PPGEP Comentários Iniciais CAPÍTULO 7 TESTE DE HIPÓTESE UFRGS. Testes de Hipótese

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1 CAPÍTULO Cmentáris Iniciais Uma hipótese estatística é uma afirmativa a respeit de um parâmetr de uma distribuiçã de prbabilidade. Pr exempl, pdems frmular a hipótese que a prdutividade,5 peças/hra. Frmalmente iss é escrit cm TETE DE IPÓTEE UFRG µ,5 peçashra µ,5 peças/hra é chamada de hipótese nula e de hipótese alternativa. Nesse cas, a alternativa frmulada é bilateral, mas também pdem ser estabelecidas alternativas unilaterais, tais cm µ,5 peças / hra µ <,5 peças/hra Os testes de hipótese sã uma das aplicações da estatística mais usadas. Via de regra, a hipótese nula é feita cm base n cmprtament passad d prdut/prcess/serviçs, enquant a alternativa é frmulada em funçã de alterações / invações recentes. N ambiente atual de melhria cntínua, é fácil entender a imprtância ds testes de hipótese eles permitem cnfirmar a eficácia das medidas de melhria adtadas. A testar a hipótese, tma-se uma amstra aleatória d sistema em estud e se calcula parâmetr desejad. Cnfrme valr d parâmetr, a hipótese nula será aceita u rejeitada, a partir de prcediments estatístics. A testar uma hipótese, há dis tips de errs que pdems cmeter α P {rejeitar / é verdadeira} err d tip I β P {aceitar / é falsa} err d tip II O prcediment usual é fixar valr de α e verificar valr de β. O risc β é uma funçã d tamanh da amstra, e é cntrlad indiretamente. Quant mair tamanh da amstra, menr será risc β. Exercíci 7. pg

2 Na seqüência s seguintes pnts serã cberts. Cmparaçã de médias, variância cnhecida. Cmparaçã de médias, variância descnhecida 7.. Cmparaçã de médias, variância cnhecida upnha que X é uma variável aleatória cm média µ descnhecida e variância σ cnhecida. E querems testar a hipótese de que a média é igual a um cert valr especificad µ. O teste de hipótese pde ser frmulad cm segue 3. Cmparaçã de pares de bservações 4. Cmparaçã de variâncias 5. Cmparaçã ds parâmetrs da Binmial µ µ µ µ Para testar a hipótese, tma-se uma amstra aleatória de n bservações e se calcula a estatística Z X µ σ / n Nte que teste é feit usand-se σ / n n denminadr, uma vez que esse é desvi padrã da média. 5 6 A hipótese é rejeitada se Z > Z α / nde Z α / é um valr limite da distribuiçã nrmal reduzida tal que a prbabilidade de se bter valres externs a ± Z α / é α. A prbabilidade d valr Z acntecer segund a hipótese nula é menr d que α, lg rejeita-se a hipótese nula. e resultar próxim de, Z a hipótese é aceita; X µ Z a / e resultar lnge de µ, a hipótese é rejeitada. X Z > Z a / Exempl 7. Um prcess deveria prduzir bancadas cm,85 m de altura. O engenheir descnfia que as bancadas que estã send prduzidas sã diferentes que especificad. Uma amstra de 8 valres fi cletada e indicu X,87. abend que desvi padrã é σ,, teste a hipótese d engenheir usand um nível de significância α,5. luçã µ,85 µ,85,87,85 Z 5,66, / 8 Z 5,66 > Z,96 pde ser rejeitada, 5 Exercíci 7. pg

3 Em alguns cass, bjetiv pde ser rejeitar smente se a verdadeira média fr mair que µ. Assim, a hipótese alternativa unilateral será µ > µ, e a hipótese nula será rejeitada smente se Z > Z α. α/ α/,85 Z α / Z > Zα / µ -,96 Z α / +,96 Rejeita Z Zα / Aceita Z > Zα / Rejeita e bjetiv fr rejeitar smente α quand a verdadeira média fr menr que µ, a hipótese alternativa será µ < µ e a hipótese nula será rejeitada smente se Z < Zα u Z > Z α. Quand há duas ppulações cm médias descnhecidas, digams µ e µ e variâncias cnhecidas, σ e σ, teste para verificar a hipótese que as médias sejam iguais é seguinte µ µ µ µ 9 Nesse cas, a partir de uma amstra aleatória de n bservações da ppulaçã e n bservações da ppulaçã, calcula-se Z X σ n X σ + n E é rejeitada se Z > Z α /. N cas da alternativa unilateral µ > µ, a hipótese nula será rejeitada quand Z > Z α. E se a alternativa unilateral fr µ < µ, a hipótese nula será rejeitada quand resultar < Z u Z > Z. Z α Exercíci 7.3 α Tabela 7. Teste de Médias, Variância Cnhecida ipótese Estatística Critéri para rejeitar µ µ µ µ Z > Zα / µ µ µ > µ µ µ µ < µ µ µ µ µ X µ Z σ / n X µ µ X Z µ > µ σ σ + n n µ µ µ < µ Z > Z α Z < Z α u Z > Zα Z > Zα / Z > Z α Z < Z α u Z > Zα

4 7.3. Cmparaçã de médias, variância descnhecida Cm σ nã é cnhecid, usa-se a distribuiçã de tudent para cnstruir a estatística d teste upnha que X é uma variável aleatória Nrmal cm média µ e variância σ descnhecidas. Para testar a hipótese de que a média é igual a um valr especificad µ, frmulams t X µ / n µ µ µ µ Esse prblema é idêntic àquele da seçã anterir, excet que agra a variância é descnhecida. Cm a variância é descnhecida, é necessári fazer a supsiçã adicinal de que a variável tenha distribuiçã Nrmal. Essa supsiçã é necessária para pder desenvlver a estatística d teste; cntud, s resultads ainda serã válids se afastament da nrmalidade nã fr frte. E a hipótese nula µ µ é rejeitada se t > tα /,n, nde t α / é um valr limite da distribuiçã de tudent tal que a prbabilidade de se bter valres externs a t α / é α. A Tabela 7. mstra s testes aprpriads para s cass de hipóteses unilaterais. 3 4 Exempl 7. Um empresári descnfia que temp médi de espera para atendiment de seus clientes é superir a minuts. Para testar essa hipótese ele entrevistu pessas e questinu quant temp demru para ser atendid. O resultad dessa pesquisa aparece a seguir µ min µ > min X,8 min,4min t X µ,8 5,75 / n,4 / t Rejeita-se Exercíci 7.4 5,75 > t,5, 9,79 Quand há duas ppulações nrmais cm médias µ µ e variâncias σ σ descnhecidas, as hipóteses para testar se as médias sã iguais sã as seguintes µ µ µ µ O prcediment d teste irá depender de que σ σ. e essa supsiçã fr razável, entã calcula-se a variância cmbinada ( E a seguir calcula-se a estatística será rejeitada se ( ) + n ) n p n + n x x t p + n n t > t α/,n + n 5 6

5 Exempl 7.3 Um engenheir descnfia que a qualidade de um material pde depender da matéria-prima utilizada. á dis frnecedres de matéria-prima send usads. Testes cm bservações de cada frnecedr indicaram X 39 X upnd tems σ σ ( 9) 7 + ( 9) , 6 p p + Use um nível de significância α,5 e teste a hipótese d engenheir. luçã µ µ µ µ t ,6 + t, < t,5; 8,, nã pde ser rejeitada Exercíci Tabela 7. Teste de Médias, Variância descnhecida e huver evidências de que σ σ, entã a estatística a ser usada é ipótese Estatística Critéri para rejeitar µ µ µ µ t > tα /, n e númer de graus de liberdade para t é calculad da frma aprximada t x x + n n [( / n) + ( / n) ] ν ( / n) ( / n) + n + n + será rejeitada se t > tα /,ν. Os testes unilaterais crrespndentes aparecem na Tabela 7.. µ µ µ > µ µ µ µ < µ µ µ µ µ µ µ µ > µ µ µ µ < µ X µ t / n x x t p + n n ν n + n X X t + n n [( / n) + ( / n )] ν ( / n) ( / n ) + n + n + t > tα, n t < tα, n u t > tα, n t > tα /, ν t > t α, ν t < t α,ν u t > t α, ν 9

6 7.4. Cmparaçã de Pares de Observações Em algumas situações s dads de duas ppulações sã cletads e cmparads em pares. Iss é feit para impedir que fatres nã cntrláveis inflacinem as estimativas das variâncias. A hipótese testada é se existe diferenças significativas entre pares de bservações. d d O teste baseia-se na estatística d t d / n será rejeitada se t > tα /, n. Exempl 7.4 Duas espécies de um cert tip de cereal estã send testadas quant a seu cresciment. O experiment fi feit esclhend blcs de terren e plantand em cada blc mudas de ambas as espécies. Os resultads a seguir sã as alturas medidas a final d primeir mês. Utilizar α,5 Terren Espécie Espécie Os dads deste experiment fram cletads as pares para impedir que as diferenças de fertilidade entre s blcs de terren (que pdem ser grandes) mascarem s resultads. d d A análise é feita cmputand a média e desvi padrã da diferença d ( ) /,6 d,3 para exempl, usand-se α,5 tem-se,6 t 3,54,3 / cm t 3,54 > t,5; 9,6, a hipótese nula d é rejeitada. Exercíci Cmparaçã de Variâncias Os testes descrits a seguir assumem que as distribuições das variáveis aleatórias sigam mdel Nrmal. e essa supsiçã é vilada, teste deixa de ser exat. Uma hipótese testada cm freqüência é que a variância tenha um valr especificad σ σ σ σ A estatística para teste é χ ( n ) σ σ nde é valr da variância medida para uma mstra aleatória de n bservações. Exercíci

7 A hipótese nula é rejeitada se χ ultrapassar s limites inferir u superir da distribuiçã d chi-quadrad, mais especificamente, se χ u se χ < χ α / ;n. > χ α / ;n Testes unilaterais também pdem ser frmulads. A Tabela 7.3 mstra s limites crrespndentes. Esse teste tem larga aplicaçã n cntrle da qualidade, uma vez que mnitrament da variabilidade é essencial para a garantia de qualidade. Pde-se, pr exempl, cmparar a variabilidade antes e após a implantaçã d cntrle estatístic de prcess. N cas em que se deseja testar se as variâncias de duas ppulações cm distribuiçã Nrmal sã idênticas, as hipóteses sã frmuladas cm σ σ σ σ A cmparaçã de variâncias é feita usand-se a distribuiçã F F é rejeitada se F > Fα /,n,n u se F < F α /,n,n A Tabela 7.3 indica s limites aprpriads para s testes unilaterais 5 6 Exempl 7.5 Para exempl da qualidade d materiais (dis tips de frnecedres, bservações de cada frnecedr 7 micrns e 9 micrns), testar a hipótese de que as variâncias sejam as mesmas, usand α 5%. luçã σ σ σ σ 7 F,65 9 F,5;9,9 4,3 F,975;9,9 / 4,3,48 A hipótese nã pde ser rejeitada, uma vez que valr calculad F,65 está dentr ds limites de decisã [,48 ; 4,3]. Exercíci 7.8 Tabela 7.3 Cmparaçã de Variâncias ipótese Estatística Critéri para rejeitar σ σ χ > χ u α / ; n σ σ χ < χ α / ; n σ σ χ σ > σ σ σ σ < σ ( n ) σ σ F σ σ σ σ F σ > σ σ σ F σ < σ σ χ > χ α; n χ < χ α ; n F > Fα /, n, n u F < F α /, n, n F > Fα, n, n F < F α, n, n 7 8

8 7.6. Cmparaçã ds parâmetrs da Binmial eja que querems testar a hipótese que parâmetr π da Binmial é igual a um cert valr p. O teste que será descrit se baseia na aprximaçã Binmial através da distribuiçã Nrmal. e uma amstra aleatória de n bservações é cletada e se bservam x itens que pertencem a classe assciada cm p, entã para testar π π π π 7.6. Cmparaçã ds parâmetrs da Binmial Usa-se a estatística Z p π π n ( π ) A hipótese nula é rejeitada se resultar Z > Z α /. N cas de alternativas unilaterais usa-se mesm racicíni. N cas de alternativas unilaterais usa-se mesm racicíni. 9 3 Exempl 7.6 Um engenheir deseja testar a hipótese de que seu frnecedr entrega ltes cm % de nã cnfrmes. Um lte de 8 unidades revelu 4 nã cnfrmes. Use α 5% e cnclua a respeit. luçã A aprximaçã Nrmal também pde ser usada para testar a hipótese que dis parâmetrs de Binmiais sejam iguais, u seja, para testar π π π π π, π, p 4 /8,78,78, Z,98,(,) 8 Z,98 < Z, 5,96 nã pde se rejeitada Exercíci 7.9 Nesse cas, amstras de tamanh n e n sã retiradas de cada ppulaçã, gerand x e x itens pertencentes à classe assciada cm p. Entã p x / n e p x / n sã s estimadres de π para cada ppulaçã. 3 3

9 A estatística para teste é nde Z p p p n n ( p) + Exempl 7.7 Um empresári deseja saber se percentual de satisfaçã de seus clientes em relaçã a dis prduts ferecids pr sua empresa sã similares. Para iss entrevistu 5 pessas, das quais 8 disseram estar satisfeitas cm prdut A e cm prdut B. Use α 5% e cnclua a respeit. n p n p p + n + n E a hipótese nula é rejeitada quand Z > Zα / Exercíci 7. π π π π 8 p,53 p, n p + n p 5x,53 + 5,67 p x,6 n + n p p,53,67,4 Z,47,567 p( p) +,6x(,6) x + n n 5 5 Z,47 > Zα /,96 Rejeita-se Exercícis 7. Estabeleça a hipótese nula e a hipótese alternativa para as seguintes situações a) Um frnecedr afirma que temp de vida de um prdut bateria que ele cmercializa é mair que 3 meses. b) Um engenheir descnfia que uma máquina está fra d ajuste, prduzind eixs cm diâmetr diferente d especificad, que é d e,54. c) Um fabricante atesta que cnsum de um cert mdel de eletrdméstic é inferir a watts. 7. Vinte bservações de um tip de matriz indicaram um temp de vida média de 7 peças. abend que desvi padrã é de peças, teste a hipótese de que temp de vida é inferir a 5 peças, cnfrme atestam alguns engenheirs. Use α, Dis tips de cmbustível estã send testads. A hipótese é de que eles tenham mesm desempenh. Teste essa hipótese, sabend que desvi padrã é de,7 Km/l e s resultads de testes feits cm autmóveis usand cada tip cmbustível indicaram 3,3Km / l e X 3,9Km / l.. Use α,5. X 7.4 Os dads a seguir representam a prdutividade de um prcess. Use α,5 e teste a hipótese de que, nas cndições atuais, a prdutividade seja superir a,5.,5,55,59,4,53,58,48,5,53,6,46,56,63,54,58, Repita exercíci 7.3 supnd que desvi padrã nã fsse cnhecid, mas que tivesse sid medid nas duas amstras de valres, resultand em,6 Km/l e,8 Km/l. (upnha σ σ e use α,5)

10 7.6 Um médic está estudand cresciment de dis tips de bactérias. Essas bactérias fram cultivadas em diferentes substrats. Cm pde haver um efeit significativ d substrat, s dis tips de bactérias fram cultivads em cada substrat. Use α, e teste a hipótese de que a bactéria cresce mais que a bactéria. ubstrat B 3, 3,,7,5 3,8 4,3 3,5 4,8 B 3, 3,,4, 3, 3,7 3, 4, Um fabricante atesta que as máquinas de enchiment que ele prduz apresentam um ceficiente de variaçã inferir a %. Um experiment aleatóri realizad cm garrafas de litrs indicu,4 litrs para uma amstra de 5 garrafas. Teste a hipótese d fabricante para um nível de significância α, Uma nva unidade de desalinizaçã fi instalada em uma indústria química. Uma amstra cm n, cletada antes da instalaçã da nva unidade, indicu cncentraçã de sal X 9,55 e 5, 35. Enquant que, após a instalaçã, uma amstra cm n 6 indicu X 7, 85 e 8, 65. Basead nesses dads, pede-se a) Teste a hipótese de que as duas variâncias sejam iguais. b) Teste a hipótese de que a nva unidade reduziu a cncentraçã média de sal Um engenheir deseja testar a hipótese de que percentual de peças defeitusas é inferir a %. Uma amstra aleatória cm 75 peças revelu 6 peças defeitusas. Use α,5 e cnclua a respeit. 7.. Um engenheir descnfia que percentual de prduts defeituss reduziu depis da implantaçã d cntrle estatístic de prcess. Em uma amstragem de 5 prduts realizada antes da implantaçã d CEP, identificu-se 5 prduts defeituss. Após a implantaçã d CEP, cletu-se uma amstra de 7 prduts e identificu-se defeituss. Teste a hipótese d engenheir usand,5% de significância. 7. Num estud d temp médi de adaptaçã para uma amstra aleatória de 5 hmens num grande cmplex industrial, surgiram as seguintes estatísticas x 3, ans e,8 ans. Pde-se cncluir, a nível de % de significância que s hmens tenham um temp adaptaçã menr que as mulheres que é de 3,7 ans? Um fabricante alega que apenas % das peças que ele frnece estã abaix das cndições de utilizaçã. Em peças esclhidas aleatriamente de uma remessa de 5. encntraram-se falhas. A alegaçã d fabricante parece aceitável a nível de 5% de significância? 7.3 Os dads abaix dã s acerts btids pr 8 sldads num experiment destinad a determinar se a precisã d tir é afetada pela maneira de dispr s lhs. (a) cm lh direit abert (b) cm lh esquerd abert Que tip de cnclusã vcê pderia tirar? ldad Direit Esquerd

11 7.4 Para verificar grau de adesã de uma nva cla para vidrs, preparam-se dis tips de mntagem; Cruzad (A) nde a cla é psta em frma de X e quadrad (B), nde a fórmula é psta nas 4 brdas. O resultad para a resistência das duas amstras de cada estã abaix. Para um nível de 5% de significância que tip de cnclusã pderia ser tirada? Métd A Métd B A fim de cmparar a eficácia de dis peráris, fram tmadas, para cada um, it medidas d temp gast, em segunds, para realizar certa peraçã. Os resultads btids sã dads a seguir. Pergunta-se se, a nível de 5% de significância, s peráris devem ser cnsiderads igualmente eficazes u nã. Operári Operári Uma pesquisa nacinal indica que aprximadamente 5% das cntas de grandes magazines incrrem em penalidade pr atras ns pagaments. e um magazine lcal cnstata 4 atrass numa amstra de clientes, pde necessariamente admitir que seus clientes sejam melhres que s clientes de td país? Adte 5% de significância. 4 4