MAT Laboratório de Matemática 2019 Profa. Barbara Valério. Definição de Logaritmo: Logaritmo com área

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1 MAT 53 - Laboratório de Matemática 209 Profa. Barbara Valério Definição de Logaritmo: Logaritmo com área Consideremos o gráfico da função f(x) = x, para x > 0, ou seja, consideremos o ramo positivo da hipérbole y = x. Dados a, b IR com 0 < a < b, denotemos por H b a a região entre o eixo Ox e a hipérbole y = x com a x b, isto é, Hb a é a região hachurada Questão: Como podemos calcular a área de H b a? Uma maneira de estimarmos a área de H b a seria calcularmos a área de retângulos que estão sob ou sobre o gráfico da hipérbole no intervalo a x b. Analisemos a situação utilizando retângulos que estão sob o gráfico. Consideremos um subconjunto finito de pontos P [a, b], tal que a, b P, ou seja, P é um subconjunto da forma P = {a = t 0, t, t 2,...t n, t n = b} onde a = t 0 < t < t 2 <... < t n < t n = b. Utilizando estes pontos intermediários do intervalo (esta partição do intervalo) podemos decompor o intervalo [a, b] em um número finito de subintervalos consecutivos. Utilizando cada um destes subintervalos [t i, t i ] da decomposição, construímos o retângulo de base [t i, t i ] e altura t i. Observe que o vértice superior direito de cada um ) desses retângulos encontra o gráfico da hipérbole no ponto (t i, ti. Note ainda,

2 que os pontos t i s não são necessariamente equidistantes, ou seja, a distância entre dois pontos consecutivos não precisa ser necessariamente a mesma. Cada um desses retângulos é chamado de retângulo inscrito da região H b a. Observe que a soma da área dos retângulos inscritos na região H b a fornece uma aproximação inferior (por falta) do valor da área da região H b a. Exercício : Considere a região H 6 2. Utilizando uma divisão do intervalo [2, 6] em quatro partes iguais (uma partição com 5 pontos), estime a área de H 6 2. Faça um desenho da situação. Exercício 2: Estime novamente a área da região H 6 2, utilizando agora uma subdivisão do intervalo com 8 pontos, isto é, utilizando um subdivisão mais fina do intervalo. O que você pode concluir destes dois exercícios? Segue-se então que podemos definir a área (inferior) de H b a como sendo o número real cujas aproximações por falta são as somas das áreas dos retângulos inscritos em H b a, que se obtém fazendo-se subdivisões sucessivas do intervalo [a, b]. Então se A = (área de H b a) e B = ( soma da área de retângulos inscritos), temos que A B. Passemos agora a estudar uma propriedade fundamental das áreas das regiões do tipo H b a. Propriedade Fundamental: Sejam k > 0 e 0 < a < b. Então as regiões H b a e H bk ak tem a mesma área. Para verificar a propriedade, observamos primeiramente que dado um retângulo inscrito na região H b a, cuja base é o intervalo [c, d], podemos construir um retângulo de base [ck, dk], que está inscrito na região H bk ak com a mesma área que o primeiro. Exercício 3: Verifique a afirmação anterior. Logo quando considerarmos retângulos inscritos em H b a podemos encontrar retângulos inscritos em H bk ak com a mesma área que os anteriores. Reciprocamente, dado um retângulo inscrito em H bk ak com base no intervalo [r, s], podemos construir um retângulo cuja base é [ r k, s k ] inscrito em Hb a com a mesma área que o primeiro. Portanto a soma das áreas dos retângulos inscritos em 2

3 H b a é igual a soma das áreas dos retângulos inscritos em H bk ak. Segue-se então, que a área destas duas regiões possuem exatamente as mesmas aproximações inferiores, e portanto, são iguais. Consequência : Segue da propriedade anterior que podemos restringir nossos estudos às áreas das regiões da forma H c, pois área(h b a) = área(h b a ) = áreah c, c = b a Consequência 2: Se a > e b >, então, usando que H ab = H b H ab b e a propriedade fundamental, temos que: área(h ab ) = área(h b ) + áreah a. Assim se definirmos uma função, f, que a cada x > associa a área de H x teremos que f(ab) = f(a) + f(b), para todo a > e b >. Pergunta: Uma vez que estamos considerando regiões que estão abaixo do gráfico y = x e acima do eixo x, para x > 0, será possível estender a função f para todo o intervalo ]0, [? Isto é, será possível encontrar uma outra função g cujo domínio é ]0, [, que coincide com f em ], [ e que conserva a propriedade g(ab) = g(a) + g(b) em ]0, ]? Para mostrar que g existe, vamos procurar uma candidata e provar que ela funciona. Exercício 4: Mostre que se g é uma função que verifica a propriedade g(ab) = g(a) + g(b), a, b > 0, então g() = 0. Temos assim, que a função g procurada deve verificar que g() = 0. Além disso, note que se 0 < a <, então temos que a > e a área de H a H a a a Então = área H a. Então a candidata g verifica que 0 = g() = g(a a ) = g(a) + g( a ) = g(a) + f( a ) = g(a) + áreah a = g(a) + áreah a. g(a) = áreah a, 0 < a <. Podemos então arriscar a seguinte definição: f(x) = áreah x se x > g(x) = 0 se x = áreah x se 0 < x < = área 3

4 É evidente que g é uma extensão de f. Precisamos mostrar agora que g satisfaz a propriedade g(ab) = g(a)+g(b) para todos a e b estritamente positivos. caso: Se a > e b > nada temos a fazer. Por que? 2 caso: Se 0 < a < b < então ab < a. Por que? ou seja, isto é, g(ab) = g(a) + g(b). áreah ab = áreah a ab + áreah a = áreah b + áreah a áreah ab = áreah b áreah a 3 caso: Se 0 < a < < b então pode acontecer 0 < a < < ab < b ou 0 < a < ab < < b. Por que? Se 0 < a < < ab < b, então ab > e b > ou seja, isto é, g(ab) = g(b) + g(a). áreah b = áreah ab + áreah b ab = áreah ab + áreah a áreah ab = áreah b áreah a Exercício 5: Verifique o que ocorre na situação 0 < a < ab < < b no caso anterior. Conclusão: Provamos então que existe uma função g, que estende a f inicial e que verifica g(ab) = g(a) + g(b) para quaisquer a, b > 0. Observe que o processo de construção da função g nos garante que ela é única. DEFINIÇÃO: A função g construída é denominada ln e é a função definida em ]0, + [ dada por: ln(x) = área H x, se x > ln() = 0 ln(x) = área H x, se 0 < x < Note que esta função tem a propriedade ln(ab) = ln(a) + ln(b), para todo a > 0 e b > 0. Além disso podemos observar que ln(x) > 0 se, e somente se, se x > ln() = 0 se, e somente se, se x = ln(x) < 0 se, e somente se, se 0 < x < Exercício 6: Verifique, usando a definição dada e as propriedades desenvolvidas anteriormente, que: 4

5 (i) ln ( a) = ln(a), para todo a > 0; (ii) ln ( a b ) = ln(a) ln(b), para todo a, b > 0; (iii) ln(a n ) = nln(a), para todo a > 0 e n IN; (iv) ln(a q ) = q ln(a), para todo a > 0 e q IN ; (v) ln(a p q ) = p q ln(a), para todo a > 0, p IN e q IN ; (vi) ln(a r ) = rln(a), para todo a > 0 e r IQ; (vii) a função ln é uma função estritamente crescente, isto é, se a > b > 0 então ln(a) > ln(b) Da afirmação (vii) concluímos que a função ln é uma função injetora, isto é, se a, b > 0 e a b, então ln(a) ln(b). Prova-se que a função ln é uma função sobrejetora sobre IR, isto é, dado um b IR qualquer, sempre existe um a > 0 ( que neste caso é único) tal que ln(a) = b. Bibliografia: LIMA, Elon Lages; Logaritmos. Matemática. SBM. Coleção do Professor de 5