UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA ARI JÚNIOR DOS SANTOS MACHADO LIMITES E DERIVADAS PARA O ENSINO MÉDIO BELÉM- PARÁ

2 Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação CIP Sistema de Bibliotecas da UFPA Macado, Ari Júnior dos Santos, 978 Limites e derivadas para o ensino médio / Ari Júnior dos Santos Macado Orientador: Pro Dr Dilberto da Silva Almeida Junior Dissertação Mestrado Universidade Federal do Pará, Instituto de Ciências Eatas e Naturais, Porgrama de Pós-Graduação em Matemática, Belém, Funções Matemática Cálculo Derivadas Matemática I Título CDD ed 55

3 ARI JÚNIOR DOS SANTOS MACHADO LIMITES E DERIVADAS PARA O ENSINO MÉDIO Monograia apresentada à Universidade Federal do Pará UFPA, como instrumento parcial para obtenção do grau de Mestre em Matemática Orientador: Pro Dr Dilberto da Silva Almeida Júnior BELÉM-PARÁ

4 ARI JÚNIOR DOS SANTOS MACHADO Monograia apresentada à Universidade Federal do Pará UFPA, como trabalo de conclusão de curso de Mestrado em Matemática, e aprovada em /8/, pela banca eaminadora constituída pelos proessores:

5 Aos meus amiliares e aos meus amigos, pela compreensão, pela paciência e pelo apoio neste importante momento de mina vida

6 Agradeço a Deus, princípio de tudo, pela presença constante e pela proteção A meus pais, eemplos e alicerces em mina vida, pela ormação e pela é inabalável que depositam em mim A meus amiliares e aos amigos, pelos bons e pelos maus momentos e pela orça que me deram para seguir A Sociedade Brasileira de Matemática SBM, pela oportunidade de participar do PROFMAT, programa que nos proporcionou imensurável crescimento intelectual A Universidade Federal do Pará UFPA, pela estrutura ísica e intelectual que nos proporcionou A CAPES, pelo reconecimento e pelo investimento que viabilizaram este importante projeto Ao meu orientador, Pro Dr Dilberto da Silva Almeida Júnior, pela dedicação, pela compreensão e pela contribuição para a realização deste trabalo

7 RESUMO Este trabalo tem o objetivo de oerecer à comunidade da educação básica uma proposta de ensino para a construção de gráicos de unções reais, a partir dos conceitos de ites e de derivadas O dierencial deste material é que os conceitos de ites e de derivadas são apresentados a começar da motivação geométrica Iniciaremos com uma noção intuitiva de ite, mostrando variados eemplos, utilizando tabelas e gráicos Mostraremos também a ideia de unção contínua, de ites laterais, de ites ininitos e de ites no ininito Na sequência, surgirá o conceito de derivada, partindo do problema da velocidade instantânea e do problema da reta tangente, passando pela deinição através de ite Mostraremos, ainda, algumas regras de derivação e inalizaremos com a construção do gráico de unções, em que serão destacadas as características dos gráicos, como pontos de máimo ou de mínimo, intervalos de crescimento e decrescimento e intervalos em que o gráico é côncavo para cima ou para baio Palavras-cave: unções, ites, derivadas, gráicos

8 ABSTRACT Tis work aims to provide te community wit basic education a teacing proposal or te construction o graps o real unctions, based on te concepts o its and derivatives Te dierential o tis material is tat te concepts o its and derivatives are presented beginning wit te geometric motivation Starts rowing wit an intuitive notion o it, sowing various eamples, using carts and graps We will also sow te idea o continuous unction, late-ral its, ininite its and its at ininity Following, you will see te concept o derivative, leaving te problem o te instantaneous velocity and te problem o te tangent line passing troug te deinition o it Sow also some rules o derivation and conclude wit te construction o te grap o unctions, wic will igligt te caracteristics o graps, as points o maimum or minimum intervals o growt and degrowt and intervals were te grap is concave upward or downward Keywords: unctions, its, derivatives, graps

9 SUMÁRIO INTRODUÇÃO 8 Capítulo : LIMITES DE FUNÇÕES 9 Noção Intuitiva de Limite 9 Propriedades Operatórias dos Limites Limite da Soma ou da Dierença Uma constante vezes uma unção Limite do Produto Limite do Quociente Limites Ininitos Limites no Ininito 5 Capítulo : NOÇÕES DE DERIVADA 9 A Velocidade Instantânea 9 A Reta Tangente Capítulo : CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES Intervalos de Crescimento e Decrescimento Concavidade do Gráico de uma Função CONSIDERAÇÕES FINAIS 55 REFERÊNCIAS 56

10 8 INTRODUÇÃO O presente trabalo é uma proposta de ensino das noções de ites e das de derivadas no ensino médio No entanto, sem o rigor matemático das demonstrações e das simbologias utilizadas no ensino superior A abordagem será eita a partir do aspecto geométrico, buscando os conceitos de orma intuitiva Um dos objetivos é apresentar erramentas de cálculo dierencial, a im de que o aluno tena condições de esboçar os gráicos de vários tipos de unções reais, pois sabemos que nos ensinos undamental e médio são estudadas as unções, como as polinomiais de º e de º graus, as eponenciais e as logarítmicas, assim como seus respectivos gráicos Entretanto, quando se trata da construção do gráico de uma unção polinomial de grau maior ou igual a três, como = + +, ou de uma unção racional, como, os alunos têm diiculdades de saber o comportamento do gráico, uma vez que são necessários conceitos de ites e de derivadas que, a meu ver, deveriam azer parte do currículo do ensino médio Além disso, sem ter a noção de ite e de derivada no ensino médio, os alunos ingressam no nível superior e apresentam muita diiculdade nas disciplinas de Cálculo Dierencial e Integral Neste trabalo, dar-se-á ênase no esboço de gráicos de unções reais, reunindo inormações necessárias a estas construções, como: identiicar pontos de máimos e de mínimos, intervalos de crescimento e de decrescimento e intervalos em que o gráico é côncavo para cima ou para baio Iniciaremos com a ideia geométrica de ites, perpassando pelo cálculo de ites até o conceito de derivada, a partir dos problemas de velocidade instantânea e da reta tangente em uma e inalizaremos com as aplicações de derivada na construção dos gráicos

11 9 CAPÍTULO LIMITES DE FUNÇÕES Noção Intuitiva de Limite A noção intuitiva de ite está ligada a várias ideias, dentre elas a de tendência Dizer que tende a um determinado valor p, do domínio de uma unção, signiica que os valores de se aproimam de p Dizer que o ite de uma unção, quando tende a p representa-se: p, é igual a L, signiica que, quando os valores de se aproimam de p, os valores da unção aproimam-se de L Simbolicamente, escreve-se: L p Vejamos os seguintes eemplos: Eemplo Usando a noção intuitiva, vamos identiicar o ite, quando tende a, da unção = De outro modo, vamos calcular Vamos construir tabelas para obtermos o valor do ite: = =,5,5 =,5,5,5,5 =,5,5,8,8 =,8,8,,5 =,,,9,9 =,9,9,, =,,,99,99 =,99,99,, =,,

12 Graicamente, temos:,5,5,5,5 Figura : Gráico de = Observe que, quando tende a, tanto por valores menores quanto por valores maiores que, aproima-se de, portanto, É importante observar que = =, ou seja, Eemplo Calcule o, usando a noção intuitiva Construindo as tabelas para os valores da unção = +, temos: = + = +,7,7 =,7 +,9,, =, +,,8,8 =,8 +,6,, =, +,,9,9 =,9 +,8,, =, +,,99,99 =,99 +,98,, =, +,

13 Fazendo a análise do gráico, temos: Figura : Gráico de = + Assim, temos que, quando os valores de se aproimam de, tanto pela direita quanto pela esquerda do número, aproima-se de, logo, Notemos que = + =, logo, Eemplo Através da noção intuitiva de ite, calcule o Construindo as tabelas para os valores da unção =, temos: = =,7,7 =,7,95,, =,,9,8,8 =,8,99,, =,,8,9,9 =,9,978,, =,,5,99,99 =,99,9975,, =,,

14 Observemos o gráico da unção: Figura : Gráico de = Note que, quando os valores de se aproimam de, tanto pela direita quanto pela esquerda, aproima-se de, logo, Veja que, portanto, Eemplo Calcular o ite da unção, quando tende a Vamos obter o de orma intuitiva, a partir da construção das tabelas para os valores da unção Assim: X,, =,,,7,7 =,7,7,, =,,,8,8 =,8,8,, =,,,9,9 =,9,9,, =,,,99,99 =,99,99

15 Vejamos o gráico da unção: Figura : Gráico de Vamos observar que, quando os valores de se aproimam de, tanto pela direita quanto pela esquerda do mesmo, aproima-se de, portanto, É importante notar que, ou seja, Nos eemplos apresentados até aqui, os ites das unções, com tendendo a um determinado valor p, oram iguais ao valor numérico das unções naquele ponto, ou seja, p Mas será sempre assim? Vejamos outros eemplos: p Eemplo 5 Vamos obter agora seguinte ite: Primeiramente, devemos notar que o número não pertence ao domínio da unção, pois a unção não está deinida para =, já que é uma indeterminação No entanto, é possível obter o ite, pois o cálculo do ite dá-se para valores próimos de e não para =, ou seja, para Assim sendo, podemos azer a seguinte simpliicação: ;

16 Logo, calcular equivale a calcular De orma intuitiva, através da tabela e do gráico, vamos obter o valor do ite: X = + = +,7,7 =,7 +,7,, =, +,,8,8 =,8 +,8,, =, +,,9,9 =,9 +,9,, =, +,,99,99 =,99 +,99,, =, +, Graicamente, temos: Figura 5: Gráico de Daí concluímos que Eemplo 6 Calcular o ite a seguir:

17 5 De modo análogo ao eemplo anterior, o número não pertence ao domínio da unção, pois a unção não está deinida para =, pois é uma indeterminação Mas é possível obter o ite, já que o cálculo do ite dá-se para valores próimos de e não para =, ou seja, para Assim sendo, podemos azer a seguinte simpliicação: ; Logo, calcular equivale a calcular De orma intuitiva, através da tabela e do gráico, vamos obter o valor do ite:,7,7,7,,7,,8,8,8,,7,,9,9,9,,7,,99,99,99,,7,

18 6 Graicamente, temos: Figura 6: Gráico de Portanto, concluímos que Com esses dois eemplos, vimos que o ite não se dá eatamente no ponto, mas sim nas redondezas dele, o que camamos de vizinança do ponto Nos eemplos,, e temos o que camamos de unções contínuas Funções contínuas, intuitivamente, são aquelas cujos gráicos não apresentam saltos nem buracos Podemos dizer, ainda, que unções contínuas são aquelas em que traçamos completamente seu gráico e não aastamos a ponta do graite do papel A unção descontínua, por sua vez, é aquela em que, em algum momento durante o deseno do gráico, teremos de aastar a ponta do graite de um ponto, para continuarmos a partir de outro Vejamos os gráicos das unções a seguir:

19 7 Gráico : = + sen Figura 7: Gráico de = + sen Gráico : Figura 8: Gráico de

20 8 Gráico : Figura 9: Gráico de O gráico é de uma unção contínua e os e, de unções descontínuas Quando uma unção é contínua, temos que p No ensino médio, são estudadas as unções polinomiais, as eponenciais, as logarítmicas, as modulares e outras, assim como seus respectivos gráicos, que são eemplos de unções contínuas Vejamos alguns eemplos de cálculo de ites Eemplo 6 Determine o ite Solução: p Como as unções polinomiais são contínuas, então: Eemplo 7 Calcule o valor do ite Solução: Como as unções eponenciais são contínuas, então: 6

21 9 Eemplo 8 Calcule o valor do ite 6 log Solução: Como as unções logarítmicas são contínuas, então: log 6 log 6 Eemplo 9 Calcule o valor do ite Solução: Como as unções modulares são contínuas, temos: Eemplo Calcule o valor do ite Solução: Agora temos uma unção descontínua em =, pois é uma indeterminação Neste caso, vamos simpliicar a epressão, com o objetivo de obtermos uma epressão que seja equivalente a ela, porém, contínua em = Então, simpliicando, obteremos: Assim, Em todos os eemplos estudados até agora, mesmo com buracos de descontinuidades, as unções sempre tendiam a um certo valor L, quando tendia a um certo valor a, independentemente dos valores assumidos por na vizinança de a, ou seja, os ites sempre eistiram Mas á situações, como na unção:, se,, se

22 em que além da descontinuidade, temos uma mudança na tendência de, quando nos aproimamos de = pela esquerda ou pela direita Vejamos:,7,7 =,7,, =,,8,8,7 =,8,, =,,,9,7 =,9,, =,,,99,7 =,99,, =,, Se tende a pela esquerda, observamos que tende a e podemos representar assim: Mas, se tende a pela direita, observamos que tende a e podemos representar isso por: O gráico que ilustra esta situação segue abaio: Figura : Gráico de, se, se

23 Os ites e são camados de ites laterais à esquerda e à direita, respectivamente Neste eemplo, como os ites laterais são dierentes, dizemos que não eiste o ite de, quando tende a Podemos dizer então que, dada uma unção, o ite p só eiste se eistirem e orem iguais os ites laterais p e p ; se Eemplo Considere a unção Determine o valor 5 ; se do ite Solução: Como a tendência do ite é pela esquerda, então é dada pela sentença =, portanto, 6 Propriedades Operatórias dos Limites Para algumas unções, são necessárias algumas propriedades para o cálculo do ite, estas vamos assumir como verdadeiras e citá-las a seguir: Sendo k uma constate, L a g L, temos: e a Limite da Soma ou da Dierença a Uma constante vezes uma unção g L L a k k L Limite do Produto a g L L Limite do Quociente a g L L

24 Vejamos alguns eemplos de aplicação Eemplo Calcule o ite Solução: Como o ite da produto é igual a produto dos ites, então Eemplo Determine o valor do ite 6 Solução: Como o ite da soma é igual a soma dos ites, temos Eemplo Determine o valor do ite Solução: log Como o ite do quociente é igual ao quociente dos ites, temos log log log Limites Ininitos Vamos analisar a tendência do gráico da unção, quando se aproima ao máimo de zero, tanto pela esquerda quanto pela direita, ou seja, vamos calcular e de valores, observe: e obteremos os valores desses ites através das tabelas

25 Tabela,,,,,,,,,,,,,,, Tabela,,,,,,,,,,,,,,,

26 Veja que, quando se aproima de zero, tanto pela esquerda quanto pela direita, os valores da unção não se aproimam de nenum valor L Pelo contrário, quanto mais próimos de zero os valores de pela esquerda, menores os valores da unção, ou seja, os valores da unção diminuem indeinidamente Para representar essa situação, usamos o símbolo Logo, escrevemos: Quando tende a zero pela direita, os valores da unção crescem indeinidamente, então, Geometricamente, temos o seguinte gráico: Figura : Gráico de Poderíamos obter essa tendência da unção analisando a ração Veja que, mantendo o numerador da ração constante, quanto mais próimo de zero or o denominador, maior valor absoluto terá a unção Vejamos alguns eemplos: Eemplo Determine o ite a seguir

27 5 Solução: Quando, temos que,, então, pois, > Logo, Assim, podemos dizer que a reta = é uma assíntota vertical, veja o gráico: Figura : Gráico de p Analisando estes dois últimos gráicos, podemos airmar que, se e/ou, então = p é uma assíntota vertical p Limites no Ininito Nesta seção, vamos analisar o comportamento de uma unção, quando cresce ou decresce indeinidamente, ou seja, vamos aprender a calcular ites no ininito ites com Simbolicamente, L ou L Vejamos os eemplos a seguir,

28 6 Eemplo Calcule o valor do ite Solução: Analisando a unção, temos que, como o numerador da ração é constante, quanto maior or o denominador dela, mais próimo de zero estará o valor da unção, ou seja, Observe o gráico de Figura : Gráico de Eemplo Determine o valor do ite Solução: 5 5 Neste caso, devemos colocar em evidência a maior potência de tanto no numerador como no denominador: Deste modo, os termos do tipo n quando +, assim:

29 7 Figura : Gráico de Geometricamente, obtemos: Eemplo 5 Dada a unção, determine o valor do ite Solução: Queremos calcular o seguinte ite: Note que, quando +, os termos e também tendem a +, então teríamos, que é uma epressão que não tem sentido Então, vamos azer a seguinte manipulação algébrica: Assim,

30 8 Figura 5: Gráico de Portanto, Geometricamente, temos:

31 9 CAPÍTULO NOÇÕES DE DERIVADA A Velocidade Instantânea Vamos considerar que Cico Bento oi dar um cute em uma bola de utebol Como o cute, porém, oi quase vertical, a bola caiu em sua própria cabeça ttp://mundodedesenosparacolorirblogspotcombr//7/ cico-bento-jogando-bolatml; Acesso em: 9/7/ Supona que o movimento completo da bola levou um pouco mais de segundos e que a partir de otograias tiradas em intervalos regulares oi possível medir a altura da bola a cada meio segundo Estes valores estão na tabela a seguir: Alturas da bola Tempo s,5,5 Altura m 5,5 7 6,5 Qual oi a velocidade da bola no instante t = segundo? Vamos supor um movimento quase vertical, a partir dos dados obtidos, podemos calcular a velocidade média, que é a razão entre o espaço percorrido em metros e o intervalo de tempo que se levou para percorrer este espaço em segundos, entre os instantes t =,5 s e t = s espaço percorrido S 7 5,5,75 Vm Vm,5 m/ s tempo t,5,5

32 O problema é que a velocidade varia muito entre t =,5 e t = Quando se cuta uma bola verticalmente para cima, a velocidade diminui até que a bola pare e comece a voltar Com medições mais precisas, podemos calcular uma velocidade média em intervalos menores em torno de t = Observe que até aqui não temos uma deinição para velocidade em um instante, apenas velocidades médias Vamos supor que oram eitas as seguintes medições um pouco mais precisas: Alturas da bola Tempo s,5,5,75 Altura m, 5,5 6, 7 Usando o intervalo entre t = ;75 s e t = s, obtemos a velocidade média S 7 6,,56 Vm Vm, m/ s t,75,5 Medidas ainda mais precisas do movimento, permitem o cálculo de velocidades médias em intervalos menores Digamos que a altura da bola oi medida a cada, segundo e que os valores próimos a t = estão na tabela a seguir: Alturas da bola Tempo s,8,9,, Altura m 6,6 6,85 7 7,5 7 Calculando a velocidade média no intervalo entre t = s e t =, s, obtemos: S 7,5 7,5 Vm Vm,5 m/ s, t,, que é a velocidade média em um intervalo de, segundo, iniciando no instante t = Logicamente que medidas mais precisas poderiam permitir o cálculo da velocidade média em intervalos cada vez menores em torno de t =, mas ainda não seria a velocidade no instante t = s Intuitivamente, quanto menor o intervalo, mais próima à velocidade média ica da velocidade instantânea Para deinir esta, temos que recorrer ao conceito de ite

33 Se st é a altura da bola no tempo t, então considerando a velocidade média no intervalo de tempo [; + ], quando tende a, então esta velocidade média tende a um valor que pode ser considerado a velocidade instantânea em t =, ou seja, podemos deinir s s v De maneira mais geral, se st é a unção posição de um objeto, então a velocidade deste objeto no tempo t = t é deinida por s s t s t v t, t t se tal ite eistir A Reta Tangente A situação que vamos citar agora corresponde a encontrar a equação da reta tangente passando por um certo ponto de uma curva que é gráico de uma unção y = Seja uma unção e seja = A um ponto do seu domínio Seja B = A + Observe o gráico de uma unção, em que traçamos a reta secante que passa pelos pontos A = A ; A e B = B ; B Note que o gráico oi traçado supondo > No entanto, a situação < dá-se de modo análogo B B B A A A = B A A B Figura : Reta secante Sabemos que o coeiciente angular ou inclinação da reta secante à curva, passando pelos pontos A = A ; A e B = B ; B é dado por

34 A A B A B A Tomando cada vez mais próimo de zero, obtemos retas secantes que cortam a curva em dois pontos A e B i, cada vez mais próimos Observe a igura abaio: B B B A B A Figura : Reta tangente Intuitivamente, percebemos que, quando A + se aproimam de A, então os pontos A + e A, em que a secante corta a curva, icam cada vez mais próimos e assim estas curvas secantes se aproimam cada vez mais da tangente em A Quando se aproima de zero, se o quociente A A, que representa o coeiciente angular da reta secante, que passa por A ; A e A + ; A +, aproima-se de um determinado valor, este, de orma intuitiva, deverá ser o coeiciente angular da reta tangente Na verdade, o que azemos é deinir reta tangente da curva em P = ; como a reta que passa por P e cujo coeiciente angular é dado por Se o ite não eistir, não á reta tangente no ponto Note que este problema está relacionado com o problema de encontrar a velocidade instantânea no instante t = t O ite encontrado corresponde eatamente à deinição de derivada de uma unção Portanto, podemos deinir:

35 A derivada de uma unção y = deinida em um intervalo aberto I em um ponto I é dada por caso este ite eista, Se o ite eistir, a unção é dita derivável em A seguir, temos a deinição de unção derivada: Uma unção deinida em um intervalo aberto I Se é derivável em todos os pontos de seu domínio, dizemos que a unção é derivável e que a unção : I R, que associa a cada I o valor, é a unção derivada de dy Usa-se também a notação para representar a derivada, tanto d dy quanto representam a derivada da unção no ponto de seu domínio d Vejamos alguns eemplos de como calcular a derivada de algumas unções Eemplo Vamos obter a derivada da unção constante = k Sendo = k uma unção constante, sabemos que seu gráico é uma reta orizontal, que tem coeiciente angular zero A tangente em qualquer ponto é a própria reta e, portanto, também tem coeiciente angular zero Portanto, se = k então = Podemos também usar o conceito de derivada a partir do ite Veja: Para todo R, temos: k k Eemplo Vamos agora obter a derivada da unção aim = m + n Seja = m + n uma unção aim, como o gráico é uma reta r, é evidente que sua reta tangente em qualquer ponto é própria reta r e a derivada da unção em qualquer ponto é o coeiciente angular m da reta, isto é: Se = m + n, então = m Usando o ite, temos: m n m n m m n m n m m

36 Eemplo Determinar a derivada da unção = Devemos observar que a unção = é uma unção do tipo = m + n, com m = e n =, portanto, de acordo com o eemplo anterior, sua derivada será = Eemplo Calcular a derivada da unção = Usando o conceito de derivada através de ite, temos: Eemplo 5 Calcular a derivada da unção = Usando o conceito de derivada através de ite, temos: Eemplo 6 Determinar a derivada da unção = Usando o conceito de derivada através de ite, temos: Eemplo 7 Obter a derivada da unção, para > Utilizando a deinição de derivada através de ite, temos:

37 5 Se ormos comparar, nos últimos eemplos, as unções primitivas e as respectivas derivadas, vamos obter um padrão Vejamos: A partir deste padrão, podemos dizer que: n n n Vimos que a derivada da unção = é =, é se a unção or = 5, qual será sua derivada? Vamos calcular usando a deinição, Veja que a derivada de = 5 nada mais é do que 5 vezes a derivada de Assim, podemos concluir que para calcular a derivada de uma constante vezes uma unção, basta multiplicar a constante vezes a derivada da unção, ou seja, se = k é derivável, então sua derivada será = k Consideremos agora as unções u = e v =, se = u + v, então sua derivada será:

38 6 Ou seja, se = +, então, = + Note que a derivada de = u + v nada mais é do que = u + v Assim, de orma intuitiva, podemos dizer que a derivada da soma de unções corresponde à soma das derivadas das parcelas E de modo análogo temos que, se = u v então, = u v Vejamos na sequência, unções deinidas por produtos e por quocientes Eemplo 8 Dada a unção =, encontre Solução: A partir da deinição de unção derivada, temos: É importante observar, que = + = + = + = 6 Então, veja que se a unção é deinida como o produto de duas unções, para calcular sua derivada, devemos derivar a primeira unção e multiplicar pela segunda, daí somamos com o produto da primeira pela derivada da segunda, ou seja: se = u v então, = u v + uv

39 7 Eemplo 9 Determine a derivada da unção Solução: Usando a deinição de unção derivada, por ites, temos: No eemplo 9, a unção é deinida por um quociente, portanto poderia ser epressa por um produto, veja: E assim, poderíamos usar a regra da derivada do produto, mas a derivada do ator + é calculada através da regra da cadeia, que ainda não abordamos aqui Porém, eiste uma regra para calcular-se a derivada de um quociente de unções, a saber: se uma unção é deinida como o produto de duas unções, para calcular sua derivada, devemos derivar a primeira unção e multiplicar pela segunda, daí subtrairmos pelo o produto da primeira pela derivada da segunda e, por im, dividimos o resultado por pelo quadrado da segunda unção, ou seja, v v u v u v u Aplicando esta regra à unção do eemplo 9, temos:

40 8 ' ' 5 Eistem outras regras para o cálculo da derivada de uma unção, porém, abordaremos aqui mais a regra para derivar unções compostas, camada Regra da Cadeia, que enunciaremos a seguir Sejam e g duas unções tais que é derivável em e g é derivável em Então, a unção composta go, dada por go = g é derivável em e sua derivada é dada por go = g Façamos alguns eemplos de aplicação da regra da cadeia Eemplo Determine a derivada da unção = + Solução: Vamos considerar u = + e vu = u Note que = vu e que u = e v u = u 9 Aplicando a regra da cadeia, temos: = v u u = + 9 = + 9 Eemplo Sendo a unção, determine a derivada da unção Solução: Vamos considerar u = + e vu = u Note que = vu, e que u = + e v u = Aplicando a regra da cadeia, temos: u = v u u = = u

41 9 Eemplo Determine a equação da reta tangente à curva y = no ponto = Solução: Primeiro calculamos a derivada de y = no ponto = Temos dy = obteremos 6 d dy d, em Assim, o coeiciente angular da reta tangente a curva no ponto = é igual a 6, ou seja, m = 6 A equação da reta é dada por y = m + n y = 6 + n, em que n é o coeiciente linear da reta, que devemos calcular a partir de um ponto da reta Como ela corta a parábola y = no ponto de abscissa =, este ponto tem ordenada y = = 9 Substituindo o ponto ; 9 na equação da reta, teremos: y = 6 + n 9 = 6 + n 9 = 8 + n 9 8 = n n = 9 Portanto, a equação da reta é y = 6 9 Geometricamente, temos: Figura : Reta tangente ao gráico de y = no ponto =

42 CAPÍTULO CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES Um problema que podemos abordar com o auílio das derivadas é o de azer o esboço do gráico de uma unção Para tal, devemos considerar alguns aspectos importantes na construção destes gráicos: os pontos de máimo e/ou de mínimo, os intervalos de crescimento e de decrescimento da unção e a concavidade do gráico Para unções deriváveis, esses aspectos estão relacionados ao valor e aos sinais da derivada, como veremos a seguir Intervalos de Crescimento e Decrescimento Observemos parte do gráico de uma unção e três retas tangentes r, s e t b = a b c Figura : Retas tangentes Note que é crescente para < b e decrescente para > b No intervalo em que a unção é crescente, a reta tangente a um ponto qualquer deste intervalo é uma reta crescente reta s na igura acima, logo seu coeiciente angular é positivo,

43 ou seja, a derivada da unção neste ponto é positiva, e no intervalo em que é decrescente, a reta tangente a um ponto qualquer é uma reta decrescente reta r na igura acima, portanto seu coeiciente angular é negativo, ou seja, a derivada da unção, neste ponto, é negativa A derivada é nula em = b, em que a reta tangente é orizontal Sendo assim, o ponto b, b é considerado um ponto crítico do gráico, que pode ser máimo ou mínimo Portanto, de orma intuitiva, podemos airmar que a relação entre o crescimento e a derivada é a de que a unção é decrescente nos intervalos, em que a derivada é negativa, e a mesma é crescente nos intervalos em que a derivada é positiva No ponto em que a derivada é nula, temos os pontos de máimo ou de mínimo Vejamos alguns eemplos: Eemplo Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento da unção = 5 e esboce seu gráico Solução: Inicialmente temos que obter a unção derivada Temos = Em seguida obtemos o zero da unção derivada e estudamos o sinal Logo, = = = Portanto, < para < ; = para = ; > para > Temos também que o valor da unção em = é: = 5 = 8 5 = 9 Concluindo, assim, que é decrescente no intervalo, [ já que a derivada é negativa neste intervalo, atinge o ponto etremo P =, 9 e é crescente no intervalo ], +, pois a derivada é positiva neste intervalo Assim, podemos azer o esboço do gráico da unção, que é uma parábola

44 decrescente crescente Figura : Gráico de = 5 Eemplo Esboce o gráico da unção, destacando os intervalos de crescimento e decrescimento e seus pontos etremos Solução: O primeiro passo é obter a derivada da unção Portanto, temos = O segundo consiste em obtermos os zeros da unção derivada e estudarmos seu sinal Logo, = = = ou =, ou seja, Portanto, < para < < ;

45 = para = ou para = ; > para < ou para > Temos também que o valor de em = é: E o valor de em = é: 7 9 9,5, 5 Concluindo, assim, que: é crescente no intervalo, [, já que a derivada é positiva neste intervalo; atinge um ponto etremo P =,, em que a derivada se anula; decresce no intervalo ], [, pois a derivada é negativa neste intervalo; atinge um ponto etremo Q = ;,5, em que a derivada se anula; e é crescente no intervalo ], +, uma vez que a derivada é positiva neste intervalo; Assim, teremos o seguinte gráico: crescente decrescente crescente Figura : Gráico de É bem verdade que estes procedimentos parecem suicientes para esboçar- -se o gráico de uma unção, porém, não podemos garantir que as curvas do gráico são dessa orma, pois temos que analisar a concavidade dele

46 Concavidade do Gráico de uma Função É ato que eistem gráicos de unções côncavos para cima e gráicos côncavos para baio Vejamos os gráicos das unções e g na igura a seguir B B g A A a b a b Figura a Concavidade para cima Figura b Concavidade para baio Note que os dois gráicos são crescentes entre os pontos A e B, porém, eles têm ormatos de curvas dierentes Ligando os pontos A e B com um segmento de reta, temos que o gráico de está abaio do segmento AB, o que caracteriza concavidade para cima, enquanto que o gráico de g está acima do segmento, o que caracteriza concavidade para baio Outra orma de caracterizarmos a concavidade de um gráico de uma unção é através das retas tangentes aos gráicos nos pontos da curva Observe a seguir B B g A A a b a b Figura 5a Concavidade para cima Figura 5b Concavidade para baio

47 5 Observe que, quando a concavidade é para cima, as retas tangentes à curva icam abaio do gráico da unção, por outro lado, quando a concavidade é para baio, as retas tangentes à curva icam acima do gráico da unção Agora, vamos associar a concavidade do gráico de uma unção com a derivada segunda Sabemos que a inclinação da reta tangente a uma curva, em um determinado ponto, é dada pela derivada primeira da unção Observando as inclinações das retas tangentes ao gráico de concavidade para cima na igura anterior, percebemos que aumentando o valor de no intervalo [a, b], as inclinações das retas também aumentam, ou seja, os valores de também aumentam, então concluímos que é crescente nesse intervalo Como a derivada de uma unção crescente é positiva, teremos a derivada da unção derivada derivada segunda, ou seja, ' ' é positiva no caso de concavidade para cima Por outro lado, no gráico de g concavidade para baio na igura anterior, percebemos que aumentando o valor de no intervalo [a, b], as inclinações das retas diminuem, ou seja, os valores de g diminuem, sendo então g decrescente no intervalo Como a derivada de uma unção decrescente é negativa, teremos que ' g' g é negativa no caso de concavidade para baio Então, sendo uma unção duas vezes derivável em um intervalo I, temos, em resumo, que: Se >, para todo I, então o gráico de tem concavidade para cima em I; Se <, para todo I, então o gráico de tem concavidade para baio em I A partir das características dos gráicos vistas até aqui, vamos analisar alguns eemplos: Eemplo Encontre os intervalos onde a unção = é crescente e onde é decrescente, estude a concavidade da unção e aça um esboço do gráico Solução: O primeiro passo é derivar a unção: = =

48 6 O segundo é encontrar os zeros da unção e, em seguida, estudar o sinal da unção derivada ou Estudando o sinal Portanto, < para o gráico de é decrescente; = para ou ; > para ou para o gráico de é crescente; O terceiro passo é calcular o valor da unção, em que a derivada se anula, então: Para, temos: Para, temos: Assim, os pontos críticos de são 9 ; A e 9 ; B

49 7 O quarto e último passo é estudar a concavidade e isso se az através da segunda derivada, portanto, vamos derivar a unção = : ' " 6 Encontrar os zeros e azer o estudo do sinal: 6 = = Estudo do sinal Temos, < < concavidade, do gráico de, para baio; > > concavidade, do gráico de, para cima; E inalmente o traçado do gráico de crescente decrescente crescente Figura 6: Gráico de = Eemplo Faça o esboço do gráico da unção = +, destacando os intervalos de crescimento e decrescimento e os intervalos em que o gráico é côncavo para cima ou para baio Solução: Inicialmente obtemos a derivada primeira de, portanto temos:

50 8 = + = + Em seguida, encontramos os zeros da unção, veja: ou, ou seja, ou E na sequência, estudando o sinal de, Então temos, Intervalo Sinal de Gráico de < ou > < < + crescente decrescente O próimo passo é identiicar os pontos etremos do gráico, calculado o valor da unção, em que a derivada se anula, logo: Para =, temos: = + = + = Para, temos: Portanto, os pontos etremos de são A =, e B ; 7 Finalmente temos que estudar a concavidade de, a partir do sinal da segunda derivada, então, devemos derivar a unção = + : ' " 6

51 9 Para azer o estudo do sinal de, calculamos o zero da unção: 6 + = 6 = Fazendo o estudo do sinal, temos: Assim, podemos resumir no quadro a seguir: Intervalo Sinal de Concavidade do gráico de para baio < < + para cima Por im, traçamos um esboço do gráico da unção = + crescente decrescente crescente Figura 7: Gráico de = +

52 5 Eemplo 5 Dada a unção = , determine seus pontos etremos para cada um, diga se é máimo ou mínimo, os intervalos de crescimento e o de decrescimento e os intervalos em que o gráico de é côncavo para cima e para baio Faça um esboço do gráico da unção Solução: Os pontos críticos e os intervalos de crescimento e de decrescimento são obtido a partir da primeira derivada, então: Primeiro passo: derivar a unção = = + 6 Segundo passo: encontrar os zeros de = = + 6 = = ou + 6 = + 6 = + =, Por Báskara, temos: + = = ou = Logo, os zeros de são =, = ou = Terceiro passo: azer o estudo do sinal da unção derivada e identiicar os intervalos de crescimento e decrescimento Escrevendo a orma atorada de, temos: = + 6 = + Assim, podemos azer o jogo de sinais em uma tabela, logo; Então temos, Intervalo Sinal de Gráico de < ou < < decrescente < < ou > + Crescente Quarto passo: pontos críticos do gráico Calculando o valor da unção, em que a derivada se anula, temos:

53 5 Para =, temos: = = = = Para =, temos: = = + + = Para =, temos: = = = = 5 Portanto, os pontos críticos de são A =, ; B =, e C =, 5 Analisando os resultados obtidos no terceiro e quarto passos, temos: A unção decresce no intervalo, [, cegando ao ponto A =,, a partir de onde começa a crescer, concluímos, com isso, que o A é um ponto de mínimo local Este crescimento se dá no intervalo ], [, onde a unção atinge o ponto B =,, de onde começa a decrescer, portanto, podemos airmar que B é ponto de máimo local A partir do ponto B, o decrescimento dá-se no intervalo ], [ até o ponto C =, 5 e a partir daí cresce para todo > Logo, dizemos que C também é ponto de mínimo local A concavidade do gráico depende do sinal da segunda derivada, então: Quinto passo: obter a segunda derivada = + 6 = Seto passo: encontrar os zeros de = = + = Por Báskara, temos: + = = b ac = = = 5

54 5 b a ' ' ' 6 6 " " " 6 6 Sétimo passo: azendo o estudo do sinal Resumindo em um quadro, temos: Intervalo Sinal de Concavidade do gráico de < ou > + para cima < < para baio Oitavo passo: esboço do gráico B C A Figura 8: Gráico de = +

55 5 Eemplo 6 Faça um esboço do gráico da unção Solução: Primeiramente devemos observar que a unção não está deinida em =, pois, se assim osse, teríamos, mas a divisão não eiste Vamos obter a primeira derivada de para sabermos seus pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento Derivando, temos: Note que não eiste valor de que torna =, portanto a unção não possui ponto crítico > E ainda, Se <, então <, daí > Logo, a unção é crescente para < Se >, então >, daí < Portanto, a unção é decrescente para Vamos obter a derivada segunda para sabermos os intervalos em que o gráico é côncavo para cima ou para baio Derivando, temos: " 6 6 " Analisando a unção, é ácil ver que ela não está deinida em =, e como o epoente de é par, então a potência é sempre positiva, seja < ou > Sendo assim, > para qualquer, logo, a concavidade do gráico de é sempre para cima Para azermos o traçado do gráico, devemos analisar o comportamento dele nas proimidades do zero, já que a unção não está deinida em =, e para isso vamos recorrer ao seguinte ite Veja que quando os valores de se apro- imam de zero, os valores de crescem indeinidamente, pois mantendo-se constante o numerador de uma ração, quanto menor or seu denominador, maior será seu valor Assim, =+, pois >, para todo, ou seja, quando se apro- ima de zero, tanto pela esquerda quanto pela direita, os valores da unção tendem para +

56 5 Além disso, vale observar que, como >, então a unção só assumirá valores positivos, mesmo quando aumentar muito ou diminuir muito, podemos concluir isso através dos ites: e Assim, o gráico de será: Figura 9: Gráico de

57 55 CONSIDERAÇÕES FINAIS Ao escrever um trabalo de conclusão de curso abordando as noções de ites e derivadas sem o rigor matemático das demonstrações e das deinições ormais, o objetivo oi elaborar um material que possa ser utilizado por proessores e por alunos de ensino médio, principalmente, para a construção de gráicos, pois sabemos das diiculdades que se tem para a construção dos gráicos de algumas unções Além disso, sabemos que, com as noções vistas no ensino médio, teremos alunos melores no ensino superior Foi uma apresentação dos ites sem os épsilons e deltas, izemos a apresentação da ideia geométrica e intuitiva, pois acreditamos que os alunos do ensino médio conseguirão entender o conceito De orma intuitiva, também apresentamos a ideia de unção contínua e de ites ininitos e no ininito Vimos o conceito de derivada a partir de um problema de Física, para motivar os alunos, já que trata de um tema que é abordado no ensino médio E a partir daí reunimos inormações para a construção dos gráicos Esperamos com a produção deste material, possa inspirar uma releão acerca do currículo do ensino de Matemática na Educação Básica brasileira, pois trata- -se de um assunto bastante signiicativo para quase todas as áreas no ensino superior e esperamos ajudar a preparar melor os alunos para que possam ingressar no ensino superior com um conecimento matemático mais conciso

58 56 REFERÊNCIAS ANTON, Howard, BIVES, Irl, DAVIS, Stepen Cálculo, volume 8 ed Porto Alegre: Bookman, 7 GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Um curso de Cálculo, volume São Paulo: LTC, RIVERA, Jaime E Muñoz Cálculo Dierencial e Integral Ligt Rio de Janeiro: Editora EAC, 8