Data: 18/03/2008. Aula Teórica 2 (LIMITES E CONTINUIDADE) Atividade 1 - Analise cada um dos gráficos abaixo e complete as igualdades.

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1 Data: 8/03/008 Aula Teórica (LIMITES E CONTINUIDADE) Atividade - Analise cada um dos gráficos abaixo e complete as igualdades. lim f(x) = 4 gráfico limf(x) = não existe gráfico gráfico3 gráfico4 Professor Responsável: Profa. Maria Helena S. S. Bizelli

2 Com base nas suas conclusões, responda as seguintes questões: (a) No gráfico, o limite da função existe quando x está próximo de? Justifique sua resposta. Não existe o limite, pois os limites laterais são diferentes. A função está definida para x = e f() = 4. A função é descontínua em x =. (b) No gráfico, o limite da função existe quando x está próximo de? Justifique sua resposta. A função não está definida para x =. A função é descontínua em x =. (c) No gráfico 3, o limite da função existe quando x está próximo de? Justifique sua resposta. A função está definida para x = e f() = 4,5. A função é descontínua em x =. (d) No gráfico 4, o limite da função existe quando x está próximo de? Justifique sua resposta. A função está definida para x = e f() = 3. A função é contínua em x =. (e) Comparando a sua análise referente ao gráfico3 e ao gráfico4, o que você conclui sobre a existência do limite da função quando x está próximo de, sobre a existência do valor da função em x = e sobre a continuidade da função em x =? A função referente ao gráfico 4 é contínua em x = pois existe o limite da função quando x tende a e esse limite é igual ao valor da função em x =. Levando em conta as respostas das questões anteriores, de uma maneira geral, quais são as condições para que uma função, y = f(x), seja contínua em x = a (onde a pode ser qualquer número real)? Uma função y = f(x) é contínua em x = a se: lim f(x) = f(a) x a Exemplo: Considere a função definida por partes 3x 4, para x 3 f (x) =. 3 - x, para x < 3 Substitua o valor x = 3 nas duas expressões que compõe a função dada e observe o que acontece com o valor de f(x). De que maneira você relaciona esse processo com o cálculo dos limites laterais da função quando x tende a 3? 3x 4, para x 3 5, para x = 3 f(x) = f(x) = 3-x, para x<3-3, para x=3 O processo de substituir o valor de x = 3 na primeira expressão é equivalente ao cálculo do limite lateral à direita lim f(x). O processo de substituir o valor de x = 3 na segunda expressão é equivalente ao cálculo do limite lateral à esquerda lim f(x). Observe agora o gráfico da função, descrito na ilustração abaixo. Analise a existência do limite da função quando x tende a 3, a existência do valor de f(3) e a continuidade da função em x = 3.

3 lim f(x) = 3 lim f(x) lim f(x) = 5 f(3) = 5 A função é descontínua em x = 3. Levando em conta as considerações anteriores, descreva (de uma maneira bem simples) um procedimento para verificar a continuidade de uma função definida por partes. Justifique seu procedimento relacionando-o com as condições que você estabeleceu para que uma função y = f(x) seja contínua em x = a. Para verificar se uma função y = f(x), definida por partes, é contínua em x = a, substitua o valor x = a nas equações que definem a função e verifique se os valores obtidos são iguais(desde que isso seja possível). Se forem iguais a função é contínua em x = a, caso contrário, a função é descontínua em x = a. EXERCÍCIOS. Verifique se a função f(x) = x 3x, para x - x 3, para x = - é contínua em x = -. Justifique sua resposta. Modo : Esboce o gráfico da função e analise a continuidade a partir dele. f não é contínua em x = -, pois lim f(x) f( ). x Modo : Observe que não poderíamos substituir x = - na primeira equação pois não podemos fazer divisão por zero. Assim, primeiramente devemos simplificar a expressão para eliminar esse problema. Temos então que x, para x > - f(x) = x, para x < - 3, para x = - Substituindo x = - na primeira equação, obtemos o valor - para a função. Substituindo x = - na segunda equação, obtemos o valor - para a função. Portanto, existe o limite da função quando x tende para - e é igual a -. Contudo, f(-) = 3. Logo, a função é descontínua em x = -. A justificativa para esse fato é a mesma do modo.

4 . Determine o valor de k para o qual as funções dadas sejam contínuas. a) x 4, para x x x, para x > f(x) = f(x) = x, para x< k, para x = k, para x = b) Para que f seja contínua em x =, k tem que ser igual a 4. f(x) x 3k, para x - = k, para x>- Substituindo o valor x = - na primeira equação, igualamos k a esse valor e determinamos os valores de k. 3. Verifique a continuidade de cada uma das funções dadas em x = a. a) x, se x f(x) = 3 x = 4 x, se x< Substituindo x = ½ nas duas equações obtemos o valor 3. Isso significa que lim f(x) f = = 3 x e, portanto, a função é contínua em x = ½. b) x 5, para x 5 x 5, para x > 5 f(x) = = 5 x, para x < 5, para x = 5, para x = 5 Substituindo x = 5 nas duas primeiras equações, obtemos o mesmo valor zero. Isso quer dizer que limf(x) = 0. Contudo, como f(5) = segue que a função é descontínua em x = 5. x 5 c) x, para x - x, para x f(x) = = x, para x < - x, para x <- Substituindo x = - nas duas equações obtemos valores diferentes o que significa que lim f(x) x e, portanto, a função é descontínua em x = -.

5 Atividade Uma reta x = x 0 é uma assíntota vertical do gráfico de f, se f(x) ou f(x) - quando x tende a x 0 pela direita ou pela esquerda. Uma reta y = y 0 é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se f(x) y 0 quando x ou quando x -. Levando em conta essa definição, analise os gráficos abaixo com relação a existência de assíntotas vertical e horizontal. gráfico gráfico gráfico 3 gráfico 4 Baseado na definição e na sua análise anterior, responda as seguintes questões: (a) O que significa dizer que uma reta x = a é uma assíntota vertical de uma função y = f(x)? Qual (ou quais) dos gráficos acima tem assíntota vertical? De que maneira você determina uma assíntota vertical de uma função y = f(x) qualquer? Com relação ao comportamento de uma função, que informação você obtém a partir de uma assíntota vertical? (b) O que significa dizer que uma reta y = L é uma assíntota horizontal de uma função y = f(x)? Qual (ou quais) dos gráficos acima tem assíntota horizontal? De que maneira você determina uma assíntota horizontal de uma função y = f(x) qualquer? Com relação ao comportamento de uma função, que informação você obtém a partir de uma assíntota horizontal?