Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR Campus Pato Branco

Transcrição

1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR Campus Pato Branco Eercícios sobre Limites 1. O gráfico a seguir representa uma função f de [ 6,9] em R. Determine: (a) f() f() +f() f() (e) f( ) (f) f(7). Um gás (vapor d água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é comprimido, o volume V decresce até que atinja um certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma líquida. Observando a figura a seguir, determine: p 100 V p 100 +V p 100 V 3. Dada a função f definida por: 4 se < 1 f() = se = 1 + se > 1 Esboce o gráfico de f e calcule o limite quando tende a O gráfico a seguir representa uma função f de [ 3,4[ em R. Determine: (a) f(1) 1 f() 1 +f() 1

2 5. Para a função representada graficamente na figura a seguir, determine, se eistir, cada item abaio. Caso não eista, justifique. 6. Calcule o limite, se eistir: f() f() +f() 4 f() 4 f() 4 +f() (g) f(4) (h) f(0) (i) f( 5) 1 ( ) 1 (3 4+3) (4 3 1) (r) lim (g) lim (i) lim 6 6 (j) lim 1 (k) lim (l) lim (m) lim 4 (n) lim 4 4 (o) lim 4 (p) lim 3+ (q) lim 1 1 (r) lim (s) lim 4 (t) lim Calcule os limites no infinito, se eistir:

3 + + (g) lim (i) lim Calcule + (53 3 1) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( +3 ) (g) lim (i) lim (j) lim (k) lim (l) lim (m) lim (+1) 3 3 (n) lim (o) lim + (p) lim (3+) 3 (3+1)(4 1) (q) lim (r) lim Calcule os limites laterais, se eistir: h +4h+5 5 h 0 + h +(+3) + + (+3) + + { 3 se < 10. Seja f() = se > (a) Determine lim +f() e lim f() (b) Eiste lim f()? Se eite, qual é? Se não, por quê? (c) Determine lim 4 +f() e lim 4 f(). (d) Eiste lim f()? Se eite, qual é? Se não, por quê? Calcule os seguintes limites laterais:

4 Seja f() = 1 se se 1 < < se = (a) Quais são o domínio e a imagem de f? (b) Em que pontos c eiste lim c f()? (c) Em quais pontos eiste apenas o limite à esquerda? (d) Em quais pontos eiste apenas o limite â direita? 13. Ache os limites lim a f(), lim a +f() e limf(), caso eistam. a (a) f() = 4 4 ; a = 4 (b) f() = ; a = 5 (c) f() = 1 +8 ; a = Se 4 9 f() 4+7 para 0, encontre lim 4 f(). 15. Se g() 4 + para todo, encontre lim 1 g() 16. Encontre as assíntotas verticais e horizontais das funções abaio: (a) y = 1 1 (b) y = Calcule o limite: (c) y = (d) y = 1 + ( 1 3 ( 1 3 ) 4X 1 1 sin π 6 ) (g) lim + log 3 +log 3 (i) lim + ln (j) lim +ln (k) lim + log1 (l) lim +log1 18. Mostre que: (1+3) 4 = e 1 (1+) 1 = e (1+ )1 3 = e 1 3 = 3 e 4

5 ( )1 = e 4 7 (1 ) 1 = e 1 = 1 e (1+ )1 π = e 1 π 19. Calcule os seguintes limites: ( 1+ 1 ) n+ n + n ( 1+ 3 ) n n + n ( ) ( 1+ 5 ) +1 (1+sin) 1 sin + e ( (g) lim 1+ ) + + (i) lim ( 1 1 ) 3 ( ) 3+e 1 (j) lim + ln( +1) (k) lim ln( 1) (l) lim Calcule os limites abaio: ln(+) 1 +1 ln(3+) + 1 e sin 1 sin ln(1+) (Fazer +1 = u) (Fazer + = u) ln (g) lim(1+sin) cossec (Fazer sin = u) 4 ( 1+ 5 ) (i) lim (dividir por o num. e den.) 5 1 ( (j) lim 1+ ) + 1. Determine o limite das funções trigonométricas, se eistirem: + cos 1 θ θ 0 cosθ sin 5 π cos π π sin sinπ π sin(1 cos) (g) lim t 0 sin(3t) t sin() sin(3) (i) lim sin () (j) lim tan () (k) lim t π + sin(t) t π 5

6 . Responda: (a) Do gráfico de f mostrado abaio, diga os números nos quais f é descontínua e eplique por quê. (b) Para cada um dos números indicados na parte (a), determine se f é contínua à direita ou à esquerda, ou nenhum deles. 3. Esboce o gráfico de uma função que é contínua em toda parte, eceto em = 3 e é contínua à esquerda em = Esboce o gráfico de uma função que tenha descontinuidade de salto em = e uma descontinuidade removível em = 4, mas seja contínua no restante. 5. Se f e g forem contínuas, com f(3) = 5 e lim 3 [f() g()] = 4, encontre g(3). 6. use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que cada uma das funções abaio é contínua em um dado número a. (a) f() = + 7, a = 4 (b) f() = (+ 3 ) 4, a = 1 (c) f() = , a = 1 7. Eplique por que a função é descontínua no número a dado. Esboce o gráfico da função. (a) f() = ln ; a = { 1 (b) f() = 1 se 1 ; a = 1 se = 1 { e se < 0 (c) f() = se 0 ; a = 0 (d) f() = 1 se 1 ; a = 1 1 se = 1 (e) f() = cos se < 0 0 se = 0 1 se > 0 ; a = 0 8. Para quais valores da constante c a função f é contínua em (, )? { c f() = + se < 3 c se 9. Encontre os valores de a e b que tornam f contínua em toda parte. 4 se < f() = a b+3 se < < 3 a+b se 3 6

7 30. Nos itens a seguir são dados f(), a e L, bem como lim a f() = L. I) Determine δ > 0 para ε > 0 dado, de modo que satisfaça a definição de limite; II) Prove tal limite. (+4) = 10, ε = 0,01 3 (+) = 5, ε = 0,0 3 (3 1) = 7, ε = 0,1 (5 3) =, ε = 0,05 1 (4 5) = 3, ε = 0,001 (3 4) = 7, ε = 0,0 1 7

8 Respostas - Limites 1. (a) 3 (b) (c) 5 (d) (e) 0 (f) 0. (a) 0,8 (b) 0,4 (c) Não eiste 3. lim f() = (a) 4 (b) - (c) 4 5. (a) + (b) (c) Não eiste. (d) (e) (f) Não eiste. (g) Não eiste. (h) Não eiste. (i) Não eiste. (j) Não eiste. 6. (a) 8 (b) 4 (c) 5 6 (d) 5 (e) 3 (f) 6 (g) (h) 1 3 (i) 1 (j) (k) 80 (l) (m) 0 (n) 4 (o) 4 (p) (q) 1 4 (r) (s) 4 3 (t) (a) 1 3 (b) 0 (c) 0 (d) (e) 0 (f) 1 (g) 0 (h) (i) + 8. (a) + (f) (k) 0 (b) (g) + (l) + (c) (h) (m) 1 (d) + (i) 0 3 (e) + (j) 1 (n) (a) (b) 1 (c) 1 5 (o) 1 (p) 1 (q) (r) f() = e lim f() = 1 8

9 (b) Não eiste limf(), pois os limites laterais são diferentes. 4 +f() = 7 e lim 4 f() = 7 f() = 7, pois os limites laterais são iguais (a) (b) (c) (d) (e) (f) 1. (a) D(f) = [0;] e Im(f) = [0;1] {} (b) 0 < c < 1 e 1 < c < (c) c = (d) c = f() = 1, lim 4 f() = 1 e lim f() 4 f() = 1, lim 5 f() = 1 e lim f() 5 f() =, lim 8 f() = e lim f() (a) Horizontal: y = 0, vertical: = 1 (b) Horizontal: y =, vertical: = 1 9

10 (c) Horizontal: y = 1, vertical: = 3 (d) Horizontal: y = 0,vertical: = 1e = (a) + (b) + (c) 1 (d) 8 (e) (f) 6 (g) + (h) (i) + (j) (k) (l) (a) e (c) e 1 (e) e (g) 1 (i) 4 (k) + (b) e 3 (d) e 5 (f) 0 (h) 1 (j) + (l) 0 0. (a) 1 (b) 1 (c) 1 log e (d) 1 (e) (f) 3 (g) e (h) 5 e 1 (i) log5 (j) e 1. (a) 1 (b) 0 (c) 1 5 (d) 1 (e) 1 (f) 0 (g) 3 (h) 3 (i) 0 (j) 0 (k) Infinitas soluções. 4. Infinitas soluções. 5. g(3) =

11 7. (a) f() não está definido. (b) f() não eiste. (d) f() f(0) 8. c = 3 11

12 9. a = b = 1 Coletânea de eercícios elaborada pelos professores: Dra. Dayse Batistus; Msc. Ana Munaretto; Msc. Cristiane Pendeza; Msc. Adriano Delfino; Ms. Marieli Musial Tumelero Digitação: 1 a versão: Acadêmico Bruno Brito. Versão atual: Acadêmica Larissa Hagedorn Vieira e Professora Marieli Musial Tumelero Referência Bibliográfica: ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. Cálculo. vol. 1. Tradução: Claus I. Doering. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 007. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo, vol.1 e. 5 a ed. LTC Editora, Rio de Janeiro, RJ: 00. LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol.1. 3 a ed. São Paulo: Harbra, LIMA, J. D. Apostila de Cálculo I. UTFPR, Pato Branco, 008. STEWART, James. Cálculo. Vol.. 6 a ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 009. SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1. a ed. São Paulo: Makron Books do Brasil,1994. THOMAS, G. B. Cálculo. Vol a ed. São Paulo: Person, 00. 1