Aula 7. Séries de Fourier

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1 Aula 7 Séries de Furier

2 Análise de Furier (também hamada de Análise Harmónia), que diz respeit à representaçã de sinais m uma sma (u melhr dizend, uma mbinaçã linear) de sinais básis m sens e sens, u expneniais mplexas. A Análise de Furier permite dempr um sinal nas suas mpnentes em frequênia (harmónis) e tem muitas apliações n Pressament de sinal, n Pressament de imagem, na Físia em várias apliações, na Prbabilidade e Estatístia assim m em muitas utras áreas. Antes de Furier três físis já tinham feit estuds preliminares em séries infinitas para reslverem prblemas diverss da Físia: suíç Lenhard Euler (77-783), franês Jean Le Rnd d'alembert (77-783) e hlandês Daniel Bernulli (7-78).

3 Jean Baptiste Jseph Furier (franês, ) Furier fi primeir a fazer um estud sistemáti das séries infinitas para reslver a equaçã da prpagaçã d alr na Físia, na publiaçã Mémire sur la thérie de la haleur, embra ele nã tenha express s seus resultads m grande frmalism. Smente uns ans mais tarde que dis matemátis alemães: Dirihlet (85-859) e Riemann (86-866), expressaram s resultads de Furier m mais rigr e preisã.

4 Série de Furier (sinal periódi da nda quadrada)

5 Série de Furier trignmétria para sinais ntínus

6 Série de Furier trignmétria para sinais ntínus Cnsidere um sinal periódi ntínu x(t) R {njunt ds númers reais}, t. Este sinal x(t) pde ser express m: x(t) a + a s π t + b sen π t a + [ a s( ω t) + b sen ( ω t) ] nde: períd fundamental d sinal x(t) ω frequênia fundamental d sinal x(t) ω π

7 a x(t) s π t dt x(t) s ( ω t) dt,,, b x(t) sen π t dt x(t) sen ( ω t) dt,, nde as integrais aima sã tmadas a lng d interval d períd d sinal periódi x(t).

8 Além diss, a fazend, pde ser reesrit de frma mais simplifiada pis, m π s t s ( ω t), para, entã, a x(t) dt u seja, a de erta frma representa um valr médi d sinal x(t) n interval de um períd.

9 Esta série é nheida m série trignmétria de Furier pis ntém terms m sens e -sens. x(t) a + a s π t + b sen π t a + [ a s( ω t) + b sen ( ω t) ] A equaçã aima, da série, é nheida m a equaçã de síntese

10 e as equações que definem a e b sã nheidas m as equaçã de análise. a x(t) s π t dt x(t) s ( ω t) dt,,, b x(t) sen π t dt x(t) sen ( ω t) dt,,

11 x(t) é um sinal seinalmente ntínu (u, também hamad de ntínu pr partes ) se x(t) tem um númer limitad de desntinuidades em qualquer interval limitad. x(t) é um sinal seinalmente difereniável se ambs x(t) e sua derivada x (t) frem sinais seinalmente ntínus. ( quase tds, sinais de interesse práti sã seinalmente difereniáveis )

12 erema de Furier Se x(t) é um sinal periódi seinalmente difereniável e de períd, entã a série de Furier nverge em ada pnt t para: a) x(t), se sinal x(t) fr ntínu n instante t; b) ½ [ x(t+ + ) + x(t+ - ) ], se sinal x(t) fr desntínu n instante t. Um pnt psitiv deste resultad é que a limitaçã d erema de Furier aima é muit leve pis a grande mairia ds, u quase tds, sinais de interesse práti sã seinalmente difereniáveis. O erema de Furier aima assegura que, para s sinais x(t) que frem aprximads pela série de Furier, quant mais terms da série (u parelas da sma) frem adiinads, melhr será a aprximaçã.

13 Ou seja, se hamarms de x n (t) à série de Furier m n terms, entã: x n (t) x(t) ns ass em que x(t) fr um sinal ntínu n instante t; e x n (t) [ x(t ) x(t ) ] ns ass em que x(t) nã fr um sinal ntínu n instante t.

14 Exempl 7. Cnsidere sinal x(t) dad abaix (nda quadrada), definid num interval (de t até t ) x(t),, se se < < t t < < Sinal da nda quadrada em um períd (de t até ).

15 Repetind-se (u estendend-se) este padrã para a direita de t e para esquerda de t, btems um sinal periódi para t ( < t < ). Agra x(t), send um sinal periódi t ( < t < ) já pde ser aprximad pr uma série de Furier De frma semelhante pdems estender qualquer utr sinal definid em um determinad interval finit e trná-l periódi de frma a pderms aprximá-l pr uma série de Furier

16 Caluland-se agra s efiientes de Furier para sinal da nda quadrada definid aima tems, para a primeiramente, a x(t) dt ( ) dt () dt + Cm períd fundamental é, entã ω π/ π e prtant, a x(t) s ( π t) dt ( ) s ( π t) dt + s( πt) dt π ( [ sen ( t) ] [ sen ( t) ] ) π + π,,,...

17 Lg s a s sã tds iguais a zer,,, Quant as b s, tems que: b x(t) sen ( π t) dt ( ) sen ( π t) dt + sen ( π t) dt π ( [ ( ) ] [ ( ) ] ) s π t + s π t e prtant, b, 4 π, se se é par é ímpar

18 u seja, b 4 π b π b π b π b b 6 b b 4 b π b π b 4 π b π b 4 b 8 b b 6 et.

19 Lg, esta é uma série de Furier só de sens e s 6 primeirs terms nã nuls da série sã: x(t) 4 sen π 4 3π 4 5π ( πt) + sen( 3πt) + sen( 5πt) π sen 4 9π 4 π ( 7 πt) + sen ( 9πt) + sen ( π t) +... Vams ver agra m fia sinal x(t) aprximad pela série de Furier

20 Sinal x(t) aprximad pela série de Furier Primeiramente, m apenas um term (ist é, apenas ), quand x(t) é simplesmente sen x(t) b sen(πt) (4/π) sen(πt) Sinal nda quadrada. Aprximaçã pr série de Furier m apenas um term ( )

21 Cm terms, s dis primeirs terms nã nuls (até 3, pis b ) tems a sma de sens: x(t) b sen(πt) + b 3 sen(πt) Sinal nda quadrada. Aprximaçã pr série de Furier m apenas dis terms ( e 3). (e já se nta uma melhria n sinal aprximad pela série) [agra já se nta pis n sinal aprximad pela série]

22 Depis, m 3 terms (s três primeirs terms nã nuls, até 5, pis b e b 4 ) tems a sma de 3 sens: x(t) b sen(πt) + b 3 sen(πt) + b 5 sen(πt) Sinal nda quadrada. Aprximaçã pr série de Furier m apenas três terms (, 3 e 5). (e já se nta uma melhria n sinal aprximad pela série) [agra já se nta 3 pis n sinal aprximad pela série]

23 Série até (6 terms nã nuls) Série até 49 (5 terms nã nuls).

24 Nta-se nitidamente que sinal x(t) aprximad pela série de Furier vai se trnand ada vez mais próxim d riginal, a nda quadrada. Ns pnts t nde x(t) é um sinal ntínu esta série de Furier nverge para própri valr de x(t). Pr exempl, para t,5, sabems que x(,5). Pela série de Furier, x (,5) sen + π 3π 5π 7π 9π (,5π) + sen(,5 π) + sen(,5 π) + sen( 3,5 π) + sen( 4,5 π)...,6977,8488,35,96,63 que de fat nverge para.

25 Pr utr lad, ns pnts t nde x(t) apresenta uma desntinuidade, esta série de Furier nverge para valr médi de x(t), entre imediatamente antes e imediatamente depis de t. Pr exempl, para t, sabems que x( ), e t, e que x( + ). Lg, pnt médi é: x( + ) + x( ) + Pela série de Furier, x() 4 sen π 4 3π 4 5π 4 7π 4 9π ( ) + sen( ) + sen( ) + sen( ) + sen( ) que de fat nverge para.

26 Mais adiante, (nas Prpriedades da Série de Furier), verems que: Se x(t) é um sinal par, Se x(t) é um sinal ímpar, entã a série de Furier para x(t) é uma série de -sens. entã a série de Furier para x(t) é uma série de sens. Ist pde ser vist pelas prpriedades ds sinais pares e ímpares. Rerde-se que, A sma de sinais pares é um sinal par. A sma de sinais ímpares é um sinal ímpar. O prdut de sinais pares é um sinal par. O prdut de sinais ímpares é um sinal par.

27 Lg, se x(t) é um sinal par, entã s efiientes b da série de Furier para x(t)sã tds iguais a zer: π b x(t) sen t dt,,, 3,... e prtant, a série de Furier é uma série de -sens. Mas se x(t) é um sinal ímpar, entã s efiientes a da série de Furier para x(t) sã tds iguais a zer (inluind a ): π a x(t) s t dt,,,, 3,... e prtant, a série de Furier é uma série de sens.

28 Série de Furier expnenial para sinais ntínus

29 Série de Furier expnenial para sinais ntínus A série de Furier expnenial, u também hamada de série de Furier mplexa. Se sinal x(t) R, entã a série de Furier expnenial é a mesma que a série trignmétria esrita de uma frma diferente, em terms de expneniais d tip jω t e em vez de em terms de sens e -sens. Entretant, se x(t) C { njunt ds númers mplexs } u seja, sinal x(t) tem valres mplexs, m parte real e parte imaginária. entã a série de Furier expnenial permite-ns aprximar x(t), que nã era pssível m a série trignmétria.

30 Na série de Furier expnenial (u mplexa) um sinal periódi x(t) pde ser express m: x(t) e j π t e j ω t nde: períd fundamental d sinal x(t) ω frequênia fundamental d sinal x(t)

31 e s efiientes s x(t) x(t) e e π j t jω t dt dt, ±, ±, Prtant, a série de Furier expnenial (u mplexa) generaliza a série de Furier trignmétria e tem também a vantagem de ser mais mpata. Os s sã hamads de efiientes da série de Furier expnenial u efiientes espetrais.

32 Semelhantemente à série trignmétria, a equaçã da série é nheida m a equaçã de síntese enquant que a equaçã ds efiientes é nheida m a equaçã de análise da série de Furier expnenial (u mplexa).

33 Exempl 7. mems nvamente a nda quadrada x(t) em um períd (de t até t )., se < t < x(t), se < t <

34 E, repetind-se (u estendend-se) este padrã para a direita de t e para esquerda de t, btems um sinal periódi que pde ser aprximad pela série de Furier expnenial (u mplexa).

35 Nvamente, períd fundamental é, e lg, ω π π x(t) ( ) e e j j ( πt ) dt ( πt ) j( πt ) dt + e dt, ±, ±,...

36 Lg,, π j, se se, ± ±,, ± 3, ± 4, ± 5, e a série mpleta fia: x(t) e jω t ±, ± 3, ± 5,... π j e j πt ±, ± 3, ± 5,... π j [ s (π t) + j sen (π t) ]

37 Cm sen é ímpar [ sen (πt) sen ( πt), ] e -sen é par [ s (πt) s(πt), ], pdems desmembrar a sma para em duas de ±, ± 3, ± 5,..., 3, 5,... x(t), 3, 5,... j π s (π t) +, 3, 5,... j π j sen (π t) + +, 3, 5,... j π s (π t) +, 3, 5,... j π j sen (π t)

38 e prtant s dis terms m -sens se anelam um a utr, enquant que s dis terms m sens sã idêntis, lg pdem se juntar fiand: x(t), 3, 5,..., 3, 5,... 4 π j π sen (π t) j sen (πt) que é mesm resultad btid n Exempl 7. m a série de Furier trignmétria, u seja: x(t) 4 sen π 4 3π 4 5π ( π t) + sen ( 3π t) + sen ( 5π t) π sen 4 9π 4 π ( 7 π t) + sen ( 9 π t) + sen ( π t) +... Iss antee prque as séries de Furier trignmétrias e mplexa (u expnenial) sã equivalentes.

39 Equivalênia das séries de Furier trignmétria e expnenial

40 Equivalênia das séries de Furier trignmétria e expnenial Se sinal x(t) fr de valres reais, entã existe uma relaçã entre a série de Furier trignmétria e mplexa (u expnenial) b j a para,,, b j a + para,, b j a + para,, Esta última equivale a Séries de Furier

41 Embra efiiente b nã exista, pis nã fi definid, na equaçã aima assume-se que b. Prtant, efiiente pde ser express m: Nte que enquant s efiientes a s e b s sã definids apenas para,,,, s efiientes s sã definids para, ±, ±, Sabems, da série de Furier trignmétria, que nã existe a s u b s para negativs. Entretant s a - e b - nas equações aima estã bem definids pis nesta equaçã,, e prtant s índies de a - e b - serã sempre psitivs. Pr exempl: u a - para será a, b - para 5 será b 5 a

42 Os terms para psitivs sã s njugads de para negativs, e vie-versa, ist é: ( )*,, ±, ±, ±3, As equações aima permitem que se transfrme uma série trignmétria em uma série expnenial.

43 O invers, u seja, as equações que permitem transfrmar uma série expnenial em uma série trignmétria sã as seguintes: a a ( + ) para,, b j( ) para,,

44 Cm as relações aima é fáil de se mstrar que, quand x(t) é um sinal real, entã: x(t) e π j t e j ω t a + a s π t + b sen π t a + [ a s( ω t) + b sen ( ω t) ] u seja, as duas séries de Furier, trignmétria e expnenial, sã equivalentes (ist é, sã as mesmas).

45 Prpriedades das séries de Furier para sinais ntínus

46 Linearidade: x (t) é um sinal m períd e tem efiientes de Furier x (t) é um sinal m períd e tem efiientes de Furier y(t) α x(t) + βx (t) entã, y(t) tem períd u seja, y(t) tem frequênia fundamental ω π e y(t) tem efiientes de Furier α + β

47 ranslaçã n temp ( time shifting ) entã, u seja, x(t) é um sinal m períd e tem efiientes de Furier y(t) x(t t y(t) tem períd y(t) tem frequênia fundamental e y(t) tem efiientes de Furier ~ e e j ω j t π t ) y(t) é sinal x(t) m uma translaçã (shift) n temp de t. ω Nta m π e jθ tem-se que, ~ θ

48 Sinal refletid/reversã n temp ( time reversal ) x(t) é um sinal m períd e tem efiientes de Furier entã, u seja, y(t) y(t) tem períd x( t) y(t) tem frequênia fundamental e y(t) tem efiientes de Furier lg, ĉ Se x(t) é um sinal par s efiientes de Furier sã, eles própris, pares; i.e., ω π Se x(t) é um sinal ímpar s efiientes de Furier sã, eles própris, ímpares; i.e.,

49 Esalnament n temp ( time saling ) entã, u seja, x(t) é um sinal m períd e tem efiientes de Furier π (prtant x(t) tem frequênia fundamental ω ) y(t) x( α y(t) tem períd /α t) y(t) tem frequênia fundamental e y(t) tem efiientes de Furier y(t) e e j j α ω t α π t ωˆ α ω απ Nte que a série de Furier muda pr ausa da mudança da frequênia fundamental (e d períd). Entretant s efiientes nã mudam.

50 Multipliaçã entã, x (t) é um sinal m períd e tem efiientes de Furier x (t) é um sinal m períd e tem efiientes de Furier y(t) tem períd y(t) x(t) x (t) e y(t) tem efiientes de Furier i i i u seja, [ ] [ ] i, j i u seja, y(t) tem frequênia fundamental i ω u seja, é a nvluçã entre s sinais disrets [ ] e [ ] π L

51 Cnjugaçã x(t) é um sinal m períd e tem efiientes de Furier entã, u seja, y(t) x y(t) tem períd (t) y(t) tem frequênia fundamental e y(t) tem efiientes de Furier y(t) é njugad de x(t) ω π Lg, se x(t) R, entã, s efiientes de Furier R e

52 Além diss, as relações aima permitem mais uma vez nluir que: Se x(t) R é um sinal par(x(t) x( t) ) s efiientes de Furier (s efiientes de Furier sã eles própris pares ). e Se x(t) R é um sinal ímpar(x(t) x( t)) s efiientes de Furier sã imagináris purs, e (s efiientes de Furier sã eles própris ímpares ).

53 ranslaçã na frequênia ( frequeny shifting ) x(t) é um sinal m períd e tem efiientes de Furier y(t) e jm ω t x(t) y(t) é x(t) multipliad pr expnenial e y(t) tem efiientes de Furier m, ±, ±, que sã s efiientes desfasads de m. Nta: Esta prpriedade é dual da translaçã n temp ( time shifting ). Agra a translaçã (shift) fi apliada as e nã n temp t. Outr detalhe, m e j θ, θ entã,, ±, ±,

54 Cnvluçã n períd x (t) é um sinal m períd e tem efiientes de Furier x (t) é um sinal m períd e tem efiientes de Furier y(t) x (t) x x (t τ) (t) x ( τ) dτ y(t) é a nvluçã (tmada n períd ) entã, u seja, y(t) tem períd y(t) tem frequênia fundamental ω π e y(t) tem efiientes de Furier ~

55 Derivada x(t) é um sinal m períd e tem efiientes de Furier entã, y(t) tem períd e y(t) tem efiientes de Furier j y (t) ω u seja, y(t) tem frequênia fundamental dx dt π j Nta: Para as de derivadas de rdem u mais, pde-se apliar esta regra suessivas vezes. Pr exempl, n as da segunda derivada, se y (t) d x dt j ω y(t) tem efiientes de Furier j ω ω ω π π

56 Integral entã, x(t) é um sinal m períd e tem efiientes de Furier y(t) tem períd y(t) e y(t) tem efiientes de Furier ( j ω t x(t) dt u seja, y(t) tem frequênia fundamental π j Nta: N as de, esta prpriedade só é válida para sinais x(t) periódis e m valres finits. Para as de integrais duplas, triplas, et., pde-se apliar esta regra suessivas vezes. ω π

57 Relaçã de Parseval entã, x(t) é um sinal m períd e tem efiientes de Furier a ptênia média d sinal n interval de um períd P x (t) dt

58 Série de Furier expnenial para sinais disrets

59 Série de Furier expnenial para sinais disrets Sinais disrets periódis [ n] x[ n N ] x + N períd fundamental ω π N frequênia fundamental Os sinais disrets (n temp) d tip expneniais mplexas que sã periódis (m períd N) é dad pr φ [ n] e jωn e j π N n,,, Estes sinais têm frequênia fundamental que sã múltiplas de π N e prtant sã harmniamente relainads.

60 Existem apenas N sinais distints n njunt de funções φ [n] definid pela aima. Ist é uma nsequênia d fat de que: sinais disrets (n temp) d tip expneniais mplexas que diferem na frequênia pr um múltipl de π sã idêntis. Ou seja, após N nseutivs, estes terms meçam a repetir-se. φ φ φ φ [ n] φ [ n] [ n] φ [ n] [ n] φ [ n] M N N+ N+ M [ n] φ [ n] + N M M

61 Esta situaçã é diferente d as ntínu pis s efiientes que apareem na equaçã de síntese da série de Furier para sinais ntínus: φ (t) j ω t j π t e e,,,, sã tds diferentes uns ds utrs. Prtant, a série de Furier para sinais disrets terá apenas N terms, para N nseutivs valres de, de l até l + N e, semelhantemente, apenas N efiientes.

62 Lg, a série de Furier para sinais disrets tem a expressã: x[n] ( l+ N ) l,( l+ ), K e j π N n ( l+ N ) l,( l+ ), K e j ω n nde, N períd fundamental d sinal x[n]. ω frequênia fundamental d sinal x[n]. Esta equaçã aima é nheida m a equaçã de síntese da série de Furier disreta.

63 Os efiientes s n as disret sã definids pr [ ] [ ] π ω ) N ( ),,( n ) N ( ),,( n n N j n j n x N n x N l K l l l K l l e e, ±, ±, Os s sã hamads de efiientes da série Furier disreta u efiientes espetrais. Esta equaçã aima é nheida m a equaçã de análise da série de Furier disreta. Séries de Furier

64 Exempl 7.3 Cnsidere a seguinte nda quadrada x[n] disreta n temp Onda quadrada disreta de períd N. x[n],, se N utrs n n n N interval de smaçã Neste as s efiientes espetrais fiam: N N n N e j π N n

65 s efiientes espetrais da nda quadrada disreta deste exempl π sen N N N π sen N N +, N +, se, ± N, ± se, ± N, ± N, L N, L Para as partiular de N 9 e N, tems que: (N + ) 5 que representa númer de pnts que assumem valr em ada períd e nsequentemente, N (N + ) representa númer de pnts que é igual a (zer) em ada períd.

66 O gráfi deste x[n], m N 9 e N pde ser vist na figura e s efiientes alulads pela expressã aima sã: M,59, ,75,,59,399,5556, ,,75,75,,59, ,399,59,,75,75, ,59,399,5556,399,59, M

67 Observe que a ada N efiientes eles se repetem. Ist é, a ada 9 eles vltam a ser s mesms valres. M L,75 L, L,59 L,399 L,5556 L,399 L,59 M e assim pr diante.

68 Agra, m s valres ds efiientes, pdems esrever a série de Furier x[n] ( l + 8) l,( l+ ), K e j π 9 n A ntrári d as ntínu, em que tínhams que aresentar mais e mais terms para bter uma aprximaçã melhr, aqui n as disret é pssível uma aprximaçã exata m N 9 terms nseutivs.

69 Se tmarms primeiramente apenas 3 terms nseutivs, terems, e, xˆ 3 [n] e j π 9 n que ns dá uma primeira aprximaçã, ainda muit grsseira, d sinal x[n],

70 Se entretant tmarms 5 terms nseutivs,,,, e, terems entã: xˆ 5 [n] e j π 9 n que ns dá uma aprximaçã um pu melhr, mas ainda nada perfeita, d sinal x[n],

71 Se agra tmarms 7 terms nseutivs, terems entã: 3,,,,, e 3, xˆ 7 [n] 3 3 e j π 9 n que ns dá uma aprximaçã um bem melhr, mas ainda nã perfeita, d sinal x[n],

72 Finalmente, se agra tmarms 9 terms nseutivs, 4, 3,,,,,, 3 e 4, terems entã: xˆ 9 [n] x[n] 4 4 e j π 9 n que ns dá a aprximaçã exata d sinal x[n] pis N 9. Ou seja, xˆ 9 [n] x[n]

73 Exempl 7.4 Cnsidere agra sinal sinusidal disret x[n] sen( ω n) Este sinal é periódi quand π é um inteir u a razã de dis inteirs. ω Se π ω N entã ω π N e x[n] é entã um sinal periódi m períd fundamental N. Usand-se a equaçã de Euler pdems expandir este sinal x[n] m a sma de terms expneniais mplexs, btend-se x[n] j π N e e j j n j π N n

74 e vems entã que: j j, j j para utrs valres de n interval de smaçã Pr exempl, n as partiular de N 5, entã x[n] π sen n 5

75 e s efiientes de Furier serã: M M j j j j 3 3 M M j j j j j j M M j j j j j j e assim pr diante. Séries de Furier

76 Ou seja, a ada 5 efiientes, eles se repetem, i.e., vltam a ter s mesms valres M L L L M,5j M L L L M,5j e assim pr diante. de até 3, u de até 4, u de até 5, u de até 6, u et. et. Séries de Furier O interval de smaçã pde ser quaisquer 5 efiientes nseutivs, m pr exempl:

77 Se tmarms apenas 3 terms nseutivs, m pr exempl:, e 3, terems [n] 3 que ns dá uma aprximaçã d sinal x[n]. xˆ 3 e π j n 5 Entretant, se tmarms 5 terms nseutivs, m pr exempl:,, 3, 4 e 5, terems entã xˆ [n] 5 5 e π j n 5 que ns dá a aprximaçã exata d sinal x[n] pis N 5. Ou seja, xˆ 5[n] π x[n] sen n 5

78 Prpriedades das séries de Furier para sinais disrets

79 Linearidade: x [n] é um sinal m períd N e tem efiientes de Furier x [n] é um sinal m períd N e tem efiientes de Furier [ n ] α x [ n ] + x [ n ] y β entã, y[n] tem períd N u seja, y[n] tem frequênia fundamental ω π N e y[n] tem efiientes de Furier α + β

80 ranslaçã n temp ( time shifting ) x[n] é um sinal m períd N e tem efiientes de Furier y [ n ] x[ n ] translaçã (shift) n temp de n. n entã, u seja, y[n] tem períd N y[n] tem frequênia fundamental e y[n] tem efiientes de Furier ~ e e j ω n j π N n ω Nta m π N e jθ tem-se que, ~ θ

81 Sinal refletid/reversã n temp ( time reversal ) x[n] é um sinal m períd N e tem efiientes de Furier entã, u seja, y[n] y[n] tem períd N x[ n] y[n] tem frequênia fundamental e y[n] tem efiientes de Furier lg, ĉ Se x[n] é um sinal par s efiientes de Furier sã, eles própris, pares; i.e., ω π N Se x[n] é um sinal ímpar s efiientes de Furier sã, eles própris, ímpares; i.e.,

82 Esalnament n temp ( time saling ) entã, x[n] é um sinal m períd N e tem efiientes de Furier π N (prtant x[n] tem frequênia fundamental ω ) y [ n ] x, n m, y[n] tem períd m N se se n n é múltipl de nã é e y[n] tem efiientes de Furier y [ n ] ( l + N ) l, ( l + ), K ( l + N ) l, ( l + ), K e e j j m múltipl de u seja, ω m π m N n n m y[n] tem frequênia fundamental ωˆ ω n π m N Nte que a série de Furier muda pr ausa da mudança da frequênia fundamental (e d períd). Entretant s efiientes nã mudam.

83 Multipliaçã entã, x [n] é um sinal m períd N e tem efiientes de Furier x [n] é um sinal m períd N e tem efiientes de Furier y[n] x[n] x [n] y[n] tem períd N e y[n] tem efiientes de Furier u seja, ( l+ N ) j j l,( l+ ), K + j + u seja, y[n] tem frequênia fundamental ( l + N ) j l, ( l + ), K j N ( N+ ) L + N ( N) M et M et M et + L + M j et ω π N, ±, ±,

84 Cnjugaçã x[n] é um sinal m períd N e tem efiientes de Furier y[n] x [n] y[n] é njugad de x[n] entã, y[n] tem períd N u seja, y[n] tem frequênia fundamental ω π N e y[n] tem efiientes de Furier Lg, se x[n] R, entã, s efiientes de Furier R e

85 Além diss, as relações aima permitem, mais uma vez, nluir que: Se x[n] R é um sinal par(x[n] x[ n] ) s efiientes de Furier (s efiientes de Furier sã eles própris pares ). α e Se x[n] R é um sinal ímpar(x[n] x[ n]) s efiientes de Furier sã imagináris purs, e (s efiientes de Furier sã eles própris ímpares ).

86 ranslaçã na frequênia ( frequeny shifting ) x[n] é um sinal m períd N e tem efiientes de Furier y[n] e jm ω n x[n] y[n] é x[n] multipliad pr expnenial y[n] tem efiientes de Furier m, ±, ±, que sã s efiientes desfasads de m. Nta: Esta prpriedade é dual da translaçã n temp ( time shifting ). Agra a translaçã (shift) fi apliada as e nã n temp n. Outr detalhe, m e j θ, θ entã,, ±, ±,

87 Cnvluçã n períd x [n] é um sinal m períd N e tem efiientes de Furier x [n] é um sinal m períd N e tem efiientes de Furier y [ n ] x [ n ] x [ n ] ( l+ N ) x l,( l+ ), K [ n ] x [ ] y[n] é a nvluçã (tmada n períd N) entã, u seja, y[n] tem períd N y[n] tem frequênia fundamental ω π N e y[n] tem efiientes de Furier ~ N

88 Primeira diferença x[n] é um sinal m períd N e tem efiientes de Furier entã, y[n] tem períd N e y[n] tem efiientes de Furier y [ n ] x [ n ] x [ n ] u seja, y[n] tem frequênia fundamental ω π N π j ( ) j ω N e e Nta: Esta prpriedade rrespnde, n as disret, à prpriedade para a derivada n as ntínu. Para as de diferenças de rdem u mair, pde-se apliar esta regra suessivas vezes. Pr exempl, n as da segunda diferença, se y[n] tem efiientes de Furier y [ n ] x [ n ] x [ n ] π ( ) j j ω N e e

89 Sma aumulada x[n] é um sinal m períd N e tem efiientes de Furier entã, y(t) y[n] tem períd N n e y[n] tem efiientes de Furier ( x [ ] u seja, y[n] tem frequênia fundamental ( j ω ) π e j N e Nta: N as de, esta prpriedade só é válida para sinais x[n] periódis e m valres finits. Esta prpriedade rrespnde, n as disret, à prpriedade para a integral n as ntínu. Para as de smatóris dupls, tripls, et., pde-se apliar esta regra suessivas vezes. ω π N

90 Relaçã de Parseval entã, x[n] é um sinal m períd N e tem efiientes de Furier a ptênia média d sinal n interval de um períd N P N ( l+ N ) n l,( l+ ), K x [ n ] ( l+ N ) l,( l+ ), K

91 Obrigad! Felippe de Suza