Aula 12 Funções Contínuas

Transcrição

1 Analise Matemática 1 Aula 12 Funções Contínuas Ano académico 2017

2 Bibliografia Básica Autor Título Editorial Data Stewart, James Cálculo, Volume 1 Zuma Medeiros, Valéria Demana, Franklin... (et al.) Larson, Ron Pré-Cálculo 2ª edição revista actualizada Pré-Cálculo Cálculo Aplicado 5ta. Edição, Pioneira Thompson Learning CENGAGE Learning Pearson Education do Brasil 1 Edição, Pioneira Thomson Learning

3 Tema 1. Cálculo Diferencial A ideia da continuidade. Definição de função contínua. Propriedades da continuidade. Propriedades fundamentais das Funções Contínuas.

4 A ideia de Continuidade Ao definir Lim f(x), x a, analisamos o comportamento da função f(x) para valores de x próximos de a, porem diferentes de a. Vimos que Lim f(x) pode existir, mesmo que f(x) não esteja definida no ponto a. Se f está definida em x=a e Lim f(x) existe, ainda pode ocorrer que este limite seja diferente de f(a).

5 A idea de Continuidade Uma ideia muito simple de como saber se uma função real é contínua, é se pode ser traçada a função numa folha sem retirar a caneta do papel. Caso se interrompa o gráfico da função e se comece em outro local do papel, ocorre uma "descontinuidade.

6 A ideia de Continuidade A função f contínua (sem interrupção) A função g descontínua 1. Não existe Lim g(x), se x b, pois os limites laterais de g=g(x) são diferentes 2. Não existe Lim g(x) quando x c 3. Em x=d, temos que f(d)=s e se x d e os limites laterais são iguais a s 4. Em x=e, o valor que se obtém não é o esperado, pois g(e)=z e os limites laterais são iguais a k

7 A idéia de Continuidade A análise dos quatro casos nos leva a uma caracterização do que significa uma função não ser contínua num intervalo (a,b). A partir desses exemplos, parece que as descontinuidades surgem quando: o limite da função não existe, existe mas não coincide com o valor da função naquele ponto.

8 A idéia de Continuidade Para que uma função f seja contínua em um ponto x = a é necessário que: a função esteja definida em a; e que os valores de f(x), para x próximos de a, estejam próximos de f(a).

9 Definição de função contínua Definição: Uma função f é contínua no ponto a se: Se uma o mais de uma dessas condicões não forem verificadas em a, a função f será descontínua no ponto a.

10 Definição de função contínua. Exemplos Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados:

11 Definição de função contínua. Exemplos Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados:

12 Definição de função contínua. Exemplos Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados:

13 Definição de função contínua. Exemplos Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados:

14 Definição de função contínua. Exemplos Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados:

15 Definição de função contínua. Exemplos Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados: Observação: Se uma função não é contínua em um ponto a, dizemos que ela é descontínua neste ponto.

16 Tipos de descontinuidades Se f é uma função descontínua em um ponto x=c do seu domínio, dizemos que: i) f tem descontinuidade de salto finito (1a. espécie) em x=c, se os limites laterais de f em c existem (são finitos) e são distintos. ii) f tem descontinuidade infinita (2a. espécie) em x=c, se a função toma valores arbitrariamente grandes ou arbitrariamente pequenos próximos de c. iii) f tem descontinuidade evitável ou removível em x=c, se existe o limite da função no ponto x=c (a função pode ou não pode ser definida no ponto).

17 Continuidade Vimos que a definição de continuidade de uma função no ponto x=c, exige o conceito de limite lateral à esquerda e à direita, portanto só pode ser aplicada a pontos c de um intervalo aberto. Podemos mesmo estender esta definição a intervalos fechados, semi-abertos ou infinitos.

18 Continuidade Continuidade de uma função em um intervalo Uma função f é contínua em um intervalo aberto se for contínua em todos os pontos desse intervalo. a,b f é contínua em um intervalo fechado contínua no aberto, e além disso, a,b e se for

19 Continuidade Como verificar se uma função é contínua em um intervalo, se ele contém infinitos elementos? Existem duas maneiras: 1. Tomar um ponto genérico do intervalo, por exemplo, x0, e verificar, usando a definição, se f é contínua neste ponto. Se for, será em todo o intervalo, uma vez que x0 representa um ponto qualquer do intervalo em questão. 2. Utilizar as propriedades válidas para continuidade.

20 Propriedades da Continuidade

21 Exemplos

22 Exemplos

23 Exemplos

24 Propriedades fundamentais das Funções Contínuas

25 Propriedades fundamentais das Funções Contínuas

26 Propriedades fundamentais das Funções Contínuas

27 Propriedades fundamentais das Funções Contínuas

28 Propriedades fundamentais das Funções Contínuas

29 Propriedades fundamentais das Funções Contínuas

30 Propriedades fundamentais das Funções Contínuas

31 Propriedades fundamentais das Funções Contínuas

32 Propriedades fundamentais das Funções Contínuas