RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

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1 APÍUO 3 RESISÊNIA DOS MAERIAIS Ferdinand P. eer E. Russell hnstn, r. ereira Ediçã rçã em Seções irulares apítul 3 rçã em Seções irulares 3.1 Intrduçã 3. Análise Preliminar das ensões 3.3 Defrmações em Eixs irulares 3.4 ensões n Regime Elásti 3.5 Ângul de rçã n Regime Elásti 3.6 Prjet de Eix de ransmissã 3 -

2 3.1 - Intrduçã Neste ap. 3 interesse está nas tensões e defrmações de eixs u peças de seçã transversal irular sujeits à açã de njugads u trques; Exempl de apliaçã: eixs de transmissã. A turbina exere um trque n eix; O eix transmite trque n geradr; O geradr ria um trque igual e pst, hamad mment trçr. Efeits da trçã: Dá rigem a tensões de isalhament nas diversas seções transversais d eix; Prduz um deslament angular de uma seçã transversal em relaçã à utra Análise Preliminar das ensões A resultante das tensões de isalhament, geram um trque intern igual e pst a trque extern apliad ( ) ρ df ρ da Embra a resultante d trque devid às tensões de isalhament seja nheida, a distribuiçã das tensões ainda nã é. A determinaçã da distribuiçã das tensões de isalhament é estatiamente indeterminada, deve-se nsiderar as defrmações d eix para a sua sluçã. Diferentemente da distribuiçã das tensões nrmais devid à argas axiais, a distribuiçã das tensões de isalhament devid a trque nã pde ser nsiderada unifrme. 3-4

3 3. Análise Preliminar das ensões O trque apliad na barra irular prduz tensões de isalhament nas faes perpendiulares a eix axial. As ndições de equilíbri requerem a existênia de tensões iguais nas faes ds dis plans que ntêm eix da barra. A existênia destas tensões pde ser demnstrada, nsiderand que a barra é feita de tiras axiais, nfrme figura a lad. Uma lâmina desliza m relaçã a utra quand trques iguais e psts sã apliads nas extremidades d eix Defrmações em Eixs irulares Da bservaçã, ângul de trçã d eix é prprinal a trque apliad e a mpriment d eix. da seçã irular d eix permanee plana e sem distrçã quand a trçã é apliada. Devid a essa prpriedade eix irular é definid m axissimétri (a aparênia é a mesma quand eix é bservad de algum pnt). Seções transversais de eixs nã-irulares sã distridas quand sujeitas a trçã. 3-6

4 3.3 Defrmações em Eixs irulares nsidere um element n interir de uma seçã de um eix, submetid a um trque. Desde que a extremidade d element permanee plana, a defrmaçã de isalhament é prprinal a ângul de trçã. ems entã: AA γ e AA ρ γ ρ u γ ρ g, a defrmaçã de isalhament máxima será: ρ γ e γ γ ensões n Regime Elásti 1 4 π 4 4 ( ) 1 1 π Pela lei de Hke para isalhament, Gγ ρ Gγ lg, ρ 1 min A tensã de isalhament varia linearmente m a distânia radial na seçã. m a sma ds mments interns ausads pela tensã de isalhament deve ser igual a trque extern, da ρ ρ da Os resultads sã nheids m fórmulas de trçã elástia, ρ e 3-8

5 Exempl 3.1 Para eix vazad de aç, determinar: (a) mair mment de trçã que pde ser apliad para que as tensões de isalhament nã exedam 1 MPa; (b) valr mínim da tensã de isalhament para respsta d item (a). 3-9 ensões em Plans Ortgnais a Eix Elements m faes perpendiulares e paralelas a eix axial, estã submetidas a isalhament pur. ensões nrmais e tensões de isalhament sã enntradas para utras rientações. nsidere um element a 45 d eix axial, F σ 45 ( A ) s45 F A A A Element a está sb isalhament pur. Element está submetid a traçã em duas de suas faes e a mpressã nas utras duas. A 3-1

6 Falhas sb trçã isalhament pur Materiais dúteis geralmente falham pr isalhament. Materiais frágeis sã mens resistentes à traçã (tensã nrmal) que a isalhament. ensões de traçã e mpressã Quand submetids a trçã, s materiais dúteis rmpem n plan nde rre a tensã de isalhament máxima, ist é, plan perpendiular a eix axial. Quand submetids a trçã, s materiais frágeis rmpem em um plan que frma 45 m eix axial, ist é, plan nde rre a tensã nrmal máxima Exempl 3. O eix é m diâmetr intern de 9 mm e diâmetr extern de 1 mm. Os eixs A e D sã heis e de diâmetr d. Para arregament mstrad, determine: (a) as tensões de isalhament mínima e máxima n eix, (b) diâmetr d neessári para s eixs A e D, se a tensã admissível a isalhament para material d eix é de 65 MPa. 3-1

7 Exempl 3.3 O prjet preliminar de um eix de transmissã levu à eslha de uma barra de seçã vazada, m diâmetr intern de 1 mm e diâmetr extern de 15 mm. Pede-se determinar máxim trque que pderá ser transmitid, send a tensã admissível d material 83 MPa, nas seguintes situações: (a) d prjet preliminar; (b) supnd um eix sólid maiç de mesm pes daquele d anteprjet Ângul de rçã n Regime Elásti Sabems que ângul de trçã e a defrmaçã de isalhament estã relainadas pr: γ Pela lei de Hke para isalhament: γ G G Igualand as equações e reslvend para ângul de trçã, enntrams: G Se trque, a seçã, material u mpriment variam a lng d eix: i i G i i i 3-14

8 Exempl 3.4 Determine valr d mment de trçã que deve ser apliad à extremidade d eix irular mstrad de md que ângul de trçã prduzid seja de º. Dad: G 8 GPa Exempl 3.5 Para eix de seçã vazada uj material tem G 8 GPa, alular valr d ângul de trçã que prva uma tensã de isalhament de 7 MPa na fae interna d eix. 3-16

9 Eixs Estatiamente Indeterminads Sã aqueles, nde númer de inógnitas a enntrar é mair que númer de equações da estátia apliáveis. Ex: Dad eix da figura, desejams determinar s trque reativs em A e. Da análise d diagrama de rp livre d eix: A + 9lb ft Dividind eix em duas partes, as quais preisam ter mpatibilidade de defrmações, A G G Substituind na equaçã de equilíbri, + 1 A A 9lb ft A 3-17 Exempl 3.6 Dis eixs sólids de aç sã netads pr engrenagens. Sabend que material ds eixs tem G 77, GPa e tensã admissível a isalhament de 55 MPa, determine: (a) trque máxim que pde ser apliad em A; (b) rrespndente ângul de trçã em A. 3-18

10 SOUÇÃO: Análise de equilíbri estáti ns dis eixs para enntrar uma relaçã entre D e. Análise da inemátia para relainar a rtaçã angular das engrenagens. M M D F F.8 (.875in. ) (.45in. ) D r r r r.8.45in..875in SOUÇÃO: Enntre para trque máxim admissível em ada eix eslha menr deles. Enntre ângul de trçã em ada eix e a rtaçã da extremidade A. 663lb in. A A D D 561lb in. 8 psi π.8 8 psi π (.375in. ) 4 (.375in. ) (.5in. ) 4 (.5in. ) 561lb in A / A A / D A G π.387 rad. D D G π.514 rad.95 A/ ( 561lb in. )( 4in. ) 4 6 (.375in. ) ( psi) ( 561lb in. )( 4in. ) 4 6 (.5in. ) ( psi) (.95 ) A 3 -

11 3.6 Prjet de Eix de ransmissã O prjet de eixs de transmissã (árvres) baseia-se na Ptênia transmitida e na Velidade de rtaçã d eix. O prjetista preisa seleinar material e alular adequadamente a seçã d eix, sem que exeda a tensã admissível d material e ângul de trçã máxim permitid para a apliaçã. O trque apliad é uma funçã da ptênia e da velidade de rtaçã, [ ] P ω π f W P ω P π f [ N.m] A seçã d eix é enntrada, igualand-se a tensã máxima à tensã admissível d material, π 3 π ( eix sólid) 4 4 ( 1 ) ( eix ) 3-1 Exempl 3.7 Determinar diâmetr que deve ser usad para eix d rtr de uma máquina de 5 hp, perand a 36 rpm, se a tensã de isalhament nã pde exeder 59 MPa. Exempl 3.8 Um eix é nstruíd pr um tub de aç de 5 mm de diâmetr extern e deve transmitir 1 kw de ptênia a uma frequênia de Hz. Determinar a espessura d tub para que a tensã máxima de isalhament nã exeda 6 MPa. 3 -