Modelos GAMLSS - Associações entre marcadores e QTL

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1 Mdels GAMLSS - Assciações entre marcadres e QTL Elias Silva de Medeirs 1 2 Rseli Aparecida Leandr 1 Cristian Villegas 1 Marina Rdrigues Maestre 1 1 Intrduçã Durante muits ans, em trabalhs estatístics, fram utilizadas diversas transfrmações para que a variável respsta em estud fsse mdelada pr uma distribuiçã nrmal, cm pr exempl, a aplicaçã de uma transfrmaçã na variável analisada. Prém, este tip de análise, acarreta muitas desvantagens, uma das principais é que na mairia das vezes nã há interpretaçã para a variável transfrmada. Mtivads em analisar experiment em que a variável sb estud pssui um cmprtament assimétric, fi prpst neste trabalh a utilizaçã de utras distribuições de prbabilidade que pssam representar de frma plausível este tip de fenômen, cm pr exempl, as distribuições Gama e Gaussiana Inversa. Cm aplicaçã será analisada a assciaçã entre s genótips ds marcadres mleculares e uma característica quantitativa, prduçã de grãs de milh, que pssui uma assimetria psitiva. 2 Material e métds Os dads utilizads neste trabalh fram descrits pr Meyer (2009) e Pereira (2012). Pereira (2012) analisu assciaçã entre s genótips ds marcadres e características quantitativas em uma ppulaçã F 2. Essa análise é cnsiderada uma análise explratória para a prcura de QTL, regiões d genma respnsáveis pela expressã de caracteres fentípics. Assim, serã estudads s mdels GAMLSS, para s quais nã é necessári que a distribuiçã atribuída a variável respsta pertença a família expnencial. Ns mdels GAMLSS assume-se que as bservações y i sã independentes, cm i = 1,2,...,n e cndicinad a θ T = (µ,σ,ν,τ). Ou seja, Y θ G(µ,σ,ν,τ), send que G representa a distribuiçã de Y. Os parâmetrs µ, σ, ν, τ sã classificads cm s parâmetrs de lcaçã, escala, assimetria e curtse, respectivamente, send que s dis últims representam a frma da distribuiçã (RIGBY, STASINOPOULOS; 2010). 1 LCE - ESALQ/USP. 2 Agradeciment a CAPES pel api financeir. 1

2 Ainda de acrd cm estes autres s mdels GAMLSS sã expresss na frma, g k (θ k ) = η k = X k β k + J k Z jk γ jk (1) j=1 em que g k ( ) é uma funçã de ligaçã mnótna relacinada a k-ésim parâmetr, cm k = 1,2,3,4, e θ k está relacinad cm as variáveis explicativas e efeits aleatóris; θ k e η k sã vetres de tamanh n; β k é um vetr de parâmetrs de tamanh J k ; X k e Z jk sã as matrizes d delineament (cvariáveis) fixas de tamanh n J k e n q i j, respectivamente; γ jk é uma variável aleatória de dimensã q i j. Em um mdel linear puramente paramétric, tem-se que J k Z jk γ jk = 0, u seja, nã existem n mdel terms aditivs assciads as parâmetrs da j=1 distribuiçã. Para cmparar s diferentes mdels GAMLSS nã-encaixads, fez-se necessári a utilizaçã d critéri de infrmaçã de Akaike generalizad - GAIC, cm bjetiv de identificar, embra preliminarmente, qual distribuiçã de prbabilidade melhr se ajusta a variável prduçã de grãs. Este critéri também fi utilizad para selecinar as cvariáveis (marcadres) que sã significativas n mdel. O GAIC é btid adicinand as desvis glbais ajustads uma penalidade fixa P para cada grau de liberdade efetiv que é usad n mdel, GAIC(P) = GD + (P gl) (2) em que GD = 2ln(L(θ k )) é desvi glbal ajustad send L(θ k ) = n i=1 f (y i θ k ) e gl denta ttal de graus de liberdade efetivs utilizads n mdel. O mdel cm menr valr d critéri GAIC(P) é selecinad (FLORENCIO et al., 2012). Para determinar qual a distribuiçã que melhr mdela a variável respsta fi utilizada a funçã histdist( ) d pacte gamlss d prgrama R CORE TEAM (2013). Esta funçã frnece histgrama da frequência da variável respsta seguida da estimaçã, de frma nã paramétrica, da funçã de densidade de prbabilidade e ajusta a distribuiçã (paramétrica) mais adequada. Esta mesma funçã calcula valr d critéri GAIC(P), que será utilizad para determinar qual distribuiçã que melhr se ajusta as dads. Neste mesm pacte, a funçã stepgaic fi utilizada para seleçã de cvariáveis significativas a mdel e em seguida fi feita uma análise de diagnóstic d mdel selecinad, send utilizad para diagnóstic s resídus estudentizads, uma vez que estes apresentam prpriedades assintóticas, n que diz respeit a supsiçã de nrmalidade residual, mais interessantes d que s resídus rdináris e até mesm s padrnizads (BELSLEY et al.; 2004). 2

3 3 Resultads e discussões Inicialmente fi feit uma análise descritiva da variável respsta, prduçã de grãs em Mg ha 1, cm intuit de verificar seu cmprtament. Densidade Prduçã de grãs (Mg/ha) Figura 1: Histgrama ds dads de prduçã de grãs em Mg ha 1 A Figura 1 apresenta um histgrama da variável respsta que tem uma assimetria psitiva de 0,38. Para verificar se esta variável segue uma distribuiçã nrmal, fi feit teste de Shapir-Wilk, que apresentu um valr p de 0,005. Cm este valr calculad é menr d que nível de significância de 0,05, lg existem frtes evidências para rejeiçã da hipótese de que a distribuiçã nrmal mdela adequadamente à prduçã de grãs. Prtant, fram prpstas para análises as distribuições Gama, Gaussiana inversa generalizada, Gama generalizada, Gaussiana inversa, Lg-nrmal (Bx-Cx) e, inclusive, a distribuiçã Nrmal. Tabela 1: Critéri GAIC(P), em relaçã a variável prduçã de grãs, para diferentes distribuições de prbabilidades Distribuições gl GAIC(2) GAIC(ln(n = 400)) Gama (µ,σ) , ,255 Gaussiana inversa generalizada (µ,σ,ν) , ,384 Gama generalizada (µ,σ,ν) , ,246 Gaussiana inversa (µ,σ) , ,694 Lg-nrmal (Bx-Cx) (µ,σ) , ,717 Nrmal (µ,σ) , ,164 Na Tabela 1 tem-se que a distribuiçã Gama é a mais indicada para mdelar a variável prduçã de grãs pis esta apresenta menr valr d critéri GAIC(P), tant para P = 2, cm também para P = ln(400). Lg será utilizada esta distribuiçã para ajuste d mdel. 3

4 Índices Residu estudentizad 230 (a) Valres ajustads Residu estudentizad (b) Percentil da N(0,1) Residu estudentizad (c) Figura 2: Os resídus estudentizads versus Índices (a), versus s valres ajustads (b), e Quantil-quantil cm envelpe simulad (c) para mdel ajustad Na Figura 2(a) bserva-se que s resídus estã aleatriamente distribuíds e que há um pnt atípic, send que este nã está influenciand nas demais análises de diagnóstic d mdel selecinad. Na Figura 2(b) têm-se s valres ajustads versus s resídus bservads, verifica-se que quase tds s pnts se encntram entre -3 e 3 indicand assim uma hmgeneidade de variância ds resídus. O envelpe simulad fi cnstruíd para verificar graficamente se existe indícis de que s resídus estudentizads sã bem ajustads pr uma distribuiçã nrmal cm média 0 e variância 1. Assim, na Figura 2(c) s pnts na cr verde representam s resídus estudentizads e estes encntram-se dentr da bandas de cnfiança (em cr vermelha), verificand que é plausível a supsiçã de nrmalidade ds resídus. Tabela 2: Marcadres cm pssíveis assciações cm QTLs Crmssm Ttal de marcadres Marcadres assciads e , 9 e , 7 e , 6, 11 e , 6 e e , 4 e 6 Uma vez que a distribuiçã Gama fi selecinada para ajuste d mdel e s diagnóstics 4

5 deste mstraram-se satisfatóris, passu-se a etapa seguinte, verificar quais marcadres estã, pssivelmente, assciads à característica de interesse, neste cas, prduçã de grãs, em cada crmssm. Os resultads btids encntram-se na Tabela 2. Nesta Tabela têm-se que em quase tds s crmssms existem marcadres que prvavelmente estã assciads a QTL, chamand atençã s crmssms 3, 6 e 9, uma vez que nestes nã fram encntrad marcadres significativs. 4 Cnclusões A realizaçã de uma análise explratória ns marcadres, neste trabalh, pssibilitaram as seguintes cnclusões: i) A utilizaçã ds mdels GAMLSS se mstru satisfatória, pis estes permitiram incrprar diferentes tips de distribuições de prbabilidade para a variável respsta (prduçã de grãs de milhs). ii) A distribuiçã Gama fi selecinada para mdelar a variável respsta d mdel. iii) Dentre s 91 marcadres que havia a lng ds 10 crmssms, fram selecinads 20. Ou seja, existem frtes evidências de que esses 20 marcadres estejam assciads a QTL. Referências [1] BELSLEY, D.; KUH, E.; WELSCH, R. E. Regressin Diagnstics Identifying Influential Data and Surces f Cllinearity. New Jersey, p. [2] FLORENCIO L.; CRIBARI-NETO, F.; OSPINA, R. Real estate appraisal f land lts using GAMLSS mdels. Chilean Jurnal f Statistics, v. 03, p , [3] MEYER, A. S. Uma abrdagem bayesiana para mapeament de QTLs em ppulações experimentais p. Tese (Dutrad em Estatística e Experimentaçã Agrnômica), Universidade de Sã Paul, Piracicaba, [4] PEREIRA, R. N. Mdel hierárquic bayesian na determinaçã de assciaçã entre marcadres e QTL em uma ppulaçã F p. Tese (Dutrad em Estatística e Experimentaçã Agrnômica), Universidade de Sã Paul, Piracicaba, [5] R Cre Team. R: a language and envirnment fr statistical cmputing. Vienna, Austria, ISBN Dispnível em: [6] RIGBY B; STASINOPOULOS M. A flexible regressin apprach using GAMLSS in R. University f Athens, p. 5

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