Funções reais de variável real. Limites de funções reais de variável real O essencial

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1 Funções reais de variável real Limites de funções reais de variável real O essencial

2 Ponto aderente de um conjunto Dado um conjunto A IR e um número real a, a designa-se ponto aderente a A quando existe uma sucessão x n, tal que: n IN, x n A lim x n = a

3 Definição de limite de uma função (Heine) Dada uma função real de variável real f e um ponto a IR, b IR, designa-se por limite de f(x) quando x tende para a, e representa- -se por: lim f(x) = b quando a for ponto aderente ao domínio de f D f e para toda a sucessão x n de elementos de D f convergente para a, lim f x n = b. O limite de f(x) quando x tende para a, quando existe, é único.

4 Definição de limite de uma função (Heine) Dada uma função real de variável real fe um ponto a IR, diz-se que o limite de f(x) quando x tende para a é + (respetivamente, ) e representa-se por lim f(x) = + (respetivamente, lim f(x) = ) quando a for ponto aderente ao domínio de f e, para toda a sucessão x n de elementos de D f convergente para a, lim f x n = + (respetivamente, lim f x n = ).

5 Limites laterais Dada uma função real de variável real f e a IR: b IR é o limite de f(x) quando x tende para a por valores inferiores a a e designa-se por limite de f(x) à esquerda de a quando b = lim f,a (x). c IR é o limite de f(x) quando x tende para a por valores superiores a a e designa-se por limite de f(x) à direita de a quando c = lim f a,+ (x). Estes resultados representam-se, respetivamente, escrevendo lim f(x) = b e lim f(x) = c. +

6 Limites laterais Estas definições estendem-se de igual modo ao caso em que o limite é + ou substituindo b por + ou, respetivamente. Dados a, b IR e uma função f, real de variável real, de domínio a, b, lim f x = lim f x e lim + x b f x = lim f x. x b

7 Limites laterais Dada uma função real de variável real f e um ponto a aderente ao respetivo domínio, D f : Se a D f e se os limites lim f(x) e lim f(x) existem e são + iguais, então, existe lim f(x) e, nesse caso: lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) + Se a D f e se os limites lim f(x) e lim f(x) existem e são iguais + a f a, então, existe lim f(x) e, nesse caso: lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) +

8 Limites no infinito Dada uma função real de variável real f de domínio não majorado, b IR, diz-se que o limite de f(x) quando x tende para +, (respetivamente, ), e representa-se por lim f(x) = b x + (respetivamente, lim x f(x) = b) quando, para toda a sucessão x n de elementos de D f e limite + (respetivamente, ), lim f x n = b (respetivamente, lim f x n = b).

9 Operações com limites de funções Dadas duas funções reais de variável real f: D f IR e g: D g IR, um número real a e um número racional r, quando os limites em pontos aderentes respetivamente aos domínios de f + g, fg, f, af e g f r, existem, tem-se, sempre que não resultem em indeterminações: 1. lim f + g x = lim f(x) + lim g(x) 2. lim fg (x) = lim f(x) lim g x ;

10 Operações com limites de funções f limf x 3. lim g x = ; limg x 4. lim af x = a lim f x ; 5. lim f x r = lim f x Mantendo-se ainda estas propriedades para limites infinitos ou quando x tende para + e, respetivamente, sempre que daí não resultem indeterminações. r

11 Propriedade Dado um conjunto D, duas funções reais de variável real f e g de domínio D e um ponto a aderente a D, se lim f(x) = 0 e g é limitada, então, lim f(x) g(x) = 0. Esta propriedade é ainda válida para os limites laterais e, sendo D um conjunto não limitado, quando x tende para + ou.

12 Limite da função composta Dadas funções reais de variável real f e g e um ponto a aderente a D g f, se lim f x = b e lim x b g x = c, então, lim g f (x) = c.

13 Função racional Uma função real de variável real definida pelo quociente de dois polinómios designa-se por função racional. Limite de uma função racional num ponto do seu domínio Dada uma função racional f e um ponto a D f, lim f(x) = f a.

14 Em geral: Dada uma função polinomial p x = a n x n + a 1 x + a 0, a n, a n 1,, a 1, a 0 IR, a n 0 tem-se: e lim x + a nx n + a 1 x + a 0 = lim x + a nx n lim x a nx n + a 1 x + a 0 = lim x a nx n