VALORES ÓTIMOS DO PASSO DA RECONSTRUÇÃO PARA O CÁLCULO DA DIMENSÃO DE CORRELAÇÃO EM SISTEMAS CAÓTICOS INTRODUÇÃO

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1 858 VALORES ÓTIMOS DO PASSO DA RECONSTRUÇÃO PARA O CÁLCULO DA DIMENSÃO DE CORRELAÇÃO EM SISTEMAS CAÓTICOS Natália Diniz Antôni Carls Da Silva Filh INTRODUÇÃO Seja a seguinte situaçã: alguém está tentand reslver um prblema em uma variável, x, n qual a sluçã será usada para se reslver mesm prblema nvamente, e assim pr diante. Váris fenômens na natureza pdem ser assim descrits. O cresciment de ppulações em eclgia é um exempl, nde a quantidade de indivídus em um determinad instante depende da quantidade de indivídus em um instante anterir. Matematicamente, tais situações pdem ser clcadas através da seguinte expressã geral: ( ) x N + = f x N () Onde, partind de um valr inicial x = x, calcula-se, sucessivamente, x, x 2, x 3, etc. A funçã f(x) pderá se apresentar de várias frmas. Um exempl é a funçã linear: f ( x ) = λ x Este tip de funçã pde servir muit bem para uma determinada classe de prblemas, mas nã é a representaçã adequada de muits utrs. Cnsidere-se exempl em eclgia, nde x representa tamanh de uma determinada ppulaçã de animais. Neste cas, λ deve ser psitiv e deduz-se que: x N N = λ x A funçã linear diz que esta ppulaçã vai tender à extinçã (se λ fr um númer entre e ) u que vai crescer indefinidamente ( se λ fr um númer mair d que ). O primeir cas pde perfeitamente acntecer, mas segund

2 859 nã. Assim, precisa-se de utra categria de funções para trabalhar cm tais situações. Sã necessárias as funções nã-lineares. Uma ppulaçã de animais nã pde crescer indefinidamente. Há que se intrduzir uma crreçã na funçã linear. Assim, pr exempl, faz-se cm que parâmetr λ nã seja mais cnstante, mas varie cm tamanh da ppulaçã. A maneira mais simples de cnseguir ist é fazer a transfrmaçã: λ λ ( b x ) nde b é uma cnstante psitiva. Mudand a escala em que se mede tamanh da ppulaçã, chega-se à seguinte expressã para f(x): f ( x ) = λ x ( x ) (2) Agra, tamanh máxim da ppulaçã é x =. Esta equaçã é chamada, às vezes, de equaçã lgística, devid a uma equaçã diferencial estudada pel matemátic belga P. F. Verhulst cerca de 5 ans atrás (BOYER, 996). Sua versã discreta é cnhecida cm Mapeament Lgístic. O Mapeament Lgístic é um sistema extremamente simples (frmad pr uma funçã d segund grau), mas exibe (inesperadamente, até a década de 7) s principais elements de uma dinâmica caótica. MATERIAIS E PROCEDIMENTOS Pde-se definir Cas cm um sinal aparentemente aleatóri e irregular, gerad pr um prcess determinista, cm as seguintes prpriedades adicinais (DE GRAUWE, 993): (i) Exibe sensibilidade às cndições iniciais; (ii) É aperiódic; (iii) É assciad a um atratr estranh; (iv) Tem um espectr de ptências de Furier cntínu e de banda larga; (v) Tem pel mens um expente de Liapunv psitiv. O estud mdern deste tip de sistema cmeçu cm Lrenz na década de sessenta e é relativamente nv, cas se pense na História da Ciência cm um td. Uma das maneiras de analisar s sistemas caótics é através ds dads

3 86 experimentais u bservacinais d sistema. Analisam-se parâmetrs de dinâmica caótica nrmalmente usads na análise de séries temprais, dentre s quais destacam-se s seguintes: a Dimensã de Crrelaçã, a Entrpia de Klmgrv- Sinai e s Expentes de Liapunv. A Dimensã de Crrelaçã é, atualmente, a medida mais ppular de dimensã. Fi prpsta pr Grassberger e Prcaccia (983). É muit parecida cm a dimensã de infrmaçã, prém, é mais cmplexa. A dimensã de crrelaçã é prcurada em um gráfic d lgaritm da integral (u sma) de crrelaçã versus lgaritm de ε, enquant que a dimensã de infrmaçã é prcurada em um gráfic da infrmaçã versus lgaritm de (/ε). Mas, tant a integral de crrelaçã cm a infrmaçã sã expressas em terms de prbabilidades. A diferença fundamental entre ambas está na maneira de se calcular essas prbabilidades: para a dimensã de infrmaçã, cnstrói-se uma rede que englbe atratr e calcula-se, basicamente, a prbabilidade de cupaçã de cada célula; já para a dimensã de crrelaçã, cnstrói-se uma célula centrada em cada pnt da trajetória e calcula-se a prbabilidade de cupaçã desta célula. Para calcular a dimensã de crrelaçã a partir de dads experimentais representand valres de alguma variável aleatória n temp, Takens (98) demnstru que é pssível recnstruir a dinâmica d sistema, a partir de uma única crdenada, preservand certas prpriedades d mesm. O algritm baseia-se na cnstruçã de vetres ξ i m-dimensinais a partir da série tempral {x i }, nde x i = x(t i ); i =,2,...,N; m é chamada dimensã de imersã e N é númer ttal de pnts. O terema de Takens (98), garante uma representaçã num espaç recnstruíd usand x(t i ) cm primeira crdenada, x(t i+p ) cm segunda crdenada, e x(t i+ (m-p) ) cm última crdenada, nde p é pass da recnstruçã da série, também chamad de temp de retard. Para a esclha adequada de m, a recnstruçã deve ser feita para valres crescentes e sucessivs (m = 2,3,...). Demnstra-se que um atratr de dimensã tplógica D deve ser imers num espaç de dimensã m mair, u igual, a 2D +; cas cntrári, atratr aparecerá dbrad sbre si mesm cm numa prjeçã e pnts inicialmente distantes, trnam-se próxims prvcand uma distrçã na estatística da medida invariante assciada a atratr recnstruíd.

4 86 Cm nã sabems, a priri, qual a dimensã tplógica d atratr assciad à série de dads experimentais que estams investigand, uma razável dse de experimentaçã e bm sens trna-se necessária a interpretarms s resultads btids, segund Ferrara e d Prad (994). Para efetuarms cálcul da dimensã de crrelaçã (D c ) pensems na prbabilidade de terms dis pnts d atratr num círcul de rai ε, pr exempl. Iss implica a prbabilidade da distância entre esses dis pnts ser menr que ε. A medida dessa prbabilidade, chamada integral (u sma) de crrelaçã, representada pela letra C, é funçã de ε e pde ser expressa pela equaçã abaix: r r C( ε ) = lim nº de pares i,j, tais que x - x < N( N ) N N N = N( N ) Θ ε - xi - x j i= j= { i j ε} r r nde: Θ(x) é a funçã degrau de Heaveside definida pr: Θ( x) = { se se x x < Essencialmente, C(ε) é uma medida de prbabilidade que cresce expnencialmente. Entã, numa escala lg-lg, gráfic de C(ε) versus ε mstra uma regiã linear nde: lg ( C ( ε ) ) Dc.lg ( ε ) é satisfeita e a dimensã de crrelaçã é dada pr: lgc( ε) Dc = lim ε lgε Um parâmetr imprtante na recnstruçã d atratr é Pass (p). O estimadr de p tem que ser tal que x(t i ) e x(t i+p ) sejam parcialmente nã-crrelacinads e independentes (para nã utilizarms um estimadr viciad, d pnt de vista

5 862 estatístic). Faz-se necessári, entã, estud da funçã de autcrrelaçã definida pr: C( τ ) = lim ( x)( x) N i i N x x +τ C() = lim ( x)( x) N i i N x x Um estimadr de p para a recnstruçã d atratr é τ, de frma que: C ( τ ) = C() 2 que indica, aprximadamente, temp de descrrelaçã da série. (TSONIS, 992). Mas nem sempre valr assim btid cnduz à melhr recnstruçã. Este trabalh vai analisar precisamente este pnt: Qual é realmente, valr ótim de C(τ)? A Dimensã de Crrelaçã será calculada para váris sistemas, cm sistema de Lrenz (LORENZ, 963), de Henn e de Rössler. Este cálcul será feit variand-se pass da recnstruçã desde até N, nde N será determinad pela divergência cm s valres já cnhecids para estes sistemas. Os valres ótims serã, a seguir, lcalizads n crrelgrama crrespndente, que é um gráfic da Funçã de Autcrrelaçã em funçã d atras tempral. O cnjunt de infrmações btidas será, entã, analisad para a especificaçã de um algritm para se percrrer caminh invers, u seja: pretende-se frnecer um métd para, a partir da Funçã de Autcrrelaçã, determinar-se Pass da Recnstruçã. Os principais sistemas a serem analisads serã: a) O Atratr de Lrenz: dx/dt = σ(y-x) dy/dt = -xz + rx y dz/dt = xy bz nde, usualmente: σ = ; r = 28; b = 8/3

6 863 b) O Atratr de Rössler: dx/dt = -y - z dy/dt = x + ay dz/dt = b + z(x c) nde, usualmente: a = b =,2; c = 5,7 c) O sistema de Ikeda: X n+ = γ + µ(x n csφ Y n senφ) Y n+ = µ(x n senφ + Y n csφ) Φ = β α/( + X 2 n + Y 2 n ) nde, usualmente: α = 6; β =,4; γ = ; µ =,9 d) O Mapa de Hénn: Xn+ = a(xn)2 + byn Yn+ = Xn nde, usualmente: a =,4; b =,3 RESULTADOS Seguem alguns resultads, clcads em gráfics, já btids para Sistema de Lrenz. Tds s prgramas fram escrits n MatLab.

7 Fig.. Funçã de autcrrelaçã para cas d sistema de Lrenz, cm 2 pnts. A dimensã varia de 2 (acima) a (abaix) Fig. 2. Gráfic das derivadas instantâneas cm pnts para s dads da figura 6.

8 865 Restringims nss trabalh as 4 mapas mencinads anterirmente, que sã: Lrenz, Henn, Ikeda e Rssler. Gerams 2. pnts para cada um deles n Matlab e cnstruíms s prgramas para calcular s respectivs crrelgramas. A partir ds prgramas, recnstruíms atratr utilizand s passs:, 2, 4, 8, 6, 32, 64 e 28. Assim, calculams a dimensã de crrelaçã para cada um ds atratres recnstruíds. Seguem s resultads e s gráfics d resultad da dimensã de crrelaçã X Pass: TABELA Sistema de Lrenz (crdenada X) cm 2. pnts SISTEMA: LORENZ (x) 2. Pnts P = P = 2 P = 4 P = 8 P = 6 P = 32 P = 64 P = 28 D =,46 2,45,4,45,42,45,4, ±,42,4,43,42,4,5,58,25 D = 2,866,93,87,869,86,9 2,3 2,37 ±,84,66,46,55,6,2,78,58 D = 3,964 2,43,992 2,26 2,85 2,443 2,853 3,87 ±,85,2,75,3,8,27,67,62 D = 4 2, 2,7 2,5 2,86 2,473 3,59 3,488 4,52 ±,38,75,2,,29,223,2,77 D = 5 2, 2, 2,3 2,28 2,934 3,682 4,75 4,637 ±,3,53,95,72,422,82,3,53 D = 6 2,5 2,23,985 2,49 3,236 4,5 4,722 5,259 ±,2,97,74,23,363 4,5,3,362 D = 7 2,7 2,34,967 2,283 3,82 4,279 5,48 5,6 ±,72,24,85,62,6,232 5,48 5,6 D = 8 2,32 2,48,95 2,226 4,4 4,678 5,859 6,8 ±,78,49,2,325 4,4 4,678,6,325 D = 9 2,46 2,49 2,2 2,337 4,85 4,983 6,29 6,49 ±,96,79,287,6,26,32 6,29 6,49 D = 2,9 2,5,97 2,326 4,43 5,58 6,558 6,42 ±,88,58,326,75 4,43 5,58 6,558 6,42 DC 2,239 2,635, ,23735 ±,763,36982,49,3429

9 866 2,3 Lrenz p=2 2,2 Dimensã de Crrelaçã 2, 2,,9,8,7 Data: LORENZP2_B Mdel: ExpDecay Chi^2 =.89 y ± x ± A ±.35 t ± Dimensã de Imersã Fig. 3. Gráfic da Dimensã de Crrelaçã em funçã da Dimensã de Imersã para pass p = 2. O ajuste feit fi expnencial e valr assintótic d ajuste frnece a Dimensã de Crrelaçã para sistema de Lrenz. 2 Lrenz - Dimensã x Pass 8 Dimensã Data: LORENZDXP_B Mdel: ExpDecay Chi^2 = y ± x ± A ±.396 t ± Pass Fig. 4. Gráfic das Dimensões de Crrelaçã em funçã d pass para Mapa de Lrenz. TABELA 2 Mapa de Henn (crdenada X) cm 2. pnts

10 867 SISTEMA: HENON (x) 2. Pnts P = P = 2 P = 4 P = 8 P = 6 P = 32 P = 64 P = 28 D =,999,,,3,,7,23,992 ±,49,48,46,5,44,44,68,89 D = 2,229,28,3,528,96 2,833,929 2, ±,7,5,6,9,65,72,49,7 D = 3,24,257,48 2,376 2,822 2,852 2,87 2,765 ±,78,63,84,246,78,85,,84 D = 4,222,26,682 3,329 3,68 3,564 3,579 3,784 ±,34,48,435,56,2,72,5,33 D = 5,239,294 2,43 4,59 4,332 4,326 4,35 4,455 ±,8,96,774,5,,,97,338 D = 6,222,43 2,825 4,642 4,93 4,847 5,25 4,898 ±,56,95,329,89,99,49,59,5 D = 7,227,547 3,63 5,49 5,45 5,27 5,436 5,34 ±,78,3,243 5,49 5,45 5,27 5,436 5,34 D = 8,224,85 4,232 5,734 5,754 5,642 5,782 5,74 ±,,33 4,232 5,734,8,66,23,32 D = 9,236,876 4,793 5,862 6,59 6,9 6,97 5,838 ±,94,33,9 5,862 6,59 6,9 6,97 5,838 D =,33 2,429 5,253 6,237 6,33 6,335 6,466 6, ±,228,579 5,253 6,237 6,33 6,335 6,466 6, DC, , ,7854 9,26 ±,85 52,398 63,944,75 Dimensã de Crrelaçã,6,55,5,45,4,35,3,25,2,5,,5,,95,9,85,8,75,7 Henn p= Data: HENONP_B Mdel: ExpDecay Chi^2 =.3 y ±.86 x ± A ±.3558 t.466 ±6.5232E Dimensã de Imersã Fig. 5. Gráfic da Dimensã de Crrelaçã em funçã da Dimensã de Imersã para pass p = 2. O ajuste feit fi expnencial e valr assintótic d ajuste frnece a Dimensã de Crrelaçã para sistema de Henn.

11 868 Henn - Dimensã x Pass Dimensã Data: HENONDXP_B Mdel: ExpDecay Chi^2 = y ± x ± A ± t ± Pass Fig. 6. Gráfic das Dimensões de Crrelaçã em funçã d pass para Mapa de Henn. TABELA 3 Sistema de Rssler (crdenada X) cm 2. pnts SISTEMA: ROSSLER (x) 2. Pnts P = P = 2 P = 4 P = 8 P = 6 P = 32 P = 64 P = 28 D =,54,53,54,54,5,6,62,58 ±,57,58,58,6,6,8,87,24 D = 2,944,943,975 2,29 2,3,732,7 2,83 ±,67,36,48,5,228,79,6,47 D = 3,965,977 2,43 2,23 2,96,825 2,53 2,574 ±,45,48,74,8,249,2,85,55 D = 4,998 2,3 2,94 2,85 2,63,992 2,52 3,52 ±,72,47,64,266,327,47,4,8 D = 5,979 2,22 2,87 2,52 2,237 2,44 2,23 4,5 ±,2,83,248,24,32,8,27,3 D = 6,987 2,67 2,47 2,99 2,55 2,46 2,357 4,86 ±,42,77,244,97,25,8,35 4,86 D = 7 2, 2,63 2,73 2,62 2,249 2,68 2,397 3,947 ±,29,2,34,52,355,247,487, D = 8 2,2 2,96 2,28 2,7 2,287 2,263 2,578 3,928 ±,34,49,32,29,352,299,787,232 D = 9 2,4 2,7 2,6 2,22 2,74 2,66 2,427 4,64 ±,29,9,3,279,67,345,738,399 D = 2,3 2,93 2,72 2,268 2,4 2,243 2,565 4,33 ±,9,258,228,39,72,44,97,44 DC 2,367 2,597 2,4598 2,948 ±,9,562,874,53

12 869 Rssler p= 2,2 Dimensã de Crrelaçã 2,,8,6,4,2, Data: ROSSLERP_B Mdel: ExpDecay Chi^2 =.64 y ±.9 x ± A ±.2688 t.3779 ±.5773, Dimensã de Imersã Fig. 7. Gráfic da Dimensã de Crrelaçã em funçã da Dimensã de Imersã para pass p = 2. O ajuste feit fi expnencial e valr assintótic d ajuste frnece a Dimensã de Crrelaçã para sistema de Rssler. 5, Rssler - Dimensã x Pass 4,5 4, Dimensã 3,5 3, 2,5 2, Data: ROSSLERDXP_B Mdel: ExpDecay Chi^2 =.235 y ± x ± A ± t ± , Pass Fig. 8. Gráfic das Dimensões de Crrelaçã em funçã d pass para Mapa de Rssler. TABELA 4 Sistema de Ikeda cm 2. pnts

13 87 SISTEMA: IKEDA (x) 2. Pnts P = P = 2 P = 4 P = 8 P = 6 P = 32 P = 64 P = 28 D =,24,23,23,25,23,2,37,85 ±,45,45,49,46,63,65,34,54 D = 2,58,74,695,82,929 2, 2,24,993 ±,29,67,57,29,48,24,7,68 D = 3,637,763,99 2,48 2,87 3,8 2,973 2,89 ±,46,62,9,77,,7,4,82 D = 4,646,8 2,82 3,287 3,67 3,76 3,86 3,76 ±,67,27,39,25,55,38,4, D = 5,662,9 2,572 3,965 4,369 4,37 4,58 4,56 ±,2,65,36,274,7,65,94,25 D = 6,667,952 2,765 4,843 4,972 5,2 5, 5,9 ±,64,48,36,43,2,8,6,55 D = 7,679 2,85 3,58 5,468 5,54 5,497 5,57 5,63 ±,4,7,529 5,468 5,54 5,497 5,57 5,63 D = 8,76 2,229 4,84 5,84 5,845 5,9 5,978 6,37 ±,5,97 4,84,98,48,87,67, D = 9,747 2,36 4,62 6,3 6,64 6,87 6,3 6,24 ±,79,72,58 6,3 6,64 6,87 6,3 6,24 D =,778 2,64 5,334 6,347 6,399 6,487 6,7 6,47 ±,5,425 5,334 6,347 6,399 6,487 6,7 6,47 DC,6968 3,7548 4,498 9,85932 ±,75, ,856, , Ikeda p= Dimensã de Crrelaçã,9,8,7,6,5,4,3,2,,,9,8 Data: IKEDAP_B Mdel: ExpDecay Chi^2 =.24 y.6968 ±.75 x ± A ±.497 t ± Dimensã de Imersã Fig. 9. Gráfic da Dimensã de Crrelaçã em funçã da Dimensã de Imersã para pass p = 2. O ajuste feit fi expnencial e valr assintótic d ajuste frnece a Dimensã de Crrelaçã para sistema de Ikeda.

14 87 25 Ikeda - Dimensã x Pass 2 5 Dimensã Data: IKEDADXP_B Mdel: ExpDecay Chi^2 = y ± x ± A ± t ±.22E Pass Fig.. Gráfic das Dimensões de Crrelaçã em funçã d pass para Mapa de Ikeda. Após esta etapa prcurams lcalizar quais s passs que frneciam a dimensã d atratr mais aceita na literatura. Finalmente prcurams lcalizar n crrelgrama quais s valres da funçã de autcrrelaçã que estavam assciads as passs; a seguir, vims nde caíam s pnts que frneciam as melhres dimensões. Seguem s resultads. TABELA5 - DC btida, DC da literatura e Pass Crrespndente DC Literatura DC Obtida (melhr) Pass Err Percentual Abslut (%) Lrenz 2,68 2,635 2,36 Henn,22,22625,5 Rssler,99 2,367,64 Ikeda,69,6968,4 Os crrelgramas para cada um ds quatr sistemas pdem ser visualizads nas figuras 24, 25, 26 e 27 a seguir.

15 872 Funçã de Autcrrelaçã - Mapa de Lrenz çã a re l c u t a e d a n ç fu pass Fig.. Crrelgrama para Mapa de Lrenz. O pass p=2 frnece melhr valr da DC. Neste cas, C(2) =,85. Funçã de Autcrrelaçã - Mapa de Henn.8.6 çã a re l c u t a e d ã n ç fu pass Fig. 2. Crrelgrama para Mapa de Henn. O pass p= frnece melhr valr da DC. Neste cas C() crrespnde a primeir mínim.

16 873 Funçã de Autcrrelaçã - Mapa de Ikeda.8.6 çã a re l c u t a e d ã n ç fu pass Fig. 3. Crrelgrama para Mapa de Ikeda. O pass p= frnece melhr valr da DC. Neste cas C() crrespnde a primeir mínim. Funçã de Autcrrelaçã - Mapa de Rssler çã a re l c u t a e d ã n ç fu pass Fig. 4. Crrelgrama para Mapa de Rssler. O pass p= frnece melhr valr da DC. Neste cas, C() =,96.

17 874 ANÁLISE E CONCLUSÃO Pde-se afirmar que existem dis cmprtaments diferentes. Para Henn e Ikeda ideal é primeir mínim e para Lrenz e Rssler ideal é um valr da funçã de autcrrelaçã bem grande, u seja, de,85 a,96. Pde ser que a diferença de cmprtament seja devid a fat de Henn e Ikeda serem sistemas discrets e Lrenz e Rssler serem sistemas cntínus, mas ainda nã é pssível cncretizar tal afirmaçã nesta altura da pesquisa, pis fram investigads pucs sistemas. Lg, para ter um resultad mais precis é necessári que se trabalhe cm mais sistemas, talvez dez u vinte deles e nã apenas 4 cm fi feit, cntempland sistemas discrets e cntínus. E, além diss, é necessári que se trabalhe cm mais de 2. pnts. BIBLIOGRAFIA BOYER, Carl B. História da Matemática.Sã Paul: Editra Edgar Blucher Ltda./Editra da Universidade de Sã Paul, p. DE GRAUWE, P., DEWACHTER, H. e EMBRECHTS, M. Exchange Rate Thery. Oxfrd: Blackwell Publishers, p. FERRARA, N. F. e DO PRADO, C. P. C. Cas Uma Intrduçã. Sã Paul: Edgard Blücher Ltda., p. GRASSBERGER, P; PROCACCIA I. Measuring the strangeness f strange attractrs, Physica, v. 9D, 983. HANSELMAN, Duane; LITTLEFIELD, Bruce. Matlab 6 Curs Cmplet. Sã Paul: Prentice Hall, p. LORENZ, E. N. Deterministic Nnperidic Flw. J. Atms. Sci., v. 2, p. 3-4, 963.

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