Universidade do Algarve

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1 FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA Licenciatura em Engenharia Informática Mestrado Integrado em Engenharia Eletrónica e Telecomunicações Primeira Frequência de Análise Matemática (versão A) 05/Novembro/0 Horário: 7:30-9:00 N. O NOME: - As questões de escolha múltipla serão cotadas com o seguinte critério: 0 valores escolha da opção correta.5 valores escolha de uma opção incorreta LEI MIEET 0 valores ausência de escolha - As respostas às questões de escolha múltipla devem ser assinaladas no enunciado, que, consequentemente, deve ser entregue conjuntamente com as folhas de teste utilizadas na resolução da prova. ˆ. Qual o domínio e contradomínio de fpxq arcsen x? ` [0] Df r,r; Df r0,π{s. Df s 8, `8r; Df s0,π{s. Df s 8,0s; Df r0,π{r. Df r0,s; Df s0,π{s.?x. O valor do ite `? x é: [0] xñ` `8. 3. Os valores de a e b para os quais a função [0] $ a, se x ď 0 & gpxq xsenpxq cospxq, se 0 ă x ă π % b, se x ě π é uma função contínua em todo o seu domínio de definição são:. a e b π. a 0 e b π. a e b π. a π e b. Página de Continua na próxima página...

2 «ff 4. O valor do ite pe x `3xq {x ` e3x é: [0] xñ0 x e 3. e. e `3. Não existe. 5. Sabendo que f,g são duas funções diferenciáveis, e que gp0q 4 e g p0q, o valor da [0] derivada da função f, dada por, fpxq g parcsenpx q arctgpx qq, no ponto x é: f pq 0. f pq. f pq. f pq. sen px q 6. Determine todas as assíntotas para o gráfico da função fpxq [30] x. 7. Seja f a função real de variável real definida por fpxq px `qln px `q. (a) Obtenha as derivadas de primeira e de segunda ordem da função. [5] (b) Indique os intervalos onde a função é crescente e aqueles onde decresce. [5] (c) Determine os pontos estacionários da função e classifique-os. [0] 8. Considere uma função definida de forma paramétrica por [0] $ & xptq acosptq, % yptq bsenptq com a,b PR. Obtenha a expressão para d y dx ptq. 9. Para a função [60] fpxq x 6x `3 px q indique: o domínio, os pontos de interseção com os eixos coordenados, o domínio de continuidade, a paridade, as assíntotas, a derivada, o domínio de definição da derivada, os pontos estacionários, os intervalos de monotonia, os extremos locais e/ou globais, os pontos de inflexão, os intervalos onde a concavidade está voltada para cima e para baixo, o contradomínio. Com base no estudo realizado, apresente um esboço para o gráfico da função f. Página de Continua na próxima página...

3 . Notando que e que tem-se Como x ě 0 ô x ` ě ô x ` ď x ` 0, 0 ă x PR. ` arcsen : r,s Ñ r π{,π{s, conclui-se que a função está definida para todo o valor real, ou seja, o domínio de definição da função f é D f R s 8, `8r, o que identifica imediatamente a opção a escolher. No entanto, no que diz respeito ao contradomínio tem-se 0 ă ˆ x PRôarcsenp0q ă arcsen ` x ď PR ` ˆ ô 0 ă arcsen x ď PR ` ou seja, o contradomínio da função é D f s0,π{s.. Para calcular este ite multiplica-se e divide-se pela expressão conjugada, ou seja, `? `? `? `??x x `? x x ``? x x ` x `? x?? xñ`8 xñ`8 x ``? x xñ`8 x ``? x px ` xq?? 0 xñ`8 x ``? x xñ`8 x ``? x 3. Por definição, uma função diz-se contínua num pontox c se xñc fpxq fpcq. Desta forma, para a função dada ser contínua no ponto x 0 é necessário que fp0q a xñ0 fpxq xñ0`fpxq xñ0`. xñ0` x senpxqp ` cospxqq sen pxq xsenpxq cospxq x senpxqp ` cospxqq xñ0` cos pxq xp ` cospxqq xñ0` senpxq xñ0` `cospxq psenpxq{xq Página 3 de Continua na próxima página...

4 Por outro lado, para f ser contínua no ponto x π{ é necessário garantir que fpπ{q b xñπ{`fpxq xñπ{ fpxq xñπ{ xsenpxq cospxq π. 4. O ite calcula-se com a utilização da regra de l Hôpital. Desta forma, «ff pe x `3xq {x ` e3x xñ0 x pe x `3xq {x e 3x ` xñ0 xñ0 x e lnpex`3xq {x 6xe 3x ` xñ0 xñ0 x e lnpex`3xq {x 6e 3x xñ0 ` xñ0 e lnpe x`3xq xñ0 x 3 e xñ0 e x`3 pe x`3xq 3 e 4 3 e Com base nas hipóteses formuladas tem-se f pxq g parcsenpx q arctgpx qqg parcsenpx q arctgpx qq E, consequentemente, no ponto x, f pq g parcsenp0q arctgp0qqg parcsenp0q arctgp0qq gp0qg p0qp q 0. a px q ` px q a p0q ` p0q 6. No que diz respeito ao domínio da função tem-se! ) D f x PR: x 0 tx PR: px qpx `q 0u tx PR: x,x u Rz t,u Página 4 de Continua na próxima página...

5 Comece-se então por verificar a existência de assíntotas verticais. As retas candidatas a assíntotas verticais são x e x. No entanto, senpx q xñ x xñ e, de forma análoga, senpx q xñ ` x xñ ` senpx q px qpx `q senpx q px qpx `q xñ xñ ` senpx q senp q 8, x ` x 0 senpx q senp q `8. x ` x 0` O que significa que a reta x é uma assíntota vertical para o gráfico da função. Note-se que π «3.45 ă ă π{ «.55, e que senpxq ă Ps π, π{r. No que diz respeito à reta x tem-se senpx q xñ x xñ senpx q px qpx `q xñ senpx q x ` x senpx q xñ` x. o que significa que a reta x não é assíntota vertical para o gráfico da função. No que diz respeito às assíntotas não verticais, comece-se por analisar a existência de assíntotas oblíquas m fpxq x senpx q xpx q o que significa que não existem assíntotas oblíquas. Por outro lado, b pfpxq mxq fpxq senpx q x xpx senpx q 0, q x senpx q 0, o que permite concluir que a reta y 0 é uma assíntota horizontal para o gráfico da função f. 6 O gráfico da função f possui uma assíntota vertical, x, e uma assíntota horizontal, y (a) A derivada de primeira ordem é dada por f pxq px `q ln px `q px `q ` px `qlnpx `q x ` ln px `q `lnpx `q lnpx `q plnpx `q `q. Página 5 de Continua na próxima página...

6 Consequentemente, a derivada de segunda ordem é f px `q `q pxq lnpx `q `px x ` x ` plnpx `q `q. x ` (b) Para começar note-se que D f tx PR: x ` ą 0u s, `8r. Por outro lado, f pxq 0 ô lnpx `q plnpx `q `q 0 ô lnpx `q 0 _ plnpx `q `q 0 ô x ` e 0 _lnpx `q ô x 0 _x` e ô x 0 _x e Assim sendo tem-se `8 e 0 lnpx ` q 0 ` lnpx `q ` 0 ` ` f pxq ` 0 0 ` f pxq Õ max. Œ min. Õ Conclui-se portanto que a função cresce nos intervalos s,e r e s0, `8r e decresce no intervalo se,0r. (c) No que diz respeito aos pontos estacionários, estes já foram calculados na alínea anterior, f pxq 0 ô x e _x 0. Pela análise à tabela construída também se constata que o ponto x e é um ponto de máximo relativo e o ponto x 0 é um ponto de mínimo relativo. Este facto pode ser comprovado através do teste do sinal da derivada de segunda ordem, ou seja, f pe q lnpe `q ` e ` e ă 0, o que prova que o ponto x e é um ponto de máximo relativo. Por outro lado, f p0q lnp0 `q ` ą 0, Página 6 de Continua na próxima página...

7 e, portanto, o ponto x 0 é um ponto de mínimo relativo. Deve notar-se ainda que xñ `fpxq E, por outro lado, xñ `px `qln px `q 0ˆ8 ln px `q xñ ` {px `q lnpx `q{px `q xñ ` xñ ` {px `q xñ ` {px `q {px `q 8{8 0ˆ8 lnpx `qpx `q xñ `px `q 0 fp0q. fpxq px xñ`8 xñ`8 `qln px `q `8 Estes resultados provam que no pontox 0 a função atinge um mínimo absoluto e no ponto x e a função atinge um máximo relativo. 8. Com base na forma paramétrica como está definida a função tem-se Consequentemente, d y dx ptq dy dy dx ptq dt d dt dx dt dy dt dx dt bcosptq asenptq b a cotgptq b a sen ptq b a senptq a cosec3 ptq. 9. Analisem-se então cada um dos itens do enunciado. Domínio: D f x PR: px q 0 ( tx PR: x u Rz tu. Interseções com os eixos: com o eixo-x (y 0): fpxq 0 ô x 6x `3 0 ô x 3?3 com o eixo-y (x 0): y fp0q 3 p q 3 4. _x 3 `?3. Conclui-se assim que o gráfico da função f interseta o eixo-x nos pontos x 3?3 x 3 `?3, ou seja, a função possui dois zeros, e que interseta o eixo-y no ponto p0,3{4q. e Página 7 de Continua na próxima página...

8 Domínio de continuidade: A função é contínua em todo o seu domínio de definição, uma vez que se trata de uma função racional. Paridade: fp xq p xq 6p xq `3 pp xq q x `6x `3 px `q. Desta forma fp xq fpxq e fp xq fpxq, o que significa que a função não é par nem ímpar. Assíntotas: No que diz respeito às assíntotas verticais tem-se que x 6x `3 8 `3 xñ px q 0` 0` 8 o que significa que a reta x é uma assíntota vertical para o gráfico da função f. E, em relação às assíntotas não verticais, e m fpxq x x 6x `3 xpx q x 6x `3 x 3 4x `4x x p p6{xq ` p3{x qq x 3 p p4{xq ` p4{x qq p6{xq ` p3{x q xp p4{xq ` p4{x qq 0 b pfpxq mxq x 6x `3 px q x 6x `3 x 4x `4 x p p6{xq ` p3{x qq x p p4{xq ` p4{x qq p6{xq ` p3{x q p4{xq ` p4{x q Página 8 de Continua na próxima página...

9 O que permite concluir que a reta y é uma assíntota horizontal para o gráfico da função. Derivada: f pxq px 6x `3q px q px 6x `3qppx q q px q 4 p4x 6qpx q px 6x `3qppx qq px q 4 px q p4x 6qpx q px 6x `3q px qpx q 3 4x 8x 6x ` 4x `x 6 px q 3 6 x px q 3 Domínio de definição da derivada: O domínio de definição da derivada é exatamente igual ao domínio de definição da função, ou seja,rz tu. Pontos estacionários: f pxq 0 ô 6 x px q 3 0 ô 6 x 0 ^x ô x 3 ^x. A função possui um único ponto estacionário,x 3. Intervalos de monotonia: 8 `8 3 6 x ` ` 0 px q 3 0 ` ` f pxq s.s. ` 0 f pxq Œ s.s. Õ max. Œ A função decresce nos intervalos s 8, r e s3, `8r e cresce no intervalo s, 3r. Página 9 de Continua na próxima página...

10 Derivada de segunda ordem: f pxq p6 xq px q 3 p6 xqppx q 3 q px q 6 p qpx q3 p6 xqp3px q q px q 6 px q rp qpx q 3p6 xqs px q px q 4 x `4 8 `6x px q 4 4x 4 px q 4 Classificação dos pontos estacionários (teste do sinal da derivada de segunda ordem): Como existe um único ponto estacionário a análise a realizar é muito simples. Neste caso, f p3q ă 0, 4 o que significa que o ponto x 3 é ponto de máximo relativo para a função f. Além disso, como e fpxq fpxq, xñ 8 xñ`8 8 xñ fpxq xñ`fpxq, pode concluir-se que a função atinge um máximo absoluto no pontox 3, sendo o valor da função nesse ponto fp3q 3. Pontos de inflexão para o gráfico de f: f pxq 0 ô 4x 4 0 ô 4x 4 0 ^x px q4 ô x 7 ^x. Notando que o sinal da derivada de segunda ordem á esquerda do ponto x 7{ é negativo e que à direita é positivo, conclui-se imediatamente que o gráfico da função possui apenas um ponto de inflexão, ou seja, o ponto x 7{ (ver tabela que se segue). Página 0 de Continua na próxima página...

11 Universidade do Algarve Sentido das concavidades do gráfico da função f: 8 `8 7{ 4x 4 0 ` px q 4 ` 0 ` ` f pxq s.s. 0 ` f pxq X s.s. X p.i. Y O gráfico da função possui concavidade voltada para cima no intervalo s7{, `8r e possui concavidade voltada para baixo nos intervalos s 8,r e s,7{r. Contradomínio de f: De acordo com os resultados do estudo realizado pode concluir-se que o contradomínio da função é s 8,fp3qs, ou seja, Df s 8,3s. Esboço gráfico da função f: y 3 6{9 3{4 0 3?3 3`?3 3 7{ x Página de Fim da Prova.