu.br/previero Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR Câmpus Londrina Wellington D. Previero Derivada

Leia mais

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática MTM3100 - Pré-cálculo 14 a lista de exercícios (0/11/017 a 01/1/017) 1 Resolva as equações abaixo

Leia mais

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida CÁLCULO I Prof. Eilson Neri Júnior Prof. Anré Almeia Aula n o 08: Regra a Caeia. Derivação Implícita. Derivaa a Função Inversa. Objetivos a Aula Conhecer e aplicar a regra a caeia; Utilizar a notação e

Leia mais

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática MTM3100 - Pré-cálculo 14 a lista complementar de exercícios (0/11/017 a 01/1/017 1 Seja x [ 1,

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Primitivas. Objetivos da Aula. Aula n o 18: Primitivas. Denir primitiva de uma função; Calcular as primitivas elementares.

CÁLCULO I. 1 Primitivas. Objetivos da Aula. Aula n o 18: Primitivas. Denir primitiva de uma função; Calcular as primitivas elementares. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 8: Primitivas. Objetivos da Aula Denir primitiva de uma função; Calcular as primitivas elementares. Primitivas Em alguns problemas, é necessário

Leia mais

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 12: Extremos relativos e absolutos. Método do Intervalo Fechado Objetivos da Aula Definir e determinar Extremos Absolutos e Relativos de

Leia mais

MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I

MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I 1 MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I RESUMO DA AULA TEÓRICA 4 Livro do Stewart: Apêndice D e Seção 16 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS O círculo trigonométrico e arcos orientados Num plano cartesiano, considere

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS. Trigonometria no Triângulo Retângulo e Funções Trigonométricas

LISTA DE EXERCÍCIOS. Trigonometria no Triângulo Retângulo e Funções Trigonométricas LISTA DE EXERCÍCIOS Pré-Cálculo UFF GMA 09 Trigonometria no Triângulo Retângulo e Funções Trigonométricas [0] (* Em sala de aula vimos como usar um quadrado e um triângulo equilátero para obter os valores

Leia mais

0.1 Função Inversa. Notas de Aula de Cálculo I do dia 07/06/ Matemática Profa. Dra. Thaís Fernanda Mendes Monis.

0.1 Função Inversa. Notas de Aula de Cálculo I do dia 07/06/ Matemática Profa. Dra. Thaís Fernanda Mendes Monis. Notas de Aula de Cálculo I do dia 07/06/03 - Matemática Profa. Dra. Thaís Fernanda Mendes Monis. 0. Função Inversa Definição. Uma função f : A C é injetiva se f(x) f(y) para todo x y, x, y A. Seja f :

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos CÁLCULO L NOTAS DA DÉCIMA OITAVA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos a primeira técnica de integração: mudança

Leia mais

MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II 1 a lista de exercícios

MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II 1 a lista de exercícios MAT454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II 1 a lista de exercícios - 008 POLINÔMIO DE TAYLOR 1. Utilizando o polinômio de Taylor de ordem, calcule um valor aproximado e avalie o erro: a)

Leia mais

OUTRAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

OUTRAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 8 OUTRAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Gil da Costa Marques 8. Integração por partes 8. Integrais de funções trigonométricas 8.3 Uso de funções trigonométricas 8.4 Integração de Quociente de Polinômios 8.5 Alguns

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Taxa de Variação. Objetivos da Aula. Aula n o 10: Taxa de Variação, Velocidade, Aceleração e Taxas Relacionadas. Denir taxa de variação;

CÁLCULO I. 1 Taxa de Variação. Objetivos da Aula. Aula n o 10: Taxa de Variação, Velocidade, Aceleração e Taxas Relacionadas. Denir taxa de variação; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 10: Taxa de Variação, Velocidade, Aceleração e Taxas Relacionadas Objetivos da Aula Denir taxa de variação; Usar as regras de derivação

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Área de Superfície de Revolução

CÁLCULO I. 1 Área de Superfície de Revolução CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 6: Área de Superfície de Revolução e Pressão Hidrostática Objetivos da Aula Calcular a área de superfícies de revolução; Denir pressão hidrostática.

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Regras de Derivação. Objetivos da Aula. Aula n o 12: Regras de Derivação. Apresentar e aplicar as regras operacionais de derivação;

CÁLCULO I. 1 Regras de Derivação. Objetivos da Aula. Aula n o 12: Regras de Derivação. Apresentar e aplicar as regras operacionais de derivação; CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Anré Almeia Prof. Eilson Neri Júnior Aula n o 2: Regras e Derivação Objetivos a Aula Apresentar e aplicar as regras operacionais e erivação; Derivar funções utilizano

Leia mais

Função Exponencial, Inversa e Logarítmica

Função Exponencial, Inversa e Logarítmica CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1 Função Exponencial, Inversa e Logarítmica Bruno Conde Passos Engenharia Civil Rodrigo Vanderlei - Engenharia Civil Função Exponencial Dúvida: Como

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Velocidade Instantânea. Objetivos da Aula. Aula n o 04: Limites e Continuidade. Denir limite de funções; Calcular o limite de uma função;

CÁLCULO I. 1 Velocidade Instantânea. Objetivos da Aula. Aula n o 04: Limites e Continuidade. Denir limite de funções; Calcular o limite de uma função; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 04: Limites e Continuidade Objetivos da Aula Denir ite de funções; Calcular o ite de uma função; Utilizar as propriedades operatórias do

Leia mais

da dx = 2 x cm2 /cm A = (5 t + 2) 2 = 25 t t + 4

da dx = 2 x cm2 /cm A = (5 t + 2) 2 = 25 t t + 4 Capítulo 13 Regra da Cadeia 13.1 Motivação A área A de um quadrado cujo lado mede x cm de comprimento é dada por A = x 2. Podemos encontrar a taxa de variação da área em relação à variação do lado: = 2

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral

CÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veig Prof. Tigo Coelho Aul n o 26: Teorem do Vlor Médio pr Integris. Teorem Fundmentl do Cálculo II. Funções dds por

Leia mais

Lista de exercícios sobre integrais

Lista de exercícios sobre integrais Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Exatas e Biológicas ICEB Departamento de Matemática DEMAT Cálculo Diferencial e Integral A Lista de exercícios sobre integrais Questão : Em nossa

Leia mais

CÁLCULO I Aula 11: Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de l'hôspital.

CÁLCULO I Aula 11: Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de l'hôspital. Limites s CÁLCULO I Aula 11: Limites s e no... Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará Limites s 1 Limites no 2 Limites s 3 4 5 Limites s Denição Seja f uma função denida

Leia mais

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Objetivos da Aula CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 03: Funções Logarítmica, Exponencial e Hiperbólicas Definir as funções logarítmica, exponencial e hiperbólicas; Enunciar

Leia mais

por Partes Objetivo Dividir para conquistar! Aprender a técnica de integração por partes.

por Partes Objetivo Dividir para conquistar! Aprender a técnica de integração por partes. MÓDULO 2 - AULA 9 Aula 9 Técnicas de Integração Integração por Partes Objetivo Aprender a técnica de integração por partes. Dividir para conquistar! Júlio César Nas duas últimas aulas, você aprendeu a

Leia mais

Função Exponencial, Inversa e Logarítmica

Função Exponencial, Inversa e Logarítmica CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.2 Função Exponencial, Inversa e Logarítmica Bárbara Simionatto Engenharia Civil Jaime Vinícius - Engenharia de Produção Função Exponencial Dúvida:

Leia mais

Derivada de algumas funções elementares

Derivada de algumas funções elementares Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo 1 Derivada de algumas funções elementares Vamos lembrar que a função f é derivável no ponto x = a se existe o limite f f(x) f(a) f(a+) f(a) (a).

Leia mais

Pré-Cálculo ECT2101 Slides de apoio Funções II

Pré-Cálculo ECT2101 Slides de apoio Funções II Pré-Cálculo ECT2101 Slides de apoio Funções II Prof. Ronaldo Carlotto Batista 8 de abril de 2017 Funções Trigonométricas As funções trigonométricas são denidas no círculo unitário: sen (θ) = y r, cos (θ)

Leia mais

CÁLCULO I Aula 05: Limites Laterais. Teorema do Valor Intermediário. Teorema do Confronto. Limite Fundamental Trigonométrico.

CÁLCULO I Aula 05: Limites Laterais. Teorema do Valor Intermediário. Teorema do Confronto. Limite Fundamental Trigonométrico. s Laterais CÁLCULO I Aula 05: s Laterais.... Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará s Laterais 1 s Laterais 2 3 4 s Laterais Considere a função de Heaviside, denida

Leia mais

Integração Usando Tabelas e Sistemas Algébricos Computacionais

Integração Usando Tabelas e Sistemas Algébricos Computacionais UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integração Usando

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Taxa de Variação. Objetivos da Aula. Aula n o 15: Taxa de Variação. Taxas Relacionadas. Denir taxa de variação;

CÁLCULO I. 1 Taxa de Variação. Objetivos da Aula. Aula n o 15: Taxa de Variação. Taxas Relacionadas. Denir taxa de variação; CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida Aula n o 15: Taxa de Variação. Taxas Relacionadas Objetivos da Aula Denir taxa de variação; Usar as regras de derivação no cálculo de

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I

Cálculo Diferencial e Integral I Provas e listas: Cálculo Diferencial e Integral I Período 204.2 Sérgio de Albuquerque Souza 4 de maio de 205 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departamento de Matemática http://www.mat.ufpb.br/sergio

Leia mais

Aulas n o 22: A Função Logaritmo Natural

Aulas n o 22: A Função Logaritmo Natural CÁLCULO I Aulas n o 22: A Função Logaritmo Natural Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida 1 A Função Logaritmo Natural 2 Derivadas e Integral Propriedades dos Logaritmos 3 Gráfico Seja x > 0. Definimos

Leia mais

Trigonometria e funções trigonométricas. Funções trigonométricas O essencial

Trigonometria e funções trigonométricas. Funções trigonométricas O essencial Trigonometria e funções trigonométricas Funções trigonométricas O essencial Funções seno e cosseno Designa-se por função seno (respetivamente, função cosseno) e representa-se por sin ou sen (respetivamente,

Leia mais

Cálculo de primitivas ou de antiderivadas

Cálculo de primitivas ou de antiderivadas Aula 0 Cálculo de primitivas ou de antiderivadas Objetivos Calcular primitivas de funções usando regras elementares de primitivação. Calcular primitivas de funções pelo método da substituição. Calcular

Leia mais

Ampliando o repert orio de t ecnicas de integra»c~ao

Ampliando o repert orio de t ecnicas de integra»c~ao Aula Amliando o reert orio de t ecnicas de integra»c~ao. Comletando quadrados Da nossa tabela amliada de integrais imediatas, tabela 5., agina 35, temos as integrais da tabela. abaixo. Tabela.. (a>0, 6

Leia mais

Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Integral

Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Integral Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Integral Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Integral Sumário 1 Integral 5 1.1 Antidiferenciação......................... 5 1.1.1 Exercícios.........................

Leia mais

Substituição trigonométrica hiperbólica. Esta é a última aula do segundo módulo da disciplina Cálculo II. Isso

Substituição trigonométrica hiperbólica. Esta é a última aula do segundo módulo da disciplina Cálculo II. Isso MÓDULO - AULA 30 Aula 30 Técnicas de integração Miscelânea Esta é a última aula do segundo módulo da disciplina Cálculo II. Isso significa que você está completando boa parte desta jornada. Você já enfrentou

Leia mais

AT3-1 - Unidade 3. Derivadas e Aplicações 1. Cálculo Diferencial e Integral. UAB - UFSCar. Bacharelado em Sistemas de Informação

AT3-1 - Unidade 3. Derivadas e Aplicações 1. Cálculo Diferencial e Integral. UAB - UFSCar. Bacharelado em Sistemas de Informação AT3-1 - Unidade 3 1 Cálculo Diferencial e Integral Bacharelado em Sistemas de Informação UAB - UFSCar 1 Versão com 34 páginas 1 / 34 Tópicos de AT3-1 1 Uma noção intuitiva Caracterização da derivada Regras

Leia mais

CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares, ímpares, crescentes e decrescentes;

CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares, ímpares, crescentes e decrescentes; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 02: Funções Objetivos da Aula Denir e reconhecer funções; Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares,

Leia mais