A relação entre a variação angular ( φ) e o intervalo de tempo ( t) define a velocidade angular do movimento.

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Ayrton Borges Espírito Santo
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A relação entre a variação angular ( φ) e o intervalo de tempo ( t) define a velocidade angular do movimento.

1 ATIVIDADE MOVIMENTO CIRCULAR Professor Me.Claudemir C. Alves 1 1- Velocidade Angular (ω) Um ponto material P, descrevendo uma trajetória circular de raio r, apresenta uma variação angular ( φ) em um determinado intervalo de tempo ( t). A relação entre a variação angular ( φ) e o intervalo de tempo ( t) define a velocidade angular do movimento. ω = velocidade angular [rad/s] φ = variação angular [rad] t = variação de tempo [s] 2 Período (T) É o tempo necessário para que um ponto material P, movimento-se em uma trajetória de raio r, complete um ciclo, ou uma volta. T = período [s] ω = velocidade angular [rad/s] π = constante trigonométrica 3, Freqüência (f ) É o número de ciclos ou volta que o ponto material P descreve em um segundo, movimentando-se em trajetória circular de raio r. A freqüência (f) é o inverso do período T. f = freqüência [Hz] T = período [s] ω = velocidade angular [rad/s] π = constante trigonométrica 3, Radiano É o arco de circunferência cuja medida é o raio. 5 Rotação (n) É o número de ciclos ou voltas que um ponto material P, movimentando-se em uma trajetória circular de raio r, descreve em um minuto. Desta forma, podemos escrever que: Como f = ω / 2 x π, tem-se: n = 60 x ω / 2 x π, portanto n = rotação [rpm] f = freqüência [Hz] ω = velocidade angular [rad/s] π = constante trigonométrica 3,

6 Velocidade Periférica ou Tangencial (v) A velocidade tangencial ou periférica tem como característica a mudança de trajetória a cada instante, porém o seu módulo permanece constante.

2 6 Velocidade Periférica ou Tangencial (v) A velocidade tangencial ou periférica tem como característica a mudança de trajetória a cada instante, porém o seu módulo permanece constante. 2 A relação entre a velocidade tangencial (v) e a velocidade angular (ω) é definida pelo raio da peça. v / ω = r, portanto v = ω x r mas, isolando-se ω na expressão da rotação, obtém-se: substituindo-se ω na expressão anterior, obtém-se: v = velocidade periférica [m/s] π = constante trigonométrica 3, n = rotação [rpm] r = raio [m] ω = velocidade angular [rad/s] Exercícios 1 A roda da figura possui d = 300 mm, gira com velocidade angular ω = 10 π rad/s. Determinar para o movimento da roda: a) Período (T) b) Freqüência (f) c) Rotação (n) d) Velocidade periférica (v p ) 2 O motor elétrico da figura possui como característica de desempenho a rotação n = 1740 rpm. Determine as seguintes caracter sticas de desempenho do motor: a) Velocidade angular (ω) b) Período (T) c) Freqüência (f) 3 O ciclista da figura monta uma bicicleta aro 26 (d = 660 mm), viajando com um movimento que faz com que as rodas girem com n = 240 rpm. Qual a velocidade do ciclista? V [Km/h]

3 MOVIMENTO CIRCULAR RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO (i) ATIVIDADE 2 Professor Me. Claudemir Claudino Alves 3 7 Relação de Transmissão (i) Transmissão por Correias Transmissão redutora de velocidade Transmissão ampliadora de velocidade i = relação de transmissão [adimensional] d 1 = diâmetro da polia 1 (menor) [m,...] d 2 = diâmetro da polia 1 (maior) [m,...] ω 1 = velocidade angular 1 [rad/s] ω 2 = velocidade angular 2 [rad/s] f 1 = freqüência 1 [Hz] f 2 = freqüência 2 [Hz] n 1 = rotação 1 [rpm] n 2 = rotação 2 [rpm] M T1 = torque 1 [Nm] M T2 = torque 2 [Nm] Exercícios 4 A transmissão por correias, representada na figura, é composta por duas polias com os seguintes diâmetros respectivamente: Polia 1 motora d 1 = 100 mm Polia 2 movida d 2 = 180 mm A polia 1 (motora) atua com velocidade angular ω = 39 π rad/s. Determinar para a transmissão: a) Período da polia 1 (T 1 ) b) Freqüência da polia 1 (f 1 ) c) Rotação da polia 1 (n 1 ) d) Velocidade angular da polia 2 (ω 2) e) Freqüência da polia 2 (f 2 ) f) Período da polia 2 (T 2 ) g) Rotação da polia 2 (n 2 ) h) Velocidade periférica da transmissão (v p ) i) Relação de transmissão (i)

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5 MOVIMENTO CIRCULAR TORÇÃO SIMPLES ATIVIDADE 3 Professor Me. Claudemir Claudino Alves 5 Uma peça encontra-se submetida a esforço de torção, quando sofre a ação de um torque (M T ) em uma das extremidades e um contratorque (M T ) na extremidade oposta. 8 Momento Torçor ou torque (M T ) É definido por meio do produto entre a carga (F) e a distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da seção transversal da peça (ver figura anterior). M T = torque (Nm) F = carga aplicada (N) S = distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da seção transversal da peça (m) Exemplo 1: Determinar o torque de aperto na chave que movimenta as castanhas na placa do torno. A carga aplicada nas extremidades da haste é F = 80N. O comprimento da haste é l = 200 mm. M T = 2 x F x s M T = 2 x 80 Nm x 100 mm M T = N mm M T = 16 Nm 9 Torque nas Transmissões Para as transmissões de movimento, o torque é definido por meio do produto entre a força tangencial (F T ) e o raio da peça. M T = Torque [Nm] F T = Força tangencial [N] r = raio da peça [m]

6 Exemplo 1 A transmissão por correias, representada na figura, é composta pela polia motora 1 que possui diâmetro d 1 = 100 mm e a polia movida 2 que possui diâmetro d 2 = 240 mm. A transmissão é acionada por uma força tangencial F T = 600 N. 6 Determinar para a transmissão: a) Torque na polia 1 b) Torque na polia 2 Resolução; a) Torque na polia 1 a1 raio da polia 1 r 1 = d 1 / 2 = 100 mm / 2 r 1 = 50 mm r 1 = 0,05 mm a2 Torque na polia 2 M T1 = F T x r 1 M T1 = 600 N x 0,05 m M T1 = 30 Nm b) Torque na polia 2 b1 - raio da polia 2 r 2 = d 2 / 2 = 240 mm / 2 r 1 = 120mm r 1 = 0,12 mm b2 Torque na polia 2 M T2 = F T x r 2 M T2 = 600 N x 0,12 m M T2 = 72 Nm

7 10 Potência (P) Define-se por meio do trabalho realizado na unidade de tempo. 7 Tem-se então: Como τ = F x s, conclui-se que : Mas, v p = S / t, portanto P = F x v p Unidade de [P] [ Nm / s = J / s = W ] Unidade de potência (P) no SI. P = potência [W] F T = força tangencial [N] v p = velocidade periférica [m/s] W = Watt No século XVIII ao inventar a máquina a vapor James Watt decidiu demonstrar ao povo inglês quantos cavalos equivalia a sua máquina. Para isso, efetuou a seguinte experiência: F = Qmáx = 76 kgf Carga máxima que o cavalo elevou com velocidade V= 1 m/s. Resultando em: P = F x v P 76 kgf x 1 m/s P = 76 kgf x m/s Como: Kgf = 9,80665 N P = 76 x 9,80665 N x 1 m/s P = 745,... Nm/s, a unidade Nm/s = 1 W, homenagem a J. Watt, surgiu dessa a experiência o HP (horse power). hp = 745,...W cuja utilização é vedada no SI. Após algum tempo a experiência foi repetida na França constatando-se que Q = 75 kgf. Resultou daí o cv (cavalo vapor) P = F x v P 75 kgf x 1 m/s P = 75 kgf x m/s Conclui-se então que: P = 75 x 9,80665 N m/s P = 735,5 W temporariamente permitida a utilização no SI.

8 Relações Importantes hp = 745,... W (horse Power) vedada a utilização no SI. ( unidade de potência ultrapassada) cv = 735,5 W (cavalo vapor) permitida temporariamente a utilização no SI Torque x Potência Como: tem-se Substituindo-se as equações II e III em I, tem-se: Ou P = potência [W] M T = torque [Nm] ω = velocidade angular [rad/s] n = rotação [rpm] 12 Força Tangencial (F T ) F T = força tangencial [N] M T = torque [Nm] r = raio da peça [m] P = potência [W] v p = velocidade periférica [m/s] ω = velocidade angular [rad/s]

9 Cálculo da Potência do motor elétrico. 9

10 Cálculo da Carga aplicada pelo operador. 10

11 11

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13 Exercícios 13 5 A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por um motor elétrico com potência P = 5.5 Kw com rotação n = 1720 rpm chavetando a polia 1 do sistema. As polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros: Polia 1 motora d 1 = 120 mm Polia 2 movida d 2 = 300 mm Desprezar as perdas. Determinar para a transmissão: a) Velocidade angular da polia 1 (ω 1) b) Freqüência da polia 1 (f 1 ) c) Torque da polia 1 (M T 1 ) d) Velocidade angular da polia 2 (ω 2) e) Freqüência da polia 2 (f 2 ) f) Rotação da polia 2 (n 2 ) g) Torque da polia 2 (M T 2 ) h) Relação de transmissão (i) i) Velocidade periférica da transmissão (v p ) j) Força tangencial da transmissão (F T )

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18 18 EXERCÍCIO PROPOSTO 1 A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por meio da polia 1 por um motor elétrico com potência P = 7,5 kw (P = 10 cv) e rotação n = 1140 rpm. As polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros: Polia 1 motora d 1 = 120 mm Polia 2 movida d 2 = 220 mm Determinar para a transmissão: a) Velocidade angular da polia 1 (ω 1) b) Freqüência da polia 1 (f 1 ) c) Torque da polia 1 (M T 1 ) d) Velocidade angular da polia 2 (ω 2) e) Freqüência da polia 2 (f 2 ) f) Rotação da polia 2 (n 2 ) g) Torque da polia 2 (M T 2 ) h) Velocidade periférica da transmissão (v p ) i) Força tangencial da transmissão (F T ) j) Relação de transmissão (i)

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